Convers__o_de_energia

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<p>Guilherme Henrique Alves</p><p>Conversão de energia</p><p>Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube</p><p>Alves, Guilherme Henrique.</p><p>A87c Conversão de energia / Guilherme Henrique Alves –</p><p>Uberaba-MG: Universidade de Uberaba, 2018.</p><p>164 p. il : color.</p><p>Programa de Educação a Distância – Universidade de</p><p>Uberaba.</p><p>Inclui	bibliografia.</p><p>ISBN 978-85-7777-786-0</p><p>1. Energia elétrica – Conversão. 2. Circuitos magnéticos.</p><p>3. Transformadores elétricos. I. Universidade de Uberaba.</p><p>Programa de Educação a Distância. II. Título.</p><p>CDD: 621.3</p><p>© 2018 by Universidade de Uberaba</p><p>Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser</p><p>reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico</p><p>ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de</p><p>armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito,</p><p>da Universidade de Uberaba.</p><p>Universidade de Uberaba</p><p>Reitor</p><p>Marcelo Palmério</p><p>Pró-Reitor de Educação a Distância</p><p>Fernando César Marra e Silva</p><p>Coordenação de Graduação a Distância</p><p>Sílvia Denise dos Santos Bisinotto</p><p>Editoração e Arte</p><p>Produção de Materiais Didáticos-Uniube</p><p>Editoração</p><p>Stela Maria Queiroz Dias</p><p>Revisão textual</p><p>Érika Fabiana Mendes Salvador</p><p>Márcia Regina Pires</p><p>Diagramação</p><p>Douglas Silva Ribeiro</p><p>Projeto da capa</p><p>Agência Experimental Portfólio</p><p>Edição</p><p>Universidade de Uberaba</p><p>Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário</p><p>Guilherme Henrique Alves</p><p>Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia</p><p>(UFU), graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade de Uberaba</p><p>(Uniube), professor do curso de Engenharia Elétrica da Universidade de</p><p>Uberaba (Uniube). Tem experiência nas áreas de conversão de energia</p><p>e máquinas elétricas.</p><p>Sobre o autor</p><p>Sumário</p><p>Apresentação .............................................................................................................VII</p><p>Capítulo 1 Circuitos magnéticos ............................................................1</p><p>1.1 Indutor ...................................................................................................................... 2</p><p>1.2 Fluxo magnético e o estado de carga do indutor .................................................... 4</p><p>1.3 Curva característica do indutor ................................................................................ 7</p><p>1.4 Energia e coenergia magnéticas ............................................................................. 9</p><p>1.5 Coenergia magnética ............................................................................................. 12</p><p>1.6 Indutores lineares e não lineares........................................................................... 14</p><p>1.7 Indutor linearizado ................................................................................................. 18</p><p>1.8 Campos magnéticos .............................................................................................. 18</p><p>1.9 Linhas de campos magnéticos .............................................................................. 20</p><p>1.10 Campo magnético e ímãs permanentes ............................................................. 23</p><p>1.10.1 Campo magnético de ímãs permanentes .................................................. 23</p><p>1.11 Campo magnético e correntes elétricas .............................................................. 24</p><p>1.11.1 Campos magnéticos devido ao movimento de cargas ou correntes</p><p>elétricas ...................................................................................................... 24</p><p>1.11.2 Unidades de medida utilizadas .................................................................. 26</p><p>1.11.3 Lei de Hopkinson: a analogia com a Lei de Ohm ...................................... 31</p><p>1.11.4 Perdas no núcleo........................................................................................ 35</p><p>1.12 Circuito magnético ............................................................................................... 35</p><p>1.13 Operação em corrente alternada ......................................................................... 43</p><p>1.13.1 Perdas por correntes de Foucault ............................................................. 44</p><p>1.13.2 Perdas por histerese .................................................................................. 44</p><p>1.13.3 Perdas por frangeamento .......................................................................... 45</p><p>1.14 Fator laminação ................................................................................................... 46</p><p>Capítulo 2 Transformadores ................................................................53</p><p>2.1 Tensão induzida ..................................................................................................... 54</p><p>2.2 Fator de acoplamento ............................................................................................ 56</p><p>2.3 Indutância mútua em função das indutâncias próprias ......................................... 57</p><p>2.4 Ligação série de indutores ..................................................................................... 58</p><p>2.5 Convenção dos pontos .......................................................................................... 62</p><p>2.6 Transformadores .................................................................................................... 63</p><p>2.7 Relação entre tensão do primário e do secundário .............................................. 64</p><p>2.8 Relação entre corrente do primário e do secundário ............................................ 68</p><p>2.9	Impedância	refletida ............................................................................................... 71</p><p>2.10 Potência ............................................................................................................... 73</p><p>2.11 Autotransformadores ............................................................................................ 74</p><p>2.12 Circuito equivalente de um transformador .......................................................... 75</p><p>2.13 Parâmetros do circuito equivalente ..................................................................... 77</p><p>2.13.1 Ensaio a vazio .............................................................................................77</p><p>2.13.2 Ensaio em curto-circuito ..............................................................................78</p><p>2.14 Indutores acoplados e indutância mútua ............................................................. 83</p><p>2.15 O núcleo de ferro de um transformador ............................................................. 89</p><p>Capítulo 3	Circuito	equivalente	simplificado	e	transformadores</p><p>trifásicos .............................................................................97</p><p>3.1	Circuito	equivalente	simplificado ........................................................................... 99</p><p>3.2 Transformador com carga resistiva ..................................................................... 102</p><p>3.3 Transformador com carga indutiva ...................................................................... 106</p><p>3.4 Regulação de tensão em transformadores de potência ..................................... 109</p><p>3.5 Regulação de tensão com dados do ensaio em curto-circuito ........................... 117</p><p>3.6 Cálculo da impedância, resistência e reatância percentuais com os dados</p><p>do ensaio em curto-circuito ................................................................................. 119</p><p>3.7 Rendimento de transformadores ......................................................................... 123</p><p>3.8 Transformadores trifásicos .................................................................................. 128</p><p>3.8.1 Tipos de conexões ..................................................................................... 130</p><p>Caro(a) aluno(a),</p><p>A conversão de energia é um processo</p><p>magnética, dois enrolamentos distintos e eletricamente</p><p>isolados um do outro: o enrolamento primário e o secundário. Já os</p><p>transformadores chamados autotransformadores possuem um único</p><p>enrolamento que serve como enrolamento primário e secundário. Esse</p><p>enrolamento está sobre a mesma estrutura magnética presente nos</p><p>transformadores convencionais. A diferença fundamental é que não há</p><p>isolação elétrica entre o primário e o secundário, conforme pode ser</p><p>observado na Figura 12.</p><p>Figura 12: Representação esquemática</p><p>de um autotransformador.</p><p>Os autotransformadores também podem ser abaixadores ou elevadores</p><p>de tensão. Normalmente, são construídos de tal modo que a relação</p><p>UNIUBE 75</p><p>entre	as	espiras	do	primário	e	secundário	fique	em	torno	de	3.	São</p><p>transformadores que apresentam menores quedas de tensão e melhor</p><p>rendimento. São aplicados em estabilizadores de tensão, na adaptação</p><p>de tensões para alimentar pequenos eletrodomésticos, e em chaves de</p><p>partida de motores de indução com o propósito de diminuir a corrente</p><p>de partida desses dispositivos. Uma importante característica do</p><p>autotransformador é seu menor tamanho, que implica menor volume,</p><p>peso e custo.</p><p>Circuito equivalente de um transformador2.12</p><p>Os dispositivos dos sistemas elétricos, tais como os transformadores</p><p>convencionais, podem ser representados pelos seus circuitos elétricos</p><p>equivalentes. Tais circuitos permitem calcular grandezas como tensão,</p><p>corrente, potência, rendimento. Ou seja, o conhecimento de seu circuito</p><p>equivalente possibilita calcular o desempenho do transformador.</p><p>E sabe‑se que o circuito equivalente do transformador pode ser</p><p>representado conforme mostrado na Figura 13.</p><p>Figura 13: Circuito equivalente de um transformador.</p><p>No circuito equivalente, nota-se que são representadas a resistência</p><p>e reatância de dispersão do enrolamento do primário; a resistência e</p><p>reatância de dispersão do enrolamento do secundário; a resistência e</p><p>a reatância do ramo de magnetização. Essas grandezas podem ser</p><p>refletidas	para	o	primário,	conforme	é	mostrado	na	Figura	14.</p><p>76 UNIUBE</p><p>Figura 14:	Circuito	equivalente	de	um	transformador	com	grandezas	refletidas	para	o	primário.</p><p>Para	refletir	uma	grandeza	do	secundário	para	o	lado	do	primário,	basta</p><p>multiplicá-las pelo quadrado da relação de transformação. Note também</p><p>que as grandezas se tornaram e , indicando que essas grandezas</p><p>são do secundário, porém foram referidas ao primário.</p><p>(60)</p><p>Da mesma maneira, grandezas do enrolamento do primário podem ser</p><p>refletidas	para	o	secundário,	conforme	é	mostrado	na	Figura	15.</p><p>Figura 15: Representação esquemática de um transformador.</p><p>Para	refletir	uma	grandeza	do	primário	para	o	lado	do	secundário,	agora</p><p>é necessário dividi-la pelo quadrado da relação de transformação.</p><p>(61)</p><p>UNIUBE 77</p><p>Note também que as grandezas se tornaram , e ,</p><p>indicando que essas grandezas são do primário, porém foram referidas</p><p>ao secundário.</p><p>Parâmetros do circuito equivalente2.13</p><p>Para se obterem os parâmetros do circuito equivalente do transformador,</p><p>utiliza‑se o ensaio a vazio e o ensaio de curto-circuito. Com esses dois</p><p>ensaios, é possível determinar resistências do enrolamento do primário</p><p>e do secundário, as reatâncias de dispersão do primário e do secundário</p><p>e a resistência e a reatância do ramo de magnetização. Esses são os</p><p>parâmetros do circuito equivalente do transformador.</p><p>2.13.1 Ensaio a vazio</p><p>Realiza‑se o ensaio a vazio para colher dados para obter os parâmetros</p><p>relativos ao ramo de magnetização. Quais sejam, a resistência RM e</p><p>a reatância XM. Este ensaio é realizado aplicando tensão do lado da</p><p>baixa tensão, com o enrolamento do lado da alta tensão em aberto.</p><p>Os instrumentos de medidas, um voltímetro, um amperímetro e um</p><p>watímetro, são colocados do lado da baixa tensão, conforme Figura 16.</p><p>Figura 16: Desenho esquemático para a realização do ensaio a vazio.</p><p>78 UNIUBE</p><p>Assim, aplicando tensão nominal CA do lado da baixa tensão, obtém‑se,</p><p>por intermédio dos instrumentos de medida, a tensão a vazio Vo, a</p><p>corrente a vazio Io e a potência a vazio Wo. De posse desses dados,</p><p>pode-se calcular os parâmetros relativos ao ramo de magnetização. A</p><p>leitura do watímetro fornece a potência ativa Wo. O produto da tensão</p><p>Vo pela corrente Io permite obter a potência aparente So.</p><p>(62)</p><p>A relação entre a potência ativa Wo e a potência aparente So fornece o</p><p>fator de potência do ensaio a vazio</p><p>(63)</p><p>Agora, é possível obter as chamadas correntes de perdas e a corrente</p><p>de magnetização, a partir da corrente absorvida pelo transformador</p><p>durante o ensaio. De fato, parte da corrente que será responsável pelas</p><p>perdas no núcleo é chamada corrente de perdas.</p><p>(64)</p><p>E	parte	da	corrente	que	será	 responsável	pela	produção	do	fluxo</p><p>magnético, que o transformador necessita para operar, é chamada</p><p>corrente de magnetização.</p><p>(65)</p><p>Essa	reatância	está	relacionada	com	o	fluxo	magnético	presente	no</p><p>núcleo de ferro do transformador.</p><p>2.13.2 Ensaio em curto-circuito</p><p>Realiza‑se o ensaio em curto-circuito para colher dados e obter os</p><p>demais parâmetros do circuito equivalente. Quais sejam, as resistências</p><p>UNIUBE 79</p><p>do enrolamento do primário e do secundário R1 e R2 e as respectivas</p><p>reatâncias de dispersão X1 e X2. Este ensaio é realizado aplicando</p><p>tensão do lado da alta tensão, com o enrolamento, do lado da baixa</p><p>tensão, curto‑circuitado. Ressalta-se que esse ensaio é não destrutivo.</p><p>Assim, durante o ensaio, a corrente pelo enrolamento do transformador</p><p>deverá estar em torno do valor da corrente nominal do dispositivo.</p><p>Dessa maneira, a tensão a ser aplicada no enrolamento será entre 3%</p><p>e 7% da tensão nominal. Os instrumentos de medidas, um voltímetro,</p><p>um amperímetro e um wattímetro, são colocados do lado da alta tensão,</p><p>conforme Figura 17.</p><p>Figura 17: Desenho esquemático para realização do ensaio em curto-circuito.</p><p>Assim, aplicando tensão CA do lado da alta tensão, obtém-se, por</p><p>intermédio dos instrumentos de medida, a tensão a vazio Vcc, a</p><p>corrente a vazio Icc e a potência a vazio Wcc. De posse desses dados,</p><p>podem-se calcular os parâmetros relativos ao primário e ao secundário</p><p>do transformador. A leitura do wattímetro fornece a potência ativa Wcc.</p><p>O produto da tensão Vcc pela corrente Icc permite obter a potência</p><p>aparente Scc.</p><p>(66)</p><p>A relação entre a potência ativa Wcc e a potência aparente Scc fornece</p><p>o fator de potência em curto-circuito.</p><p>80 UNIUBE</p><p>(67)</p><p>Outrossim, agora, é possível obter a impedância de curto-circuito, que é</p><p>a relação entre a tensão de curto-circuito.</p><p>(68)</p><p>Agora, é possível obter a impedância de curto-circuito, que é a relação</p><p>entre a tensão de curto-circuito e a corrente de curto-circuito.</p><p>(69)</p><p>E também a reatância de curto-circuito, que é a parte reativa da</p><p>impedância de curto-circuito.</p><p>(70)</p><p>Nos transformadores convencionais, há as seguintes relações envolvendo</p><p>seus parâmetros calculados a partir do ensaio em curto-circuito:</p><p>(71)</p><p>O é a resistência do enrolamento do lado da alta tensão e é a</p><p>resistência	do	enrolamento	do	lado	de	baixa	tensão,	refletida	para	o	lado</p><p>de alta tensão. Da mesma maneira, é a reatância do enrolamento do</p><p>lado da alta tensão e é a reatância do enrolamento do lado de baixa</p><p>UNIUBE 81</p><p>tensão,	refletida	para	o	lado	da	alta	tensão.</p><p>Exemplo 5</p><p>Os ensaios a vazio e em curto-circuito de um transformador monofásico</p><p>de tensões 127/24 Volt, de 1,2 K VA, foram realizados em um laboratório</p><p>de conversão de energia. Os dados obtidos do ensaio a vazio foram V0</p><p>=	24	Volt,	I0	=	1,25	Ampère,	W0	=	12	Watt.	Do	ensaio	em	curto	foram	as</p><p>medidas	Vcc	=	8	Volt,	Icc	=	9,5	Ampère,	Wcc	=	71	Watt.</p><p>Determinar os parâmetros do circuito equivalente, referidos ao lado do</p><p>primário, e desenhar o circuito equivalente ao do transformador.</p><p>Resolução:</p><p>Cálculo dos parâmetros do ramo de magnetização. Esses parâmetros</p><p>estão sempre no lado da baixa tensão, então para esse transformador,</p><p>eles estão no secundário.</p><p>Cálculo dos demais parâmetros:</p><p>82 UNIUBE</p><p>Como o lado da alta é o primário e o lado da baixa é o secundário para</p><p>esse transformador, tem-se (Figura 18)</p><p>Refletindo	as	grandezas	do	ramo	de	magnetização	para	primário,	tem-se</p><p>Guilherme Henrique</p><p>Realce</p><p>X'2 = 0,5 Ohm</p><p>Guilherme Henrique</p><p>Nota</p><p>confirmar</p><p>UNIUBE 83</p><p>Figura 18: Circuito equivalente do transformador.</p><p>Para um melhor entendimento e compreensão acerca do assunto, é</p><p>fundamental que o aluno tenha total conhecimento dos conceitos teóricos e</p><p>das expressões que possibilitam as grandezas envolvidas.</p><p>A	seguir,	estão	algumas	expressões	relativas	às	grandezas	associadas	a</p><p>transformadores</p><p>RELEMBRANDO</p><p>Indutores acoplados e indutância mútua2.14</p><p>Indutância mútua ocorre quando a mudança de corrente no indutor</p><p>gera uma tensão no outro indutor que está próximo. Isto é o importante</p><p>mecanismo de funcionamento que transformadores trabalham, mas pode</p><p>também causar induções indesejadas em outras partes do circuito.