Exercicios (1001)-mesclado-156

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39 Na circunferência de centro C, abaixo, a corda AB tem ponto médio M e mede 18 cm. Dado que BC 
mede o dobro de CM, determine a medida do raio dessa circunferência. 
40 Na circunferência de centro C e raio 15 cm, representada abaixo, CD t AB e BD mede 3 cm a mais 
que CD. Calcule a medida da corda AB.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva o exercício complementar 40.
 Ângulo central de uma circunferência
Todo ângulo cujo vértice é o centro C de uma circunferência é chamado de ângulo central 
dessa circunferência.
A
B
ângulo central
arco determinado
pelo ângulo central
C
Define-se a medida, em grau, de um arco de circunferência como a medida do ângulo central 
que o determina. Por exemplo, na circunferência de centro C:
m(ACB) 5 60w ] m( + AB ) 5 60w
A
B
60°C
41 Na figura ao lado, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e 
PQ 5 24 cm. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM 5 8 cm. 
 Calcule a medida do raio da circunferência.
M
CA
B
D
C
A
B
M
R
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P
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348
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CAP 10.indb 348 03.08.10 13:13:12
Propriedade
A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente.
demonstração
Faremos a demonstração do caso fundamental, que é aquele em que um dos lados do ângulo 
inscrito passa pelo centro C da circunferência.
�
�
C BV
A
m(AVC) 5 a
m(ACB) 5 d
O triângulo VCA é isósceles, pois CV & CA.
logo: CVA & CAV
�
�
�
BV
A
C
Como d é medida do ângulo externo ACB do triângulo ACV, temos: d 5 2a ] a 5 
d
 __ 
2
 
C
B
A
VC
B
A
V
Para a demonstração dos casos em que o centro C da circunferência é interior ou exterior ao 
ângulo, basta traçar um diâmetro auxiliar a partir do vértice do ângulo e aplicar duas vezes o caso 
fundamental.
 Ângulo inscrito em uma circunferência
Todo ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e os lados são secantes a ela é cha-
mado de ângulo inscrito nessa circunferência.
ângulo inscrito
arco determinado
pelo ângulo inscrito
A
V
B
Um ângulo inscrito e um ângulo central que determinam o mesmo arco são chamados de 
ângulos correspondentes nessa circunferência.
349
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CAP 10.indb 349 03.08.10 13:13:13
Exemplo
Na figura, a medida do ângulo central ACB é igual à medida 
do arco que ele determina na circunferência, isto é, 140w. Como 
a medida a do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo 
central correspondente, concluímos que:
a 5 
140w
 _____ 
2
 ] a 5 70w
42 Determine a medida x, em grau, em cada uma das 
circunferências:
43 Um triângulo é inscrito em uma semicircunferência 
quando seus três vértices pertencem a ela e um de 
seus lados passa pelo centro da semicircunferência.
a) Calcule a medida do ângulo PMQ no triângulo 
inscrito na semicircunferência seguinte.
44 A superfície de um lago tem a forma de um círculo 
com 0,5 km de raio. Um barco partiu de um ponto 
A, junto à margem, e percorreu um trajeto reto até 
um ponto B da margem tal que a distância entre B 
e o diâmetro AC é 0,48 km. Qual foi a distância per-
corrida pelo barco de A até B, dado que AB  BC?
45 Na circunferência de centro C, determine a medida 
x, em grau, do ângulo PSN.
46 Determine a medida x, em grau, do ângulo PSM, na 
figura:
47 Em um espetáculo de acrobacias aéreas, um avião 
realiza um loop circular em um plano vertical a. 
De um ponto P do solo, pertencente ao plano a, 
observa-se o movimento do avião ao descrever um 
arco + AB de 60w. Sabendo que m(APB) 5 45w, calcule a 
medida do maior arco + CD descrito pelo avião, visto 
sob o mesmo ângulo APB.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
B
x
100°
A
V
46°
B
x
A
V
P
a)
c)
b)
M
P Q
C
(C é o centro da 
circunferência.)
C
70°
S
M
Q
N
P
x
M
Q
Sx
80°
30°
N
P
 (Sugestão: Trace o segmento PN e observe os ângulos 
inscritos PNM e NPQ.)
140°
α
C
B
A
V
b) Reescreva e complete a sentença abaixo no seu 
caderno, tornando-a verdadeira.
 Todo triângulo inscrito em uma semicircunfe-
rência é ... .
 (Sugestão: Trace o segmento PM e observe os ângulos 
inscritos PMN e MPQ.)
65°
centro
BA
x
350
C
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CAP 10.indb 350 03.08.10 13:13:17
 Reta tangente a uma circunferência
Uma reta r e uma circunferência de um mesmo plano são tangentes entre si quando têm um 
único ponto T em comum.
Propriedades
P1. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
P2. Se P é um ponto exterior a uma circunferência e os pontos A e B pertencem a ela, de 
modo que PA e PB são tangentes à circunferência, então PA 5 PB.
Justificativa
A menor distância entre o centro C e a reta tangente r é a medida do raio da circunferência. 
Como a menor distância entre um ponto e uma reta corresponde à medida do segmento que liga 
o ponto à reta perpendicularmente, concluímos que CT é perpendicular a r.
Justificativa
Traçando os segmentos AC, BC e PC, em que C é o centro da circunferência, obtemos os triân-
gulos retângulos PAC e PBC da figura abaixo.
Como PAC & PBC, PC é hipotenusa comum aos dois triângulos e CA 5 CB, temos, pelo caso 
RHC, que os triângulos PAC e PBC são congruentes. logo, PA 5 PB.
T
r
CT t r
T
C
r
PA 5 PB
A
P
B
C
A
P
B
C
351
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