Unidade_III

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Chagas – DEE / UFCG 
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UNIDADE III 
CIRCUITOS COM ACOPLAMENTOS MAGNÉTICOS 
 
1. Introdução 
Estuda-se neste capítulo elementos de acoplamento magnético e circuitos que contêm esses 
elementos. Ao contrário dos resistores, capacitores e indutores não acoplados, tais dispositivos 
não possuem uma característica que possa ser associada a um só elemento físico, pois o 
acoplamento magnético resulta do compartilhamento das linhas de indução entre dois ou mais 
indutores fisicamente próximos. 
O estudo dos circuitos magneticamente acoplados serve de base para a teoria de máquinas 
elétricas, transformadores e demais equipamentos magnetelétricos. 
2. Revisão de Conceitos Fundamentais 
2.1 Fluxo de Enlace 
Fluxo de enlace ou fluxo concatenado em um enrolamento é o produto do número de 
espiras desse enrolamento, N, pelo fluxo Φ que efetivamente o atravessa, ou seja: 
Φ=λ N (3.1) 
No sistema internacional de unidades, λ é medido em Weber - espiras (Wb - t). 
Nos casos reais, o fluxo Φ sofre dispersão, ou seja, não é enlaçado por todas as espiras do 
enrolamento. Assim, diferentes fluxos, Φ1, Φ2, ...,Φn, podem ser enlaçados por diferentes 
espiras, sendo o fluxo de enlace dado por: 
nnNNN Φ+Φ++Φ=λ 2211 ... (3.2) 
São mostradas na Fig. 3.1 oito linhas de fluxo que atravessam uma bobina de cinco espiras, 
onde se supõe que cada linha corresponde a 1 Wb. 
 
Fig. 3.1. Linhas de fluxo que atravessam uma bobina. 
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Duas dessas linhas atravessam apenas uma espira, contribuindo com um fluxo concatenado 
de 2 Wb-espiras. Outras duas linhas atravessam três espiras, contribuindo com 6 Wb-espiras. 
As quatro linhas restantes atravessam todas as cinco espiras, contribuindo com 20 Wb-espiras. 
Assim, o fluxo concatenado total é de 28 Wb-espiras. 
Se todas as linhas de fluxo atravessassem todas as espiras do enrolamento, o fluxo conca-
tenado total seria de 8 Wb x 5 espiras = 40 Wb - espiras. Da equação (3.4), conclui-se que o 
efeito de dispersão do fluxo tende a reduzir a indutância própria da bobina. Este fato é evitado 
no projeto de equipamentos através da uniformização e redução do passo dos enrolamentos, 
dispostos em camadas, e da utilização de núcleos magnéticos constituídos por materiais de alta 
permeabilidade, de modo a minimizar a dispersão das linhas de fluxo, como mostra a Fig. 3.2. S 
é a área de seção reta e l é o comprimento médio da trajetória do fluxo magnético no núcleo. 
 
Fig. 3.2. Indutor com núcleo de material magnético. 
2.2 Indutância Própria 
A lei de Faraday estabelece que uma variação de λ implica em uma força eletromotriz auto-
induzida nos terminais do enrolamento, v, dada por: 
dt
d
N
dt
Nd
dt
d
v
Φ
=
Φ
=
λ
=
)(
 (3.3) 
A equação (3.3) também pode ser escrita como: 
dt
id
di
d
dt
d
v
λ
=
λ
= (3.4) 
Se este enrolamento encontra-se em um meio não magnético, dλ / di é constante, ou seja: 
idi
d
L
λ
=
λ
= (3.5) 
L é definida como sendo a indutância própria do enrolamento. No sistema internacional de 
unidades, é medida em Henry (H). Assim, resulta a expressão: 
dt
id
Lv= (3.6) 
A relação entre a densidade de fluxo ou indução magnética, B, e o campo magnético H é 
definida como sendo a permeabilidade magnética do material, µ: 
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H
B
=µ (3.7) 
Pode-se também escrever: 
BSNN =Φ=λ (3.8) 
Pela lei circuital de Ampére, tem-se: 
H
N
l
iiN =∴=∫ dlH . (3.9) 
O produto N i é denominado força magnetomotriz, medida em Ampéres - espiras. 
Assim, de (3.5), (3.7), (3.8) e (3.9), resulta: 
l
SN
L
2
µ= (3.10) 
Vê-se que a indutância própria é um parâmetro que depende apenas das dimensões 
geométricas da bobina e do núcleo (área de seção reta e comprimento), número de espiras e 
permeabilidade do material magnético. 
No projeto de um indutor, quando se quer aumentar L através do aumento da seção reta do 
núcleo e do número de espiras, encontram-se restrições em relação a tamanho e custo. Outra 
restrição é relacionada à permeabilidade do material do núcleo. Os materiais magnéticos 
encontrados na natureza apresentam a propriedade da saturação, a qual se manifesta do modo 
indicado na Fig. 3.3. Ao magnetizar o material da curva b a partir do estado de 
desmagnetização total, observa-se que o modo de variação da indução, B, em função do campo 
magnético aplicado, H, somente pode ser considerado linear até o ponto P1. A partir deste 
ponto, µ cai bruscamente. Isto ocorre com uma liga ferro-silício ou uma liga amorfa, por 
exemplo. Na mesma figura também é mostrada a curva de magnetização B - H de um material 
não magnético (curva a), como o ar. Pelas equações (3.8) e (3.9), deduz-se que a curva de 
magnetização λ - i de um indutor apresenta-se semelhante à curva B - H. 
 
Fig. 3.3. ( a ) Material não-magnético; ( b ) material magnético. 
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Assim, além de certo valor de campo aplicado (ponto P2), são necessários incrementos cada 
vez maiores de H (ou de i) para uma mesma variação de B (ou de λ). Isto implica em variações 
muito acentuadas nos valores da permeabilidade µ e para a indutância L. Este fato leva a 
definir permeabilidade diferencial e indutância diferencial através das seguintes expressões: 
dH
dB
H =µ )( (3.11) 
di
d
iL
λ
=)( (3.12) 
As expressões (3.11) e (3.12) correspondem, respectivamente, às inclinações das curvas B - 
H e λ - i, as quais se reduzem significativamente à medida que H e i aumentam. 
Neste capítulo somente serão considerados os indutores lineares. 
2.3 Indutância Própria e Energia Armazenada 
Considera-se que a bobina da Fig. 3.4 possui resistência R e indutância L. Fechando a chave 
em t = 0, com i(0) = 0 e λ(0) = 0, pode-se escrever: 
dt
d
iRv
λ
+= (3.13) 
 
