Elementos de Máquinas - Unidade 02

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ELEMENTOS DE MECANISMOSELEMENTOS DE MECANISMOS
ENGRENAGENS CILÍNDRICASENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES HELICOIDAIS EDE DENTES HELICOIDAIS E
ENGRENAGENS CÔNICASENGRENAGENS CÔNICAS
Au to r ( a ) : M e . C r i s t i a n Pa d i l h a Fo n to u ra
R ev i s o r : J a i ro M u l l e r Wo l f
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Introdução
Caro(a) estudante, iniciaremos agora nossa jornada pelo universo da soldagem. Aprenderemos o
que são e para que servem os processos de soldagem, tão presentes no nosso cotidiano. Você
consegue imaginar um automóvel fabricado sem esses processos? Ou os diversos aparelhos
eletrônicos que possuímos, como celulares, computadores, aparelhos de TV etc.? Sim, a soldagem
está presente em vários equipamentos e peças, está mais próximo de nós do que percebemos na
maior parte do tempo.
Nesta unidade, vamos entender o que são as ECDHs, suas aplicações, bem como suas vantagens e
desvantagens em relação a outros tipos de engrenagem. Além disso, vamos compreender sua
e�ciência em aplicações de transmissão de carga e potência e como é feito seu dimensionamento.
Vamos lá?
Neste tópico, vamos de�nir o que é a soldagem, quais as suas aplicações e a sua importância para
a indústria e quais os métodos mais usuais para realizá-la. Também traçaremos um breve histórico
do desenvolvimento das técnicas de soldagem e, por �m, veremos algumas características gerais
relativas aos processos de soldagem.
Introdução às
Engrenagens Cilíndricas
de Dentes Helicoidais
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Você sabe o que são processos de soldagem? São processos usados para unir duas ou mais peças
através da aplicação de calor, pressão ou de uma combinação de pressão e calor, por um
determinado tempo, para coalescer as partes. Como resultado desse processo, as duas (ou mais)
peças passam a ser uma só, chamada de conjunto soldado. Alguns desses processos podem usar
um material de adição para auxiliar nessa união (GROOVER, 2016).
Apesar dessa de�nição nos fazer associar, quase que automaticamente, os processos de soldagem
à união de peças metálicas através da fusão dos metais, é preciso destacar alguns pontos
importantes. Primeiro, os processos de soldagem são aplicados também a peças não metálicas,
embora o foco do nosso estudo seja a aplicação da soldagem a metais e ligas metálicas. Segundo,
apesar dos processos de soldagem serem classicamente de�nidos como processos de união, nos
últimos anos, algumas técnicas de soldagem têm sido usadas para adicionar material sobre
superfícies, seja para recuperação de peças desgastadas, seja como revestimento para proteção
contra abrasão ou, até mesmo, para manufatura aditiva (“impressão 3D”) de materiais metálicos.
Muitos processos de corte de chapas metálicas também se assemelham a processos de soldagem.
Em terceiro lugar, diversos processos de soldagem ocorrem sem a fusão dos materiais, como
veremos mais adiante (MARQUES; MODENESI; BRACARENSE, 2009).
Os dentes das ECDHs são formados por curvas envolventes. Eles formam um ângulo ψ com relação
ao eixo de rotação, chamado ângulo de hélice, que pode variar de 10º a 45º. Um balanço deve ser
buscado para tirar proveito do engrenamento do dente suave (quando o ângulo de hélice é alto),
mantendo um valor razoável da carga de impulso axial, que aumenta, proporcionalmente, o ângulo
de hélice. A Figura 2.1 ilustra o dente isolado de uma ECDH. Considera-se um cilindro de raio r com
o dente inclinado em um ângulo de hélice arbitrário, bem como as linhas de contato do dente
indicadas ao longo de sua face.
As engrenagens helicoidais são similares às engrenagens
retas (ECDRs), mas é preciso compreender que a complexidade
do projeto aumenta à medida que formas de dentes mais
complexas são utilizadas.
Fonte: �ash198704 / 123RF.
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Figura 2.1 — Dente helicoidal isolado em um cilindro para ilustrar seu formato único
Fonte: Adaptada de Mohammadkhani, Nemati e Babaei (2012, p. 6.688).
#PraCegoVer: a �gura tem o intuito de demonstrar a geometria de um dente helicoidal isolado. Nela,
podemos observar um cilindro de raio r e, acoplado a ele, um único dente de engrenagem, que é inclinado
em um ângulo não especí�co, formando uma hélice em torno do eixo do cilindro. Na face do dente, estão
marcadas as linhas de contato, que demarcam o local em que o dente entra em contato com os dentes de
outra engrenagem, em um par engrenado.
Os dentes, como o nome indica, formam uma hélice de ângulo ψ, que pode estar inclinada para a
direita ou para a esquerda. Os dentes de uma engrenagem helicoidal de mão direita parecem estar
inclinados para a direita, enquanto uma engrenagem helicoidal de mão esquerda tem os dentes
inclinados para a esquerda. Pares de mãos opostas engrenam com seus eixos paralelos. Pares de
mesma mão engrenam com seus eixos cruzados.
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Figura 2.2 — Duas variedades de pares de ECDHs: (a) engrenagens helicoidais de mão esquerda e
direita, com ângulo de hélice de 20º e eixos paralelos; e (b) duas engrenagens helicoidais de mão
direita, com ângulo de hélice de 45º e eixos cruzados
Fonte: Mott, Vavrek e Wang (2018, p. 323).
#PraCegoVer: a �gura ilustra dois pares de engrenagens. O primeiro apresenta duas engrenagens
acopladas a eixos paralelos, sendo que a menor engrenagem, ou pinhão, possui os dentes inclinados para
a esquerda; por sua vez, a engrenagem maior possui os dentes inclinados para a direita. O segundo par
tem suas engrenagens acopladas a eixos perpendiculares um ao outro. Nesse par, a engrenagem menor,
ou pinhão, possui os dentes inclinados para a direita, assim como a engrenagem maior.