</p><p>A indutância mútua M é também uma medida do acoplamento entre</p><p>dois indutores. A indutância mútua do circuito x no circuito y é dada pela</p><p>integral dupla da fórmula de Neumann em técnicas de cálculo.</p><p>A indutância mútua entre dois indutores também é:</p><p>Guilherme Henrique</p><p>Realce</p><p>Ajustar:</p><p>R1 = 0,4 Ohm</p><p>R'2 = 0,4 Ohm</p><p>X1 = 0,15 Ohm</p><p>X'2 = 0,15 Ohm</p><p>Guilherme Henrique</p><p>Nota</p><p>confirmar</p><p>84 UNIUBE</p><p>(72)</p><p>em que:</p><p>é	a	indutância	mútua,	e	os	subscritos	especificam	a	relação	da</p><p>tensão induzida na bobina 2 devido ao enrolamento 1;</p><p>é o número de espiras do primário;</p><p>é o número de espiras do secundário;</p><p>é	a	permeabilidade	do	espaço	ocupado	pelo	fluxo,</p><p>uma vez que a indutância mútua, M, é determinada e pode prever o</p><p>comportamento de um circuito:</p><p>(73)</p><p>em que:</p><p>é a voltagem no indutor que interessa;</p><p>é a indutância no indutor que interessa;</p><p>é a derivada da corrente através de um indutor que interessa em um</p><p>respectivo intervalo de tempo;</p><p>é a derivada da corrente através de um indutor que acopla o primeiro</p><p>indutor;</p><p>é a indutância mútua.</p><p>UNIUBE 85</p><p>Figura 19: A representação do diagrama de representação de um</p><p>acoplamento mútuo de dois indutores. As duas linhas verticais no</p><p>centro representam o núcleo sólido. E "n:m" representa a relação de</p><p>espiras do primário e secundário.</p><p>O sinal de menos surgiu por causa do sentido da corrente , que foi</p><p>definida	no	circuito	da	Figura	19.	Com	ambas	correntes	definidas	ao	se</p><p>entrar nos pontos, o sinal de M será positivo.</p><p>Figura 20:	Definição	dos	componentes	de	um	transformador.</p><p>Na aplicação da Lei de Faraday no primário do transformador, visto na</p><p>Figura 20, teremos o seguinte resultado:</p><p>86 UNIUBE</p><p>(volts, V) (74)</p><p>apresentando que a tensão induzida no primário é diretamente</p><p>proporcional	 ao	 número	 de	 espiras	 e	 à	 taxa	 de	 variação	 do	 fluxo</p><p>magnético que o atravessa, ou:</p><p>(volts, V) (75)</p><p>revelando que a tensão induzida no primário também é diretamente</p><p>proporcional	à	autoindutância	do	primário	e	à	 taxa	de	variação	da</p><p>corrente no primário.</p><p>O módulo da tensão é a tensão induzida no secundário, que pode ser</p><p>encontrada como:</p><p>(volts, V) (76)</p><p>em que:</p><p>=	número	de	espiras	do	secundário,</p><p>=	parte	do	fluxo	do	primário	que	atravessa	até	o	secundário,	também</p><p>é	chamado	fluxo	mútuo.</p><p>Se	considerarmos	que	todo	o	fluxo	produzido	pelo	primário	atravessará</p><p>até o secundário, podemos ter que:</p><p>(77)</p><p>E</p><p>(78)</p><p>UNIUBE 87</p><p>O	coeficiente	de	acoplamento	K	entre	dois	enrolamentos	pode	ser	dado	por:</p><p>(79)</p><p>Como	se	pode	observar	na	equação	(1),	quando	o	fluxo	mútuo	está</p><p>próximo	do	fluxo	gerado	pelo	primário,	o	valor	da	constante	K	é	próxima</p><p>de 1, ou seja, o maior valor possível. Conforme as demonstrações</p><p>apresentadas na Figura 21 a seguir, a letra (a) mostra um núcleo</p><p>composto	por	ferro,	que	transfere	a	maior	parte	do	fluxo	do	primário</p><p>para o secundário, ou seja, o K próximo de 1. Na segunda condição, em</p><p>que os dois enrolamentos estão sobrepostos, o aumento de K é evidente</p><p>e próximo de 1. Na letra (c) a distância entre os dois enrolamentos e a</p><p>não	utilização	de	núcleo	ferromagnético	apresenta	o	valor	do	fluxo	mútuo</p><p>baixo e o valor de K bem abaixo de 1.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>88 UNIUBE</p><p>(c)</p><p>Figura 21:	Enrolamentos	com	diferentes	coeficientes</p><p>de acoplamento.</p><p>Considerando todas estas condições para K, podemos dizer que:</p><p>(Volts, V) (80)</p><p>Pode-se observar que a indutância mútua entre os enrolamentos da</p><p>Figura 21 é dada por:</p><p>(henries, H)</p><p>(81)</p><p>(henries, H) (82)</p><p>Para a indutância mútua entre dois enrolamentos, a variação desta é</p><p>proporcional	à	taxa	de	variação	do	fluxo	de	um	dos	enrolamentos	em</p><p>relação	à	taxa	de	variação	da	corrente	no	outro	enrolamento.</p><p>Para	termos	das	indutâncias	dos	dois	enrolamentos	e	do	coeficiente	de</p><p>acoplamento, a indutância mútua é:</p><p>(henries, H) (83)</p><p>UNIUBE 89</p><p>Observa-se que, quanto maior o valor de K ou das indutâncias nos</p><p>enrolamentos, maior será a indutância mútua.</p><p>Pode-se	verificar	que	a	tensão	do	secundário	da	equação	pode	ser</p><p>determinada em função da indutância mútua em que:</p><p>(volt, V) (84)</p><p>Como o valor de , pode-se obter que:</p><p>(volts, V) (85)</p><p>De forma similar, pode-se obter:</p><p>(volts, V) (86)</p><p>O núcleo de ferro de um transformador 2.15</p><p>Um núcleo magnético é um pedaço de material com a alta</p><p>permeabilidade	 magnética	 usada	 para	 confinar	 e	 guiar	 campos</p><p>magnéticos na eletricidade, eletromecânica e dispositivos magnéticos</p><p>tais como eletromagnetos, transformadores, motores elétricos, geradores,</p><p>indutores, cabeças de gravação magnéticas. Ele é construído de metais</p><p>ferromagnéticos tal como o ferrite. A alta permeabilidade em relação</p><p>ao ar provoca as linhas de campo magnético a serem concentradas no</p><p>núcleo do material. O campo magnético é criado por uma corrente de</p><p>carregamento do indutor enrolada no núcleo. A presença de núcleos pode</p><p>aumentar o campo magnético de um indutor em milhares de vezes mais</p><p>do que seria o indutor sem o núcleo. Isso quer dizer que o uso de um</p><p>núcleo magnético pode multiplicar a força de um campo magnético em</p><p>uma bobina eletromagnética por um fator de muitas centenas de vezes</p><p>do que sem a utilização de núcleo (Figura 22).</p><p>90 UNIUBE</p><p>Figura 22: Transformador de núcleo de ferro.</p><p>No entanto núcleos magnéticos têm efeitos indesejados que devem ser</p><p>levados em conta. Nas Correntes Alternadas (CA), estes dispositivos</p><p>geram consequências como perdas, chamadas perdas no ferro,</p><p>devido	à	histerese,	às	correntes	de	Foucault,	às	aplicações	em	tais</p><p>transformadores,	à	potência	e	à	impedância	refletida.</p><p>Aprendemos, no Capítulo 2, que:</p><p>(87)</p><p>e</p><p>(88)</p><p>Efetuando a divisão de (1) por (2), temos:</p><p>(89)</p><p>e</p><p>(90)</p><p>UNIUBE 91</p><p>Mas lembre-se de que:</p><p>(91)</p><p>e</p><p>(92)</p><p>portanto</p><p>(93)</p><p>Então pode-se concluir que a impedância de um circuito primário de</p><p>um transformador é igual ao quadrado da relação de transformação</p><p>multiplicada pela impedância do secundário. Portanto podemos fazer</p><p>reflexão	da	impedância	de	uma	carga	no	primário	ou	no	secundário.</p><p>Pode-se concluir, por meio dos cálculos, que a característica capacitiva</p><p>ou	indutiva,	ao	fazer	a	reflexão	para	o	outro	lado	do	transformador,</p><p>continuará com a mesma característica anterior.</p><p>Para um transformador com características não ideais, podemos</p><p>concluir que:</p><p>(94)</p><p>Ou</p><p>(95)</p><p>(96)</p><p>Exemplo 1</p><p>O lado de alta tensão de um transformador abaixador tem 1000 espiras e</p><p>92 UNIUBE</p><p>o lado de baixa tensão tem 200 espiras. Uma tensão de 350V é aplicada</p><p>ao lado de alta tensão e uma impedância de carga de 5Ω é ligada ao</p><p>lado de baixa tensão.</p><p>Calcule:</p><p>a) a corrente e a tensão secundárias;</p><p>b) a corrente primária;</p><p>c) a impedância de entrada do primário a partir da relação entre a</p><p>tensão e a corrente primárias;</p><p>d) a impedância de entrada do primário por meio da equação (93).</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>Exemplo 2</p><p>Um transformador abaixador (Figura 23) de 700 kVA, 60 Hz, 2300/230</p><p>V tem os seguintes parâmetros: , , ,</p><p>. Quando o transformador é usado como abaixador e está</p><p>com carga nominal, calcule:</p><p>UNIUBE 93</p><p>Figura 23: Circuito equivalente</p><p>do transformador.</p><p>a) as impedâncias internas primária e secundária;</p><p>b) as quedas internas de tensão primária e secundária;</p><p>c) as fem induzidas primária e secundária, imaginando-se que as tensões</p><p>nos terminais e induzidas estão em fase;</p><p>d) a relação entre as fem induzidas primária e secundária e entre as</p><p>respectivas tensões terminais.</p><p>Resolução:</p><p>a) e</p><p>b)</p><p>94 UNIUBE</p><p>c) supondo a tensão nos terminais e fem induzidas em fase:</p><p>d) relação: , mas a relação entre as fem</p><p>induzidas primária e secundária e entre as respectivas tensões terminais</p><p>é:</p><p>Exemplo 3</p><p>Um	servo-amplificador	CA	tem	uma	impedância	de	saída	de	300Ω e</p><p>o servo-motor CA, que ele deve acionar, tem uma impedância de 3Ω.</p><p>Calcule:</p><p>a) a relação de transformação que faça o acoplamento da impedância</p><p>do	servo-amplificador	à	do	servo-motor;</p><p>b) o número de espiras do primário, se o secundário tem 10 espiras.</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Resumo</p><p>Neste	capítulo,	abordamos	os	conceitos	básicos	relacionados	à	Teoria</p><p>dos	Transformadores,	com	itens	como	fluxo	mútuo,	indutância	mútua,</p><p>tensão induzida em uma bobina enrolada sobre um núcleo de ferro.</p><p>Tratamos também das relações entre as tensões e correntes do primário</p><p>para o secundário, sendo que o fator que interliga essas grandezas do</p><p>primário	e	do	secundário	está	associado	à	relação	de	transformação</p><p>UNIUBE 95</p><p>representada	 por	 a	 =	 . Por último, abordamos sobre o circuito</p><p>equivalente do transformador real, o que exigiu o estudo do ensaio a</p><p>vazio e em curto-circuito para obter seus parâmetros.</p><p>Referências</p><p>BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Education, 2009.</p><p>DEL TORO, A. E. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: PHB, 1991.</p><p>FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JÚNIOR, C.; STEPHEN D. Máquinas elétricas.</p><p>6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.</p><p>KOSOW, I. Máquinas elétricas e transformadores. 7. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Editora Globo, 1987.</p><p>NASAR, A. N. Máquinas elétricas. São Paulo: McGraw‑Hill – Coleção Schaum,</p><p>1984.</p><p>OLIVEIRA, J. C.; COGO, J. R.; ABREU, J. P. G. de. Transformadores: teoria e</p><p>ensaios. 6. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1984.</p><p>SIMONE, G. A. Transformadores: teoria e ensaios. São Paulo: Erica, 1998.</p><p>Introdução</p><p>Circuito equivalente</p><p>simplificado e</p><p>transformadores trifásicos</p><p>Capítulo</p><p>3</p><p>Os equipamentos e máquinas conectados aos sistemas elétricos</p><p>de potência consomem grande quantidade de energia em seus</p><p>processos de operação e acionamento de cargas. Por essa razão,</p><p>são em grande parte dispositivos trifásicos. Sendo assim, são</p><p>alimentados por transformadores trifásicos, que adaptam os níveis</p><p>de tensão provenientes das linhas de transmissão e distribuição,</p><p>que alimentam não só as unidades industriais, como também as</p><p>unidades comerciais e residenciais.</p><p>Na outra ponta, esses transformadores trifásicos são da mesma</p><p>maneira utilizados para alimentar as linhas de transmissão,</p><p>elevando as tensões geradas nas usinas geradoras de eletricidade.</p><p>E como a ação dos transformadores envolve grande quantidade</p><p>de potência, deseja-se que tais dispositivos apresentem o melhor</p><p>rendimento possível. Isso demanda que se tenha conhecimento</p><p>das perdas associadas, para que se possa minimizá-las,</p><p>buscando melhorar o rendimento. Outro aspecto importante é</p><p>que os transformadores devem ter boa regulação de tensão. Os</p><p>equipamentos e dispositivos por eles alimentados requerem uma</p><p>determinada	tensão	específica,	que	não	pode	sofrer	grandes</p><p>variações em seu valor.</p><p>98 UNIUBE</p><p>Destacamos que essas unidades transformadoras podem conter</p><p>um único núcleo onde são colocados os enrolamentos trifásicos</p><p>do primário e do secundário ou podem ser constituídas por três</p><p>transformadores monofásicos. Cada modo de construção do</p><p>transformador tem suas vantagens. Um transformador trifásico</p><p>com um único núcleo apresenta um menor volume, peso e custo</p><p>além	de	ser	ligeiramente	mais	eficiente.	Por	outro	lado,	a	utilização</p><p>de três transformadores para montar uma estrutura trifásica</p><p>proporciona um menor custo para a unidade de reserva, posto</p><p>que	apenas	um	transformador	monofásico	é	suficiente	para	tal	fim.</p><p>Ademais, como o dispositivo é constituído por três partes,</p><p>proporciona uma maior área para dissipação de calor, além de</p><p>facilitar o procedimento para serviços de manutenção. Do ponto</p><p>de vista elétrico, em sistemas elétricos equilibrados, cálculos</p><p>das grandezas elétricas como tensão e correntes podem ser</p><p>realizados utilizando apenas uma fase, ou seja, um transformador</p><p>monofásico.</p><p>Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	você	seja	capaz	de:</p><p>• obter	o	circuito	equivalente	simplificado	de	um	transformador;</p><p>• obter as relações de tensões do primário de um transformador;</p><p>• calcular a regulação de tensão de transformadores;</p><p>• calcular o rendimento de transformadores;</p><p>• compreender as conexões para os transformadores trifásicos;</p><p>• calcular as grandezas elétricas associadas aos</p><p>transformadores trifásicos.</p><p>Objetivos</p><p>UNIUBE 99</p><p>3.1	Circuito	equivalente	simplificado</p><p>3.2 Transformador com carga resistiva</p><p>3.3 Transformador com carga indutiva</p><p>3.4 Regulação de tensão em transformadores de potência</p><p>3.5 Regulação de tensão com dados do ensaio em curto-circuito</p><p>3.6 Cálculo da impedância, resistência e reatância percentuais</p><p>com os dados do ensaio em curto-circuito</p><p>3.7 Rendimento de transformadores</p><p>3.8 Transformadores trifásicos</p><p>3.8.1 Tipos de conexões</p><p>Esquema</p><p>Circuito equivalente simplificado3.1</p><p>Sabe-se que o circuito equivalente serve para representar o</p><p>transformador com núcleo de ferro. Nele, é representada a resistência do</p><p>enrolamento do primário e a do secundário. Com elas, é possível calcular</p><p>as perdas por efeito Joule do dispositivo. Estão também representadas</p><p>as reatâncias de dispersão do primário e do secundário, o que permite o</p><p>cálculo	das	quedas	de	tensão	devido	ao	fluxo	de	dispersão.	Além	disso,</p><p>no ramo de magnetização, está representada a resistência e a reatância</p><p>de magnetização.</p><p>A reatância de magnetização	está	associada	à	energia	necessária	para</p><p>produzir	o	fluxo	magnético	que	o	transformador	necessita	para	operar	e</p><p>a resistência de magnetização permite o cálculo das perdas no ferro,</p><p>denominadas perdas magnéticas. Quando o transformador opera</p><p>com tensões de altas frequências, deve-se utilizar o chamado modelo</p><p>completo do transformador. Tal modelo é mostrado na Figura 1.</p><p>100 UNIUBE</p><p>Figura 1: Circuito equivalente completo de um transformador.</p><p>As capacitâncias , e são chamadas capacitâncias parasitas e</p><p>resultam em reatâncias capacitivas que não podem ser desprezadas, se</p><p>o transformador estiver operando com excitações de altas frequências.</p><p>Se, no entanto, as tensões envolvidas possuírem frequências de 60 Hz,</p><p>como é mais frequente, poderá se desprezar o efeito das capacitâncias</p><p>parasitas. Por outro lado, nota‑se que as grandezas do ramo de</p><p>magnetização são muito maiores que as demais grandezas do circuito</p><p>equivalente. Como o ramo de magnetização está em paralelo, a corrente</p><p>que por ele passa é pequena. Pensando assim, o ramo de magnetização</p><p>pode	ser	desprezado.	O	circuito	equivalente	do	 transformador	fica</p><p>representado como na Figura 2.</p><p>Figura 2: Circuito equivalente de um transformador.</p><p>Refletindo	as	grandezas	do	secundário	para	o	primário,	tem‑se um</p><p>circuito equivalente, conforme mostra a Figura 3.</p><p>UNIUBE 101</p><p>Figura 3:	Circuito	equivalente	com	os	parâmetros	refletidos	para	o	primário.</p><p>Nela, e . Assim, pode-se desenhar o circuito</p><p>equivalente, que é chamado circuito equivalente simplificado, na</p><p>forma mostrada na Figura 4.</p><p>Figura 4: Circuito equivalente simplificado com os</p><p>parâmetros	refletidos	para	o	primário.</p><p>Nessa	figura,		 e são chamadas</p><p>resistência e reatância equivalente, respectivamente. Essas grandezas</p><p>estão referidas ao primário do transformador.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcule os parâmetros e e desenhe o circuito equivalente</p><p>simplificado	de	um	transformador	monofásico	abaixador,	cujos	dados</p><p>de ensaio em</p><p>curto-circuito são 	=	86	V,	 	=	23,2	A	e	 	=	945	W.</p><p>Resolução:</p><p>102 UNIUBE</p><p>Como o transformador é abaixador,</p><p>Circuito	equivalente	simplificado	(Figura	5):</p><p>Figura 5:	Circuito	equivalente	simplificado.</p><p>Transformador com carga resistiva3.2</p><p>O	circuito	equivalente	simplificado	serve	para	o	estudo	das	relações	de</p><p>tensão no primário do transformador. Se uma carga resistiva é conectada</p><p>no secundário do transformador, é possível calcular as tensões e construir</p><p>o diagrama fasorial das tensões no primário (Figura 6).</p><p>Figura 6:	 Circuito	 equivalente	 simplificado	 com	 carga	 acoplada	 ao</p><p>secundário.</p><p>UNIUBE 103</p><p>Uma carga resistiva colocada no secundário do transformador solicita</p><p>uma corrente 	que	reflete	no	primário	como	sendo	 . Essa corrente</p><p>proporciona o cálculo das quedas de tensão utilizando o circuito</p><p>equivalente do transformador. Uma é a queda de tensão , e a outra</p><p>é a queda de tensão . Por outro lado, a tensão pode ser calculada</p><p>utilizando a relação de transformação:</p><p>(1)</p><p>(2)</p><p>Assim, a tensão da fonte que alimenta o transformador é calculada pela</p><p>expressão (3)</p><p>(3)</p><p>o que resulta no diagrama fasorial mostrado na Figura 7.</p><p>Figura 7: Tensões do primário do transformador com carga resistiva.</p><p>Note que a corrente no primário está em fase com a tensão</p><p>induzida no enrolamento do primário. A queda de tensão na resistência</p><p>equivalente também está em fase com a corrente que ali circula. Por</p><p>outro lado, a queda de tensão na reatância equivalente a está</p><p>adiantada	em	relação	à	mesma	corrente.