Fig. 3.4. Energização de uma bobina de resistência R e indutância L. 
O termo e = dλ/dt corresponde à força eletromotriz auto-induzida na bobina (também 
denominada força contra-eletromotriz), a qual possui uma polaridade determinada pela lei de 
Lenz. Assim, a força eletromotriz auto-induzida manifesta-se de forma tal a produzir um fluxo 
magnético que tende a contrariar as variações do fluxo associado à corrente imposta pela 
fonte. Se i está crescendo, o sentido de e estabelece-se de modo que o terminal superior da 
bobina da Fig. 3.4 apresenta sinal positivo e o terminal inferior apresenta sinal negativo. Se i 
está decrescendo, os sinais apresentam-se invertidos. Multiplicando ambos os membros de 
(3.13) por i dt: 
λ+= didtiRdtiv 2 (3.14) 
Considerando o período dt, o termo v i dt é a energia fornecida ao circuito pela fonte, o 
termo R i
2 dt é a energia dissipada pelo resistor e i dλ é a energia dWm armazenada no campo 
magnético da bobina isolada, estacionária e não deformável, ou seja: 
λ= didWm (3.15) 
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A energia total armazenada é dada por: 
∫ λ=
m
diWm
λ
0
 (3.16) 
Se o meio não contém materiais ferromagnéticos, L é constante. Como λ = L i, tem-se: 
∫ ==
I
m ILdiiLW
0
2
2
1
 (3.17) 
onde I é a corrente de regime permanente do circuito. 
3. Indutância Mútua 
3.1 Definição 
A Fig. 3.5 mostra duas bobinas próximas, 1 e 2, sendo a bobina 1 percorrida por uma 
corrente variável i1, de modo a se estabelecer um fluxo magnético Φ1, o qual possui duas 
componentes: Φd1, que atravessa apenas a bobina 1, e Φm1, que atravessa as bobinas 1 e 2. Φd1 
e Φm1 são denominados, respectivamente, fluxo de dispersão e fluxo de acoplamento. Supõe-se 
inicialmente a bobina 2 em aberto. 
 
Fig. 3.5. Bobinas magneticamenteacopladas. 
Sendo Φ1 = Φm1 + Φd1, os fluxos de enlace nas bobinas 1 e 2, produzidos por i1, são: 
11111 iLN =Φ=λ (3.18) 
112121 iMN mm =Φ=λ (3.19) 
O coeficiente de proporcionalidade M12 é denominado indutância mútua. Como no caso da 
indutância própria, ela depende da permeabilidade magnética do meio e das dimensões 
geométricas das bobinas. Além disso, M12 depende do posicionamento relativo das bobinas. No 
Sistema Internacional de Unidades, a indutância mútua é expressa em Henrys (H). 
3.2 Indutância Mútua e Energia Armazenada 
Considerando duas bobinas estacionárias e magneticamente acopladas, colocadas num meio 
de permeabilidade constante, supõe-se o seguinte procedimento: 
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a ) Liga-se uma fonte à bobina 1, aumentando-se a corrente i1, de 0 a I1, com a bobina 2 em 
aberto; após isto, com I1 mantida constante, liga-se outra fonte à bobina 2, aumentando-
se a corrente i2 de 0 a I2. 
b ) Liga-se a fonte à bobina 2, aumentando-se a corrente i2, de 0 a I2, com a bobina 1 em 
aberto; após isto, com I2 mantida constante, liga-se outra fonte à bobina 1, aumentando-
se a corrente i2 de 0 a I1. 
No procedimento ( a ), a energia armazenada na bobina 1 devido ao aumento de i1 é: 
∫∫ ==λ
λ 1
'
1
0
2
11111
0
11
2
1
)(
I
ILiLdidi (3.20) 
Como a corrente na bobina 2 cresce de 0 a I2, com I1 mantida constante, ambas as bobinas 
armazenarão energia. A energia armazenada na bobina 2 face ao aumento de i2 é: 
∫
λ
λ
'
2
0
22 di 
Caso os fluxos de enlace estejam no mesmo sentido ou em oposição, tem-se: 
112222 IMiL ±=λ (3.21) 
Como I1 é constante, pode-se escrever: 
222 diLd =λ (3.22) 
Logo, a energia armazenada na bobina 2 é: 
∫∫ ==λ
2
'
2
0
2
22222
0
22
2
1
)(
I
ILiLdidi
λ
 (3.23) 
Para os fluxos de enlace no mesmo sentido ou em oposição, tem-se para λ1: 
221111 iMIL ±=λ (3.24) 
2211 diMd ±=λ (3.25) 
A energia armazenada na bobina 1 devido ao aumento de i2 é: 
∫∫ ±=±=λ
λ 2
''
1
0
21212211
0
11 )(
I
IIMdiMIdI (3.26) 
A energia total armazenada nas duas bobinas, Wm, após o procedimento ( a ) é dada pela 
soma de (3.20), (3.23) e (3.26), ou seja: 
2121
2
22
2
11
2
1
2
1
IIMILILWm ±+= (3.27) 
Obviamente, se for realizado o procedimento ( b ), a energia total armazenada resultará em: 
2112
2
22
2
11
'
2
1
2
1
IIMILILWm ±+= (3.28) 
É fácil entender que Wm
’, pois a quantidade total de energia armazenada no campo 
magnético do sistema independe da ordem segundo a qual as correntes são incrementadas. 
Assim, resulta: 
2112 MM = (3.29) 
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4. Coeficiente de Acoplamento 
No circuito da Fig. 3.6, Φm1 e Φ m2 são os fluxos de acoplamento das bobinas 1 e 2. Φd1 e Φd2 
são os fluxos de dispersão. Considerando i2 = 0, a tensão induzida na bobina 2 é dada por: 
dt
d
Nv m1
22
Φ
= (3.30) 
Da expressão (3.19), N2 Φm1 = M12 i1; assim: 
dt
id
Mv 1
2 = (3.31) 
 
Fig. 3.6. Bobinas magneticamente acopladas. 
Igualando (3.30) e (3.31): 
1
1
2
di
d
NM mΦ
= (3.32) 
Se as bobinas se encontram em um meio onde não ocorre saturação magnética, pode-se 
considerar que Φm1 varia linearmente com i1; assim: 
1
1
2
i
NM mΦ
= (3.33) 
Considerando agora i1 = 0 e uma corrente i2 circulando na bobina 2, o fluxo criado por esta 
bobina que atravessa a bobina 1 está associado à indutância mútua M, dada por: 
2
2
1
i
NM mΦ
= (3.34) 
Define-se coeficiente de acoplamento entre as bobinas 1 e 2 como sendo a relação entre o 
fluxo compartilhado pelas duas bobinas e o fluxo produzido por cada uma delas, ou seja: 
2
2
1
1
Φ
Φ
=
Φ
Φ
= mmk (3.35) 
Por outro lado: 
111 dm Φ+Φ=Φ (3.36) 
222 dm Φ+Φ=Φ (3.37) 
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Como Φm1 ≤ Φ1 e Φm2 ≤ Φ2, conclui-se que 0 ≤ k ≤ 1. Multiplicando membro a membro (3.33) 
e (3.34), obtém-se: 
11
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2 LLk
i
N
i
Nk
i
k
N
i
k
N
i
N
i
NM mm =