A Figura 2.2 ilustra bem as duas con�gurações possíveis de engrenamento com base na direção
dos dentes do par em questão. A Figura 2.2 (a) mostra o caso de eixos paralelos, e a Figura 2.2 (b),
o caso de eixos cruzados. A �m de descrever os dois tipos de engrenamento, Norton (2013, p. 749)
traz as seguintes informações acerca dos dois tipos de engrenamento para as engrenagens
helicoidais paralelas:
ENGRENAGENS HELICOIDAIS PARALELAS engrenam com uma combinação de
rolamento e deslizamento com contato começando em uma extremidade do dente e
“varrendo” cruzado pela largura de sua face. Isso é bastante diferente do contato de
engrenagens de dentes retos, que ocorre todo de uma vez ao longo de uma linha que
cruza a face do dente no instante do contato do dente. Um resultado dessa diferença é
que as engrenagens helicoidais são mais silenciosas e têm menos vibração que as
engrenagens retas por causa do contato gradual dos dentes. As transmissões
automotivas usam engrenagens helicoidais quase exclusivamente a �m de obter uma
operação silenciosa. Uma exceção comum está no engrenamento da engrenagem de
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retrocesso de uma transmissão não automática, que frequentemente usa engrenagens
retas para habilitar suas entrada e saída do acoplamento. Em uma transmissão desse
tipo, um “ruído de engrenamento” observável pode ser ouvido ao retroceder o veículo,
devido à ressonância dos dentes da engrenagem reta sendo movidos por impactos
repentinos de dente contra dente na linha de contato. Os acoplamentos de avanço de
engrenagens helicoidais são essencialmente silenciosos. Engrenagens helicoidais
paralelas também são capazes de transmitir níveis elevados de potência.
Norton (2013, p. 749) também complementa, sobreas engrenagens helicoidais cruzadas, as
seguintes informações:
ENGRENAGENS HELICOIDAIS CRUZADAS engrenam diferentemente das engrenagens
helicoidais paralelas; seus dentes escorregam sem rolamento e estão teoricamente em
contato pontual em vez de contato de linha como nas engrenagens paralelas. Isso reduz
severamente sua capacidade de carregamento de cargas. As engrenagens helicoidais
cruzadas não são recomendadas para aplicações que devem transmitir torque elevado
ou potência. Contudo, elas são frequentemente usadas em aplicações de cargas leves,
como distribuidor e comando de velocímetros de automóveis.
Além das ECDHs de única mão, que permitem as con�gurações paralela ou cruzada, existem as
engrenagens helicoidais duplas, ou do tipo “espinha de peixe”, que, de acordo com Norton (2010),
são formadas pela união de duas engrenagens de dentes helicoidais de mesmo passo e diâmetro,
mas de mãos opostas em um mesmo eixo (com ou sem um espaço central).
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Figura 2.3 — Engrenagem helicoidal dupla do tipo “espinha de peixe”
Fonte: nordroden / 123RF.
#PraCegoVer: a �gura ilustra como é uma engrenagem helicoidal dupla, também conhecida como
“espinha de peixe”. A engrenagem está acoplada a um eixo. Os dentes dessa engrenagem possuem duas
inclinações distintas, sendo que, até metade de sua espessura, os dentes têm inclinação para a esquerda.
Já a outra metade tem dentes inclinados para a direita.
A Figura 2.3 mostra uma engrenagem do tipo “espinha de peixe”. A vantagem dessa con�guração é
o cancelamento de esforços axiais, uma vez que cada metade da engrenagem possui uma carga de
mesmo módulo, além de sentido oposto da outra.
Fonte: Encik Tekateki / Wikimedia Commons.
Eixos paralelos:
Não se esqueça! As engrenagens
helicoidais paralelas estão dispostas em
eixos paralelos, e o sentido dos dentes é
oposto.
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As ECDHs têm um rendimento menor do que as ECDRs, conforme de�nido por Norton (2010).
Brevemente, o autor resume os motivos para isso, além de comentar sobre as montagens das
ECDHs:
A de�nição geral de rendimento é potência de saída/potência de entrada, expressada em
porcentagem. O rendimento de um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos pode
variar de 98% a 99%. As engrenagens de dentes helicoidais são menos e�cientes do que
as engrenagens cilíndricas de dentes retos devido ao atrito gerado pelo deslizamento ao
longo do ângulo do dente. Elas também apresentam uma força de reação ao longo do
eixo da engrenagem, que também não existe nas engrenagens cilíndricas de dentes
retos. Portanto, engrenagens de dentes helicoidais devem ser montadas em conjunto
com rolamentos em seus eixos para prevenir que elas se movimentem ao longo de seu
eixo. Perdas por atrito também estão presentes nas engrenagens. Um par de
engrenagens de dentes helicoidais possuirá um rendimento de 50% a 90%. O par de
engrenagens de engrenagens de dentes helicoidais (de mão oposta, porém com o
mesmo ângulo do dente) possui contato linear entre os dentes e pode suportar cargas a
altas velocidades. A montagem cruzada possui contatos pontuais e alto deslizamento
que limita sua aplicação a situações de baixas cargas (NORTON, 2010, p. 489).
Nesse sentido, começamos a notar algumas diferenças entre as ECDRs e as ECDHs. Ao longo da
unidade, veremos que essa diferença é bastante sutil, mas é necessário compreender como a
alteração na geometria dos dentes afeta a maneira como as cargas são transmitidas, isto é, que
novas variáveis in�uenciam na transmissão por ECDHs.
Agora que estamos familiarizados com as ECDHs, vamos dar início ao estudo de sua geometria e
de seu dimensionamento.
REFLITA
Por serem amplamente utilizados com equipamentos industriais,
os redutores de velocidade podem impactar, signi�cativamente, os
custos de acionamento. Portanto, você deve saber com que
e�ciência os vários tipos de redutores usam a energia do motor de
entrada para acionar uma carga. Se a e�ciência das engrenagens
cilíndricas de dentes helicoidais é muito menor do que a e�ciência
das engrenagens cilíndricas de dentes retos, qual seria a vantagem
de usá-las em um sistema? A e�ciência pode re�etir nos custos de
produção? Pense a respeito e elabore mentalmente as suas
hipóteses.