</p><p>Exemplo 2</p><p>Seja um transformador, representado pelo circuito equivalente da</p><p>104 UNIUBE</p><p>Figura	8,	a	seguir,	com	uma	carga	resistiva	de	45	Ω	acoplada	em	seu</p><p>secundário, e com os seguintes valores de parâmetros do ramo de</p><p>magnetização: e .</p><p>Figura 8: Circuito equivalente de um transformador com carga resistiva.</p><p>Pede‑se:</p><p>a) encontre os parâmetros e e desenhe o circuito equivalente</p><p>simplificado;</p><p>b) encontre o módulo da tensão da carga e da fonte de alimentação;</p><p>c) desenhe o diagrama fasorial das tensões do primário.</p><p>Resolução:</p><p>a)	Parâmetros	do	circuito	equivalente	simplificado	refletidos	para	o</p><p>primário.</p><p>Desprezando o ramo de magnetização, obtém-se o circuito equivalente</p><p>simplificado	 com	 os	 parâmetros	 refletidos	 para	 o	 primário	 do</p><p>transformador (Figura 9).</p><p>UNIUBE 105</p><p>Figura 9:	Circuito	equivalente	simplificado	do	transformador	com	carga	resistiva.</p><p>b) Módulo da tensão na carga e da fonte de alimentação.</p><p>106 UNIUBE</p><p>c) Diagrama fasorial das tensões do primário (Figura 10).</p><p>Figura 10: Diagrama fasorial das tensões do primário.</p><p>Transformador com carga indutiva3.3</p><p>Se uma carga indutiva é conectada no secundário do transformador, da</p><p>mesma maneira é possível calcular as tensões e construir o diagrama</p><p>fasorial envolvendo as tensões no primário (Figura 11).</p><p>Figura 11:	Circuito	equivalente	simplificado	de	um	transformador	com</p><p>carga indutiva no secundário.</p><p>De fato, uma carga indutiva colocada no secundário do transformador</p><p>solicita uma corrente 	que	está	atrasada	em	relação	à	tensão	 do</p><p>secundário.	Essa	corrente	se	reflete	no	primário	como	sendo	 e está</p><p>atrasada	em	relação	à	tensão	 induzida no enrolamento do primário.</p><p>A corrente que circula no primário produz uma queda de tensão</p><p>e uma queda de tensão . Do mesmo modo, a tensão pode ser</p><p>calculada utilizando-se a relação de transformação:</p><p>(4)</p><p>UNIUBE 107</p><p>(5)</p><p>Assim, da mesma maneira, temos (6):</p><p>(6)</p><p>O que resulta no seguinte diagrama fasorial (Figura 12):</p><p>Figura 12: Diagrama fasorial das tensões do primário de um</p><p>transformador com carga indutiva.</p><p>Note que a corrente no primário está atrasada com a tensão</p><p>induzida no enrolamento. A queda de tensão na resistência equivalente</p><p>está em fase com a corrente que ali circula e, por outro lado, a queda</p><p>de tensão na reatância equivalente 	está	90º	adiantada	em	relação	à</p><p>mesma corrente.</p><p>Exemplo 3</p><p>Seja um transformador, representado pelo circuito equivalente da Figura</p><p>13,	a	seguir,	com	uma	carga	indutiva	de	318,2	+	j318,2	Ω	conectada	em</p><p>seu secundário e com os seguintes valores de parâmetros do ramo de</p><p>magnetização: =	280	Ω	e	 =	200	Ω.</p><p>Figura 13: Circuito equivalente de um transformador elevador com carga indutiva.</p><p>108 UNIUBE</p><p>De posse dessas informações,</p><p>a) determine os parâmetros e e desenhe o circuito equivalente</p><p>simplificado;</p><p>b) determine o módulo da tensão na carga e da fonte de alimentação;</p><p>c) desenhe o diagrama fasorial das tensões do primário.</p><p>Resolução:</p><p>a)		Parâmetros	do	circuito	equivalente	simplificado	referidos	ao	primário.</p><p>Desprezando o ramo de magnetização, obtém-se o circuito equivalente</p><p>simplificado	 com	 os	 parâmetros	 refletidos	 para	 o	 primário	 do</p><p>transformador (Figura 14).</p><p>Figura 14:	Circuito	equivalente	simplificado	de	um	transformador	com	carga	indutiva.</p><p>b) Módulo da tensão na carga e da fonte de alimentação.</p><p>UNIUBE 109</p><p>c) Diagrama fasorial das tensões do primário (Figura 15).</p><p>Figura 15: Tensões no primário do transformador.</p><p>Regulação de tensão em transformadores de potência3.4</p><p>Transformadores que alimentam cargas de alta potência precisam</p><p>manter a tensão dentro de certos limites em seus terminais aos quais</p><p>essas cargas são conectadas. Tal necessidade vem do fato de que os</p><p>110 UNIUBE</p><p>dispositivos que constituem essas cargas elétricas são projetados para</p><p>operar em uma determinada tensão, chamada tensão nominal.</p><p>Em uma unidade industrial, por exemplo, a soma das correntes das</p><p>diferentes	cargas	ali	presentes	resulta	em	uma	significativa	corrente</p><p>solicitada do transformador que alimenta a indústria. Isso provoca quedas</p><p>de tensão, que podem levar ao mau funcionamento dos equipamentos.</p><p>Implicará o aumento da corrente por eles (os equipamentos) solicitada,</p><p>agravando o problema. O aumento da corrente levará a um maior</p><p>aquecimento e, eventualmente, ao rompimento da isolação, provocando</p><p>a queima do motor. Assim, a regulação de tensão dos transformadores</p><p>de potência e de distribuição é um assunto de grande importância para</p><p>o sistema elétrico.</p><p>E o que é regulação de tensão? Regulação de tensão de um</p><p>transformador	é	definida	como	sendo	a	variação	da	tensão	do	secundário</p><p>do transformador operando desde a vazio até a plena carga, com a</p><p>tensão do primário mantida constante.</p><p>(7)</p><p>- E2 é o módulo da tensão induzida no enrolamento do transformador,</p><p>que	é	igual	à	tensão	nos	terminais	do	transformador	a	vazio,	e</p><p>- V2 é o módulo da tensão nos terminais do transformador a plena carga.</p><p>Diz‑se que um transformador possui boa regulação de tensão se ela é</p><p>pequena. O ideal seria se ela fosse zero.</p><p>• Observe o efeito da circulação da corrente de carga sobre a tensão nos</p><p>terminais do transformador.</p><p>• Tome um transformador abaixador de potência qualquer. Valor sugerido:</p><p>150 VA, 220/24 V.</p><p>EXPERIMENTANDO</p><p>UNIUBE 111</p><p>• Inicialmente, conecte uma fonte de tensão ao seu enrolamento primário</p><p>ajustando a tensão em seu valor nominal. Meça a tensão no seu</p><p>secundário.</p><p>• Posteriormente, conecte um resistor de carga no seu secundário, de</p><p>tal maneira que a corrente solicitada por essa carga esteja próxima do</p><p>valor nominal da corrente secundária do transformador. Esteja atento</p><p>quanto	à	potência	que	o	resistor	pode	dissipar.	Assim,	lembre‑se de</p><p>que o resistor deve ser um resistor de potência.</p><p>• Calcule de antemão a potência que será dissipada e garanta que a</p><p>potência que o resistor pode dissipar seja maior que o valor calculado.</p><p>Valor	sugerido:	R=	5	Ω,	P	=	200	W.</p><p>• Conecte o resistor ao secundário do transformador. Novamente, meça</p><p>a tensão nos terminais do transformador.</p><p>• Note que a tensão agora apresenta um valor menor.</p><p>• Explique o fato de a tensão secundária ter diminuído em valor quando</p><p>uma carga foi ligada ao secundário do transformador.</p><p>E, para se estudar a regulação de tensão de um transformador de</p><p>potência, será adotado que todos os valores dos parâmetros do circuito</p><p>equivalente	simplificado	serão	refletidos	para	o	lado	do	secundário	do</p><p>transformador (Figura 16).</p><p>Figura 16:	Circuito	equivalente	simplificado	com	os	parâmetros</p><p>refletidos	para	o	secundário.</p><p>Assim, há as seguintes expressões:</p><p>(8)</p><p>112 UNIUBE</p><p>(9)</p><p>Como o valor do parâmetro do primário dividido pela relação de</p><p>transformação	é	o	valor	refletido	para	o	secundário,	tem‑se</p><p>(10)</p><p>(11)</p><p>Será adotado, ainda, que o fasor tensão V2 do secundário estará</p><p>na referência, ou seja, seu ângulo de fase será zero. Assim, para</p><p>qualquer valor de corrente de carga, pode-se calcular o valor da tensão</p><p>E2, induzida no secundário do transformador. As cargas conectadas</p><p>ao secundário do transformador podem ser resistivas, indutivas ou</p><p>capacitivas. Se a carga for puramente resistiva, terá um fator de potência</p><p>unitário resultando o seguinte diagrama fasorial (Figura 17).</p><p>Figura 17: Diagrama fasorial para uma carga puramente resistiva.</p><p>Fonte: Adaptada de Kosow (1987).</p><p>Observando o diagrama, pode-se obter a tensão induzida E2, utilizando</p><p>a expressão:</p><p>(12)</p><p>Se a carga for indutiva, terá um fator de potência atrasado, resultando o</p><p>seguinte diagrama fasorial (Figura 18).</p><p>UNIUBE 113</p><p>Figura 18: Diagrama fasorial para uma carga indutiva.</p><p>Fonte: Adaptado de Kosow (1987).</p><p>Observando o diagrama, pode‑se obter a tensão induzida E2 utilizando</p><p>a expressão:</p><p>(13)</p><p>Se a carga for capacitiva, terá um fator de potência adiantado, resultando</p><p>o seguinte diagrama fasorial (Figura 19).</p><p>Figura 19: Diagrama fasorial para uma</p><p>carga capacitiva.</p><p>Fonte: Adaptada de Kosow (1987).</p><p>Observando o diagrama, pode-se obter a tensão induzida E2, utilizando</p><p>a expressão:</p><p>(14)</p><p>114 UNIUBE</p><p>Num transformador alimentando carga resistiva ou indutiva, a tensão gerada</p><p>no enrolamento do secundário é maior que a tensão presente nos seus</p><p>terminais externos.</p><p>Nesse caso, a corrente secundária está em fase (carga puramente</p><p>resistiva)	ou	atrasada	(carga	indutiva),	em	relação	à	tensão	nos	terminais</p><p>do transformador.</p><p>Quando o transformador alimenta a carga capacitiva, a tensão gerada no</p><p>enrolamento do secundário do transformador pode ser menor que a tensão</p><p>nos terminais do transformador. Já, nesse caso, a corrente está adiantada</p><p>em	relação	à	tensão	nos	terminais	do	transformador.</p><p>CURIOSIDADE</p><p>Exemplo 4</p><p>Um transformador monofásico de potência nominal de 225 KVA,</p><p>13800/400V, 60Hz, possui os seguintes valores de resistência e</p><p>reatâncias	 equivalentes	 refletidas	 para	 o	 lado	 da	 baixa	 tensão:</p><p>e . Pede-se:</p><p>a) calcule a corrente nominal no secundário do transformador;</p><p>b) calcule a tensão induzida no enrolamento do secundário, quando o</p><p>transformador estiver fornecendo a corrente nominal a uma carga</p><p>com fator de potência unitário;</p><p>c) calcule a tensão induzida no enrolamento do secundário quando o</p><p>transformador estiver fornecendo a corrente nominal a uma carga</p><p>com fator de potência 0,75 atrasado;</p><p>d) calcule a tensão induzida no enrolamento do secundário quando o</p><p>transformador estiver fornecendo a corrente nominal a uma carga</p><p>com fator de potência 0,75 adiantado.</p><p>UNIUBE 115</p><p>Resolução:</p><p>a) Corrente nominal do transformador:</p><p>b) Carga com fator de potência unitário:</p><p>c) Carga com fator de potência 0,75 atrasado:</p><p>]</p><p>]</p><p>d) Carga com fator de potência 0,75 adiantado.</p><p>116 UNIUBE</p><p>Exemplo 5</p><p>Para o transformador do Exemplo 4, calcular a regulação de tensão</p><p>quando o transformador estiver fornecendo corrente nominal a uma</p><p>carga:</p><p>- com fator de potência unitário;</p><p>- com fator de potência 0,75 atrasado;</p><p>- com fator de potência 0,75 adiantado.</p><p>Resolução:</p><p>- Carga nominal com fator de potência unitário:</p><p>- Carga nominal com fator de potência 0,75 atrasado:</p><p>- Carga nominal com fator de potência 0,75 adiantado:</p><p>UNIUBE 117</p><p>3.5 Regulação de tensão com dados do ensaio em curto-</p><p>circuito</p><p>Quando um transformador é submetido ao ensaio de curto-circuito,</p><p>os instrumentos de medida, quais sejam, voltímetro, amperímetro e</p><p>wattímetro, são colocados do lado da alta tensão e o enrolamento do lado</p><p>da baixa tensão é curto-circuitado. Dessa maneira, a tensão, a corrente</p><p>e a potência fornecidas pela fonte são medidas.</p><p>A fonte ligada do lado da alta tensão percebe a carga como uma</p><p>impedância complexa. A parte real da impedância representa a</p><p>resistência do enrolamento da alta tensão somada com a resistência</p><p>do	enrolamento	do	lado	da	baixa	tensão	refletida	para	o	lado	da	alta</p><p>tensão. Da mesma maneira, a parte imaginária representa a reatância</p><p>de dispersão do enrolamento da alta tensão somada com a reatância de</p><p>dispersão	do	enrolamento	do	lado	da	baixa	tensão	refletida	para	o	lado</p><p>da alta tensão.</p><p>Dessa maneira, pode-se perceber que a resistência obtida a partir</p><p>do	ensaio	é	igual	à	resistência	equivalente	 do circuito equivalente</p><p>simplificado	quando	o	transformador	for	abaixador.	Da	mesma	maneira,</p><p>será	igual	à	reatância	equivalente	 . Se o transformador for</p><p>elevador, 	será	igual	à	resistência	equivalente	 e 	será	igual	à</p><p>reatância equivalente .</p><p>Exemplo 6</p><p>Um transformador monofásico elevador de 75 MVA, 13800/138000 V, 60</p><p>Hz, que é utilizado como uma fase de uma estrutura trifásica de 225 MVA,</p><p>foi submetido a um ensaio de curto-circuito, sendo obtidos os seguintes</p><p>dados: 	=	4520	V,	 =	398	A, =	912540	W.</p><p>118 UNIUBE</p><p>Determine:</p><p>• os	parâmetros	do	circuito	equivalente	simplificado	por	fase,	refletidos</p><p>para o secundário do transformador,</p><p>• a regulação desse transformador quando ele estiver fornecendo a</p><p>corrente nominal com fator de potência em atraso de 0,8 e</p><p>• para a mesma condição de carga, com fator de potência 0,8 em</p><p>avanço.</p><p>Resolução:</p><p>Determinação	dos	parâmetros	do	circuito	equivalente	simplificado.</p><p>Como o transformador é um transformador elevador,</p><p>Cálculos preliminares para determinação da tensão induzida no</p><p>enrolamento do secundário do transformador:</p><p>UNIUBE 119</p><p>Cálculo da tensão induzida para carga em atraso:</p><p>Regulação para carga em atraso:</p><p>Cálculo da tensão induzida para carga em avanço:</p><p>Determinação da regulação para carga em avanço:</p><p>3.6 Cálculo da impedância, resistência e reatância percentuais</p><p>com os dados do ensaio em curto-circuito</p><p>Como se sabe, três principais medidas podem ser obtidas a partir do</p><p>ensaio em curto-circuito de um transformador. São elas:</p><p>• a tensão de curto-circuito, que é uma fração da tensão nominal;</p><p>• a	corrente	do	ensaio	de	curto-circuito,	que	normalmente	é	igual	à</p><p>corrente nominal do dispositivo;</p><p>120 UNIUBE</p><p>• a potência consumida durante o ensaio em curto-circuito, que</p><p>equivale	às	perdas	por	efeito	Joule	nos	enrolamentos	do	primário	e</p><p>do secundário.</p><p>Com esses dados, é possível obter o circuito equivalente do</p><p>transformador.</p><p>Obtendo	e	simplificando	tal	circuito	e	ainda	refletindo	os	parâmetros</p><p>do	circuito	equivalente	simplificado	para	o	secundário,	pode-se	fazer	o</p><p>seguinte estudo (Figura 20):</p><p>Figura 20:	Circuito	equivalente	simplificado	com	parâmetros	referidos</p><p>para o secundário.</p><p>Observando o secundário do transformador por intermédio de seu</p><p>circuito	equivalente	simplificado,	verifica-se	que	o	dispositivo	pode	ser</p><p>representado em um sistema elétrico por uma resistência em série com</p><p>uma reatância. Ou seja, ele pode ser representado por uma impedância</p><p>composta da resistência equivalente e da reatância equivalente .</p><p>A resistência equivalente pode ser calculada a partir da potência de</p><p>perdas medida pelo wattímetro. A expressão (15) a seguir serve para</p><p>esse propósito:</p><p>(15)</p><p>Conforme anteriormente abordado, a resistência é a soma da</p><p>resistência do enrolamento do secundário com a resistência do primário</p><p>refletida	para	o	secundário.	Por	outro	lado,	poder-se-ia	obter	a	resistência</p><p>UNIUBE 121</p><p>utilizando a seguinte expressão (16):</p><p>(16)</p><p>Em que é a resistência equivalente no primário, que é a resistência</p><p>do enrolamento do primário somada com a resistência do secundário</p><p>refletida	para	o	primário.	Para	se	eximir	da	necessidade	de	se	referir</p><p>essas	resistências	de	um	lado	para	o	outro	do	transformador,	define-se</p><p>resistência percentual como</p><p>sendo da impedância da dividida pela</p><p>impedância base e multiplicada por 100%.</p><p>A impedância-base é uma relação entre a tensão nominal e a corrente</p><p>nominal no secundário. Nessa situação, a tensão nominal foi escolhida</p><p>como tensão-base e a corrente nominal, como corrente base. Assim, de</p><p>acordo com Oliveira et al (1984), pode-se obter a resistência percentual</p><p>pela expressão (17):</p><p>(17)</p><p>O resultado obtido dessa operação é um número adimensional e</p><p>representa a resistência equivalente, tanto para o primário quanto para</p><p>o secundário. Substituindo a expressão (15) em (17), tem-se:</p><p>(18)</p><p>Sabe-se que a potência nominal do transformador é ; assim,</p><p>(19)</p><p>122 UNIUBE</p><p>Da	mesma	maneira,	define-se	impedância percentual como sendo:</p><p>(20)</p><p>Por outro lado, o módulo da impedância equivalente no lado do</p><p>secundário é:</p><p>(21)</p><p>E utilizando a relação de transformação, sabe-se que:</p><p>(22)</p><p>Portanto, substituindo (22) em (21), tem-se que:</p><p>(23)</p><p>Agora, substituindo a expressão (23) em (20):</p><p>(24)</p><p>A reatância percentual pode ser obtida pela expressão:</p><p>(25)</p><p>Exemplo 7</p><p>Para o transformador monofásico de 25 KVA, 13800/220 V, 60 Hz,</p><p>apresentam-se os seguintes valores de dados de seu ensaio em</p><p>curto-circuito.	Vcc	=	640	V,	Icc	=	113,64	A,	Wcc	=	563	W.	Diante	disso,</p><p>a) determine a resistência percentual;</p><p>Guilherme Henrique</p><p>Realce</p><p>Trocar o sinal "+" por um "-"</p><p>UNIUBE 123</p><p>b) determine a impedância percentual;</p><p>c) determine a reatância percentual.</p><p>Resolução:</p><p>a) Determinando a resistência percentual:</p><p>b) Determinando a impedância percentual:</p><p>c) Determinando a reatância percentual:</p><p>Rendimento de transformadores3.7</p><p>As perdas de energia associadas aos transformadores são basicamente</p><p>as perdas de energia abordadas no estudo dos indutores com núcleo de</p><p>ferro.	Assim,	devido	à	circulação	de	corrente	elétrica	pelos	enrolamentos</p><p>do primário e do secundário do transformador, há as perdas de energia</p><p>por efeito Joule nas resistências desses enrolamentos.