 Φ





 Φ
=




 Φ





 Φ
=




 Φ





 Φ
=
 
(3.38) 
21 LLkM = (3.39) 
5. Polaridades dos Enrolamentos 
5.1 Corrente Induzida 
Na análise de circuitos contendo indutores acoplados magneticamente, é indispensável que 
se tenha informação acerca dos sentidos dos enrolamentos dos indutores, uma vez que isto 
influi diretamente nas polaridades das tensões associadas ao fenômeno da indução mútua. 
A Fig. 3.7(a) mostra o enrolamento 1 ligado a uma fonte e o enrolamento 2 ligado a uma 
carga passiva. A corrente i1 é suposta crescente no sentido indicado. O efeito produzido na 
bobina 1 consiste no surgimento de uma tensão v1 associada à indutância própria. Conforme foi 
visto anteriormente, esta tensão, denominada força eletromotriz auto-induzida, apresenta um 
sentido determinado pela lei de Lenz, estabelecendo-se de forma a se opor ao aumento de i1. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 3.7. Influência dos sentidos dos enrolamentos nos sinais das tensões induzidas. 
O fluxo crescente Φ1, associado a i1, também atravessa a bobina 2, produzindo, pela lei de 
Lenz, um fluxo Φ2 cujo sentido é tal que se opõe ao crescimento de Φ1. Se os terminais da 
bobina 2 não se acham em aberto, surgirá na mesma uma corrente i2 cujo sentido é 
determinado pela conhecida regra da mão direita. Esta corrente acha-se associada a uma 
tensão induzida v2, com o sentido indicado em (a). A tensão v2 é chamada força eletromotriz 
induzida, sendo causada pela indutância mútua entre as duas bobinas. 
Na Fig. 3.7(b), o sentido do enrolamento 2 é oposto ao enrolamento 2 da Fig. 3.7(a). 
Supondo i1 crescendo no sentido indicado e usando o raciocínio descrito anteriormente, 
conclui-se que o sentido da força eletromotriz induzida v2 é oposto ao mostrado na Fig. 3.7(a). 
Entretanto, não é prático representar os circuitos mostrando os sentidos dos enrolamentos, 
uma vez que isto implica em detalhes que sobrecarregam os diagramas. Para contornar o 
problema, as são utilizadas as representações simplificadas da Fig. 3.8, mostradas a seguir. 
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73 
 
Tais simplificações consistem no seguinte: dois terminais de um par de bobinas 
magneticamente acopladas que apresentam mesma polaridade devem ser marcados com um 
ponto. Esses terminais de mesma polaridade são ditos correspondentes. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 3.8. Representação simplificada das polaridades relativas dos enrolamentos. 
5.2 Correntes Impostas por Fontes em Ambos os Enrolamentos 
Em relação à Fig. 3.7, considerando os terminais de mesma polaridade já identificados com 
pontos, supõe-se que ambos os enrolamentos são agora percorridos com correntes impostas 
por fontes externas, com os sentidos indicados na Fig. 3.9. 
 
Fig. 3.9. Determinação dos sentidos dos fluxos produzidos por correntes de diferentes sentidos. 
Neste caso, os sentidos das correntes no enrolamento 2 já não dependem do fenômeno de 
indução mútua, mas das polaridades das fontes. Para os sentidos das correntes nos 
enrolamentos, os sentidos dos fluxos por elas produzidos são determinados através da regra da 
mão direita. Assim, constata-se o seguinte fato: 
• Quando ambas as correntes entram ou saem nos terminais de mesma polaridade, elas 
criam fluxos no mesmo sentido. 
• Quando uma corrente entra num terminal com ponto e a outra sai, os fluxos são opostos. 
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5.3 Teste de Polaridade – Método do Golpe Indutivo 
Uma formasimples de determinar em laboratório as polaridades dos enrolamentos consiste 
na utilização da montagem da Fig. 3.10, seguindo-se o procedimento descrito a seguir. 
• Marca-se um ponto no lado superior do enrolamento primário. No enrolamento secun-
dário, liga-se um voltímetro CC (preferencialmente, do tipo com escala de zero central). 
• Fecha-se a chave e observa-se o sentido de deslocamento do ponteiro. Se o sentido for 
horário, o ponto no enrolamento secundário é marcado no terminal ligado ao borne positivo 
do voltímetro; caso contrário, o ponto é marcado no terminal ligado ao borne negativo. 
 
Fig. 3.10. Montagem para determinação de polaridades (método do golpe indutivo). 
6. Circuitos com Acoplamento Elétrico e Magnético 
6.1 Considerações Gerais 
Até aqui, somente foram considerados indutores com acoplamento puramente magnético. A 
partir de agora serão também considerados indutores eletricamente acoplados. Inicialmente, 
são consideradas ligações de dois indutores em série e em paralelo. Posteriormente, serão 
analisadas configurações mais gerais, as quais incluem resistores e capacitores. 
O funcionamento em regime permanente senoidal permite o emprego da análise fasorial. 
Assim, as expressões v = L di / dt e v = M di / dt serão substituídas por V = j ω L I e V = j ω M I, 
sendo j ω L e j ω M as reatâncias própria e mútua, respectivamente. 
6.2 Indutores em Série 
Dois indutores magneticamente acoplados e ligados em série são mostrados na Fig. 3.11. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 3.11. Indutores magneticamente acoplados ligados em série. 
Para as configurações ( a ) e ( b ), tem-se, respectivamente: 
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IV )( 21 MjLjMjLj ωωωω ±+±= (3.40) 
)2( 21 MLLjI/ ±+== ωVZ (3.41) 
Isto sugere que, para os casos ( a ) e ( b ), as indutâncias equivalentes são, respectivamente: 
MLLL 221 ++= (3.42) 
MLLL 221 −+= (3.43) 
6.3 Indutores em Paralelo 
O problema agora é determinar um indutor equivalente à associação de dois indutores em 
paralelo. A Fig. 3.12 mostra duas situações possíveis. 
 