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Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Com base no seu conhecimento acerca de engrenagens cilíndricas, você já pode estimar como
suas geometrias têm efeito na forma com que a transmissão é feita e como cada aplicação é
in�uenciada pelo uso dos diferentes tipos de dentes, sejam retos ou helicoidais. Diante disso,
assinale a alternativa que melhor relaciona as ECDRs com as ECDHs:
a) As ECDRs são mais e�cientes que as ECDHs por serem mais simples e são
recomendadas em aplicações que exigem pouca vibração e ruído.
b) As ECDHs, por serem menos e�cientes, são recomendadas somente em aplicações em
que não é possível usar as ECDRs.
c) As ECDHs do tipo “espinha de peixe” são uma versão otimizada das ECDHs por
anularem esforços axiais que não existem nas ECDRs.
d) As ECDHs cruzadas funcionam na mesma con�guração geométrica que as ECDRs.
e) Um par de ECDHs paralelas funciona com duas engrenagens de mesma mão e se
assemelham à con�guração das ECDRs.
Geometria das
Engrenagens Cilíndricas
de Dentes Helicoidais
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Para dimensionar uma ECDH, precisamos, inicialmente, compreender sua geometria, que é mais
complexa que a de uma ECDR, pois, agora, existem outras variáveis que de�nem a hélice do dente.
Em seguida, veremos como os carregamentos se dão nas ECDHs e como podemos estimar e
analisar as tensões e, de acordo com os critérios apropriados, projetar as engrenagens cilíndricas
de dentes helicoidais.
Conforme Mott (2015, p. 333), conseguimos descrever a geometria dos dentes de uma engrenagem
helicoidal. Temos de de�nir os ângulos pertinentes, que estão relacionados aos planos primários.
Existem três planos primários para uma engrenagem helicoidal, e eles estão ilustrados na Figura 2.4
para uma ECDH:
Figura 2.4 — Duas variedades de pares de ECDHs: (a) engrenagens helicoidais de mão esquerda e
direita, com ângulo de hélice de 20º e eixos paralelos; (b) duas engrenagens helicoidais de mão
direita, com ângulo de hélice de 45º e eixos cruzados
Fonte: Adaptada de Mott, Vavrek e Wang (2018, p. 323).
#PraCegoVer: a �gura está dividida em quatro partes, de (a) a (d). A parte (a) mostra uma engrenagem
helicoidal tridimensionalmente cortada por três planos primários, que se interseccionam entre si e são
explicados individualmente nas outras partes da �gura. A parte (b) mostra o plano tangencial, que passa
tangencialmente pelo diâmetro primitivo da engrenagem helicoidal. O plano transversal é mostrado na
parte (c) da �gura e ele é perpendicular ao eixo da engrenagem helicoidal e ao plano tangencial. A parte
(d) mostra o plano normal, que é perpendicular ao dente da engrenagem e ao plano tangencial.
No projeto de engrenagens helicoidais, há três ângulos de interesse:
I. o ângulo de hélice ψ;
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II. o ângulo de pressão normal ; e
III. o ângulo de pressão transversal .
É função do projetista especi�car o ângulo de hélice e um dos ângulos de pressão. O outro ângulo
de pressão pode ser computado pela seguinte relação:
Por exemplo, se o catálogo de um fabricante oferece engrenagens helicoidais com um ângulode
pressão normal de 14,5º e um ângulo de hélice de 45º, então, o ângulo de pressão transversal pode
ser encontrado da seguinte forma:
Vamos compreender melhor os conceitos envolvidos na geometria da engrenagem helicoidal
observando a Figura 2.5, que nos mostra uma cremalheira helicoidal básica, com os planos normal
e transversal e a decomposição de forças. Uma cremalheira é uma engrenagem linear, ou
engrenagem reta (não confundir com engrenagem de dente reto). Nesse caso, podemos dizer que
ela corresponde a uma engrenagem cuja circunferência de base foi levada ao limite, o que a torna
uma linha reta. Vamos usar o conceito para compreender a geometria dos dentes helicoidais.
ϕn
ϕt
tg =     (1)ϕt
tgϕn
cosψ
tg =ϕt
tgϕn
cosψ
tg = = 0, 3657ϕt
tg (14, 5 )o
cos (45 )o
= t (0, 3657) = 20, 09ϕt g−1 o
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Figura 2.5 — Cremalheira helicoidal mostrando os planos e a decomposição de forças
Fonte: Adaptada de Mott, Vavrek e Wang (2018, p. 323).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma cremalheira helicoidal básica, em duas seções: plano transversal e
seção x-x, que corresponde ao plano normal. Os dentes formam o ângulo de hélice ψ com o eixo da
cremalheira. Os dentes são cortados nesse ângulo, e a forma do dente está, então, no plano normal. O
passo normal e o ângulo de pressão normal são medidos no plano normal. O passo transversal e
o ângulo de pressão transversal são medidos no plano transversal. A largura F é medida na seção de
corte x-x e corresponde à largura da cremalheira. A força resultante está em um ângulo composto de�nido
pelo ângulo de pressão e pelo ângulo da hélice, em combinação.
O passo transversal é a hipotenusa do triângulo reto ABC, visto na Figura 2.4, sendo que, dessa
forma, equivale a:
O passo axial pode ser de�nido como a hipotenusa do triângulo reto BCD e, por isso, é dado pela
equação:
 corresponde ao passo circular ,, medido no plano de referência de uma engrenagem circular,
isto é, uma engrenagem cuja circunferência de base é bem de�nida. O passo diametral é mais
comumente utilizado na de�nição do tamanho do dente e está relacionado ao passo circular por:
pn ϕn pt
ϕt
pt
=     (2)pt
pn
cosψ
px
=     (3)px
pn
senψ
pt pc
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Nesse caso: N é o número de dentes, e d é o diâmetro de referência.
O passo diametral no plano normal é dado por:
O módulo, em unidades métricas, é dado por:
O módulo m, para engrenagens helicoidais, é válido para o plano transversal da engrenagem. O
módulo normal é o inverso do passo diametral no plano normal e é reportado em milímetros.
Ele é dado por:
É necessário estar atento às unidades no momento de calcular a geometria das engrenagens, uma
vez que cálculos realizados em polegadas são comumente encontrados na literatura. Não se
esqueça de fazer as conversões necessárias, lembrando que uma polegada equivale a 25,4
milímetros.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Uma ECDH tem um passo diametral normal igual a 12, um ângulo de pressão normal de 20º, 48
dentes, uma largura de face de 1,50” (polegadas) e um ângulo de hélice de 45º. Lembre-se de
trabalhar com polegadas na resolução deste exercício, e não com milímetros.
MOTT, R. L.; VAVREK, E. M.; WANG, J. Machine elements in mechanical design. Nova Iorque:
Pearson, 2018.