</p><p>E	 devido	 à	 variação	 do	 fluxo	 magnético	 no	 núcleo	 de	 ferro	 do</p><p>transformador, há as perdas magnéticas, que são as perdas por histerese</p><p>e por correntes de Foucault. O rendimento de um transformador, como</p><p>qualquer	outro	dispositivo	de	conversão	de	energia,	pode	ser	definido</p><p>como uma relação entre a potência ativa de saída e a potência ativa de</p><p>entrada (26):</p><p>124 UNIUBE</p><p>(26)</p><p>W1 é a potência ativa absorvida da fonte de alimentação pelo</p><p>transformador, W2,	é	a	potência	ativa	fornecida	à	carga	elétrica	conectada</p><p>ao	secundário	do	dispositivo	e	η	é	o	rendimento.	As	potências	ativas</p><p>podem ser descritas pelas expressões</p><p>(27)</p><p>(28)</p><p>V1 e I2	 são	 os	 valores	 eficazes	da	 tensão	e	 corrente	 no	 primário,</p><p>respectivamente, e outro assim, e V2 e I2	são	os	valores	eficazes	da</p><p>tensão e corrente no secundário. O ângulo é o ângulo de defasagem</p><p>entre a tensão e a corrente no primário, enquanto o ângulo é o ângulo</p><p>de defasagem entre a tensão e a corrente no secundário. Pode-se</p><p>escrever que</p><p>(29)</p><p>Como dito anteriormente, basicamente as perdas nos transformadores</p><p>são as perdas por efeito Joule nos enrolamentos e as perdas magnéticas</p><p>no núcleo. Assim, as perdas podem ser escritas como sendo</p><p>(30)</p><p>Sendo que é a resistência equivalente no secundário, composta</p><p>da	resistência	do	fio	secundário	somada	com	a	resistência	do	primário</p><p>refletida	para	o	secundário. representa as perdas magnéticas no</p><p>núcleo de ferro do transformador e são as perdas por efeito Joule</p><p>em seus enrolamentos.</p><p>Pode-se escrever que</p><p>(31)</p><p>UNIUBE 125</p><p>A expressão 31 refere-se aos transformadores monofásicos, ou seja,</p><p>refere-se a uma fase de um transformador trifásico.</p><p>O ensaio a vazio, além de nos fornecer os dados para calcular os</p><p>parâmetros do ramo de magnetização, quais sejam, resistência do Rm e</p><p>a reatância de magnetização Xm, permite-nos obter a potência de perdas</p><p>relativa a perdas no ferro. Essas perdas são as perdas por histerese e por</p><p>correntes de Foucault. Isso é obtido por intermédio da leitura do wattímetro.</p><p>O ensaio em curto-circuito, além de nos fornecer dados para o cálculo</p><p>dos demais parâmetros, quais sejam, as resistências e as reatâncias dos</p><p>enrolamentos do primário e do secundário, permite-nos obter a potência de</p><p>perdas nos enrolamentos por efeito Joule. Novamente, isso é obtido por</p><p>intermédio da leitura do wattímetro.</p><p>CURIOSIDADE</p><p>Exemplo 8</p><p>Seja um transformador monofásico de 100 KVA, 13800/220 V, 60 Hz. Em</p><p>um ensaio de circuito aberto, o wattímetro mediu 210 W e, em um ensaio</p><p>em curto-circuito, o mesmo wattímetro mediu 1900 W. Diante disso,</p><p>a) calcule o rendimento do transformador quando ele estiver</p><p>fornecendo a metade da corrente nominal com fator de potência</p><p>0,65 atrasado;</p><p>b) calcule o rendimento do transformador quando ele estiver</p><p>fornecendo corrente nominal a uma carga com fator de potência</p><p>0,96 atrasado.</p><p>Resolução:</p><p>a) Rendimento a meia carga.</p><p>126 UNIUBE</p><p>b) Rendimento a plena carga.</p><p>Exemplo 9</p><p>Em um laboratório de ensaios, foram realizados os ensaios a vazio e em</p><p>curto-circuito de um transformador monofásico de 125 KVA, 760/220</p><p>V, 60 Hz, com o objetivo de determinar seu circuito equivalente. Os</p><p>resultados dos testes realizados são os seguintes:</p><p>Ensaio de circuito aberto: secundário aberto, com os instrumentos</p><p>colocados ao lado da baixa tensão:</p><p>Ensaio de curto-circuito: secundário curto-circuitado, com instrumentos</p><p>colocados ao lado da alta tensão:</p><p>a) Calcule a regulação do transformador, quando os KVA nominais</p><p>estiverem sendo fornecidos a uma carga com fator de potência</p><p>igual a 0,92 indutivo.</p><p>UNIUBE 127</p><p>b) Calcule o rendimento do transformador, quando os KVA nominais</p><p>estiverem sendo fornecidos a uma carga com fator de potência</p><p>igual a 0,92 indutivo.</p><p>Cálculos iniciais:</p><p>a) Regulação de tensão:</p><p>128 UNIUBE</p><p>b) Rendimento do transformador:</p><p>Transformadores trifásicos3.8</p><p>Para	se	transformar	tensões	trifásicas,	modificando	seus	valores	entre</p><p>a fonte e a carga, pode-se utilizar um único transformador trifásico</p><p>com o primário e o secundário enrolados sobre um núcleo de material</p><p>ferromagnético comum. Ou pode-se utilizar uma bancada composta de</p><p>transformadores monofásicos, que devem ter a mesma potência em KVA</p><p>e a mesma relação de transformação a. (OLIVEIRA; COGO; ABREU,</p><p>1984, p.1).</p><p>Tanto um jeito quanto o outro fornecem o mesmo resultado no que se</p><p>refere	à	transformação	de	tensões	trifásicas.	Assim,	as	explicações</p><p>sobre transformadores trifásicos são normalmente feitas a partir de</p><p>uma estrutura composta de três transformadores monofásicos. Assim,</p><p>UNIUBE 129</p><p>Figura 21: Três transformadores monofásicos idênticos de 50 KVA, 13800/220 V.</p><p>Pode‑se notar que os transformadores possuem a mesma potência</p><p>aparente, que é igual a 50 KVA, com o enrolamento do primário, com</p><p>a capacidade de suportar 13800 V, e o enrolamento secundário 220 V.</p><p>Tanto o primário como o secundário da estrutura transformadora trifásica</p><p>podem ser conectados em triângulo ou em estrela. Se o primário dessa</p><p>estrutura trifásica for conectado em delta, a estrutura pode ser alimentada</p><p>por um sistema trifásico, no qual as tensões de linha são de 13,8 KV.</p><p>Se, no entanto, o mesmo enrolamento trifásico for ligado em Y, essa</p><p>alimentação poderá ser de 23,9 KV, que é .13,8 KV. Por outro lado,</p><p>também o secundário pode ser conectado em estrela ou em triângulo.</p><p>Assim, se for conectado em estrela, as tensões de linha no secundário</p><p>serão .220 V, que é igual a 380V. No entanto, se for ligado em triângulo,</p><p>a tensão de linha no secundário será 220 V. (OLIVEIRA; COGO; ABREU,</p><p>1984, p.1).</p><p>A Figura 22 a seguir mostra as ligações para conectar o primário em delta</p><p>e o secundário em estrela.</p><p>sejam os transformadores monofásicos mostrados na Figura 21 a seguir.</p><p>(OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.1).</p><p>130 UNIUBE</p><p>Figura 22: Estrutura trifásica a partir de três transformadores monofásicos.</p><p>Note que os terminais do primário são designados com a letra H ( e</p><p>) e os terminais do secundário com a letra X ( e ). Note, também,</p><p>que,</p><p>no primário, a notação das grandezas elétricas do transformador</p><p>utiliza letras maiúsculas, enquanto as grandezas do secundário</p><p>utilizam letras minúsculas. Observe ainda que no secundário existe</p><p>um ponto em que os enrolamentos se juntam. É o neutro, caracterizado</p><p>pela letra n. Por outro, como cada transformador monofásico é de 50</p><p>KVA, a estrutura trifásica tem uma potência de 150 KVA. (OLIVEIRA;</p><p>COGO; ABREU, 1984, p.2).</p><p>3.8.1 Tipos de conexões</p><p>Os transformadores trifásicos podem ter diversos tipos de conexões em</p><p>função das diferentes possibilidades de ligar seus enrolamentos trifásicos</p><p>no primário e no secundário. De fato, o enrolamento do primário pode ser</p><p>UNIUBE 131</p><p>ligado em triângulo e estrela, assim como o enrolamento do secundário.</p><p>No mínimo, há as seguintes possibilidades de conexões desses</p><p>transformadores:	∆‑∆; ∆-Y;	Y-∆;	e	Y-Y.	Porém,	além	dessas	conexões,</p><p>existem outras variações, delas derivadas. (OLIVEIRA; COGO; ABREU,</p><p>1984, p.3).</p><p>Conexão ∆‑∆</p><p>Transformadores	na	conexão	∆‑∆	apresentam	o	enrolamento	trifásico	do</p><p>primário e do secundário ligados em triângulo, conforme mostra a Figura</p><p>23. Nota-se, observando o primário, que os módulos da tensão de linha e</p><p>da	tensão	de	fase	da	estrutura	são	os	mesmos,	ou	seja,	VL	=	VF.	Como</p><p>o secundário também está conectado em triângulo, o mesmo se repete.</p><p>(OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.3).</p><p>Por outro lado, de acordo com a teoria de circuitos elétricos trifásicos,</p><p>o módulo da corrente de fase é igual ao módulo da corrente de linha</p><p>dividida por , tanto no primário como no secundário. Assim,</p><p>(32)</p><p>(33)</p><p>VL é o módulo da tensão de linha, VF é o módulo da tensão de fase,</p><p>IL é o módulo da corrente de linha e IF é o módulo da corrente de fase</p><p>(Figura 23).</p><p>Figura 23: Conexão triângulo‑triângulo.</p><p>132 UNIUBE</p><p>As tensões de fase entre o primário e o secundário se relacionam entre</p><p>si de acordo com a teoria dos transformadores monofásicos, relação</p><p>direta com o número de espiras dos enrolamentos. (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984, p.4).</p><p>(34)</p><p>Da mesma maneira, as correntes de fase entre o primário e o secundário</p><p>se relacionam entre si na relação inversa do número de espiras.</p><p>(35)</p><p>O é a tensão de fase do primário, é a tensão de fase do</p><p>secundário, é a tensão de fase do primário, é a tensão de fase</p><p>do secundário e é a relação de transformação. (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984, p.3).</p><p>O	transformador	trifásico	na	conexão	∆‑∆	é	adequado	para	aplicações</p><p>envolvendo alimentação de cargas altamente desequilibradas. Além</p><p>disso, possui a vantagem de poder ser operado em delta aberto,</p><p>fornecendo uma saída trifásica com 1/ da potência anterior. Outrossim,</p><p>nessa estrutura as tensões de terceiro harmônico são eliminadas pela</p><p>circulação de correntes de terceiro harmônico nos enrolamentos em</p><p>delta. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.4).</p><p>Como os enrolamentos estão conectados em delta, a corrente em</p><p>cada fase é a corrente de linha dividida por . Assim, a corrente no</p><p>enrolamento é cerca de 57% da corrente de linha, o que exigirá uma</p><p>menor	bitola	de	fio,	se	comparada	com	uma	estrutura	de	mesma	potência</p><p>conectada	em	estrela.	Por	outro	lado,	a	tensão	de	linha	é	igual	à	de	fase.</p><p>Apresenta as desvantagens de não ter neutro disponível, o que, entre</p><p>outros	itens,	impede	o	suprimento	de	energia	a	quatro	fios.	E	apresenta</p><p>UNIUBE 133</p><p>a	dificuldade	de	confecção	das	bobinas	e	custos	mais	elevados	para</p><p>aplicações	envolvendo	altas	tensões	de	linha,	devido	à	necessidade</p><p>do reforço de isolação para suportar altos níveis de tensão (OLIVEIRA;</p><p>COGO; ABREU, 1984, p.4).</p><p>Exemplo 10</p><p>Uma	estrutura	transformadora	trifásica	∆‑∆,	de	relação	de	transformação</p><p>18:1, alimenta uma carga trifásica equilibrada que consome uma corrente</p><p>de linha de 389 A, em 440 V (Figura 24).</p><p>Figura 24:	Conexão	trifásica	∆‑∆.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.5).</p><p>Desprezando as perdas do transformador, determine o módulo das</p><p>tensões e correntes de linha e de fase no primário do transformador.</p><p>Resolução:</p><p>Tensão de fase no secundário:</p><p>Corrente de fase no secundário:</p><p>Corrente de fase no primário:</p><p>134 UNIUBE</p><p>Corrente de linha no primário:</p><p>Tensão de fase e de linha no primário:</p><p>Conexão ∆‑Y</p><p>Em	transformadores	na	conexão	∆-Y,	o	enrolamento	trifásico	do	primário</p><p>está ligado em triângulo e o enrolamento do secundário em estrela,</p><p>conforme mostra a Figura 25.</p><p>Nota-se, observando o primário, que o módulo da tensão de linha e a</p><p>tensão	de	fase	da	estrutura	são	os	mesmos,	ou	seja,	VL	=	VF,	devido	ao</p><p>enrolamento	trifásico	ligado	em	∆.	No	entanto,	como	o	secundário	está</p><p>ligado, conectado em estrela, o mesmo não se repete.</p><p>Figura 25: Conexão triângulo-estrela.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.6).</p><p>No primário, em função da conexão em triângulo, as tensões e correntes</p><p>de fase são</p><p>(36)</p><p>(37)</p><p>UNIUBE 135</p><p>Já, no secundário, em função da conexão em estrela, as tensões e</p><p>correntes de fase são</p><p>(38)</p><p>(39)</p><p>A principal aplicação do transformador trifásico na</p><p>conexão	∆‑Y	é	a	alimentação	de	cargas	a	quatro	fios.</p><p>É muito utilizado em subestações, na extremidade</p><p>emissora de linhas de transmissão e também em</p><p>linhas de distribuição dos sistemas elétricos. Possui a</p><p>vantagem de as tensões de terceiro harmônico serem</p><p>eliminadas pela circulação de correntes de terceiro</p><p>harmônico no primário em delta e pelo fato de que o</p><p>secundário pode ser aterrado ou utilizado para uma</p><p>alimentação a quatro condutores.</p><p>Além disso, cargas equilibradas e desequilibradas</p><p>podem ser alimentadas concomitantemente por essa</p><p>estrutura. No entanto, apresenta uma desvantagem,</p><p>pois a falta de uma fase coloca o transformador fora de</p><p>operação. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.143).</p><p>Exemplo 11</p><p>Tensões senoidais provenientes de uma fonte de tensão trifásica</p><p>e descritas pelas expressões a seguir alimentam o primário de um</p><p>transformador	trifásico,	conexão	∆‑Y (Figura 26). (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984, p.7).</p><p>136 UNIUBE</p><p>Figura 26:	Conexão	∆‑Y.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.7).</p><p>Se	uma	carga	conectada	em	seu	secundário	absorve	uma	corrente	eficaz</p><p>de 563 A, que resulta em uma corrente de 9,02 A, fornecida pela fonte</p><p>de tensão trifásica, pede‑se:</p><p>a)	determine	 o	 valor	 eficaz	 das	 tensões	 de	 fase	 e	 de	 linha	 no</p><p>secundário do transformador.</p><p>b) determine o defasamento angular entre as tensões de linha do</p><p>primário para as tensões de linha no secundário.</p><p>Resolução:</p><p>Cálculos iniciais:</p><p>Relação de transformação:</p><p>a)	A	tensão	eficaz	de	fase	e	linha	no	secundário.</p><p>Tensão de fase:</p><p>Tensão de linha:</p><p>UNIUBE 137</p><p>b) Defasamento angular entre as tensões de linha do primário para</p><p>as tensões de linha no secundário.</p><p>A tensão 	 sobre	o	enrolamento	do	primário	 se	 reflete	 sobre	o</p><p>enrolamento do secundário, resultando na tensão . O módulo da</p><p>tensão é proporcional ao número de espiras do secundário (Figura 27).</p><p>Figura 27: Diagrama fasorial das tensões de linha e de fase no secundário.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.9).</p><p>Assim, conforme calculado no item b, o módulo da tensão de fase no</p><p>secundário é 	=	127,78	V.	O	ângulo	é	o	mesmo	da	tensão	 , no</p><p>primário,	ou	seja,	θ	=	 . Observando o diagrama fasorial, vê‑se que a</p><p>tensão de linha está 	adiantada	em	relação	à	tensão	de	fase.	Portanto</p><p>as tensões de linha do secundário estão 	defasadas	em	relação	às</p><p>tensões de linha do primário.</p><p>Escrevendo na forma fasorial, as tensões no primário e no secundário são</p><p>Primário Secundário</p><p>138 UNIUBE</p><p>Pode‑se ver que as tensões de linha do secundário estão 30º adiantadas</p><p>em	relação	às	tensões	de	linha	no	primário. (OLIVEIRA; COGO; ABREU,</p><p>1984, p.9).</p><p>Conexão Y-Y</p><p>Em transformadores na conexão Y‑Y, o enrolamento trifásico do primário</p><p>e do secundário está ligado em estrela, conforme mostra a Figura 28.</p><p>Figura 28: Conexão estrela‑estrela.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.10).</p><p>No	primário,	devido	à	conexão	do	enrolamento	em	estrela,	as	tensões	e</p><p>correntes de fase são</p><p>(40)</p><p>(41)</p><p>No	 secundário,	 devido	 à	 conexão	 também	 em	 estrela,</p><p>o	 mesmo</p><p>acontece. Esse tipo de conexão de transformador trifásico é aplicado</p><p>para alimentação de cargas elétricas de pequena potência, o que resulta</p><p>em pequena corrente de linha. Possui a vantagem de ser a conexão mais</p><p>econômica para pequenas potências e altas tensões.</p><p>Nessa conexão, os neutros do primário e do secundário estão disponíveis</p><p>para	aterramento	ou	para	fornecer	uma	tensão	equilibrada	a	quatro	fios.</p><p>Outra vantagem é que se faltar uma das fases, em qualquer dos dois</p><p>lados, as duas fases que permanecerem podem operar de forma a</p><p>UNIUBE 139</p><p>permitir uma transformação monofásica.</p><p>No	entanto	tem	a	desvantagem	de	apresentar	neutros	que	são	flutuantes,</p><p>a menos que sejam consistentemente aterrados. Além disso, a falta</p><p>de uma fase tira do transformador a capacidade de fornecer tensões</p><p>trifásicas.	Outra	desvantagem	vem	da	dificuldade	de	confecção	do</p><p>enrolamento e os altos custos quando as correntes de linha se tornam</p><p>muito grandes. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984).</p><p>Exemplo 12</p><p>Seja um transformador trifásico, conexão Y‑ Y, que interliga duas linhas,</p><p>alimentando uma linha de transmissão de 500 KV (Figura 29).</p><p>Figura 29: Conexão Y – Y.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.11).</p><p>Sabendo	que	o	valor	eficaz	da	corrente	que	circula	no	primário	é	450	A</p><p>e que a relação de transformação é 1:4, determine:</p><p>a) o valor de tensão de linha da linha que alimenta o primário do</p><p>transformador;</p><p>b)	a	variação	percentual	da	corrente	do	secundário	em	relação	à</p><p>corrente no primário.</p><p>Resolução:</p><p>a) Tensão de linha no primário:</p><p>140 UNIUBE</p><p>b) Variação percentual da corrente do secundário em relação ao</p><p>primário:</p><p>Conexão Y-Δ</p><p>Em transformadores na conexão Y‑∆,	o	enrolamento	trifásico	do	primário</p><p>está ligado em estrela e o enrolamento do secundário em triângulo,</p><p>conforme mostra a Figura 30.</p><p>Figura 30: Conexão estrela‑triângulo.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.12).</p><p>Nota‑se, observando o enrolamento do primário, que o módulo da</p><p>corrente de fase e da corrente de linha da estrutura são os mesmos, ou</p><p>seja, .Já o módulo da tensão de fase é o módulo da linha dividido</p><p>por . Ou seja,</p><p>No entanto, como o secundário está conectado em triângulo, o módulo</p><p>da corrente de fase será igual ao módulo da corrente de linha dividido por</p><p>, enquanto as tensões de linha e de fase possuem o mesmo valor,</p><p>qual	seja,	VL	=	VF	(Figura	30).</p><p>UNIUBE 141</p><p>A principal aplicação da estrutura Y‑∆	é	como	transformador	abaixador	em</p><p>sistemas elétricos de potência. É instalado em subestações localizadas</p><p>na extremidade receptora de linhas de transmissão. (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984.).