 ( a ) ( b ) 
Fig. 3.12. Indutores magneticamente acoplados ligados em paralelo. 
Aplicando a lei de de Kirchhoff das malhas no circuito da Fig. 3.12 (a): 
2211 )( IIIV MjLj ωω +−= (3.44) 
)()(0 12222121 IIIIII −−+−−= MjLjMjLj ωωωω (3.45) 
Rearranjando os termos e colocando em forma matricial: 












−++−
+−
=





2
1
211
11
)2()(
)(
0 I
IV
MLLjMLj
MLjLj
ωω
ωω
 (3.46) 
Pela regra de Cramer: 






−++−
+−






−+
+−
=
)2()(
)(
)2(0
)(
211
11
21
1
1
MLLjMLj
MLjLj
MLLj
MLj
ωω
ωω
ω
ωV
I (3.47) 
VI
)(
)2(
2
21
21
1
MLLj
MLL
−
−+
=
ω
 (3.48) 
A impedância vista dos terminais da fonte é: 
)2(
)(
21
2
21
1 MLL
MLL
j
−+
−
== ω
I
V
Z (3.49) 
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A indutância equivalente da associação é dada por: 
)2(
)(
21
2
21
MLL
MLL
L
−+
−
= (3.50) 
Uma análise semelhante em relação à Fig. 3.12 ( b ) fornece: 
)2(
)(
21
2
21
MLL
MLL
L
++
−
= (3.51) 
Exemplo 1 - No circuito da Fig. 3.13, pede-se que se faça a marcação das polaridades dos 
indutores com pontos, bem como o cálculo da tensão sobre o capacitor. 
 
Fig. 3.13. Circuito do Exemplo 1. 
Solução - Considera-se a corrente penetrando no terminal superior da bobina esquerda e 
coloca-se aí um ponto. Pela regra da mão direita, o sentido do fluxo correspondente é de baixo 
para cima. Considera-se agora o fluxo produzido pela corrente da bobina da direita orientado 
de cima para baixo, no mesmo sentido do fluxo anterior. Para que isso ocorra, a corrente nesta 
bobina tem de penetrar no terminal superior. Logo, esse terminal deve também ser marcado 
com um ponto, pois, conforme foi anteriormente afirmado, se as correntes entram ambas em 
terminais correspondentes, elas produzem fluxos no mesmo sentido. Assim, o circuito é 
redesenhado como mostra a Fig. 3.14. 
 
Fig. 3.14. Circuito redesenhado do Exemplo 1. 
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77 
 
Convencionando as correntes de malha como o indicado e aplicando a lei de Kirchhoff das 
malhas, obtém-se: 
1221 102)()55(10 IIII jjj −−++= 
)(2)55(2)()55(10-10 212221 IIIIII +−++−++= jjjjj 
Simplificando e colocando em forma de matriz: 






=











++
+−
10-10
10
61035
3555
2
1
jjj
jj
I
I
 
A primeira matriz desta equação (quadrada e simétrica) é denominada matriz impedância de 
malha. Aplicando a regra de Cramer e calculando VC: 
0114
1 01,1
61035
3555
6101010
3510
je
jj
jj
jj
j
=






++
+−






+−
+
=I 
024114
1 1,1001,11010
0 jj
C eexjj =−=−= IV 
Exemplo 2: No circuito da Fig. 3.15, determinar Z, de modo que haja máxima transferência 
de potência nos terminais AB. 
 
Fig. 3.15. Circuito do Exemplo 2. 
Solução - Inicialmente, será determinado o circuito equivalente de Thévenin da Fig. 3.16, 
visto dos terminais AB. 
 
Fig. 3.16. Circuito equivalente de Thévenin. 
A impedância ZT é dada por 
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N
T
I
V
ZT = 
A tensão VT é a tensão dos terminais AB em aberto, como é mostrado na Fig. 3.17. A 
corrente IN é a corrente em um curto-circuito nos terminais AB, como ilustra a Fig. 3.18. 
 
Fig. 3.17. Circuito com terminais AB em aberto. 
 
Fig. 3.18. Circuito com terminais AB em curto-circuito. 
Para o circuito da Fig. 3.17, são escritas as seguintes equações: 
IIIIIIIV )265(41010485 jjjjjj +=+++++= ∴ 
265 j+
=
V
I 
265
14
14410
j
j
jjjT +
==+=
V
IIIV 
Para o circuito da Fig. 3.18, tem-se: 
11111 4)(10)(485 IIIIIII V jjjj NN +−+−++= 
11 4)(100 III jj N −−= ∴ 
6450
14
j+
=
V
IN 
É importante observar nesta última equação que um curto-circuito nos terminais do indutor 
não implica em sua eliminação. Isto se deve ao fato de que há uma tensão induzida nos 
terminais do mesmo face ao efeito da indutância mútua. Simplificando e eliminando I1, resulta: 
09,62
06,3
)6450(/14
)265(14 j
N
T e
jj
jj
=
+
+
==
V
/V
I
V
ZT 
Chagas – DEE / UFCG 
79 
 
De acordo com o teorema da máxima transferência de potência, o valor da impedância Z 
para que haja máxima transferência de potência ativa para a carga é Z = Z*, ou seja: 
0
9,6206,3 j
e
−=Z 
Exemplo 3 - No circuito da Fig. 3.19, determinar o valor do coeficiente de acoplamento entre 
os indutores, sendo V = 20 V e 32 W a potência no resistor de 10 Ω. 
 
Fig. 3.19. Circuito do Exemplo 3. 
Solução - Escrevendo as equações de malha do circuito, obtém-se: 
1221 10)(820 IIII ++−= mXjj 
)(5)(80 122212 IIIIII −−+−−= mm XjjXjj 
Eliminando I2 , chega-se a 
θj
m
m e
IX
X
j
11
2
2020
213
)8(
810 ==





−
−
−+
I
 , θ > 0 
Para o módulo da corrente I1, tem-se: 
789,110/32/1 === RPI 
Das duas últimas expressões, pode-se tirar: 
055,26
789,1
20
10 =θ∴θ= cos 
555,26
789,1
20
213
)8(
8 0
2
==
−
−
− sen
X
X
m
m 
Isto resulta na seguinte equação: 
Ω=∴=+− 502510
2
mmm XXX 
O coeficiente de acoplamento k é: 
79,058/5 == xk 
Chagas – DEE / UFCG 
80 
 
