Prévia do material em texto

Função real de variável real
Toda	função	cujos	domínio	e	contradomínio	são	subconjuntos	de	V é chamada de função 
real de variável real. Por exemplo, a função g: v P b tal que g(x) 5 2x 2 5 é uma função real de 
variável	real,	pois	seu	domínio	(v)	e	seu	contradomínio	(b) são subconjuntos de V.
Estudo do domínio de uma função real de variável real 
Uma	 forma	 de	 descrever	 precisamente	 uma	 função	 f	 é	 explicitar	 seu	 domínio,	 seu	 con-
tradomínio	e	a	 lei	que	associa	cada	x	do	domínio	ao	correspondente	y	do	contradomínio.	Há	
casos, porém, em que a descrição de uma função pode ser apresentada simplesmente pela lei 
de associação y 5 f(x),	ficando	subentendidos	o	domínio	e	o	contradomínio.	Para	esses	casos,	
podemos estabelecer o seguinte:
Uma	função	f pode ser apresentada simplesmente pela lei de associação y 5 f(x) se, e so-
mente	se,	o	domínio	de	f for o mais amplo subconjunto de V em que f pode ser definida e o 
contradomínio	de	f for V.
D(f ) 5 {x 9 Vof(x) 9 V} e CD(f ) 5 V
Assim, dada a função y 5 f(x),	seu	domínio	D(f )	e	seu	contradomínio	CD(f ) são os conjuntos:
Exemplos
•	 Considere	a	função	dada	por	f (x) 5 
1
 __ 
x
 .	Como	o	domínio	e	o	contradomínio	não	foram	explicitados,	
 admitimos CD(f ) 5 V e D(f ) 5 {x 9 Vox % 0}, pois:
 
1
 __ 
x
 9 V [ x 9 V e x % 0
•	 Considere	a	função	dada	por	g(x) 5 5x.	Como	o	domínio	e	o	contradomínio	não	foram	explicita-
dos, admitimos CD(f ) 5 V e D(f ) 5 V, pois, para que 5x seja real, basta que x seja real:
 5x 9 V [ x 9 V 
Note	que,	para	encontrar	o	domínio	de	uma	função	y 5 f (x), precisamos analisar a lei de asso-
ciação de f e, assim, obter as restrições da variável x para que exista a função f. Essas restrições 
são chamadas de condição de existência.
8 Determinar o domínio da função f (x) 5 3 ______ 
x 2 8
 .
9 Determinar o domínio da função: f (x) 5 dlllll x 2 5 
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
 O domínio de f é o conjunto de todos os números x, reais, de modo que 3 ______ 
x 2 8
 também seja real. 
 Temos: 3 ______ 
x 2 8
 9 V [ x 9 V e x 2 8 % 0 (ou seja, x % 8)
 Logo: D( f ) 5 {x 9 Vox % 8}
Resolução
 O domínio de f é o conjunto de todos os números x, reais, de modo que dlllll x 2 5 também seja real. 
 Temos: dlllll x 2 5 9 V [ x 9 V e x 2 5 > 0 (ou seja, x > 5)
 Logo: D( f ) 5 {x 9 Vox > 5}
73
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
S
e
ç
ã
o
 2
.2
	•	
O
	c
o
n
ce
it
o
	d
e
	f
u
n
çã
o
CAP 2.indb 73 03.08.10 11:10:39
29 Determine o domínio de cada uma das funções:
a) f (x) 5 dll x e) f (x) 5 15
b) f (x) 5 3 dll x f ) f (x) 5 3 _______ 
x2 2 36
 1 dlllll x 2 2 
c) f (x) 5 3x 1 5 g) f (x) 5 1 ___ 
 3 dll x 
 