</p><p>Possui a vantagem de as tensões de terceiro harmônico serem eliminadas</p><p>pela circulação das correntes de terceiro harmônico no secundário em</p><p>delta. O neutro do primário mantém-se estável devido ao secundário</p><p>em delta, além de poder ser aterrado. Outra vantagem que a estrutura</p><p>apresenta é a de ser a melhor combinação para transformadores</p><p>abaixadores, pois a conexão estrela é apropriada para altas tensões, o</p><p>que implica os enrolamentos serem isolados para tensão de fase.</p><p>Além disso, a conexão em triângulo é adequada para altas correntes.</p><p>Estando o enrolamento conectado em delta, a corrente de fase é menor</p><p>que a corrente de linha em, aproximadamente, 43%. Como desvantagem,</p><p>destaca-se que não há neutro no secundário disponível para aterramento</p><p>ou	para	uma	possível	alimentação	a	quatro	fios.	(OLIVEIRA;	COGO;</p><p>ABREU, 1984).</p><p>Exemplo 13</p><p>Uma rede trifásica de distribuição absorve 6,6 MW, em 13,8 KV, com</p><p>fator de potência 0,7 atrasado, de uma subestação na qual se encontra</p><p>um transformador abaixador na conexão Y‑∆	(Figura	31).	Sabe-se	que,</p><p>no secundário do transformador, as tensões são</p><p>Vab	=	13800	<	0°	V</p><p>Vbc	=	13800	<	120°	V</p><p>Vca	=	13800	<	240°	V</p><p>142 UNIUBE</p><p>Figura 31: Conexão Y‑∆.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.13).</p><p>a) Determine o módulo da corrente de linha no primário.</p><p>b) Determine as tensões de linha no primário do transformador em KV.</p><p>c) Determine o defasamento angular entre as tensões de linha do</p><p>primário para o secundário.</p><p>Resolução:</p><p>a) Corrente de linha no primário:</p><p>b) Tensões de linha no primário:</p><p>UNIUBE 143</p><p>c) Defasamento angular entre tensões de linha do primário para o</p><p>secundário.</p><p>A tensão Vab sobre o enrolamento do secundário é consequência da</p><p>indução de tensão sobre o enrolamento, cujo valor depende do número</p><p>de espiras. No primário, o módulo da tensão VAN é proporcional ao</p><p>número de espiras do primário. No secundário, o mesmo acontece</p><p>(Figura 32).</p><p>Figura 32: Diagrama fasorial das tensões de fase e de</p><p>linha no primário.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.15).</p><p>Assim, conforme calculado no item b, o módulo da tensão de fase no</p><p>primário é VF1	=	110,4	KV.	O	ângulo	de	VAN é o mesmo da tensão Vab,</p><p>no	secundário,	ou	seja,	θ	=	 . Observando o diagrama fasorial, vê-se</p><p>que a tensão de linha está 	atrasada	em	relação	à	tensão	de	fase.</p><p>Portanto as tensões de linha do primário estão defasadas em relação</p><p>a tensões de linha do secundário.</p><p>Escrevendo na forma fasorial, as tensões no primário e no secundário são:</p><p>Primário Secundário</p><p>144 UNIUBE</p><p>Pode-se ver que as tensões de linha do secundário estão 30º atrasadas</p><p>em	relação	às	tensões	de	linha	no	primário.</p><p>Conexão Y-Y com terciário em Δ</p><p>Nos transformadores com conexão Y‑Y	 e	 com	 terciário	 em	 ∆,	 o</p><p>enrolamento trifásico do primário está ligado em estrela, o enrolamento</p><p>do secundário em estrela e o terciário em triângulo, conforme mostra a</p><p>Figura 33.</p><p>Figura 33: Conexão estrela‑estrela com terciário em delta.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.16).</p><p>Esse tipo de estrutura trifásica, com conexão Y‑∆‑Y, é aplicado em cargas</p><p>de pequena potência ou mesmo em sistemas de distribuição. Possui a</p><p>vantagem de o enrolamento terciário em delta fornecer um caminho para</p><p>os componentes de terceiro harmônico da corrente de magnetização, o que</p><p>elimina as tensões de terceiro harmônico dos enrolamentos em estrela.</p><p>Portanto os pontos neutros de tais enrolamentos são estáveis. Além disso,</p><p>estão disponíveis para serem aterrados. E, ainda, o enrolamento terciário</p><p>em	∆	pode	ser	utilizado	para	suprimento	de	cargas	elétricas.	Porém	essas</p><p>estruturas apresentam a desvantagem de que, dependendo do intento</p><p>da aplicação, o custo do transformador pode ser muito elevado. Outra</p><p>desvantagem é que um defeito no enrolamento auxiliar pode colocar</p><p>o transformador fora de operação (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984).</p><p>UNIUBE 145</p><p>Exemplo 14</p><p>Um transformador trifásico Y‑∆‑Y interliga duas linhas de transmissão. No</p><p>primário do transformador está uma linha de 340 KV e, no secundário,</p><p>está	uma	linha	de	240	KV.	No	terciário	conectado	em	∆,	com	tensão	de</p><p>13,8 KV, está conectada uma carga que consome uma potência ativa de</p><p>1,2 MW, com fator de potência 0,75 atrasado (Figura 34).</p><p>Figura 34: Conexão Y‑∆‑Y.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.17).</p><p>Qual será a contribuição dessa carga para a corrente que circula no</p><p>primário do transformador?</p><p>146 UNIUBE</p><p>Conexão ∆-zigue-zague</p><p>Em	transformadores	na	conexão	∆-zigue-zague,	o	enrolamento	trifásico</p><p>do primário está ligado em triângulo e o enrolamento do secundário,</p><p>em estrela. Sendo que cada uma das fases é constituída de dois</p><p>enrolamentos-metade, conforme mostra a Figura 35 (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984, p.18).</p><p>Figura 35: Conexão delta zigue-zague.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.18).</p><p>A grande aplicação de transformadores trifásicos na conexão</p><p>∆-zigue-zague	é	em	estruturas	trifásicas	utilizadas	para	alimentação	de</p><p>conversores	estáticos,	como	os	retificadores.	O	objetivo	desse	tipo	de</p><p>conexão é evitar a saturação do núcleo devido ao componente contínuo</p><p>da corrente de carga. Fato esse que pode acontecer se o núcleo do</p><p>transformador for de quatro pernas ou se a estrutura trifásica for</p><p>composta por três transformadores monofásicos. (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984.).</p><p>A primeira vantagem dessa estrutura é que as tensões de terceiro</p><p>harmônico são eliminadas pela circulação de correntes de terceiro</p><p>harmônico no primário, que é conectada em triângulo. A segunda é que o</p><p>neutro do secundário pode ser aterrado, pode ser usado para alimentação</p><p>de	cargas	a	quatro	fios,	ou,	ainda,	pode	proporcionar	um	neutro	para	um</p><p>sistema de corrente contínua a três condutores. (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984.).</p><p>A desvantagem é que, devido ao defasamento das metades dos</p><p>enrolamentos, que são conectados em série para formar uma fase, a</p><p>UNIUBE 147</p><p>conexão	∆-zigue-zague	exige,	em	cada	enrolamento,	cerca	de	15%	a</p><p>mais de condutores elétricos de cobre, alumínio ou outra liga de material</p><p>condutor com a qual o enrolamento é construído. Além disso, a falta de</p><p>uma fase coloca o transformador fora de operação (OLIVEIRA; COGO;</p><p>ABREU, 1984).</p><p>Exemplo 15</p><p>Seja um transformador trifásico, de relação de transformação 4:1, na</p><p>conexão	∆-zigue-zague,	veja	a	Figura	36,	que	mostra	o	enrolamento</p><p>secundário	excitando	um	retificador	trifásico	de	meia	onda.</p><p>Figura 36: Enrolamento do secundário em zigue‑zague.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.19).</p><p>A	tensão	retificada	é	VDC = 128,7 V e a resistência da carga é R = 1,2</p><p>Ω. Sabendo ainda que existem as relações: e</p><p>, em que 	é	o	valor	eficaz	da	tensão	de	fase	do	secundário	do</p><p>transformador, 	é	a	corrente	eficaz	no	secundário	do	transformador	e</p><p>ainda que é a corrente média na carga. Pede-se:</p><p>a)	a	corrente	eficaz	que	circula	no	secundário	do	transformador;</p><p>b)	a	tensão	eficaz	de	cada	enrolamento-metade	do	secundário;</p><p>c)	 a	tensão	eficaz	no	primário;</p><p>148 UNIUBE</p><p>d)	a	corrente	eficaz	no	primário;</p><p>e)	explique	por	que	se	utiliza	um	transformador	∆-zigue-zague	para</p><p>esse tipo de carga.</p><p>Resolução:</p><p>a)	Corrente	eficaz	no	secundário	do	transformador:</p><p>b)	Tensão	eficaz	em	cada	enrolamento	metade	do	secundário:</p><p>c)	 Tensão	eficaz	no	primário:</p><p>d)	Corrente	eficaz	no	primário:</p><p>e)	Utilização	do	transformador	∆-zigue-zague	para	alimentação	de</p><p>conversores estáticos.</p><p>Observando a estrutura mostrada na Figura 36, nota-se que, toda vez</p><p>que um dos diodos estiver conduzindo a corrente, essa circula pelos</p><p>dois	enrolamentos	metade.	Esse	funcionamento	faz	com	que	o	fluxo</p><p>magnético no núcleo de ferro do transformador vá-se alternando e, desta</p><p>maneira, evita a saturação de seu circuito magnético. Isso se aplica</p><p>quando o núcleo do transformador é de quatro pernas ou quando são</p><p>UNIUBE 149</p><p>utilizados três transformadores monofásicos para constituir uma estrutura</p><p>transformadora trifásica. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984).</p><p>Autotransformadores trifásicos</p><p>Os autotransformadores trifásicos são dispositivos nos quais cada fase</p><p>é constituída de um único enrolamento que serve ao primário e ao</p><p>secundário. Normalmente são conectados em estrela-estrela, conforme</p><p>mostra a Figura 37, e possuem tapes que normalmente são de 65% e</p><p>80%. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.5).</p><p>Figura 37: Autotransformador trifásico.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.21).</p><p>Esses dispositivos são usados em chaves compensadoras, justamente</p><p>para diminuir a corrente de partida que os motores de indução trifásicos</p><p>solicitam da fonte de alimentação.</p><p>O autotransformador trifásico reduz essa corrente de duas maneiras. A</p><p>primeira é que a tensão aplicada ao enrolamento do motor é reduzida,</p><p>acarretando a diminuição da corrente solicitada pelo motor no momento</p><p>da partida. Essa corrente é a corrente que circula no secundário do</p><p>autotransformador. A segunda maneira é que a corrente solicitada da</p><p>rede	de	alimentação	será	a	corrente	que	circula	no	secundário	refletida</p><p>no primário, pela relação de transformação (KOSOW, 1987).</p><p>(42)</p><p>Como o número de espiras do secundário é menor que o do primário para</p><p>os diversos tapes que o transformador apresenta, a corrente solicitada</p><p>150 UNIUBE</p><p>da	rede	de	alimentação	fica	reduzida,	conforme	pode	ser	descrito	pela</p><p>expressão 42 acima.</p><p>Exemplo 16</p><p>Um autotransformador trifásico com tapes de 65% e 80% é utilizado para</p><p>partir um motor trifásico ligado em estrela, cuja impedância por fase é 0,5</p><p>+	j0,8	Ω.	A	tensão	de	linha	da	rede	de	alimentação	é	440	V.</p><p>Qual será a corrente solicitada da rede de alimentação se for utilizado o</p><p>tape de 65%?</p><p>E	qual	será	a	corrente,	se	o	motor	partir	diretamente	ligado	à	rede	de</p><p>alimentação? (Figura 38).</p><p>Qual será a porcentagem da corrente com partida com autotransformador</p><p>em	relação	à	partida	direta? (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.21).</p><p>Figura 38: Conexão do autotransformador para partida de motor.</p><p>Fonte: Oliveira; Cogo; Abreu (1984, p.22).</p><p>Resolução:</p><p>Corrente solicitada da rede de alimentação, utilizando o</p><p>autotransformador:</p><p>UNIUBE 151</p><p>Corrente com partida direta:</p><p>Porcentagem da corrente com partida com autotransformador em relação</p><p>à	partida	direta:</p><p>Assim, percebe-se que, utilizando-se o autotransformador, a corrente que</p><p>o motor solicita da rede de alimentação na partida é 57,75% menor, caso</p><p>o	motor	partisse	diretamente	ligado	à	fonte	de	alimentação. (OLIVEIRA;</p><p>COGO; ABREU, 1984, p.22).</p><p>Em um transformador monofásico, existe a relação entre a tensão do</p><p>primário para o secundário, dada por:</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>E N</p><p>E N</p><p>= , ou 1</p><p>2</p><p>E a</p><p>E</p><p>= , em que: 1</p><p>2</p><p>Na</p><p>N</p><p>=</p><p>E a relação entre as correntes do primário para o secundário é dada por:</p><p>1 1</p><p>2 1</p><p>I N</p><p>I N</p><p>= , ou 1</p><p>2</p><p>1I</p><p>I a</p><p>= , em que: 2</p><p>1</p><p>1 N</p><p>a N</p><p>=</p><p>Nos transformadores trifásicos, as mesmas relações se estabelecem. É</p><p>preciso lembrar que essas relações acontecem entre os enrolamentos.</p><p>Portanto essas relações são entre as grandezas de fase.</p><p>Para as tensões de fase, há as seguintes relações:</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>F</p><p>F</p><p>E N</p><p>E N</p><p>= , ou 1</p><p>2</p><p>F</p><p>F</p><p>E a</p><p>E</p><p>= , em que: 1</p><p>2</p><p>Na</p><p>N</p><p>=</p><p>RELEMBRANDO</p><p>152 UNIUBE</p><p>Para as correntes de fase, há as seguintes relações:</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>F</p><p>F</p><p>I N</p><p>I N</p><p>= , ou 1</p><p>2</p><p>1F</p><p>F</p><p>I</p><p>I a</p><p>= , onde: 2</p><p>1</p><p>1 N</p><p>a N</p><p>=</p><p>Em uma conexão trifásica, há as seguintes relações:</p><p>Conexão em estrela:</p><p>e V</p><p>3</p><p>L</p><p>F L F</p><p>VI I= =</p><p>Conexão em triângulo:</p><p>V V e I</p><p>3</p><p>L</p><p>F L F</p><p>I</p><p>= =</p><p>Exemplo 17</p><p>Uma subestação que interliga uma linha de transmissão com outra</p><p>de distribuição possui um transformador trifásico 30 MVA, que, em</p><p>determinada situação de carga, absorve 38,36 A da rede de alimentação.</p><p>O transformador está conectado em Y‑∆,	as	tensões	do	primário	são</p><p>descritas por:</p><p>e a relação de transformação é de 18:1.</p><p>Pede‑se:</p><p>a) determine as tensões de linha no secundário;</p><p>b) determine o módulo da corrente de fase e de linha no secundário.</p><p>(OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.23).</p><p>UNIUBE 153</p><p>Resolução:</p><p>a) Determinação do módulo da tensão de linha no secundário:</p><p>Determinação do ângulo das tensões do secundário:</p><p>A sequência de fase é acb. Assim, a tensão de fase está adiantada</p><p>em	relação	à	tensão	de	linha.	Essa	tensão	de	fase	se	reflete	no</p><p>secundário.	Como	o	secundário	está	conectado	em	Δ,	a	tensão	de	fase</p><p>é	igual	à	tensão	de	linha,	portanto	o	ângulo	de	fase	da	tensão	de	linha</p><p>é também .</p><p>As tensões de linha no secundário são:</p><p>b) Módulo das correntes de fase e de linha:</p><p>154 UNIUBE</p><p>Exemplo 18</p><p>Considerando que o ângulo de defasagem entre a tensão de fase e a</p><p>corrente de fase no secundário do transformador do exemplo 4 é de ,</p><p>calcule:</p><p>a) a potência ativa absorvida pela carga;</p><p>b) a potência reativa absorvida pela carga;</p><p>c) o carregamento percentual do transformador para essa situação</p><p>de carga. (OLIVEIRA; COGO; ABREU, 1984, p.24).</p><p>Resolução:</p><p>a) Potência ativa:</p><p>b) Potência reativa:</p><p>c) Carregamento percentual:</p><p>UNIUBE 155</p><p>Resumo</p><p>Neste capítulo, foram abordados os conceitos relacionados a circuito</p><p>equivalente	simplificado	e	à	sua	aplicação	no	cálculo	e	análise	das</p><p>tensões no primário de um transformador e, também, para o estudo</p><p>da regulação de tensão em transformadores de potência. Estudo esse</p><p>de grande importância na análise da</p><p>operação de transformadores,</p><p>principalmente aqueles locados para alimentação de cargas industriais.</p><p>Além disso, tratou-se do estudo do rendimento do transformador, que é</p><p>outro item de grande importância, já que os transformadores de potência</p><p>são dispositivos que trabalham grandes quantidades de energia e</p><p>precisam apresentar rendimentos altos, o que implica que pequena parte</p><p>de energia envolvida é perdida em seu funcionamento e operação. Em</p><p>todos esses tópicos, foram propostos e resolvidos diversos exemplos</p><p>que mostraram de forma prática a aplicação dos conceitos associados.</p><p>Por	fim,	estudaram-se	os	transformadores	trifásicos,	com	destaque	para</p><p>os diversos tipos de conexões, vantagens, desvantagens e aplicações.</p><p>Dentre	eles,	têm	grande	importância	as	conexões	∆-Y	e	Y-∆.	A	conexão</p><p>∆-Y,	devido	a	sua	utilização	na alimentação de linhas de transmissão</p><p>em estruturas transformadoras elevadoras. Por outro lado, esse mesmo</p><p>tipo de conexão é utilizado nos sistemas de distribuição, alimentando as</p><p>residências em tensões de 220/127 V, já que no secundário têm-se dois</p><p>níveis de tensão: entre as linhas 220 V, e entre fase-neutro, 127 V.</p><p>Nos sistemas elétricos industriais, da mesma maneira, em muitas</p><p>situações é utilizado esse tipo de conexão, porém apresenta os níveis</p><p>380/220	V,	440/254	V,	760/440	V.	Já,	a	conexão	Y-∆	tem	sua	aplicação</p><p>importante nas subestações abaixadoras que recebem tensões das</p><p>linhas de transmissão e alimentam as redes de distribuição.</p><p>156 UNIUBE</p><p>Referências</p><p>BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 8. ed. Rio de</p><p>Janeiro: Pearson Education, 2004.</p><p>DEL TORO, A. E. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: PHB, 1991.</p><p>FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JÚNIOR, C.; STEPHEN D. Máquinas elétricas.</p><p>6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.</p><p>KOSOW, I. Máquinas elétricas e transformadores. 7. ed. Rio de Janeiro:</p><p>Editora Globo, 1987.</p><p>NASAR, A. N. Máquinas elétricas. São Paulo: McGraw‑Hill – Coleção Schaum,</p><p>1984.</p><p>OLIVEIRA, J. C.; COGO, J. R.; ABREU, J. P. G. de. Transformadores: teoria e</p><p>ensaios. 6. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1984.</p><p>SIMONE, G. A. Transformadores: teoria e ensaios. São Paulo: Erica, 1998.</p><p>em que acontece o</p><p>armazenamento de energia sob uma forma e o seu fornecimento</p><p>acontece	sob	outra	forma.	Neste	sentido,	é	fundamental	que	o	profissional</p><p>da área da energia elétrica tenha conhecimentos sólidos sobre este</p><p>processo, assim como os conceitos e dispositivos neles relacionados.</p><p>Para tanto, elaboramos este livro intitulado Conversão de energia.</p><p>No primeiro capítulo, intitulado “Circuitos magnéticos”, você poderá</p><p>compreender a teoria dos indutores e dos circuitos magnéticos. Portanto</p><p>aprenderá como calcular a energia que será armazenada nos indutores</p><p>e a resolver circuitos magnéticos.</p><p>No segundo capítulo, “Transformadores”, daremos prosseguimento aos</p><p>estudos sobre dispositivos utilizados na transmissão de energia elétrica.