7. Construção da Matriz Impedância de Malha por Inspeção 
No exemplo do item anterior, aplicou-se a lei de Kirchhoff para determinação das correntes 
de malha. A partir das mesmas, construiu-se uma equação matricial do tipo: 
[ ] [ ] [ ] )xm()xm()mxm( 11 VIZ = (3.52) 
onde m é o número de malhas consideradas. Na formação dessa equação devem ser 
considerados os acoplamentos magnéticos em indutores, o que constitui um fato novo. Neste 
item, a montagem de (3.52) será sistematizada de modo direto, sem a aplicação da lei de 
Kirchhoff das malhas. Para isto, adota-se o seguinte procedimento: 
a ) Determina-seo número de equações de malha necessárias e suficientes para a solução 
do problema, m, correspondente à dimensão da equação matricial, dado por: 
m = r - n + 1 (3.53) 
onde r é o número de ramos principais e n é o número de ramos principais do circuito. 
b ) Escolhe-se as malhas de acordo com os requisitos do problema e estabelece-se os 
sentidos das correntes Ik ( k = 1, ..., m ). O vetor [ I ] da equação (3.52) será formado por 
essas correntes. 
c ) O vetor [ V ] da equação (3.52) é formado pela soma algébrica das forças eletromotrizes 
do laço considerado, atribuindo-se sinal mais àquelas em que a corrente de malha sai do 
terminal positivo e sinal menos quando a referida corrente sai do terminal negativo. 
d ) A matriz quadrada e simétrica [ Z ] é denominada matriz impedância de malha; a mesma 
é formada do seguinte modo: 
• os elementos da diagonal principal, Zk j , k = j, são fomados pela soma simples das 
impedâncias próprias dos elementos existentes no laço mais a soma algébrica do dobro 
da reatância indutiva mútua de cada par de indutores que pertence a este laço. Nesta 
soma algébrica, o sinal de cada termo é determinado através da regra do ponto, 
considerando-se o sentido da corrente de malha. 
• os elementos não pertencentes à diagonal principal, Zk j , k ≠ j, são formados pela soma 
das impedâncias próprias dos elementos comuns aos laços j e k , tendo o valor desta 
soma sinal positivo se as correntes apresentarem mesmo sentido e sinal negativo em caso 
contrário, mais a soma algébrica das reatâncias indutivas mútuas de cada par de 
indutores formado por um indutor percorrido pela corrente Ij e um outro percorrido pela 
corrente Ik. Nesta soma algébrica, o sinal de cada termo é também determinado pela 
regra do ponto, considerando-se os sentidos de Ij e Ik. 
Exemplo 4 - No circuito da Fig. 3.14, determinar a equação matricial para o cálculo das 
correntes de malha, usando o método de montagem de [ Z ] por inspeção. 
Solução - aplicando o procedimento sugerido, tem-se: 
a ) Número de equações de malha: da equação (3.53), r = 3, n = 2 e m = 3 – 2 + 1 = 2. 
Chagas – DEE / UFCG 
81 
 
b ) As malhas e os sentidos das correntes são indicados na Fig. 3.14. 
c ) O vetor coluna V é: 
[ ] [ ] TT j 101010 −=V 
d ) A matriz Z é formada do seguinte modo: 
35255
610225555
551055 
2112
22
11
jjj
jjxjj
jjj
+=−+==
+=−+++=
−=−+=
ZZ
Z
Z
 
Isto resulta em: 






=











++
+−
10-10
10
61035
3555
2
1
jjj
jj
I
I
 
Exemplo 5 - No circuito da Fig. 3.20, determinar a equação matricial para o cálculo das 
correntes de malha, usando: (a) o método de montagem de das matrizes pela lei de Kirchhoff; 
(b) o método da inspeção. 
 
Fig. 3.20. Circuito do Exemplo 5. 
Solução - (a) Primeiro, emprega-se a lei de Kirchhoff. Para as três malhas, com os sentidos 
das correntes indicados, tem-se: 
)(32342)(3)(2410 32213221211 IIIIIIIIIII −+−+−−−+−+= jjjjjjjj 
3212332
121322132212
33)(34)(3
)(22)(323)(43)(20
IIIIIII
IIIIIIIIIIII
jjjjj
jjjjjjjj
−−−−+−−
−+−−−+−−++−=
 
)(34433)(35)(48 - 23213212323 IIIIIIIIIII −++−++−++−= jjjjjjjj 
Simplificando e colocando em notação matricial: 










=




















−
−
−−
8-
0 
10
1537
316
7612
3
2
1
I
I
I
jjj
jjj
jjj
 
A seguir, aplicando o método de montagem de Z por inspeção, tem-se: 
Chagas – DEE / UFCG 
82 
 
a ) Número de equações de malha: da equação (3.53), r = 3, n = 2 e m = 3 - 2 + 1 = 2. 
b ) As malhas e os sentidos das correntes são indicados na Fig. 3.20. 
c ) O vetor coluna V é: 
[ ] [ ]TT 8010 −=V 
d ) A matriz [ Z ] é formada segundo o algoritmo anteriormente descrito, ou seja: 
7340
334334
632232
153254
1323222432
123224 
1331
3223
2112
33
22
11
jjjj
jjjjjj
jjjjjj
jjxjj
jjxjxjxjjj
jjxjj
−=−−==
=−+++−==
−=+−−−−==
=++=
=−−+++=
=++=
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z
Z
 
Estes resultados coincidem com aqueles anteriormente obtidos. 
8. Circuitos Equivalentes sem Acoplamentos Magnéticos 
Em algumas aplicações, é necessário substituir circuitos magneticamente acoplados por 
equivalentes em que os componentes apresentem acoplamento puramente elétrico. Para o 
circuito da Fig. 3.21, pode-se escrever: 
12111 )( VII =−+ MjLjR ωω (3.54) 
21222 )( VII −=−+ MjLjR ωω (3.55) 
Em forma de matriz: 






−
=











+−
−+
2
1
2
1
22
11
V
V
I
I
LjRMj
MjLjR
ωω
ωω
 (3.56) 
 
Fig. 3.21. Indutores com acoplamento puramente magnético. 
Para o circuito da Fig. 3.22, sem acoplamentos magnéticos, tem-se: 
121111 )(])([ VI-II =+−+ MjMLjR ωω (3.57) 
212222 )(])([ VI-II −=+−+ MjMLjR ωω (3.58) 
 
Chagas – DEE / UFCG 
83 
 
 
Fig. 3.22. Circuito equivalente ao da Fig. 3.21, sem acoplamento magnético. 
Este par de equações também pode ser reduzido à equação matricial (3.56), indicando a 
equivalência dos circuitos da Fig. 3.21 e da Fig. 3.22. Obviamente, este segundo circuito só será 
fisicamente realizável se M 1 (verificar). Assim, tem-se Xm = 4 Ω. 
( b ) O circuito elétrico equivalente, com indutores sem acoplamento magnético, é mostrado 
na Fig. 3.24. É importante observar que, para o mesmo ser fisicamente realizável, é necessário 
que 0e em 
função da intensidade de campo (real e simplificada). Neste caso, considera-se que: 
a ) As resistências dos enrolamentos são muito pequenas, podendo ser consideradas nulas. 
b ) Os fluxos de dispersão nos enrolamentos são desprezíveis, ou seja, o coeficiente de 
acoplamento magnético k é igual a 1. 
c ) No caso real, as perdas no núcleo são proporcionais à área da curva característica B - H 
mostrada na Fig. 3.26 (b) (laço de histerese). Em corrente alternada, essas perdas 
compreendem não apenas as perdas por histerese, como também as perdas por 
correntes parasitas. No caso analisado, supõe-se nulas essas perdas, o que resulta na 
curva singular linearizada por partes da Fig. 3.26 (c). 
d ) A permeabilidade µ do núcleo ( inclinação da curva B - H ) é suposta infinita dentro da 
faixa de valores assumidos pela indução magnética B. Logo, se a região saturada da curva 
B - H não for alcançada (BmN2, sabendo que o núcleo é constituído de uma liga ferro-silício de grãos 
não orientados. 
Solução - Para o material considerado, pode-se considerar Bm = 1 Tesla; assim, tem-se: 
113
0,16010444,4
12
44,4 4
1
1 ≅== − xxxxBfS
V
N
m
 