Diante do enunciado, analise as a�rmativas a seguir:
I. O passo normal é igual a 0,2618”.
II. O passo axial é igual a 0,370”.
= = =     (4)pd
N
d
π
pc
π
pt
=     (5)pnd
pd
cosψ
m =     (6)
d
N
mn
= m ⋅ cosψ    (7)mn
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III. O diâmetro de referência é 5,657”.
IV. O ângulo de pressão transversal é de 20º.
V. O passo diametral é igual a 0,5”.
Está correto o que se a�rma em:
a) I, II, III, IV e V.
b) I e II, apenas.
c) I e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) II, III e V, apenas.
Agora que já conhecemos a geometria das engrenagens helicoidais, é hora de compreender como é
feito seu dimensionamento. De forma similar ao dimensionamento de engrenagens de dentes retos,
algumas equações são baseadas nos mesmos parâmetros. A inclinação dos dentes, conforme
pode ser visualizado na Figura 2.5, insere novas forças e variáveis que in�uenciam nos
carregamentos.
A força tangencial no acoplamento pode ser obtida a partir do torque aplicado à engrenagem ou ao
pinhão, conforme mostram as equações 8 e 9 (em unidades do SI):
Numericamente, podemos relembrar o cálculo do torque e resolver a força tangencial para uma
engrenagem helicoidal de 20 dentes, módulo 3, transmitindo 3 hp de potência, com velocidade de
rotação de 2.000 rpm, da seguinte forma:
Carregamentos nas
Engrenagens Cilíndricas
de Dentes Helicoidais
= = =     (8)  e   =     (9)Wt
Tp
rp
2 ⋅ Tp
dp
2 ⋅ pdTp
Np
Wt
2 ⋅ Tp
m ⋅ Np
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 e, consequentemente, 
A força tangencial (ou transmitida) atual tangencialmente à superfície do passo e
perpendicularmente à direção axial do eixo da engrenagem é a força que realmente aciona a
engrenagem. Na análise de tensões, essa é a força cuja magnitude vai nos interessar.
A componente radial da força se dá devido ao ângulo de pressão e pode ser obtida por:
Para um ângulo de pressão de 20º, considerando a força tangencial obtida acima, temos que:
Ela atua em direção ao centro da engrenagem, ao longo de um raio, e tende a separar duas
engrenagens em engrenamento.
E a força axial, que tende a separar as engrenagens axialmente, relaciona o ângulo de hélice com a
força tangencial, da seguinte forma:
Se o ângulo de hélice for 20º, o resultado, considerando a força tangencial obtida acima, será o
seguinte:
Ou seja, temos o mesmo valor de força radial para uma engrenagem com ângulo de pressão igual
(20º) ao ângulo de hélice.
Se o ângulo de hélice for 40º, obtemos:
Com um ângulo de hélice alto, nota-se que o valor da força axial também é relativamente alto, se
aproximando da força tangencial.
Mancais de rolamento com capacidade para cargas axiais precisam ser usados em engrenagens
helicoidais devido a essa componente de força, a menos que as engrenagens sejam montadas em
pares de direções opostas, no mesmo eixo, a �m de cancelar a componente axial de força, ou,
ainda, caso se utilize uma engrenagem do tipo “espinha de peixe”.
A resultante de força pode ser obtida por:
De acordo com Norton (2013), outra vantagem das ECDHs sobre as ECDRs, além da operação
silenciosa, são os dentes relativamente mais fortes para uma engrenagem com o mesmo passo
normal, diâmetro de referência e número de dentes. O número virtual de dentes é medido pela
elipse formada ao longo do plano normal da engrenagem e pode ser obtido pela seguinte equação:
= = 10, 7 N ⋅ mTp
3 hp×745,7 Watts/hp
2000 rpm ( rad/s)2π
60
= = 356, 67 NWt
2⋅10,7 N⋅m
3 × m⋅10−3 20
= tgϕ    (10)Wr Wt
= 356, 67 ⋅ tg20 = 129, 82 NWr
o
= tgψ    (11)Wa Wt
= 356, 67tg20 = 129, 82 NWa
o
= 356, 67tg40 = 299, 28 NWa
o
W =     (12)
Wt
cosψcosϕn
Ne
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A equação 13 de�ne uma engrenagem virtual, que é equivalente a uma engrenagem reta com 
dentes – o que provém um dente mais forte em fadiga de �exão e de superfície do que uma
engrenagem reta com o mesmo número físico de dentes que a helicoidal.
A razão de contato é outro parâmetro geométrico utilizado no dimensionamento, e é o número
médio de dentes em contato uma com a outra. A razão de contato transversal é a mesma para
as engrenagens retas:Para as engrenagens helicoidais, a razão de contato mínima para que a operação seja suave é de
1,2 – diferentemente do que ocorre com as ECDRs, que �ca entre 1,4 e 2,0.
O ângulo de hélice introduz uma nova razão, chamada razão de contato axial , que é de�nida
como o quociente da face F e o passo axial :
Para uma engrenagem qualquer com largura da face F igual a 50 mm, módulo m igual a 3 mm e
ângulo de hélice igual a 30º, vamos ter que:
De acordo com Norton (2013), a razão deve ser de, pelo menos, 1,15 e indica o grau de
entrelaçamento helicoidal no engrenamento. Se o valor da razão de contato axial for mantido acima
de 1, como se deseja, as engrenagens são consideradas engrenagens helicoidais convencionais.
Abaixo desse valor, essas engrenagens são denominadas engrenagens de razão de contato baixa
(LACR, do inglês low axial contact ratio). Essas engrenagens exigem passos adicionais em seu
dimensionamento, os quais não vamos cobrir na disciplina.
=     (13)Ne
N
co ψs3 
Ne
mp
=     (14)mp
Z
m ⋅ π ⋅ cosϕ
mF
px
= = =     (15)mF
F
px
F ⋅ ⋅ tgψpd
π
F ⋅ tgψ
m ⋅ π
= = = 3, 06mF
F ⋅ tgψ
m ⋅ π
50 mm  ⋅ tg30o
3 mm ⋅ π
26/11/24, 19:12 E-book
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Bem como para as tensões em ECDRs, as tensões em ECDHs são avaliadas pelas tensões de �exão
e pelas tensões de superfície.