d) f (x) 5 5 ______ 
x2 2 9
 
30 O número 5 pertence ao domínio de f (x) 5 2 _______ 
 dlllll x 2 5 
 ? 
Por quê?
31 Um professor propôs a seguinte atividade para sua 
turma. 
 Pegue uma folha retangular de cartolina, com 20 cm 
de comprimento por 10 cm de largura, e adote os 
seguintes procedimentos:
•	 recorte	quatro	quadrados	de	lado	x cm, de modo 
que cada um deles tenha um vértice coincidindo 
com um vértice da folha;
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 8 a 11.
10 cm
20 cm
x
x
 Indique por V (x) o volume, em centímetro cúbico, 
da caixa em função da medida x dos lados dos 
quadrados recortados.
a) Obtenha a equação que associa cada possível 
medida x ao volume V (x).
b) Indique o domínio da função V.
•	 dobre	essa	folha	formando	uma	caixa	sem	tampa,	
conforme mostra a figura:
11 Um granjeiro utilizou 200 metros lineares de tela para cercar um terreno 
retangular.
a) Obter a lei y 5 f (x) que expressa a área y, em metro quadrado, do terreno em 
função da medida x, em metro, de um dos lados desse terreno.
b) No contexto do problema, qual é o domínio da função f obtida no item a?
Resolução
a) Sabemos que o perímetro do terreno é 200 m. Indicando por x a medida, 
em metro, de um lado do terreno, as outras dimensões, em metro, serão: 
x, (100 2 x) e (100 2 x).
xx
100 � x
100 � x
 Assim, a área y desse terreno é dada por: f (x) 5 (100 2 x) 3 x, ou seja, f (x) 5 2x2 1 100x
b) Fora de qualquer contexto, o domínio da função f (x) 5 2x2 1 100x seria o conjunto V; porém, no 
contexto do problema, os valores de x estão restritos às possíveis medidas de um lado do terreno. 
Como o perímetro do terreno é 200 m, temos: 0 , x , 100. 
 Assim, o domínio de f é: D( f ) 5 {x 9 Vo0 , x , 100}
10 Determinar o domínio da função: f (x) 5 3 ______ 
x 2 8
 1 dlllll x 2 5 
Resolução
 O domínio de f é o conjunto de todos os números x, reais, de modo que 3 ______ 
x 2 8
 1 dlllll x 2 5 também seja 
 real. Temos: 
 3 ______ 
x 2 8
 1 dlllll x 2 5 9 V [ x 9 V, x 2 8 % 0 e x 2 5 > 0
(I) (II)
 Lembrando que o conectivo “e” indica a intersecção das soluções das inequações (I) e (II), temos:
5
(I)
(II)
(I) � (II)
5
x
x
x
8
8
 Logo: D( f ) 5 {x 9 Vox > 5 e x % 8}
74
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
V1_P1_CAP_02A.indd 74 03.08.10 16:21:34
Contudo, as funções y 5 f (x), que estudaremos nesta coleção, apre-
sentam pequenas variações entre dois pontos relativamente próximos. 
Por isso, os gráficos referentes a elas podem ser esboçados por meio de 
pontos que obtemos atribuindo valores a x e calculando os corresponden-
tes valores de y.
Gráfico de uma função
 Esboços de gráficos por pontos
Algumas funções podem variar de modo brusco entre dois pontos 
relativamente próximos; por exemplo, a função representada abaixo 
 @ é a função y 5 sen 
1
 __ 
x
 , que não será estudada nesta coleção # varia tão 
abruptamente	nas	proximidades	da	origem	que	é	impossível	representá-la	
de forma gráfica com precisão.
�1
�1
1
1
y
x
 Objetivo
 Construir o gráfico 
de uma função.
Seção 2.3
Exemplos
a) Para esboçar o gráfico da função y 5 2x,	primeiro	construímos	uma	tabela	
atribuindo alguns valores a x e calculamos os correspondentes valores 
de y. Depois, representamos no plano cartesiano os pares ordenados 
(x, y) assim obtidos.
�3�4 3
3
21
1
4
4
5
5
6
�3
�2
�2
�1
�1
�4
2
x
y 
x y
22 24
21 22
0 0
1 2
2 4
3 6
75
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
S
e
ç
ã
o
 2
.3
	•	
G
rá
fi
co
	d
e
	u
m
a
	f
u
n
çã
o
CAP 2.indb 75 03.08.10 11:10:40
�3�4 3
3
2 2,51,50,5�0,5�1,5 1
1
4
4
5
5
6
�3
�2
�2
�1
�1
�4
2
y 
x
�3�4 3
3
21
1
4
4
5
5
6
�3
�2
�2
�1
�1
�4
2
y 
x
 Observamos, até aqui, que os pontos obtidos estão sobre uma mesma reta; então, é razoável 
admitir que o gráfico da função y 5 2x é a reta que contém esses pontos.
	 Se	quisermos	mais	pontos	entre	os	já	obtidos,	podemos	atribuir	mais	valores	a	x, por exemplo, 
a cada meia unidade:
x y
22 24
21,5 23
21 22
20,5 21
1 2
1,5 3
2 4
2,5 5
3 6
76
C
a
p
ít
u
lo
 2
	•	
In
tr
o
d
u
çã
o
	a
o
	e
st
u
d
o
	d
a
s	
fu
n
çõ
e
s
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 2.indb 76 03.08.10 11:10:41