Se o primário deve ter 113 espiras, o número de espiras do secundário é: 
espiras.251
45,0
1131
2 ≅==
a
N
N 
9.3 Considerações sobre Polaridades 
Com base nas convenções adotadas na análise de indutores magneticamente acoplados, são 
mostradas na Fig. 3.29 as regras para os sinais das tensões e das correntes nos transforma-
dores ideais. Essas regras são as seguintes: 
• Se as tensões dos enrolamentos, v1 e v2 , forem ambas positivas ou ambas negativas nos ter-
minais marcados com ponto, usa-se o sinal positivo na equação que relaciona as tensões 
com os números de espiras; caso contrário, usa-se o sinal negativo. 
• Se as correntes dos enrolamentos, i1 e i2 , entrarem ambas ou saírem ambas nos terminais 
marcados com ponto, usa-se o sinal negativo na equação que relaciona as correntes com os 
números de espiras; caso contrário, usa-se o sinal positivo. 
 
Fig. 3.29. Convenções para os sinais das tensões e das correntes nos transformadores. 
Chagas – DEE / UFCG 
90 
 
Os casos ( a ) e ( d ) representam o que se chama de polaridade aditiva. Foi visto que, se 
ambas as correntes entram ou saem dos terminais marcados, os fluxos em ambos os 
enrolamentos acham-se no mesmo sentido; assim, N1 I1 + N2 I2 = 0. Em ( b ) e ( c ), uma 
corrente entra e a outra sai dos terminais marcados, indicando que os fluxos são opostos, ou 
seja, N1 I1 - N2 I2 = 0. Neste caso, tem-se uma polaridade subtrativa. 
Exemplo 9 - Determinar a potência média associada à fonte de corrente senoidal do circuito 
da Fig. 3.30. 
 
Fig. 3.30. Circuito do Exemplo 9. 
Solução - Em circuitos que contêm transformadores ideais, é recomendável usar-se análise 
de malhas. A Fig. 3.31 mostra o circuito equivalente usado na solução do problema. 
 
Fig. 3.31. Circuito equivalente ao da Fig. 2.30. 
Para este circuito, são escritas as seguintes equações: 
)(2060300 2111 IIVI −++= 
22112 40)(200 I++−= VIII 
As outras duas equações necessárias à solução do problema correspondem às condições 
impostas pelo transformador ideal, as quais são: 
V2 = ( N2 / N1 ) V1 = ( 100 / 400 ) V1 = V1 / 4 
I2 = - ( N1 / N2 ) I1 = - ( 400 / 100 ) I1 = - 4 I1 
Com as quatro equações, determina-se as tensões e correntes: 
V1 = 260 V, V2 = 65 V, I1 = 0,24 A, I2 = -1,0 A. 
Chagas – DEE / UFCG 
91 
 
A tensão nos terminais da fonte de corrente é: 
V5A = V1 + 20 ( I1 – I2 ) = 260 + 20 x [ 0,25 – ( - 1 )] = 285 V. 
A convenção aqui adotada consiste em associar sinal positivo à potência fornecida pela 
fonte. Assim, a potência associada à fonte de corrente é: 
P5A = V5A I5A = 285 x 5 = 1425 W. 
Exemplo 10 - Calcular a relação de espiras do transformador da Fig. 3.32 para que se tenha a 
máxima potência dissipada no resistor de 400 Ω. 
 
Fig. 3.32. Circuito do Exemplo 9. 
Solução - Tomando o equivalente de Norton para a fonte, tem-se o circuito da Fig. 3.33, 
onde o transformador e a carga de 400 Ω são vistos como uma impedância Zeq. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 3.33. Circuito equivalente ao da Fig. 3.32. 
Para que haja máxima transferência de potência, deve-se ter Zeq = 14,4 kΩ; assim: 
I1 = 288 / ( 2 x 14,4 x 10
-3
 ) = 0,01 A 
Assim, para o transformador e a carga, tem-se o circuito reduzido da Fig. 3.34. 
 
Fig. 3.34. Circuito reduzido do Exemplo 9. 
Chagas – DEE / UFCG 
92 
 
Para a tensão de entrada do circuito e a corrente na carga, pode-se escrever: 
V1 + V2 = 288 / 2 = 144 V 
I1 + I2 = V2 / 400 
As relações de tensão e de corrente do transformador são: 
V1 / V2 = N1 / N2 = a ∴ ( V1 + V2 ) / V2= a +1 
I1 / I2 = N2 / N1 = 1 / a ∴ ( I1 + I2 ) / I1= a +1 
( V1 + V2 ) = ( a +1 ) V2 = 144 
( I1 + I2 ) = 0.01 ( a + 1 ) = V2 / 400 
Assim, são obtidas duas equações com duas variáveis, V2 e a. Eliminando V2, resulta: 
( a +1 )
2
 = 144 / ( 400 x 0.01 ) = 36 ∴ a = N1 / N2 = 5 
Exemplo 11 - Determinar o valor de RL no circuito da Fig. 2.37 para que a potência dissipada 
seja máxima. Determinar também o valor dessa potência. 
 
Fig. 3.35. Circuito do Exemplo 11. 
Solução - O resistor variável dissipará potência máxima quando RL = RTN, sendo RTN a impe-
dância equivalente do resto do circuito, vista dos terminais a que o resistor acha-se ligado 
(impedância de Thévenin). A mesma é igual a RTN = VT / IN, sendo VT e IN calculadas nos 
circuitos da Fig. 3.36. 
 
 ( a ) ( b ) 
Fig. 3.36. Circuitos usados nos cálculos de VT e de IN no Exemplo 11. 
Chagas – DEE / UFCG 
93 
 
O circuito da Fig. 3.36 ( a ) pode ainda ser simplificado, obtendo-se o circuito da Fig. 3.37. 
 