Usamos a equação de tensão de �exão da norma AGMA, que é a equação de Lewis modi�cada, em
unidades do SI:
Ou, ainda, como o módulo m é o inverso do passo diametral ,, temos, em unidades
estadunidenses, que a tensão de �exão é:
Essa equação é, basicamente, igual àquela para as ECDRs, porém o fator geométrico J vai ser
diferente, pois considera uma combinação de ângulos de hélice (10º, 15º, 20º, 25º, 30º), um ângulo
de pressão (14,5º, 20º, 25º) e uma razão de adendo (0, 0,25 e 0,5). Como exemplo, a Tabela 2.1
ilustra a maneira pela qual, normalmente, são encontrados os valores para o fator geométrico J na
literatura:
=     (16)σb
Wt
F ⋅ m ⋅ J
KaKm
Kv
KsKBKI
pd
=     (17)σb
⋅Wt pd
F ⋅ J
KaKm
Kv
KsKBKI
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Tabela 2.1 — Fator geométrico de �exão J da AGMA para φ = 20°, ψ = 10° (dentes de profundidade completa,
com carregamento na ponta)
Fonte: Norton (2013, p. 754).
#PraCegoVer: a tabela mostra o fator geométrico de �exão J da AGMA para engrenagens
helicoidais, com ângulo de hélice de 10º e ângulo de pressão de 20º, e dentes de profundidade
completa, com carregamento na ponta. A primeira coluna descreve os números de dentes, e os
valores na tabela são: 12, 14, 17, 21, 26, 35, 55 e 135. As demais colunas mostram os valores
12, 14, 17, 21, 26, 35, 55 e 135, divididos em duas células, rotuladas como P e G, que
representam pinhão e engrenagem, respectivamente. Os fatores J são diferentes para o pinhão
e para a engrenagem em cada combinação possível (feita entre coluna e linha). Para as três
primeiras colunas de dados (12, 14 e 17 – tanto pinhão quanto engrenagem), as células não
nulas são preenchidas pela letra U, que indica incidência de adelgaçamento em dada
combinação. Para o restante das colunas (21, 26, 35, 55 e 135 – tanto pinhão quanto
engrenagem), os valores oscilam entre 0,46 e 0,65, e aumentam a cada linha abaixo e a cada
coluna à direita.
Para cálculos de fadiga super�cial, o mecanismo de falha também é o da crateração. O nível de
tensão de contato entre dentes é determinado pela equação de Buckingham, conforme pode ser
observado a seguir:
Dentes da
engrenagem
12 14 17 21 26 35 55 135
P G P G P G P G P G P G P G P G
12 U U                            
14 U U U U                        
17 U U U U U U                    
21 U U U U U U 0.46 0.46                
26 U U U U U U 0.47 0.49 0.49 0.49            
35 U U U U U U 0.48 0.52 0.5 0.53 0.54 0.54        
55 U U U U U U 0.49 0.55 0.52 0.56 0.55 0.57 0.59 0.59    
135 U U U U U U 0.5 0.6 0.53 0.61 0.57 0.62 0.6 0.63 0.65 0.6
=     (18)σc Cp ⋅ ⋅ ⋅
Wt
F ⋅ I ⋅ dp
⋅Ca Cm
Cv
Cs Cf
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
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Nesse caso:
 = coe�ciente elástico do material da engrenagem
 = força tangencial sobre o dente
 = largura da face do dente
 = fator geométrico de superfície
 = diâmetro primitivo da menor engrenagem
, , e são iguais aos coe�cientes , , e 
 = coe�ciente de acabamento super�cial
Podemos resolver numericamente a tensão de superfície para uma engrenagem utilizando os dados
anteriores. Por exemplo, se a engrenagem tiver as seguintes propriedades:
 = 179 MPa – pinhão de aço com engrenagem de ferro fundido nodular
 = 1800 N
 = 40 mm
 = 0,21
 = 60 mm
, , e =1, 1,6, 0,66, 1
 = 1
A tensão de superfície para um par engrenado com essas condições seria 526,7 MPa. Deve-se
buscar um material que resista a pelo menos esse valor de tensão. Dessa forma, o engenheiro
precisa prever a falha e selecionar um material com resistência à fadiga de �exão e com fator de
segurança adequado.
A equação é idêntica à equação para tensão de superfície em ECDRs, embora, para a tensão de
�exão, o fator geométrico I seja diferente. O valor para I pode ser encontrado em tabelas, nos livros
da bibliogra�a básica da disciplina, mas também existe uma equação que o de�ne:
Nesse caso: e são, respectivamente, os raios de curvatura dos dentes do pinhão e da
engrenagem, é o ângulo de pressão, e é o diâmetro de referência. O sinal ± indica que a
equação leva em conta tanto engrenamentos externos quanto engrenamentos internos. Usamos o
Cp
Wt
F
I
dp
Ca Cm Cv Cs Ka Km Kv Ks
Cf
Cp
0,5
Wt
F
I
dp
Ca Cm Cv Cs
Cf
= 179 MP = 526, 7 MPaσc a0,5 ⋅ ⋅ 1 ⋅ 1
1800 N
40 mm ⋅ 0, 21 ⋅ 60 mm
1 ⋅ 1, 6
0, 66
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
I =     (19)
cosϕ
( ± ) ⋅ ⋅1
ρp
1
ρg
dp mN
ρp ρg
ϕ dp
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sinal superior para engrenamentos externos. O termo é uma razão de divisão ou de
compartilhamento de carga entre os dentes na engrenagem helicoidal, de�nida como:
Onde: F é a largura da face do dente da engrenagem, e é o comprimento das linhas de
contato entre os dentes das engrenagens helicoidais, cujo cálculo requer vários passos. De�nimos
dois fatores a partir da razão de contato transversal e da razão de contato axial : – que é
a parte fracional de ; e – que é a parte fracional de . Por exemplo, se a razão de contato
axial for 1,85, o valor de na será de 0,85.
Se ≤ (1- ), então:
Considerando que é 1,46 e é 1,15, os valores de  e  são 0,46 e 0,15, respectivamente.
Então, a equação 21 será válida, pois 0,15 (1- ), o é obtido a partir da seguinte equação:
Sua validade acontecerá em um caso em que, por exemplo, o valor de  for 0,5 e o valor de  for
qualquer valor maior que 0,5.