</p><p>Você aprenderá a utilizar os conceitos de indutores magneticamente</p><p>acoplados, compreenderá a teoria de funcionamento dos transformadores</p><p>e calculará as grandezas elétricas em transformadores monofásicos,</p><p>determinando o circuito equivalente destes transformadores.</p><p>No	 terceiro	 capítulo,	 intitulado	 “Circuito	 equivalente	 simplificado	 e</p><p>transformadores trifásicos”, você verá com mais detalhes as unidades</p><p>dos transformadores, os modos de construção e suas vantagens.</p><p>Bom proveito nesta aprendizagem!</p><p>Apresentação</p><p>Introdução</p><p>Circuitos magnéticosCapítulo</p><p>1</p><p>Para entender o funcionamento dos dispositivos conversores</p><p>de energia, é necessário o estudo da Teoria dos Indutores dos</p><p>Circuitos Magnéticos. Mais do que isso, para a compreensão</p><p>do funcionamento geral desses dispositivos, é fundamental o</p><p>estudo de alguns conceitos e leis advindas de deduções a partir</p><p>de experimentos práticos. A operação de grande parcela dos</p><p>mecanismos presentes nos setores produtivos industriais pode</p><p>ser explicada por intermédio da Teoria do Eletromagnetismo e pela</p><p>solução de circuitos magnéticos.</p><p>Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	você	será	capaz	de:</p><p>• compreender a Teoria dos Indutores e dos circuitos</p><p>magnéticos;</p><p>• calcular a energia armazenada nos indutores;</p><p>• resolver circuitos magnéticos.</p><p>Objetivos</p><p>1.1 Indutor</p><p>1.2 Fluxo magnético e o estado de carga do indutor</p><p>1.3 Curva característica do indutor</p><p>Esquema</p><p>2 UNIUBE</p><p>1.4 Energia e coenergia magnéticas</p><p>1.5 Coenergia magnética</p><p>1.6 Indutores lineares e não lineares</p><p>1.7 Indutor linearizado</p><p>1.8 Campos magnéticos</p><p>1.9 Linhas de campos magnéticos</p><p>1.10 Campo magnético e ímãs permanentes</p><p>1.10.1 Campo magnético de ímãs permanentes</p><p>1.11 Campo magnético e correntes elétricas</p><p>1.11.1 Campos magnéticos devido ao movimento de cargas</p><p>ou correntes elétricas</p><p>1.11.2 Unidades de medida utilizadas</p><p>1.11.3 Lei de Hopkinson: a analogia com a Lei de Ohm</p><p>1.11.4 Perdas no núcleo</p><p>1.12 Circuito magnético</p><p>1.13 Operação em corrente alternada</p><p>1.13.1 Perdas por correntes de Foucault</p><p>1.13.2 Perdas por histerese</p><p>1.13.3 Perdas por frangeamento</p><p>1.14 Fator laminação</p><p>Indutor1.1</p><p>O	indutor	é	basicamente	composto	por	um	fio	enrolado	sobre	um	núcleo</p><p>constituído de material ferromagnético, muito embora tal núcleo possa</p><p>ser composto por outros materiais não-magnéticos, inclusive pelo ar. A</p><p>Figura 1 mostra o desenho esquemático do indutor percorrido por uma</p><p>corrente	com	o	núcleo	de	ferro.	O	sentido	do	fluxo	magnético	por	ele</p><p>produzido pode também ser obtido utilizando a regra da mão direita como</p><p>mostra a Figura 2.</p><p>UNIUBE 3</p><p>Figura 1: Representação esquemática de um indutor.</p><p>Como mostra a Figura 2 a seguir, ao fechar-se os dedos da mão direita no</p><p>sentido em que a corrente circula pelo enrolamento do dispositivo, o polegar</p><p>indica	o	sentido	do	fluxo	magnético	no	interior	do	núcleo	de	ferro	do	indutor.</p><p>Figura 2: Regra do saca-rolhas (regra da mão direita).</p><p>Pela sua produção inerente de campos magnéticos, quando percorrido por</p><p>uma corrente elétrica, o indutor tem o principal papel no funcionamento de</p><p>equipamentos conversores de energia. E o que são estes dispositivos?</p><p>Estes são componentes de um circuito que, na sua entrada, recebem</p><p>energia em uma forma e a devolvem, na sua saída, sob outra. Nos</p><p>4 UNIUBE</p><p>conversores eletromecânicos de energia, estão envolvidas as seguintes</p><p>formas de energia: mecânica, magnética e térmica. Nestes conversores,</p><p>a entrada é alimentada com energia mecânica e, na saída, elétrica</p><p>(geradores), ou o contrário energia elétrica na entrada e mecânica na</p><p>saída (motores). Os principais dispositivos dessa categoria são os</p><p>geradores e os motores elétricos, respectivamente como mostra a Figura 3.</p><p>a)</p><p>Figura 3: Desenho representativo do funcionamento: (a) motor elétrico (b) gerador elétrico.</p><p>b)</p><p>Fluxo magnético e o estado de carga do indutor1.2</p><p>Um fenômeno físico muito interessante é a criação de campos</p><p>magnéticos através da excitação do indutor. Se uma corrente elétrica</p><p>UNIUBE 5</p><p>circula pelo enrolamento do indutor, cria-se, em torno dele, um campo</p><p>magnético. Para o indutor enrolado em um núcleo ferromagnético, um</p><p>fluxo	magnético.</p><p>Se uma corrente elétrica circula pelo enrolamento do indutor, cria-se, no</p><p>núcleo,	um	fluxo	magnético	concatenado	λ,	que	é	o	somatório	do	fluxo</p><p>produzido por cada espira da bobina do dispositivo:</p><p>λ	=	ΣΦk	 (1)</p><p>em	que	Φk	é	fluxo	associado	à	k-ésima	espira	do	enrolamento	da	bobina</p><p>do	indutor.	Muitas	hipóteses	simplificadoras	são	adotadas	em	uma</p><p>análise	de	circuitos	magnéticos.	Uma	dessas	hipóteses	é	que	Φk	=	Φ,</p><p>para	qualquer	k.	E	o	fluxo	total	será:</p><p>λ	=	nΦ	 (2)</p><p>sendo	que	λ	é	o	fluxo	concatenado,	n	é	o	número	de	espiras	e	Φ	é	o	fluxo</p><p>produzido por cada espira.</p><p>Vamos	simular	o	aumento	do	fluxo	com	o	aumento	do	número	de	espiras.</p><p>Para isso, pegue uma bobina com 300 espiras e coloque sobre um núcleo de</p><p>ferro. Aplique uma tensão que a bobina suporta, por exemplo, 50 V contínuos</p><p>ou alternados.</p><p>Aproxime do núcleo de ferro uma moeda de 1 real. Sinta a força de atração.</p><p>Depois troque a bobina de 300 espiras por uma de 900 espiras e aplique a</p><p>mesma tensão. Aproxime novamente a moeda de 1 real.</p><p>Note que a força de atração aumentou.</p><p>De	fato,	isso	acontece	devido	ao	aumento	do	fluxo,	o	que	implica	uma	maior</p><p>densidade	de	fluxo	(fluxo	por	área	de	seção	reta)	com	impacto	imediato</p><p>sobre a força de atração entre o núcleo de ferro e a moeda.</p><p>EXPERIMENTANDO</p><p>6 UNIUBE</p><p>O indutor armazena energia em um campo magnético, que se estabelece</p><p>quando uma corrente elétrica circula pelo seu enrolamento. O estado</p><p>de excitação magnética do indutor, que está intimamente associado</p><p>à	 quantidade	 de	 energia	 armazenada	 em	 seu	 núcleo	 de	 ferro,	 é</p><p>caracterizado	pelo	fluxo	concatenado	λ.	Conforme	ilustra	a	Figura	4,</p><p>tal	fluxo	está	interligado	com	a	corrente	que	circula	no	enrolamento	do</p><p>indutor e independe da geometria do núcleo, do número de espiras</p><p>e	do	material	magnético	do	indutor.	Assim,	pode-se	dizer	que	o	fluxo</p><p>concatenado	λ	é	a	variável	de	estado	e	a	corrente	i,	sua	variável	de</p><p>vínculo.</p><p>Figura 4: Variáveis de estado e de vínculo.</p><p>Variável de estado é qualquer variável que univocamente caracteriza o</p><p>estado de excitação de um dispositivo. Para cada estado de excitação</p><p>do dispositivo, tem-se um único valor de sua variável de estado,</p><p>independentemente da maneira como o sistema atingiu aquele ponto.</p><p>Da mesma maneira, para cada conjunto de valores de suas variáveis de</p><p>estado tem-se um único estado de excitação.</p><p>λ</p><p>UNIUBE 7</p><p>Curva característica do indutor1.3</p><p>A curva característica de um material magnético, como já se sabe do</p><p>estudo	dos	materiais	magnéticos,	é	bem	definida	por	uma	curva	no</p><p>plano B x H. Ou seja, relaciona a grandeza magnética densidade de</p><p>fluxo	magnético	B	com	a	intensidade	do	campo	magnético	H,	conforme</p><p>pode se ver na Figura 5.</p><p>Figura 5: Curva característica de um</p><p>material magnético ideal.</p><p>A curva mostrada na Figura 5 acima é a curva característica de um</p><p>material magnético ideal, ou seja, um material que não apresenta as</p><p>chamadas perdas por histerese. No entanto sabe-se que os materiais</p><p>magnéticos apresentam uma relação complexa entre a densidade de</p><p>fluxo	B	e	a	intensidade	de	campo	H.</p><p>De	fato,	a	densidade	de	campo</p><p>B depende do valor da intensidade de campo H e também da maneira</p><p>como seu valor foi atingido (Figura 6).</p><p>Figura 6: Curva característica de um material magnético real.</p><p>B</p><p>H</p><p>B</p><p>H</p><p>8 UNIUBE</p><p>Para	um	determinado	ciclo,	a	densidade	de	fluxo	B	possui	dois	valores</p><p>para cada valor de H. Um, quando a intensidade de campo está</p><p>aumentando, e outro, quando está diminuindo. Isso acontece devido ao</p><p>que se chama de histerese. Do conhecimento adquirido a partir do estudo</p><p>de circuitos magnéticos, sabe-se que</p><p>(3)</p><p>em que A é a área da secção transversal do núcleo de ferro.</p><p>Considerando	que	a	densidade	de	fluxo	B	possua	um	valor	constante	ao</p><p>longo de toda a secção transversal do núcleo do indutor, então</p><p>(4)</p><p>Substituindo (4) em (2), chega-se a:</p><p>, ou seja, , (5)</p><p>𝝀	é	o	fluxo	concatenado,	 	é	constante	e	B	é	a	densidade	de	fluxo.</p><p>Assim, percebe‑se que existe uma relação direta entre a densidade de</p><p>fluxo	B	e	o	fluxo	concatenado	λ.	Considere,	agora,	a	lei	de	circuito	de</p><p>Ampère</p><p>(6)</p><p>O termo H é a intensidade de campo, dl é a diferencial de comprimento</p><p>do circuito magnético, n é o número de espiras e i é a corrente que circula</p><p>no enrolamento do indutor. Considerando que a intensidade de campo</p><p>H é constante, então</p><p>(7)</p><p>UNIUBE 9</p><p>Assim, isolando o valor da corrente i, tem-se</p><p>(8)</p><p>Percebe‑se, da mesma maneira, que existe uma relação direta entre a</p><p>corrente e o campo magnético H (Figura 7) a seguir.</p><p>Figura 7: Curva característica de um material magnético real.</p><p>E, assim, como B e H estão interligados por uma relação funcional,</p><p>que	é	a	curva	característica	do	material	magnético,	as	variáveis	λ	e	i</p><p>determinam a mesma curva característica, devido ao vínculo entre elas.</p><p>Energia e coenergia magnéticas1.4</p><p>Considere que o indutor, representado na Figura 8 a seguir, esteja</p><p>inicialmente energizado e que uma corrente i, proveniente da fonte de</p><p>alimentação, circule pelo enrolamento do dispositivo.</p><p>i</p><p>λ</p><p>10 UNIUBE</p><p>Figura 8: Curva característica de um material</p><p>magnético ideal.</p><p>Se	 isso	é	 verdade,	 o	 fluxo	 concatenado	 será	 , gerando um par</p><p>ordenado	(i,λ)	=	( , ). Considere, agora, que a fonte injete uma nova</p><p>corrente	no	enrolamento	do	indutor	gerando	um	novo	par	ordenado	(i,	λ)</p><p>=	( , ) (Figura 9).</p><p>Figura 9: Energia armazenada no indutor.</p><p>Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito elétrico do indutor,</p><p>tem-se:</p><p>(9)</p><p>Multiplicando ambos os lados dessa expressão por , tem-se:</p><p>i</p><p>λ Wm</p><p>λ</p><p>UNIUBE 11</p><p>(10)</p><p>Executando	as	devidas	simplificações,	tem-se</p><p>(11)</p><p>O termo é a energia fornecida pela fonte, é a energia</p><p>dissipada no enrolamento na forma de calor e é a energia</p><p>armazenada no indutor, no intervalo de tempo . Retirando a diferencial de</p><p>energia dissipada no enrolamento do indutor da diferencial fornecida pela</p><p>fonte, tem-se o diferencial da energia magnética armazenada no indutor</p><p>(12)</p><p>Assim</p><p>(13)</p><p>A energia armazenada no indutor, quando a corrente foi de para ,</p><p>pode ser calculada por</p><p>(14)</p><p>Assim</p><p>(15)</p><p>Da mesma maneira que o indutor absorveu e armazenou essa energia</p><p>devido ao aumento da corrente de para , se ocorrer o contrário, qual</p><p>seja decrescer para , ocorrerá o retorno de para . Então, a</p><p>energia é devolvida para a fonte de alimentação.</p><p>12 UNIUBE</p><p>Coenergia magnética1.5</p><p>Conforme foi observado anteriormente, é possível calcular a energia</p><p>armazenada em um indutor, se conhecida a expressão da corrente em</p><p>função	do	fluxo	concatenado	λ.	Ou	seja,	tem	que	se	ter	 . Existem</p><p>situações em que o contrário acontece, qual seja, tem-se disponível</p><p>. E mais que isso, pode ser que colocar analiticamente a corrente</p><p>em	função	do	fluxo	torne-se	bastante	trabalhoso	ou	até	impossível,	por</p><p>exemplo, numa expressão do tipo</p><p>(16)</p><p>Assim, pode‑se utilizar um artifício matemático que é chamado de</p><p>coenergia (Figura 10).</p><p>Figura 10: Coenergia armazenada no indutor.</p><p>A diferencial da coenergia magnética é dada por</p><p>(17)</p><p>λ</p><p>1i 2i</p><p>1λ</p><p>2λ Wcm</p><p>UNIUBE 13</p><p>Integrando os dois lados dessa expressão, tem-se:</p><p>(18)</p><p>Calculada a coenergia, é possível calcular a energia armazenada,</p><p>utilizando a expressão 19 a seguir descrita:</p><p>(19)</p><p>Em que é a coenergia magnética, é energia magnética e i é a</p><p>área total.</p><p>Entendidas e compreendidas as equações anteriores, vamos resolver</p><p>os exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 1</p><p>Considere	um	indutor	descrito	pelas	expressões	a	seguir,	em	que	o	fluxo</p><p>é dado em Weber e a corrente em Ampère.</p><p>- Esboce a curva característica para esse indutor.</p><p>- Calcule a energia absorvida da fonte de alimentação, por esse indutor,</p><p>se a corrente for elevada de 0 para 5 A.</p><p>Resolução:</p><p>a) Esboço da curva característica do indutor (Quadro 1 e Figura 9).</p><p>a) Cálculo da energia absorvida pelo indutor.</p><p>14 UNIUBE</p><p>Coenergia:</p><p>Energia</p><p>Indutores lineares e não lineares1.6</p><p>Os indutores normalmente são dispositivos não lineares. Isso se deve</p><p>à	presença	do	núcleo	de	material	ferromagnético.	Ou	seja,	seu	núcleo</p><p>é constituído de material magnético, cuja curva característica natural é</p><p>não linear, devido ao efeito da saturação que os materiais magnéticos</p><p>apresentam. No entanto, se, para construir o núcleo do indutor, for</p><p>utilizado um material com características lineares, ou mesmo se o núcleo</p><p>for	de	ar,	o	fluxo	concatenado	λ	será	proporcional	à	corrente	i	que	circula</p><p>no enrolamento do indutor, para qualquer valor de corrente i.</p><p>UNIUBE 15</p><p>Observando a Figura 11, pode-se obter:</p><p>(20)</p><p>A	variável	λ	é	o	fluxo	magnético	concatenado,	L	é	a	indutância	própria	do</p><p>indutor e i é a corrente que circula no enrolamento do dispositivo</p><p>Figura 11: Curva característica de um indutor linear.</p><p>A energia magnética armazenada nesse indutor será</p><p>(21)</p><p>Da equação 20, tem-se que</p><p>(22)</p><p>Assim</p><p>(23)</p><p>Portanto</p><p>(24)</p><p>i</p><p>λ</p><p>16 UNIUBE</p><p>Se desejar calcular a coenergia magnética, proceda da seguinte maneira:</p><p>(25)</p><p>Utilizando a equação 20, tem-se</p><p>(26)</p><p>Portanto</p><p>(27)</p><p>Substituindo a expressão 22 em 27, chega-se a:</p><p>(28)</p><p>Conclui-se que se o indutor é linear e a energia e a coenergia são iguais:</p><p>(29)</p><p>Por outro lado, se, para construir o núcleo do indutor, for utilizado algum</p><p>material	ferromagnético,	o	fluxo	concatenado	λ	apresentará	saturação	à</p><p>medida que a corrente i, que circula no enrolamento do indutor, crescer.</p><p>Sua curva característica será como mostrada na Figura 12.</p><p>UNIUBE 17</p><p>Figura 12: Curva característica de um indutor não linear.</p><p>Considerando	que	a	relação	λ	x	i	pode	ser	representada	anteriormente,</p><p>então a coenergia será</p><p>(30)</p><p>Resolvendo o cálculo integral, tem-se</p><p>(31)</p><p>A energia armazenada será</p><p>(32)</p><p>Para esse caso, nota-se, observando a Figura 12, que a energia e a</p><p>coenergia possuem valores distintos, quando a corrente cresce de i1</p><p>para	i2	provocando	o	aumento	de	λ1	para	λ2.</p><p>1i 2i</p><p>1λ</p><p>2λ</p><p>18 UNIUBE</p><p>Indutor linearizado1.7</p><p>A linearização do indutor se faz necessária porque, em muitas aplicações,</p><p>é preciso um comportamento linear do indutor. No entanto, como os</p><p>núcleos dos indutores são constituídos de material ferromagnético, tal</p><p>comportamento não é natural. Então, para obtê-lo, pode-se abrir um</p><p>entreferro (gap de ar) no circuito magnético do indutor, conforme mostra</p><p>a Figura 13.</p><p>Figura 13: Indutor linearizado por intermédio da abertura</p><p>de um gap de ar.</p><p>De fato, o ar apresenta um comportamento linear, ou seja, quando o</p><p>núcleo	é	o	ar,	o	fluxo	magnético	muda	proporcionalmente	com	a	variação</p><p>da corrente no enrolamento do indutor. Portanto, quando se abre um</p><p>gap de ar no circuito magnético de um indutor, o indutor passa a ter um</p><p>comportamento linear.</p><p>Campos magnéticos1.8</p><p>O campo magnético é o efeito especial gerado por correntes elétricas ou</p><p>por materiais, mais conhecido como ímã permanente, com capacidade</p><p>natural de manterem suas propriedades magnéticas. O campo magnético,</p><p>em	alguns	materiais,	em	qualquer	dado	ponto	do	espaço,	é	especificado</p><p>por ambas direções e magnitudes, onde pode ser representado por um</p><p>campo vetorial como mostra a Figura 14.</p><p>ln</p><p>UNIUBE 19</p><p>Figura 14: Representação</p><p>gráfica</p><p>de um campo vetorial. O módulo do</p><p>vetor campo em qualquer ponto é</p><p>proporcional ao comprimento da seta.</p><p>O termo campo vetorial é usado para dois diferentes, mas bem</p><p>relacionados, campos denominados B e H, em que a unidade de H é</p><p>medida em Ampère por metro ( ou ) no SI. Já o campo B é medido</p><p>em Teslas (T), que equivale a Newton por metro por Ampère (</p><p>ou 		no	SI.	É	mais	comum	a	definição	para	B em termos de</p><p>força de Lorentz, que exerce sobre o movimento de cargas elétricas.</p><p>Na Figura 15, apresenta-se o campo magnético de um ímã cilíndrico</p><p>ideal com seu eixo de simetria dentro do plano da imagem. O campo</p><p>magnético é representado pelas linhas de campo magnético, que</p><p>mostram a direção do campo em diferentes pontos.</p><p>Figura 15: Representação de um ímã permanente</p><p>com a orientação de seu campo magnético.</p><p>20 UNIUBE</p><p>Os campos magnéticos podem ser produzidos movendo cargas elétricas</p><p>ou	pelo	momento	magnético	das	partículas	elementares	associadas	à</p><p>sua própria propriedade quântica, o spin. É interessante citar que campos</p><p>elétricos e magnéticos são dois aspectos inter-relacionados para um</p><p>mesmo objeto.</p><p>No senso comum, os campos magnéticos são geralmente notados pela</p><p>sua força gerada através de ímãs permanentes, que atraem materiais</p><p>ferromagnéticos, tais como: ferro, cobalto ou níquel, e, dependendo da</p><p>situação, repelem outros magnetos.