Fig. 3.37. Simplificação do circuito da Fig. 3.36 ( a ). 
I1 = 180 / [ 5 + 5 x ( 1 / 2 )
2
 ] = 28,8 A 
V1 = 180 - 5 x 28,8 = 36 V 
Do circuito da Fig. 3.36 ( a ): 
V2 = ( N2 / N1 ) x V1 = ( 200 / 100 ) x 36 = 72 V 
I2 = ( N1 / N2 ) x I1 = ( 100 / 200 ) x 28,8 = 14,4 A 
VT = Vab = 1 x 28,8 + 36 – 72 + 2 x 14,4 = 21,6 V 
Do circuito da Fig. 3.36 ( b ): 
180 = 4 I1’ + ( I1’ – IN ) + V1’ 
V2’ = 2 ( I2’ – IN ) + 3 I2’ 
-V1’ + (IN – I1’ ) + 2 (IN – I2’) + V2’ = 0 
V1’/V2’ = N1 / N2 = 1 / 2 
( I1’ – IN ) / ( I2’ – IN ) = N2 / N1 = 2 
Este sistema fornece IN = 10 A; logo: 
RL = RTN = VT / IN = 21,6 / 10 = 2,16 Ω 
A potência dissipada no resistor é: 
PL = ( VT / 2 )
2
 / RL = ( 21,6 / 2 )
2
 / 2,16 = 54 W 
10. Transformadores Especiais 
10.1 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos 
Esses transformadores são constituídos por um núcleo magnético em torno do qual há três 
ou mais enrolamentos. Em eletrônica, é comum se utilizar transformadores com um primário 
ligado a uma fonte e dois secundários alimentando cargas diferentes. Num sistema de 
distribuição de energia elétrica, um transformador pode ter o enrolamento primário energizado 
por uma linha de transmissão de alta tensão, enquanto o secundário é ligado a um alimentador 
de distribuição de média tensão, e um terceiro enrolamento (terciário) alimenta bancos de 
capacitores para correção do fator de potência ou um sistema de distribuição local. 
Chagas – DEE / UFCG 
94 
 
É mostrada na Fig. 3.38 a forma mais elementar de um transformador de três enrolamentos. 
Considerando uma permeabilidade igual a infinito no núcleo magnético e aplicando a lei 
circuital de Ampére, tem-se: 
0. 332211 =−−=∫ iNiNiNdlH (3.72) 
332211 iNiNiN += (3.73) 
 
 ( a ) ( b ) 
Fig. 3.38. ( a ) Transformador de três enrolamentos; ( b ) representação simplificada. 
Exemplo 12 - Um transformador de três enrolamentos apresenta os seguintes dados: 
• Primário: 300 kVA, 600 espiras. 
• Secundário: 150 kVA, 200 espiras. 
• Terciário: 200 kVA, 100 espiras. 
O secundário alimenta uma carga resistiva no limite de sua capacidade, com tensão de 12 
kV. O terciário alimenta um reator de indutância variável. Calcular a corrente no primário no 
caso em que o terciário opera em plena carga. 
Solução - Ajustando o reator até que o terciário esteja em plena carga, obtém-se: 
I3 = S3 / V3= S3 / [ (N3 / N2 ) V2 ] = 200 / [ (100/200) x 2 ] = 200 A 
I2 = S2 / V2= 150 / 2 = 75 A 
Assim, tem-se: 
321 100200600 III += 
250002000015000)200(10075200600100200600 22
1321 =+=−+==+= jxxII II 
I1 = 25000 / 600 = 41,7 A 
A corrente primária nominal é: 
I1N = S1N / V1N = S1N / [ (N1 / N2 ) V2N ] = 300 / [ (600 / 200) x 2 ] = 50 A 
Observa-se que, mesmo com o secundário e o terciário funcionam a plena carga, isto não 
ocorre com o primário. 
Chagas – DEE / UFCG 
95 
 
Uma observação importante: este tipo de transformador não deve ser confundido com o 
transformador com derivação (ou tape) central no secundário. Este último, mostrado na Fig. 
3.39, destina-se principalmente a fontes de alimentaçãousadas em circuitos eletrônicos que 
requerem tensões de polarização de + 15 V (CC) e -15 V (CC). Neste caso, as duas seções do 
enrolamento secundário são ligadas a uma ponte retificadora de onda completa. 
 
Fig. 3.39. ( a ) Transformador com derivação (ou tape) central no secundário; 
( b ) representação simplificada. 
10.2 Autotransformadores 
Considerando o transformador convencional da Fig. 3.40 ( a ), é suposto que o mesmo tenha 
seus enrolamentos ligados do modo indicado na Fig. 3.40 ( b ). 
 
( a ) 
 
( b ) 
Fig. 3.40. ( a ) Transformador convencional; ( b ) ligação como autotransformador. 
Chagas – DEE / UFCG 
96 
 
A característica mais notável de um transformador consiste no fato de que ele promove 
transferência de energia de uma região do espaço para outra sem necessidade de ligação 
elétrica. Este processo se realiza por meio de um campo magnético associado a linhas de fluxo 
que são compartilhadas pelos enrolamentos primário e secundário. 
A ligação da Fig. 3.40 ( b ) caracteriza um autotransformador. O mesmo é constituído por um 
transformador onde o enrolamento primário é dividido em duas seções, uma com N1 espiras e 
outra com N2 espiras., e o secundário composto pelo enrolamento de N2 espiras. Observa-se 
que, além do acoplamento magnético existente entre os enrolamentos, existe uma ligação 
metálica entre os mesmos. Assim, a diferença fundamental entre o autotransformador e o 
transformador convencional consiste no fato de que a energia é transferida de um enrolamento 
para o outro não apenas por um campo magnético, mas também por condução de eletricidade. 
Para o autotransformador, pode-se escrever: 
baa vvvv
dt
d
Nv −=−=
Φ
= 211 (3.74) 
bv
dt
d
Nv =
Φ
= 22 (3.75) 
Colocando (3.74) e (3.75) em termos de fasor e dividindo membro a membro, obtém-se: 
a
N
N
b
ba ==
−
2
1
V
VV
 (3.76) 
Assim, para as tensões, a relação de transformação é: 
a
N
N
b
a +=+= 11
2
1
V
V
 (3.77) 
Aplicando a lei circuital de Ampére no circuito da Fig. 3.40 ( b ): 
1
2
2
1
2211 0.
N
N
NN =∴=−=∫ I
I
IIdlH (3.78) 
Como I1 = Ia e I2 = Ib - I1 = Ib – Ia , obtém-se: 
1
2
N
N
ab
a =
− II
I
 (3.79) 
Assim, a relação de transformação de correntes do autotransformador é: 
1
1
1/
1
2121
2
+
=
+
=
+
=
aNNNN
N
b
a
I
I
 (3.80) 
Como as perdas nos enrolamentos e no núcleo do transformador convencional da Fig. 3.40 
(a) são consideradas nulas, pode-se escrever: 
**
IVIVS 2211 == (3.81) 
Para o autotransformador da Fig. 3.40 ( b ) pode-se escrever para as potências complexas no 
primário e no secundário: 
Chagas – DEE / UFCG 
97 
 