Todas as demais variáveis estão de�nidas, exceto o ângulo da hélice de base, que é obtido por:
O ângulo da hélice de base para o caso de uma engrenagem com ângulo de hélice , um
ângulo de pressão e 
Outra variável ainda não conhecida é o raio de curvatura, que, para o pinhão helicoidal, é:
Numericamente, a equação 24 pode ser resolvida a seguir para um par engrenado, com os
seguintes parâmetros: = raio primitivo do pinhão = 28 mm, = = adendo do pinhão e da
engrenagem = 0,425 mm, = distância operacional entre centros = 65,5 mm, = raio
primitivo da engrenagem = 36 mm, =ângulo de pressão = 25º.
mn
=     (20)mN
F
L
m ní
Lmín
mp mF nr
mp na mF
mF
na nr
=     (21)L
m ní
⋅ F − ⋅ ⋅mp na nr px
cosψb
mP mF nr na
na nr Lmín
=     (22)L
m ní
⋅ F − (1 − ) ⋅ (1 − ) ⋅mp na nr px
cosψb
nr na
= co (cosψ )     (23)ψb s−1 cosϕn
cosϕ
ψ = 45o
ϕ = 20, 09o = 14,5 :ϕn
o
= co (cos45 ) = 43, 20ψb s−1 o cos14, 5o
cos20, 09o
o
=     (24)ρp − ( cosϕ)   {0, 5 [( + ) ± (C − − )]}rp ap rg ag
2
rp
2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
rp ap ag
Cpinhão rg
ϕ
= = 13, 51 mmρp − (28cos25 ){0, 5 [28 + 0, 425) ± (65, 5 − 36 − 0, 425)]}2 o 2
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
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E o raio de curvatura para a engrenagem é:
Usando os valores do exemplo anterior e considerando que a distância C para a engrenagem é de
140 mm, o raio de curvatura pode ser resolvido por:
Para as equações do raio de curvatura, , e , são, respectivamente, o raio de referência e o
adendo do pinhão e da engrenagem. C é a distância real de centros.
Sucintamente, o que se deve buscar em uma análise de tensões de uma ECDH ou de um trem de
ECDHs é calcular as tensões de �exão e de superfície. Para isso, é necessário saber as condições
para obter os fatores a serem utilizados em cada um dos cálculos, além de conhecer as
propriedades do material e, principalmente, a geometria dos dentes da engrenagem, que ditam seu
comportamento frente a carregamentos.
Lembre-se dos fatores K, conhecidos para as ECDRs. Eles são os mesmos e continuaremos a usá-
los para o dimensionamento das ECDHs.
 é o fator dinâmico, que leva em conta as cargas de vibrações geradas internamente pelos
impactos entre os dentes – chamados de “erros de transmissão”, os quais ocorrem mais
acentuadamente em engrenagens de baixa precisão. Esses valores são, normalmente, encontrados
= Csenϕ ∓     (25)ρg ρp
= 140sen25 − 13, 51 = 45, 59 mmρg
o
rp ap rg ag
Kv
Fonte: ryzhov / 123RF.
Resumo das engrenagens
helicoidais
Generalidades: apesar de compartilhar
muitas características e propriedades
com as ECDRs, a geometria das ECDHs é
um pouco mais complexa, e seu estudo
requer atenção especial quanto aos
ângulos de pressão e de hélice. Há a
presença de uma componente axial de
força, que exige muito cuidado no projeto.
26/11/24, 19:12 E-book
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na forma de grá�cos e dependem da velocidade de linha e da qualidade da engrenagem exigida pela
aplicação.
O fator é o fator de distribuição de carga, que diz respeito a desalinhamentos axiais ou a
desvios na forma do dente, fazendo com que a carga não seja transmitida de maneira igual
sobre a face dos dentes. Quanto mais larga a engrenagem, pior é a distribuição de carga.
O fator é o fator de aplicação e refere-se a equipamentos que não transmitem cargas ou
torques uniformes ao longo do tempo.
O fator é o fator de tamanho. A norma da AGMA recomenda que esse valor seja igual a 1 na
maioria das aplicações. Em dentes com módulo acima de 5, pode-se aplicar a seguinte equação:
O fator é o fator de espessura de borda e é usado quando a engrenagem é fabricada em um
anel. O fator é o fator de ciclo de carga. Ele deve respeitar a seguinte condição:
 = 1,42 para engrenagens intermediárias e =1,00 para pinhão ou engrenagem de
extremidade.
Como é possível perceber, o dimensionamento das ECDHs é bastante similar ao dimensionamento
das ECDRs, embora você deva tomar muito cuidado com conversões de unidades e com o fato de
trabalharmos com três ângulos diferentes, e não somente com um. Lembre-se de pesquisar as
tabelas sempre que precisar tomar decisões de projeto – sejam as tabelas de coe�cientes usados
nas equações para calcular tensões, sejam as tabelas com informações sobre os materiais de
engrenagens –, pois elas acompanham bastante a vida do projetista. Os software, apesar de terem
um bom nível de con�abilidade, precisam do seu conhecimento na inserção de dados de entrada e
na tomada de decisões! Cabe a você fazer a avaliação mais pertinente.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Considere uma engrenagem com a mesma geometria da Atividade 1. Ela está transmitindo 2,5 hp
a uma velocidade de 1.750 rpm e acoplada a um pinhão de 16 dentes.
MOTT, R. L.; VAVREK, E. M.; WANG, J. Machine elements in mechanical design. Nova Iorque:
Pearson, 2018.
Km
Wt
Ka
Ks
= 1 + ⋅ 0, 025    (26)Ks (m − 5)1,2
KB
KI
KI KI
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Faça as conversões de unidades necessárias para encontrar os valores corretos de cada variável e
analise as seguintes a�rmativas:
I. O torque transmitido pela engrenagem é de 10,173 N⋅m.
II. A força tangencial é de, aproximadamente, 141,599 N.
III. A força axial é menor que a força tangencial.
IV. A força radial é igual à força tangencial.
V. O diâmetro do pinhão é de, aproximadamente, 47,896 mm.
Está correto o que se a�rma em:
a) I, II, III, IV e V.
b) I, II e V, apenas.
c) II, III e IV, apenas.
d) III e V, apenas.
e) II e IV, apenas.
praticar
Vamos Praticar
Considere a mesma engrenagem das atividades 1 e 2. Faça o cálculo da tensão de �exão e da
tensão de superfície.