</p><p>Os campos magnéticos são largamente utilizados durante toda</p><p>modernização tecnológica, particularmente em engenharia elétrica e</p><p>eletromecânica. O planeta Terra produz seu próprio campo magnético,</p><p>que é importante na utilização das navegações, para servir como “escudo”</p><p>da atmosfera terrestre contra os ventos solares. Os campos magnéticos</p><p>girantes são uma das principais características de funcionamento dos</p><p>atuais motores e geradores elétricos. As forças magnéticas informam</p><p>sobre portadores de cargas em um material através do conhecido efeito</p><p>Hall. A interação dos campos magnéticos em dispositivos elétricos tal</p><p>como transformadores é o principal objetivo de estudo em disciplinas de</p><p>conversão de energia.</p><p>Linhas de campos magnéticos1.9</p><p>Mapear o campo magnético de um ímã é uma tarefa considerada simples</p><p>a princípio. O primeiro passo é medir a força e a direção do campo</p><p>magnético em um grande número de localizações diferentes (ou em</p><p>todos	os	pontos	no	espaço).	Então	marque	cada	local	com	uma	flecha</p><p>(chamada vetor), apontando na direção do local do campo magnético</p><p>com	mesma	magnitude,	ou	o	tamanho	do	vetor	proporcional	à	força</p><p>do campo magnético naquele ponto medido. Um campo vetorial, como</p><p>apresentado na Figura 14, pode ser uma ferramenta muito interessante</p><p>UNIUBE 21</p><p>para a demonstração deste método. As utilizações de bússolas podem</p><p>revelar, com facilidade, a direção das “linhas” de campo magnético. Estes</p><p>equipamentos têm a característica de, quando inseridos em um campo</p><p>magnético, apontarem para o polo sul do ímã como mostra a Figura 16.</p><p>Figura 16:	A	utilização	de	bússolas	para	a	identificação</p><p>da trajetória do campo magnético de um ímã permanente.</p><p>Um método alternativo para mapear o campo magnético é “conectar”</p><p>as	flechas	para	formar	linhas	de	campo	magnético.	A	direção	do	campo</p><p>magnético,	em	qualquer	ponto,	é	paralela	à	direção	próxima	às	linhas	de</p><p>campo e a densidade de campo local das linhas pode ser proporcional</p><p>à	sua	força.	Pode-se	notar	que	a	força	dos	ímãs	permanentes	é	maior</p><p>próximo aos polos, pelo aumento da quantidade de linhas como mostra</p><p>a Figura 17.</p><p>Linhas	de	campo	magnético	são	como	linhas	de	fluxo,	que	representam</p><p>alguma quantidade contínua, e, para caracterizar diferentes resoluções,</p><p>basta apresentar no desenho mais ou menos linhas. A vantagem em</p><p>utilizar linhas de campos magnéticos como representação é que muitas</p><p>leis do magnetismo (e eletromagnetismo) podem ser utilizadas de forma</p><p>completa e concisa, usando simples conceitos, tais como o “número”</p><p>de linhas de campo que atravessam uma superfície. Estes conceitos</p><p>podem ser rapidamente “traduzidos” para suas formas matemáticas. Por</p><p>exemplo, o número de linhas de campo através de uma dada superfície</p><p>é a superfície integral do campo magnético.</p><p>22 UNIUBE</p><p>Vários fenômenos têm o efeito de “exibir” as linhas de campo magnético</p><p>como se as linhas de campo magnético fossem um fenômeno de linhas</p><p>físicas. Por exemplo, limalhas de aço colocadas em um campo magnético</p><p>formam trajetos que correspondem a “linhas de campo” (Figura 18). Essas</p><p>linhas de campo magnético também podem ser exibidas visualmente na</p><p>natureza em auroras polares, onde os dipolos de partículas de plasma</p><p>interagem criando visíveis listras de luz que alinham com a direção local</p><p>do campo magnético terrestre.</p><p>Figura 17: Linhas de campos magnéticos de um ímã permanente representadas pelo</p><p>alinhamento de possíveis “limalhas de aço” colocadas em cima de um papel.</p><p>Linhas de campo podem ser usadas como ferramenta qualitativa para</p><p>visualizar forças magnéticas. Em substâncias ferromagnéticas como o</p><p>ferro, forças magnéticas podem ser entendidas imaginando que as linhas</p><p>de	campo	exercem	uma	tensão	mecânica	(igual	à	borracha	elástica)	ao</p><p>longo do seu próprio comprimento e uma pressão perpendicular ao longo</p><p>de linhas de campos vizinhas. De forma diferente, os polos diferentes de</p><p>magnetos atraem-se (Figura 18), por causa de suas ligações com mais</p><p>linhas de campo, e polos iguais se repelem por causa de suas linhas de</p><p>campos não se encontrarem, mas correrem paralelas, empurrando um</p><p>ao outro.</p><p>UNIUBE 23</p><p>Figura 18: Linhas de campo para um sistema de dois ímãs</p><p>com polos diferentes.</p><p>Campo magnético e ímãs permanentes1.10</p><p>Os ímãs permanentes são objetos que produzem suas próprias linhas</p><p>de campo magnéticas contínuas. Estes efeitos podem ser observados</p><p>em materiais ferromagnéticos, tais como o ferro e o níquel, depois de</p><p>magnetizados e, por consequência, criando ambos os polos, norte e sul.</p><p>1.10.1 Campo magnético de ímãs permanentes</p><p>O campo magnético de ímãs permanentes pode ter diferentes trajetórias</p><p>que dependem de toda a geometria do ímã, especialmente próximo dos</p><p>magnetos. A força de um magneto é proporcional ao campo produzido</p><p>por	vários	pequenos	ímãs	infinitamente	pequenos	e	retos	dos	quais	é</p><p>construído o chamado momento do dipolo magnético m. As equações</p><p>não são geralmente conhecidas e também dependem da distância e da</p><p>orientação do ímã. Girando a barra do ímã (invertendo seus polos) é</p><p>equivalente a uma rotação de m em 180º.</p><p>O campo magnético de ímãs maiores pode ser obtido pela modelagem</p><p>destes pequenos dipolos como uma somatória do efeito da quantidade</p><p>dos pequenos ímãs tendo cada um seu próprio efeito do m. O campo</p><p>magnético produzido por um ímã então é o valor líquido de campos</p><p>24 UNIUBE</p><p>magnéticos destes dipolos. E qualquer força líquida no ímã é resultado</p><p>da somatória de forças dos dipolos individuais.</p><p>Campo magnético e correntes elétricas1.11</p><p>As correntes elétricas percorridas em um condutor geram um campo</p><p>magnético	em	torno	do	fio	e	outros	campos	vizinhos	sofrem	a	ação</p><p>dessas forças devido aos campos magnéticos criados.</p><p>1.11.1 Campos magnéticos devido ao movimento de cargas ou</p><p>correntes elétricas</p><p>Todas as partículas carregadas em movimento produzem campos</p><p>magnéticos. Ao mover cargas pontuais, tais como elétrons, produzem</p><p>complexos, porém bem conhecidos, campos magnéticos que dependem</p><p>da carga, velocidade e aceleração destas partículas.</p><p>As linhas de campo do campo magnético formam círculos concêntricos</p><p>em	torno	do	fio,	em	forma	cilíndrica	ao	longo	desse	fio,	quando	ele	é</p><p>percorrido por correntes elétricas. A direção de tal campo magnético pode</p><p>ser determinada usando a regra da mão direita, como mostra a Figura</p><p>1. A força do campo magnético diminui com o aumento da sua distância</p><p>ao	fio.</p><p>Dobrando	um	fio	(criando	loop) que transporta a corrente, concentra-se</p><p>o campo magnético dentro deste loop, como mostra a Figura 19.</p><p>UNIUBE 25</p><p>Figura 19: Uma espira (loop), percorrido por uma corrente elétrica.</p><p>Portanto,</p><p>ao	dobrar	o	fio	em	múltiplas	voltas	em	torno	de	espaços	dos</p><p>loops, pode-se formar uma bobina ou solenoide (Figura 20), aumentando</p><p>o efeito do campo magnético produzido. Um dispositivo então enrolado</p><p>em torno de um núcleo de ferro pode atuar como um eletroímã (Figura</p><p>21). Geralmente a força do campo magnético pode ser controlada através</p><p>do	nível	da	corrente	da	bobina.	Um	eletroímã	de	comprimento	finito</p><p>produz um campo magnético que parece igual ao produzido por um ímã</p><p>permanente,	com	a	força	e	polaridade	determinada	pelo	fluxo	de	corrente</p><p>através da bobina.</p><p>Figura 20: Linhas de campo percorridas em uma bobina.</p><p>+ −</p><p>26 UNIUBE</p><p>Figura 21: A força do eletroímã pode ser controlada pela corrente.</p><p>Figura 22: Linhas de campo para um sistema de dois ímãs</p><p>com polos iguais.</p><p>1.11.2 Unidades de medida utilizadas</p><p>Em unidades do SI, o campo B é medido em Tesla (T) e o correspondente</p><p>fluxo	magnético	 é medido em Weber (Wb), de modo que a densidade</p><p>de	fluxo	de	1	Wb/m²	equivale	a	1	Tesla.	A	unidade	SI	de	Tesla	é</p><p>equivalente a (newton.segundos)/(coulomb.metro). Em unidades de CGS,</p><p>B é medido em Gauss (G)*. Portanto pode-se concluir que a densidade</p><p>de	fluxo	é	igual	a:</p><p>(33)</p><p>UNIUBE 27</p><p>em que:</p><p>B	=	Densidade	de	fluxo	magnético	-	(Teslas)</p><p>=	Fluxo	magnético	-	Weber	(Wb)</p><p>A	=	Área	-	metros	quadrados	(m²)</p><p>*A	conversão	é	1	T	=	10.000	G.	O	valor	de	um	nanotesla	(1nT)	é</p><p>comumente	chamado	na	geofísica	de	1	gama	(γ).	O	campo	H	é	medido</p><p>em Ampère por metro (A/m) em unidades SI e, em Oersteds (Oe), para</p><p>unidades CGS.</p><p>Exemplo I</p><p>Determine	a	densidade	de	fluxo	B	em	Teslas	para	a	peça	da	Figura	23.</p><p>Figura 23: Exemplo I.</p><p>Solução:</p><p>Exemplo II</p><p>De	acordo	com	a	Figura	23,	se	a	densidade	de	fluxo	for	1,8	T	e	a	área	da</p><p>seção	reta	for	0,5	pol²,	determine	o	fluxo	magnético	no	interior	da	peça.</p><p>Solução:</p><p>Realizando a conversão de ,	em	m²:</p><p>28 UNIUBE</p><p>Portanto</p><p>No eletromagnetismo, permeabilidade é a medida da habilidade de um</p><p>material suportar a formação de um campo magnético nele mesmo.</p><p>Portanto ele é o grau de magnetização que um material tem na resposta</p><p>para uma aplicação de campo magnético. A permeabilidade magnética</p><p>é normalmente representada em itálico pela letra µ.</p><p>A permeabilidade no espaço livre (vácuo) é a medida da quantidade de</p><p>permeabilidade encontrada ao se formar um campo magnético em vácuo.</p><p>(34)</p><p>A permeabilidade relativa, representada pelo símbolo , é a relação da</p><p>permeabilidade	de	um	material	específico	e	da	permeabilidade	do	vácuo.</p><p>O termo magnetismo descreve como o material responde no nível</p><p>microscópio a uma aplicação do campo magnético externo e é usado</p><p>para categorizar o material. Os materiais são divididos em grupos</p><p>baseados em seu comportamento magnético:</p><p>Materiais diamagnéticos - produzem uma magnetização que se</p><p>opõe ao campo magnético externo como mostra a Figura 24. Algumas</p><p>características destes materiais são:</p><p>• apresentam susceptibilidade negativa, em torno de ;</p><p>• têm permeabilidade abaixo de 1 ( .</p><p>UNIUBE 29</p><p>Exemplos de materiais diamagnéticos: gases inertes, alguns metais</p><p>(cobre, bismuto, ouro, prata, mercúrio etc.).</p><p>Figura 24: Representação de um material diamagnético exposto a um</p><p>campo H.</p><p>Figura 25:	O	grafite	pirolítico	(roxo)	flutuando	sobre	um	conjunto	de</p><p>ímãs	de	neodímio.	O	grafite	pirolítico	tem	propriedades	diamagnéticas.</p><p>30 UNIUBE</p><p>Materiais paramagnéticos - estes materiais possuem uma tendência</p><p>de alinhar os dipolos magnéticos atômicos paralelamente ao campo</p><p>magnético externo aplicado. Caso estes dipolos estejam unidos</p><p>fortemente, pode-se dizer que o fenômeno será de ferromagnetismo ou</p><p>ferrimagnetismo.	As	figuras	26,	27	e	28	mostram	uma	ilustração	da	prova</p><p>do paramagnetismo:</p><p>Figura 26: Pequenos dipolos magnéticos na</p><p>ausência de um campo magnético externo.</p><p>Figura 27: Pequenos dipolos magnéticos com um</p><p>campo magnético fraco.</p><p>Figura 28: Pequenos dipolos magnéticos com um</p><p>campo magnético.</p><p>UNIUBE 31</p><p>Algumas características destes materiais são:</p><p>• apresentam baixa susceptibilidade, em torno de ~ ;</p><p>• têm permeabilidade acima de 1 ( .</p><p>Exemplos de materiais paramagnéticos: alumínio, tungstênio, titânio,</p><p>platina.</p><p>Materiais ferromagnéticos - os materiais ferromagnéticos (Figura 29)</p><p>podem ter uma magnetização independentemente de um campo B</p><p>aplicado.</p><p>Figura 29: Material ferromagnético com</p><p>aplicação de um campo magnético externo.</p><p>Algumas características destes materiais são:</p><p>• apresentam alta susceptibilidade;</p><p>• têm permeabilidade muito maior que 1 ( .</p><p>Exemplos de materiais ferromagnéticos: ferro, níquel, cobalto, cromo etc.</p><p>1.11.3 Lei de Hopkinson: A analogia com a Lei de Ohm</p><p>Em circuitos elétricos, a Lei de Ohm é uma relação empírica entre a FEM</p><p>( ) aplicada através de um elemento e a corrente (I) é gerada através</p><p>32 UNIUBE</p><p>deste elemento. A relação pode ser escrita como:</p><p>(35)</p><p>Em que R é a resistência elétrica do material. Em contrapartida, a Lei</p><p>de Hopkinson utiliza uma relação semelhante para circuitos magnéticos.</p><p>Esta lei foi nomeada para homenagear o engenheiro eletricista John</p><p>Hopkinson,	e	afirma	que:</p><p>(36)</p><p>Em que é a Força Magnetomotriz (FMM) através de um material</p><p>magnético, 	é	o	fluxo	magnético	e	 é a relutância magnética</p><p>deste	material.	Esta	relação	é	devida	à	relação	empírica	entre	a	força</p><p>magnetizante H	e	a	densidade	de	fluxo	B, dada por:</p><p>(37)</p><p>Em que é a permeabidade do material. Assim como a Lei de Ohm, a</p><p>Lei de Hopkinson pode ser interpretada como uma equação empírica que</p><p>funciona	para	alguns	materiais,	ou	pode	ser	usada	como	uma	definição</p><p>para a relutância.</p><p>1.11.3.1 Relutância</p><p>A	 relutância	 magnética,	 ou	 “resistência	 magnética”,	 é	 análoga	 à</p><p>resistência em um circuito elétrico (apesar de não dissipar energia). Em</p><p>semelhança ao caminho de um campo elétrico que gera uma corrente</p><p>elétrica que, por sua vez, percorre o caminho de menor resistência, um</p><p>campo	magnético	gera	um	fluxo	magnético	que	segue	o	caminho	de</p><p>menor relutância.</p><p>A	relutância	magnética	total	é	igual	à	relação	entre	a	FMM	-	o	fluxo</p><p>magnético no circuito. Em corrente alternada, a relutância é a relação</p><p>entre	os	valores	de	amplitude	senoidal	da	FMM	e	o	fluxo.	Pela	definição,</p><p>pode ser expressa como:</p><p>UNIUBE 33</p><p>(38)</p><p>Em que é a relutância em Ampère-espira por Weber (At/Wb) no SI ou</p><p>em rels (Gilbert/Maxwells) para o CGS.</p><p>O	fluxo	magnético	sempre	é	formado	em	um	circuito	fechado,	como</p><p>é descrito pelas equações de Maxwell, e é dependente da relutância</p><p>em torno do trajeto do caminho fechado. O ar e o vácuo têm altas</p><p>relutâncias, enquanto materiais que são facilmente magnetizados, tais</p><p>como	ferro	doce,	têm	baixa	relutância.	As	concentrações	de	fluxo	em</p><p>materiais de baixa relutância podem formar fortes e temporários polos</p><p>e, por consequência, causar forças mecânicas que tendem a mover os</p><p>materiais	em	direções	de	regiões	de	fluxo.</p><p>O inverso da relutância é chamado permeância:</p><p>(39)</p><p>A unidade da permeância no SI é Weber por Ampère-espira (Wb/At).</p><p>1.11.3.2 A origem microscópica da relutância</p><p>A relutância de um circuito magnético uniforme pode ser calculada como:</p><p>(40)</p><p>em que,:</p><p>• é o comprimento do elemento em metros (m);</p><p>• é a permeabilidade do material em que é a</p><p>permeabilidade relativa do material (adimensional) e é a</p><p>permeabilidade magnética do vácuo ( );</p><p>• A é a seção transversal (área) do circuito em metros quadrados (m²).</p><p>34 UNIUBE</p><p>Similarmente a equação da resistência elétrica em materiais é semelhante</p><p>à	da	relutância,	com	a	permeabilidade	sendo	análoga	à	condutividade,</p><p>em que o inverso da condutividade é a conhecida e muito utilizada em</p><p>circuitos elétricos, resistividade.</p><p>Materiais	com	longas	e	finas	geometrias	apresentam	baixa	permeabilidade</p><p>levando a altas relutâncias. Baixa relutância, assim como na resistência</p><p>em circuitos elétricos, é geralmente preferida.</p><p>1.11.3.3 Força magnetomotriz (FMM)</p><p>Similarmente	à	Força	Eletromotriz	(FEM)	que	conduz	uma	corrente	de</p><p>cargas elétricas em um circuito elétrico, a Força Magnetomotriz (FMM),</p><p>ou	Força</p><p>Magnetizante,	“conduz”	um	fluxo	magnético	através	de	um</p><p>circuito magnético. O termo “força magnetomotriz”, embora seja um termo</p><p>equivocado, pois não é uma força e não existe nada se movendo em um</p><p>circuito magnético, é utilizado na maioria das referências teóricas.</p><p>Realizando uma analogia com a FEM de um circuito elétrico, a Força</p><p>Magnetomotriz ℱ em torno de um loop	fechado	é	definida	como:</p><p>(41)</p><p>em que H (ou campo H) é também denominado Força Magnetizante</p><p>e a constante é o comprimento do circuito magnético. A Força</p><p>Magnetomotriz representa a pressão que hipotéticas “cargas magnéticas”</p><p>teriam	para	completar	o	circuito.	O	fluxo	magnético	que	é	conduzido</p><p>realmente não é uma corrente de cargas magnéticas. Isto é apenas uma</p><p>mera relação que se faz da FMM com a corrente elétrica gerada pelo</p><p>FEM	para	fins	didáticos.</p><p>A unidade da Força Magnetomotriz é o Ampère-espira (Ampere turn</p><p>ou At), representada por uma corrente contínua estável de um ampère</p><p>UNIUBE 35</p><p>percorrendo apenas uma única espira com o núcleo constituído de vácuo.</p><p>O Gilbert (Gb), estabelecido pela IEC (International Electrotechnical</p><p>Commission), em 1930, é a unidade CGS de FMM e é uma unidade</p><p>ligeiramente menor do que o Ampère-espira. A unidade recebeu esse</p><p>nome em memória de William Gilbert	(1544-1603),	físico	inglês	e	filósofo</p><p>natural.</p><p>A Força Magnetomotriz pode, muitas vezes, ser rapidamente calculada</p><p>usando a Lei de Ampère. Por exemplo, a Força Magnetomotriz ℱ de uma</p><p>longa bobina é:</p><p>(42)</p><p>Em que N é o número de espiras e I é a corrente na bobina. Na prática,</p><p>esta equação é usada para FMM de indutores reais sendo N o número</p><p>de voltas da bobina indutora.</p><p>1.11.4 Perdas no núcleo</p><p>Quando o núcleo é sujeito a uma mudança do campo magnético, como</p><p>em dispositivos que usam corrente alternada, tais como transformadores,</p><p>indutores, motores CA e alternadores, alguma potência que seria</p><p>idealmente transferida através da saída do dispositivo na verdade é</p><p>perdida no núcleo, dissipando em forma de calor e algumas vezes até</p><p>em ruído audível.