*****
a IVSIVIVIVVIVS 121211121 )( +=+=+== aa (3.82) 
a
****
b SIVSIVIVIIVIVS =+=+=+== 121222
*
212 )(bb (3.83) 
O termo V1 I1
*
 corresponde à parcela que é transmitida do primário para o secundário pelo 
efeito de acoplamento magnético (potência transformada). O termo V2 I1
*
 corresponde à 
parcela que é transmitida pelo efeito de condução elétrica magnético (potência transmitida). 
Dividindo (3.82) por S, resulta: 
1
1
111
1
2
11
12 >+=+=+=
aV
V
IV
IV
S
S
*
*
a (3.84) 
Conclui-se que o autotransformador é capaz de transmitir uma potência maior que o 
transformador convencional. Isto se deve ao fato de que o autotransformador transfere parte 
da potência de entrada por condução. Tal constatação permite dizer que, sob o ponto de vista 
de economia, é mais vantajoso usar o autotransformador. 
Para o mesmo valor de potência transmitida, o uso do autotransformador implica em menos 
ferro empregado no núcleo, uma vez que apenas parte dessa potência é transmitida por 
acoplamento magnético. Isto implica em redução de peso, tamanho e custo do núcleo. 
Consequentemente, as perdas por histerese e por correntes de Foucault são menores. 
As considerações anteriores suscitam a uma pergunta: apesar dessas vantagens 
apresentadas pelos autotransformadores, por que os transformadores isolados são mais 
usados? A resposta pode ser dada pela análise da Fig. 3.41. Se há abertura do circuito no ponto 
indicado (ação de arcos voltaicos no interior do tanque, por exemplo), ocorre aplicação de 
13800/√3 V no secundário, implicando em danos imediatos às cargas ligadas a este lado, bem 
como risco de vida para os usuários do sistema elétrico. 
 
Fig. 3.41 . Autotransformadorabaixador com abertura no enrolamento secundário. 
Isso faz com que os autotransformadores tenham sua aplicação limitada à interligação de 
sistemas que não apresentem tensões nominais significativamente diferentes. Nos sistemas 
elétricos de potência, eles são comumente empregados na interligação de redes de 230 kV e 
345 kV, ou de 345 kV e 500 kV, proporcionando mais economia que os transformadores 
convencionais. 
Revisor X
Lápis
Revisor X
Lápis
Chagas – DEE / UFCG 
98 
 
Outra desvantagem é que os surtos de tensão decorrentes de descargas atmosféricas ou 
operações de chaveamento propagam-se com mais facilidade através dos enrolamentos, face à 
ligação metálica entre os mesmos. 
É mostrada na Fig. 3.42 a forma de ligação de um autotransformador destinado a elevar a 
tensão. O seu equacionamento fica a cargo do leitor. 
 
( a ) ( b ) 
Fig. 3.42 . ( a ) Autotransformador elevador; ( b ) representação simplificada. 
Há também autotransformadores onde a tensão secundária pode ser variada de modo 
contínuo, como é o caso dos variadores de tensão ou variacs. Esses dispositivos apresentam 
pequenas potências (normalmente, até 10 kVA). São usados em aplicações de laboratório (mais 
frequentemente, para acionamento de máquinas elétricas). Como é mostrado na Fig. 3.43, eles 
possuem núcleo de forma toroidal, em torno do qual desliza uma escova de carvão. 
 
Fig. 3.43. Autotransformador de saída variável (variac). 
Assim, o número de espiras pode ser alterado, funcionando como elemento abaixador ou 
elevador de tensão. 
Exemplo 13 - ( a ) Mostrar que a impedância vista dos terminais a – b do circuito da Fig. 3.44 
é dada por: Lab a ZZ
2)1( += . ( b ) Mostrar que se a polaridade de um dos enrolamentos for 
invertida, tem-se Lab a ZZ
2)1( −= , onde a = 21 / NN . 
Chagas – DEE / UFCG 
99 
 
 
Fig. 3.44. Circuito do Exemplo 13. 
Solução: ( a ) Para a impedância vista do secundário, pode-se escrever: 
21
22
II
V
I
V
ZL +
==
L
 
Para a impedância vista do primário, Zab: 
1
2
1
22
1
21
)1(
I
V
I
VV
I
VV
Zab a
a
+=
+
=
+
= 
Pode-se ainda escrever: 
LL Z
I
V
I
V
II
V
II
V
Z )1(
1
1
1
2
1
2
11
2
21
2
a
aa
+=∴
+
=
+
=
+
= 
Assim, resulta: 
Lab ZZ
2
)1( a+= 
( b ) Invertendo-se a polaridade do enrolamento 2, tem-se: 
21
22
II
V
I
V
ZL +
==
L
 
1
2
1
22
1
21
)1(
I
V
I
VV
I
VV
Zab a
a
−=
+−
=
+
= 
LL Z
I
V
I
V
II
V
II
V
Z )1(
1
1
1
2
1
2
11
2
21
2
a
aa
−=∴
−
=
−
=
+
=
 
Assim, a impedância vista do lado do primário é: 
Lab ZZ
2
)1( a−=
 
 
Chagas – DEE / UFCG 
100 
 
Exemplo 14 - ( a ) Calcular a relação de espiras do autotransformador do Exemplo 10, utili-
zando agora o método de reflexão de impedâncias. 
Solução - Tomando o equivalente de Norton para a fonte, tem-se o circuito da Fig. 3.33 ( b ), 
onde o transformador e a carga de 400 Ω são vistos como uma impedância Zeq, dada por: 
36400/14400)1()1(400 22 ==+∴+= aaeqZ
 
a = 5 
 
Bibliografia 
[ 1 ] Bessonov, L. Applied Electricity for Engineers, 2 nd. ed, MIR Publishers, Moscou, 1973. 
[ 2 ] Desoer, C. A.; Kuh, E. S. Basic Circuit Theory, McGraw-Hill, 1969. 
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Brasil, 1975. 
[5 ] Kinariwala, B.; Kuo, F. F.; Tsao, N. Linear Circuits and Computation, John Wiley, 1973. 
[ 6 ] M.I.T. Magnetic Circuits and Transformers, The M.I.T. Press, 1943. 
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nas – Vol. 1, LTC / EDUSP, Rio de Janeiro, 1974.