Para auxiliar nesta tarefa, seguem os coe�cientes que você deve utilizar e o porquê de cada um:
Vamos considerar o módulo métrico como igual a 3.
O fator geométrico J = 0,30.
 = 1,25, pois a aplicação tem uma máquina motora de choque leve (motor multicilindros) e
uma máquina movida uniforme.
 = 1,6, pois a largura da face do dente é menor que 2” (50 mm).
 = 0,77, considerando uma velocidade da linha de referência =13,166 m/s e um número de
qualidade = 9.
=σb
Wt
F ⋅ m ⋅ J
KaKm
Kv
KsKBKI
Ka
Km
Kv vt
Qv
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 = 1,0, pois o módulo métrico é menor que 5.
 = 1,0, pois a engrenagem não é fabricada em um anel.
 = 1,0, pois estamos tratando de uma engrenagem de extremidade, e não de uma engrenagem
intermediária.
Para o cálculo da tensão de superfície, consideramos a equação:
 = 163 MPa
 = 0,21
, , , = , , , 
 = 1, como a norma AGMA recomenda.
Comando da atividade prática: chegou a hora de você escolher um material para a engrenagem!
As opções estão disponíveis na tabela a seguir, e você deve selecionar uma classe de ferro
fundido. Faça sua escolha com base nos resultados de tensão de �exão e de tensão super�cial,
sem superdimensionar o elemento. Não é necessário corrigir os valores de resistência para este
problema.
Ks
KB
KI
=σc Cp ⋅ ⋅ ⋅
Wt
F ⋅ I ⋅ dp
⋅Ca Cm
Cv
Cs Cf
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Cp
0,5
I
Ca Cm Cv Cs Ka Km Kv Ks
Cf
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Tabela — Propriedades mecânicas das classes de ferro fundido
Fonte: Adaptada de Norton, Vavrek e Wang (2018, p. 726-728).
#PraCegoVer: a tabela mostra três classes distintas de ferro fundido, cada qual com
os valores para resistência à fadiga de �exão e para resistência à fadiga super�cial,
sendo que a unidade, para ambas, é megapascal. A primeira coluna descreve o
material generalizado, que é o ferro fundido. A segunda coluna mostra a qual classe
o material pertence, sendo descritas as seguintes: 20, 30 e 40. A terceira coluna
mostra o valor da resistência à fadiga de �exão, que, para cada classe, é,
respectivamente, 35, 69 e 90. A quarta coluna mostra o valor de resistência à fadiga
de superfície, cujos valores são para cada classe, respectivamente: entre 340 e 410,
entre 450 e 520 e, por �m, entre 520 e 590.
As engrenagens cônicas são mais uma classe das engrenagens e compreendem elementos que, de
acordo com Mott (2015, p. 355), são utilizados na transferência de movimento entre eixos não
paralelos, geralmente a 90º (dispostos perpendicularmente) um do outro. Norton (2010, p. 491)
complementa que, da mesma forma que ECDRs e ECDHs são baseadas em cilindros rolantes, asengrenagens cônicas se baseiam em cones rolantes, tal como mostra a Figura 2.6:
Material
Classe
AGMA
Resistência à fadiga de
�exão (MPa)
Resistência à fadiga
super�cial  (MPa)
Ferro
fundido
20 35 340-410
30 69 450-520
40 90 520-590
Introdução às
Engrenagens Cônicas
26/11/24, 19:12 E-book
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Figura 2.6 — Engrenagens cônicas são baseadas em cones rolantes; a parte (a) mostra um arranjo
incorreto, e a parte (b), o arranjo correto para um par de cones
Fonte: Norton (2010, p. 491).
#PraCegoVer: a �gura mostra duas situações de cones rolantes. A primeira é a forma incorreta de arranjo,
e os vértices dos cones não se intersectam, resultando em uma velocidade malcasada. A segunda
situação mostra dois cones iguais, com os vértices se tocando, e de�ne a dimensão do diâmetro primitivo
de cada cone rolante como sendo o maior diâmetro medido na geometria, além de um ângulo entre seus
eixos chamado gama (γ). Ao lado, está uma representação de formas cônicas de diâmetros diferentes,
mostrando a coincidência dos vértices.
Como é possível observar na Figura 2.6, o ângulo entre os eixos e a superfície dos cones podem ter
quaisquer valores compatíveis, desde que os vértices dos cones se intersectem. Se não houver
intersecção, há uma diferença de velocidade na junção. Como o vértice do cone possui raio zero, a
velocidade, nesse ponto, também é zero. Outros pontos, ao longo da superfície do cone, têm uma
velocidade não nula.
Podemos distinguir as engrenagens cônicas conforme sua geometria, da seguinte forma: cônicas
de dentes retos, cônicas de dentes espirais (ou helicoidais) e hipoides.
26/11/24, 19:12 E-book
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Fonte: waldemarus / 123RF. / Fonte: mulderphoto / 123RF. / Fonte: phuchit / 123RF.
#PraCegoVer: a �gura apresenta um infográ�co sobre os tipos de engrenagens cônicas. Temos três
caixas de destaque, com o fundo azul e a fonte branca, que estão estendidas na vertical e organizadas
uma ao lado da outra. Cada uma delas apresenta uma �gura ilustrativa das engrenagens. Na primeira, da
esquerda para a direita, temos o título “Engrenagens cônicas de dentes retos”, o qual apresenta o seguinte
conceito: “Os dentes de uma engrenagem cônica de dentes retos estão dispostos ao longo de um
elemento na superfície cônica, de forma paralela”. Em seguida, na caixa do meio, temos o título
“Engrenagens cônicas espirais”, que apresenta o seguinte conceito: “Quando os dentes da engrenagem
estão dispostos em um ângulo ψ de espiral, vamos chamá-la de cônica espiral. As engrenagens cônicas
com ângulo de espiral zero são curvadas de forma similar a uma cônica espiral, porém, como seu nome
implica, o ângulo de espiral é zero e elas são conhecidas pelo seu nome comercial ZEROL®”. Por �m, na
terceira caixa, localizada à direita, temos o título “Engrenagens hipoidais ou hipoides”, que apresenta o
seguinte conceito: “Nas engrenagens hipoidais, ou simplesmente hipoides, os eixos entre as engrenagens
não são paralelos nem se intersectam. Por exemplo, a linha de centro do pinhão (componente 2) está
deslocada da linha de centro da engrenagem (componente 1)”.
As aplicações das engrenagens cônicas também são bastante diversi�cadas e podem ser
encontradas em aplicações ferroviárias, marinhas, automotivas, torres de refrigeração, usinas
elétricas, entre outras. Algumas aplicações de destaque são as apresentadas a seguir.
Diferenciais, que transmitem torque a dois semieixos rotacionando em velocidades
diferentes.
26/11/24, 19:12 E-book
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O principal mecanismo de furadeiras manuais é acionado por engrenagens cônicas.
Conforme a manivela que pressiona a broca é girada na direção vertical, as engrenagens
cônicas mudam a rotação do mandril para uma rotação horizontal, possibilitando a furação.
Engrenagens cônicas espirais são componentes importantes em sistemas de propulsão de
aeronaves de asas rotativas, como um helicóptero, pois elas direcionam o movimento no
sentido vertical, a partir de um motor com um eixo horizontal, permitindo o rotor do
helicóptero girar.
A �m de resumir algumas das propriedades que as engrenagens cônicas possuem, o Quadro 2.1
mostra algumas das vantagens e desvantagens do uso de engrenagens cônicas:
Quadro 2.1 — Vantagens e desvantagens do uso de engrenagens cônicas
Fonte: Adaptado de Norton (2013) e Mott (2015).
#PraCegoVer: o quadro traz, na primeira coluna, algumas vantagens do uso de engrenagens
cônicas, sendo listadas: possibilidade de alteração no ângulo de operação, operação silenciosa
e com vibração reduzida e arranjo de engrenagens cônicas é compacto. A segunda coluna traz
algumas desvantagens do uso de engrenagens cônicas, sendo elas: exige montagem precisa,
os rolamentos nos eixos que carregam as engrenagens cônicas devem suportar forças
elevadas e a e�ciência é reduzida em comparação com engrenagens cilíndricas de dentes
retos.
Podemos deduzir que a alteração no ângulo de operação é uma das principais características das
engrenagens cônicas. Mais adiante, você vai aprender a realizar seu dimensionamento, bem como
entender mais a fundo a geometria dessas engrenagens e de seu engrenamento.
Vantagens Desvantagens
Possibilidade de alteração no ângulo de
operação.
Exige montagem precisa.
Operação silenciosa e com vibração reduzida.
Os rolamentos nos eixos que carregam as
engrenagens cônicas devem suportar forças
elevadas.
O arranjo de engrenagens cônicas é
compacto.
A e�ciência é reduzida em comparação com
engrenagens cilíndricas de dentes retos.
26/11/24, 19:12 E-book
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Material
Complementar
V Í D E O
“Helical vs. Straight Cut Gears” (“Engrenagens
Helicoidais vs. Retas”, em tradução livre)
Ano: 2018
Comentário: O vídeo é proveniente do canal Donut Media, que possui uma
linguagem bastante informal e trata de diversos assuntos. No vídeo
indicado, os apresentadores falam sobre as engrenagens de dentes retos e
helicoidais, fazendo algumas comparações que vimos ao longo da unidade,
além de ressaltar o fato de que engrenagens helicoidais são usadas em
automóveis comercializados, enquanto as engrenagens de dentes retos são
usadas em carros de corrida.
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26/11/24, 19:12 E-book
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L I V R O
Fundamentos do Projeto de Componentes de
Máquinas
Editora: LTC
Ano: 2016
Autores: Robert C. Juvinall e Kurt M. Marshek
ISBN: 978-8521630098
Comentário: Trata-se de um livro muito interessante que, apesar de trazer
uma abordagem similar aos temas tratados nesta unidade, mostra exemplos
resolvidos e exercícios que você pode resolver, a �m de aprimorar seus
conhecimentos. O livro, como outros da bibliogra�a básica da disciplina,
também traz os fundamentos do projeto para que você possa relembrar
conceitos vistos anteriormente.
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Conclusão
Caro(a) estudante, chegamos ao �m de mais uma unidade! Desta vez, você pôde compreender mais a
fundo alguns elementos de mecanismos, dentre eles, as engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais e
as engrenagens cônicas – mesmo que estas últimas apenas em partes. A partir de agora, você possui o
discernimento para escolher projetos mais e�cientes, optando por um tipo ou outro de engrenagem – em
função da aplicaçãoe de poder dimensioná-las com mais con�ança.
Você compreendeu que engrenagens helicoidais são utilizadas em aplicações que exigem um baixo nível
de ruído e de vibração, além de serem capazes de transmitir cargas altas – dois aspectos diferentes das
engrenagens de dentes retos. Você também pôde entender mais sobre as engrenagens cônicas e suas
aplicações. Até agora, já vimos muito conteúdo, mas, como você deve imaginar, o estudo dos elementos
de mecanismos ainda não terminou, e temos muitos tópicos aí pela frente. Bons estudos e até breve!
Referências
CURSOS pro�ssionalizantes - elementos de máquinas. Essel
Engenharia, [2021]. Disponível em:
https://essel.com.br/cursos/material/01/elementos.htm.
Acesso em: 29 ago. 2021.
HELICAL vs. straight cut gears. [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (10
min). Publicado pelo canal Donut Media. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=Zy4kYFWZ1_g. Acesso
em: 16 set. 2021.
JUVINALL, R. C.; MARSHEK, K. M. Fundamentos do projeto de componentes de máquinas. Rio de Janeiro:
LTC, 2016.
MOHAMMADKHANI, R.; NEMATI, D.; BABAEI, B. Optimizing helical gear pro�le for decreasing gearbox
noise. Journal of Basic and Applied Research International, [s. l.], n. 38, v. 2, p. 6.685-6.693, 2012.
Disponível em:
https://www.researchgate.net/publication/268505207_Optimizing_Helical_Gear_Pro�le_for_Decreasing_Gearbox_No
Acesso em: 16 set. 2021.
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MOTT, R. L.; VAVREK, E. M.; WANG, J. Machine elements in mechanical design. Nova Iorque: Pearson,
2018.
26/11/24, 19:12 E-book
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https://essel.com.br/cursos/material/01/elementos.htm
https://www.youtube.com/watch?v=Zy4kYFWZ1_g
https://www.researchgate.net/publication/268505207_Optimizing_Helical_Gear_Profile_for_Decreasing_Gearbox_Noise
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. Porto Alegre: Bookman, 2013.
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