</p><p>Circuito magnético1.12</p><p>Partindo da Lei de Faraday e da Lei de Ampère, é possível obter as</p><p>expressões que possibilitam calcular as grandezas de um circuito</p><p>magnético. Conforme anteriormente abordado, é possível relacionar o</p><p>36 UNIUBE</p><p>fluxo	concatenado	λ,	a	corrente	elétrica	i	e	a	indutância	L,	por	intermédio</p><p>das seguintes expressões:</p><p>(43)</p><p>Substituindo as equações 2 e 6 em 43, obtém-se:</p><p>(44)</p><p>Pelo conhecimento adquirido do estudo dos materiais magnéticos e da</p><p>teoria do eletromagnetismo, sabe-se que:</p><p>(45)</p><p>A	variável	B	é	a	densidade	de	fluxo	magnético,	H	é	a	intensidade	do</p><p>campo magnético e é a permeabilidade. Permeabilidade é uma</p><p>propriedade do meio. Quanto maior for a permeabilidade de um meio,</p><p>maior	será	a	facilidade	de	penetração	do	fluxo	magnético	nele.</p><p>Se esse meio é o vácuo, a permeabilidade é Weber/(A.m) e</p><p>costuma-se apresentar a permeabilidade dos materiais como sendo um</p><p>valor	relativo	à	permeabilidade	do	vácuo.	Assim,	tem-se	que</p><p>(46)</p><p>Na literatura atual, valores típicos de permeabilidade relativa µr variam</p><p>entre 2.000 e 80.000. Isolando o valor da permeabilidade na expressão</p><p>45 e substituindo na expressão 44, obtém‑se:</p><p>(47)</p><p>Assim,</p><p>(48)</p><p>UNIUBE 37</p><p>Sendo que P é a permeância e é dada por</p><p>(49)</p><p>A indutância pode ainda ser expressa por</p><p>(50)</p><p>A unidade de indutância é Henries, escrito H. Isto se deve a uma homenagem</p><p>prestada ao físico americano Joseph Henry. A quantidade 1 H é um valor muito</p><p>grande	de	indutância,	por	isso	em	muitas	situações	um	indutor	é	especificado</p><p>em	mH,	que	significa	10‑3 H.</p><p>CURIOSIDADE</p><p>Sendo a relutância dada por:</p><p>(51)</p><p>Assim, comparando as expressões, vê‑se que relutância é o inverso da</p><p>permeância:</p><p>(52)</p><p>Da equação 38, obtém-se:</p><p>(53)</p><p>Substituindo a expressão 32 em 42, obtém-se:</p><p>(54)</p><p>38 UNIUBE</p><p>E ainda substituindo a expressão 2 na expressão 42, obtém-se:</p><p>(55)</p><p>Então,</p><p>ℛ (56)</p><p>Essa	expressão	é	análoga	à	lei	de	Ohm,	em	que:</p><p>(57)</p><p>Assim, é possível fazer uma analogia entre um circuito magnético e um</p><p>circuito elétrico (Figura 30):</p><p>Figura 30: Analogia entre o circuito magnético e o circuito elétrico.</p><p>Em resumo, o Quadro 1, a seguir, relaciona as grandezas magnéticas</p><p>com as grandezas elétricas de um circuito elétrico análogo.</p><p>Quadro 1: Correspondência entre grandezas magnéticas e elétricas</p><p>Grandeza magnética</p><p>Grandeza elétrica</p><p>correspondente</p><p>Ø	(fluxo	magnético) i (corrente elétrica)</p><p>µ (permeabilidade) σ	(condutividade)</p><p>(relutância) (resistência)</p><p>P= (permeância) (resistência)</p><p>i</p><p>V</p><p>+</p><p>−</p><p>FMM</p><p>UNIUBE 39</p><p>(força magnetomotriz)</p><p>(força eletromotriz)</p><p>Fonte: Adaptado de Nasar (1984, p.6).</p><p>Para os circuitos magnéticos, são feitas algumas considerações</p><p>simplificadoras,	para	facilitar	sua	análise.	Uma	delas	é	que	as	dimensões</p><p>devem	ser	tais	que	a	densidade	de	fluxo	magnético	pode	ser	considerada</p><p>constante	e	possibilite	calcular	o	fluxo	magnético,	utilizando	expressão</p><p>matemática	φ	=	B	A.	Outra	consideração	é	que	a	longitude	média	da</p><p>trajetória pode ser utilizada em qualquer cálculo das grandezas magnéticas.</p><p>IMPORTANTE!</p><p>Outro aspecto importante é que a força magnetomotriz se iguala ao produto</p><p>da intensidade do campo magnético pelo comprimento médio do circuito</p><p>magnético,	FMM	=	Hl	=	ni.</p><p>E, por último, fazendo uma analogia com a lei das correntes de Kirchhoff para</p><p>circuitos elétricos, pode‑se	afirmar	que,	em	uma	bifurcação	de	um	circuito</p><p>magnético,	a	soma	dos	fluxos	que	chegam	se	iguala	com	a	soma	dos	fluxos</p><p>que dela saem.</p><p>Compreendidos esses itens anteriores, vamos aplicá-los a alguns exemplos.</p><p>Exemplo 2</p><p>O circuito magnético mostrado na Figura 15 a seguir refere‑se a um indutor,</p><p>com núcleo de ferro.</p><p>40 UNIUBE</p><p>Figura 31: Circuito magnético.</p><p>Considerando	 que	 o	 fluxo	 magnético	 está	 totalmente	 confinado</p><p>no núcleo do indutor e ainda de posse dos seguintes dados:</p><p>,</p><p>a) calcule, para esse circuito, as grandezas magnéticas: relutância,</p><p>fluxo	magnético	e	força	magnetomotriz;</p><p>b) desenhe o circuito elétrico equivalente, anotando os valores de</p><p>seus parâmetros calculados no item a;</p><p>c) calcule a corrente elétrica que está circulando no enrolamento do</p><p>indutor;</p><p>d) se o número de espiras do indutor fosse reduzido em 30%, qual</p><p>seria a corrente necessária para manter a mesma densidade de</p><p>fluxo	no	núcleo	desse	indutor?</p><p>Resolução:</p><p>Relutância</p><p>=></p><p>Fluxo magnético</p><p>Força magnetomotriz</p><p>=>	 Ae</p><p>i</p><p>UNIUBE 41</p><p>Circuito elétrico equivalente (Figura 32)</p><p>Figura 32: Circuito elétrico análogo equivalente.</p><p>Corrente que circula no enrolamento do indutor:</p><p>=></p><p>Nova corrente no enrolamento do indutor:</p><p>i	=	454	ma</p><p>Exemplo 3</p><p>Seja	o	circuito	magnético	mostrado	na	figura	a	seguir	referente	a	um	indutor,</p><p>com núcleo de ferro, no qual foi aberto um gap de ar (Figura 33).</p><p>Figura 33: Circuito magnético com gap de ar.</p><p>42 UNIUBE</p><p>Informações e dados técnicos:</p><p>n = 784 espiras,</p><p>,</p><p>Considerando	que	a	densidade	de	fluxo	no	ferro	e	entreferro	é	B=1,56Wb/</p><p>m2, pede‑se:</p><p>a) calcular as grandezas magnéticas e desenhar o circuito elétrico</p><p>equivalente, anotando os parâmetros;</p><p>b) calcular a corrente que circula no enrolamento da bobina do indutor;</p><p>c)	 calcular	o	fluxo	concatenado	λ;</p><p>d) o valor percentual da relutância do ferro para relutância do</p><p>entreferro.</p><p>Resolução:</p><p>a) Grandezas magnéticas e circuito magnético (Figura 34).</p><p>UNIUBE 43</p><p>Figura 34: Circuito elétrico análogo equivalente para o circuito com dois materiais.</p><p>b) Corrente que circula no enrolamento da bobina do indutor:</p><p>c)	Fluxo	concatenado	λ:</p><p>Valor percentual da relutância do ferro para relutância do entreferro</p><p>A	relutância	do	núcleo	é	muito	pequena	em	relação	à	relutância	do	gap	de	ar.</p><p>Operação em corrente alternada1.13</p><p>A maioria das aplicações dos dispositivos conversores de energia</p><p>acontece em sistemas elétricos, em corrente alternada. Nesses sistemas,</p><p>as formas de ondas das tensões de alimentação são senoides. Essas</p><p>tensões de alimentações fornecem correntes que produzem</p><p>forças</p><p>magnetomotrizes	e,	por	consequência,	fluxos	magnéticos,	com	formas</p><p>de ondas também bem próximas a senoides. Como consequência, há</p><p>dois efeitos em termos de perdas nos núcleos dos dispositivos:</p><p>- as perdas por correntes de Foucault e</p><p>- as perdas por histerese.</p><p>44 UNIUBE</p><p>1.13.1 Perdas por correntes de Foucault</p><p>A	presença	do	fluxo	magnético	alternado,	por	conseguinte,	variável	no</p><p>tempo, resulta na indução de tensões alternadas no núcleo de ferro do</p><p>dispositivo. Como o ferro é condutor de eletricidade, correntes elétricas</p><p>por ele circulam. Essas correntes são denominadas correntes parasitas</p><p>e produzem as chamadas perdas de correntes de Foucault, aquecendo</p><p>o dispositivo. Tal perda de energia pode ser determinada pela expressão</p><p>58.	Note	que	ela	varia	com	o	quadrado	da	densidade	de	fluxo	e	também</p><p>com o quadrado da frequência das ondas alternadas:</p><p>(58)</p><p>Os Pe são as perdas por correntes de Foucault, Ke é uma constante que depende</p><p>da condutividade e da espessura do material, f é a frequência das correntes</p><p>de excitação do indutor e Bmax	é	a	densidade	máxima	do	fluxo	magnético.</p><p>1.13.2 Perdas por histerese</p><p>Outro efeito que ocorre sobre o núcleo de ferro dos dispositivos conversores</p><p>de energia são as perdas por histerese. A cada ciclo de variação da corrente</p><p>no enrolamento do indutor, a energia é absorvida da fonte de alimentação e</p><p>devolvida. (Figura 35)</p><p>Figura 35: Perdas por histerese.</p><p>H</p><p>B</p><p>UNIUBE 45</p><p>Ocorre que, quando a corrente cresce, certa quantidade de energia é</p><p>absorvida. Quando a corrente decresce, somente parte dessa energia é</p><p>devolvida. Ou seja, a quantidade devolvida é menor que a absorvida. A</p><p>diferença entre elas constitui o que se chama de perdas por histerese.</p><p>Essa energia, que também é dissipada como calor no material, é utilizada</p><p>para movimentar os bipolos magnéticos do material ferromagnético. Essas</p><p>perdas	dependem	da	densidade	de	fluxo,	do	volume	do	material	e	da</p><p>frequência do sinal alternado e podem ser calculadas pela expressão 59 a</p><p>seguir:</p><p>(59)</p><p>Ph são as perdas por histerese, Kh é uma constante de proporcionalidade,</p><p>f é a frequência das correntes do indutor e Bmáx. é a densidade máxima</p><p>do	fluxo	magnético.</p><p>1.13.3 Perdas por frangeamento</p><p>Quando se abre um gap	de	ar	em	um	circuito	magnético,	as	linhas	de	fluxo</p><p>não seguem um caminho bem-comportado como aquele que acontece no</p><p>interior	do	núcleo	de	ferro.	Ao	contrário,	as	linhas	de	fluxo	se	espraiam	ou</p><p>frangeam no espaço de ar entre as partes de ferro (Figura 36).</p><p>Figura 36: Frangeamento em um gap de ar.</p><p>46 UNIUBE</p><p>A área da seção transversal do entreferro, também chamado de gap de ar,</p><p>fica	um	pouco	maior	que	a	secção	reta	do	núcleo	de	ferro.	As	perdas	por</p><p>frangeamento são inevitáveis. Mas, por outro lado, podem ser minimizadas</p><p>por intermédio da otimização do entreferro.</p><p>Fator laminação1.14</p><p>Para minimizar, ou seja, reduzir as perdas por correntes de Foucault,</p><p>usa‑se aço carbono com silício, já que esse procedimento aumenta</p><p>a resistência elétrica do material de ferro. Outra técnica utilizada é a</p><p>laminação do núcleo de ferro. Assim, o núcleo é montado utilizando‑</p><p>se lâminas ou pequenas chapas. Entre essas lâminas, é colocada uma</p><p>finíssima	 camada	 de	 isolante,	 aumentando	 ainda	 mais	 a	 resistência</p><p>elétrica do núcleo do indutor. As chapas estão dispostas conforme mostra</p><p>a Figura 37.</p><p>Figura 37: Núcleo de ferro laminado.</p><p>Fonte: Adaptada de Nasar (1984, p.8).</p><p>As tensões induzidas continuam as mesmas, porém todos esses</p><p>procedimentos resultam em uma grande resistência elétrica do núcleo</p><p>do indutor, reduzindo a um valor muito baixo as correntes parasitas, o</p><p>que implica a minimização das perdas por correntes de Foucault. Porém,</p><p>laminando‑se o núcleo, o volume de material ferromagnético diminui.</p><p>De acordo com Nasar (1984), a razão entre o volume efetivo de material</p><p>ferromagnético e o volume total do núcleo é chamada fator de laminação,</p><p>ou fator de empilhamento. Isso implica a alteração da densidade de</p><p>UNIUBE 47</p><p>fluxo	magnético.	Assim,	a	nova	densidade	de	fluxo	será	agora	calculada</p><p>segundo a expressão 60 a seguir:</p><p>(60)</p><p>O Quadro 2, mostrado a seguir, relaciona o fator de empilhamento com a</p><p>espessura da laminação:</p><p>Quadro 2: Espessura da laminação versus fator de empilhamento</p><p>Espessura da laminação (mm) Fator de empilhamento</p><p>0,0127 0,5</p><p>0,0254 0,75</p><p>0,0508 0,85</p><p>0,010 a 0,25 0,9</p><p>0,27 a 0,36 0,95</p><p>Fonte: Adaptado de Nasar (1984, p. 5).</p><p>Para um melhor entendimento acerca do assunto, é fundamental que você</p><p>tenha total conhecimento da Teoria de Circuitos Magnéticos. A seguir, são</p><p>mostradas as principais expressões e o formulário para cálculo de grandezas</p><p>magnéticas.</p><p>, (relutância),</p><p>, ,</p><p>RELEMBRANDO</p><p>Exemplo 4</p><p>Considere que o núcleo do indutor do Exemplo 2 é laminado e que a sua</p><p>secção transversal é quadrada de 6 cm por 6 cm. Pede‑se:</p><p>a)	mantendo	a	densidade	de	fluxo	de	1,56	Wb/m2 no gap de ar, calcule</p><p>a corrente i no enrolamento do indutor, fazendo a correção do</p><p>espraiamento;</p><p>48 UNIUBE</p><p>b)	qual	seria	a	nova	densidade	de	fluxo,	se	o	núcleo	é	laminado	e	o</p><p>fator de empilhamento é 0,85?</p><p>Resolução:</p><p>Corrente no enrolamento, corrigindo o espraiamento:</p><p>Nova	densidade	de	fluxo:</p><p>Exemplo 5</p><p>A Figura 38, a seguir, representa o núcleo de ferro de um transformador</p><p>hipotético.	Possui	dois	caminhos	paralelos	para	o	fluxo	magnético.	Possui</p><p>também dois gaps de ar para linearizar o dispositivo. Considere que</p><p>o	material	do	núcleo	tem	permeabilidade	magnética	infinita	e	que	são</p><p>desprezíveis	os	fluxos	de	dispersão	e	o	espraiamento	nos	entreferros.</p><p>a) Calcular as grandezas magnéticas: relutâncias nos gaps, força</p><p>magnetomotriz	 e	 fluxo	magnético	 em	 cada	 perna	 do	 circuito</p><p>magnético.</p><p>b) Desenhar o circuito magnético com as grandezas calculadas no item a.</p><p>c)	 Calcular	a	densidade	de	fluxo	em	cada	uma	das	pernas	do	circuito</p><p>magnético.</p><p>UNIUBE 49</p><p>Figura 38: Núcleo de ferro de três pernas.</p><p>Dados:</p><p>Resolução:</p><p>Relutância:</p><p>a) Relutância nas gaps de ar:</p><p>Força magnetomotriz:</p><p>50 UNIUBE</p><p>Fluxo magnético em cada perna:</p><p>b) Circuito elétrico equivalente (Figura 39).</p><p>Figura 39: Circuito elétrico análogo equivalente.</p><p>c)	Densidade	de	fluxo	em	cada	perna</p><p>Resumo</p><p>Neste	capítulo,	foram	abordados	os	conceitos	básicos	relacionados	à</p><p>Teoria do Magnetismo, Eletromagnetismo e dos Circuitos Magnéticos.</p><p>Foram apresentadas as perdas nos indutores, operando em corrente</p><p>alternada, e os meios de diminuí-las, ou seja, minimizá-las. Outrossim, foi</p><p>UNIUBE 51</p><p>visto como calcular as grandezas magnéticas, por intermédio da analogia</p><p>entre um circuito magnético e um circuito elétrico, e solucionar circuitos</p><p>magnéticos.</p><p>Referências</p><p>BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Education, 2009.</p><p>DEL TORO, A. E. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: PHB, 1991.</p><p>FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JÚNIOR, C.; STEPHEN D. Máquinas elétricas.</p><p>6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.</p><p>NASAR, S. A. Máquinas elétricas. São Paulo: McGraw-Hill – Coleção Schaum, 1984.</p><p>Introdução</p><p>TransformadoresCapítulo</p><p>2</p><p>O transformador é um dispositivo de grande utilidade nos</p><p>sistemas	elétricos,	com	a	finalidade	de	transmitir	energia	entre</p><p>um circuito onde está presente a fonte de energia e o outro onde</p><p>se encontra a carga. A rigor, não se trata de um dispositivo de</p><p>conversão de energia propriamente dito, já que se tem energia</p><p>elétrica na entrada e na saída do dispositivo. Porém é de grande</p><p>importância no trabalho de intercâmbio de energia, principalmente</p><p>na função de elevar ou abaixar níveis de tensão. Isso faz com que</p><p>esse dispositivo deva ser bem estudado e compreendido pelos</p><p>engenheiros das mais diferentes áreas, pois se aplica aos mais</p><p>diferentes setores, como telecomunicações, eletrônicos e sistemas</p><p>de potência.</p><p>Ao	final	do	estudo	deste	capítulo,	espera-se	que	você	seja	capaz	de:</p><p>• utilizar os conceitos de indutores magneticamente acoplados;</p><p>• compreender a teoria de funcionamento dos transformadores;</p><p>• calcular grandezas elétricas em transformador monofásico;</p><p>• obter o circuito equivalente de transformador.</p><p>Objetivos</p><p>54 UNIUBE</p><p>2.1 Tensão induzida</p><p>2.2 Fator de acoplamento</p><p>2.3 Indutância mútua em função das indutâncias próprias</p><p>2.4 Ligação série de indutores</p><p>2.5 Convenção dos pontos</p><p>2.6 Transformadores</p><p>2.7 Relações entre tensão do primário e do secundário</p><p>2.8 Relação entre corrente do primário e do secundário</p><p>2.9	 Impedância	refletida</p><p>2.10 Potência</p><p>2.11 Autotransformadores</p><p>2.12 Circuito equivalente de um transformador</p><p>2.13 Parâmetros do circuito equivalente</p><p>2.13.1 Ensaio a vazio</p><p>2.13.2 Ensaio em curto-circuito</p><p>2.14 Indutores acoplados e indutância mútua</p><p>2.15 O núcleo de ferro de um transformador</p><p>Esquema</p><p>Tensão induzida2.1</p><p>Seja o esquema fundamental de um transformador conforme mostrado na</p><p>Figura 1. O enrolamento da esquerda é ligado a uma fonte e é chamado</p><p>primário.	Já	o	enrolamento	da	direita	é	ligado	à	carga	e	é	chamado</p><p>secundário.</p><p>UNIUBE 55</p><p>Figura 1: Representação esquemática de um transformador.</p><p>Se	uma	corrente	I1	circula	por	esse	enrolamento,	um	fluxo	magnético	é</p><p>produzido	no	espaço	ao	redor	do	referido	enrolamento	1.	Esse	é	o	fluxo</p><p>magnético	φ1	produzido	pelo	enrolamento	primário.	Parte	desse	fluxo</p><p>enlaça	a	bobina	do	secundário.	É	o	chamado	fluxo	mútuo	φ12.	Fluxo</p><p>mútuo	significa	que	é	o	fluxo	que	enlaça	os	dois	enrolamentos.	A	parte</p><p>do	fluxo	φ1	que	não	atinge	o	enrolamento	do	secundário	é	o	fluxo de</p><p>dispersão	φ11.</p><p>(1)</p><p>Pela Lei de Faraday, sabe-se que a tensão induzida no enrolamento do</p><p>secundário será:</p><p>(2)</p><p>Por outro lado,</p><p>(3)</p><p>Igualando a expressão 2 com a expressão 3, obtém-se:</p><p>(4)</p><p>12φ11φ</p><p>56 UNIUBE</p><p>Ou seja,</p><p>(5)</p><p>O valor de M é a mútua, é o número de espiras do secundário,</p><p>é	o	fluxo	magnético	mútuo	e	 é a corrente que circula no primário.</p><p>Pode-se observar o efeito da indutância mútua, alimentando um enrolamento</p><p>por	intermédio	de	uma	fonte	de	corrente	alternada.	Verificaremos	que	se</p><p>tem tensão induzida no outro enrolamento. Para isso, pegue uma bobina</p><p>com 600 e outra de 300 espiras e coloque sobre um núcleo de ferro. Aplique</p><p>uma tensão que a bobina suporta, por exemplo, 12 V contínuo. Leia no</p><p>segundo enrolamento a tensão induzida. Nenhuma tensão será induzida.</p><p>Depois, troque a fonte de tensão por outra de 12 V de tensão alternada.</p><p>Note que agora tem uma tensão induzida no enrolamento 2. De fato, isso</p><p>acontece porque neste último caso a tensão é alternada. Então, a corrente</p><p>será	alternada,	produzindo,	no	núcleo	de	ferro,	um	fluxo	variável	com	o</p><p>tempo. Assim, tem-se tensão induzida. No primeiro caso, como a corrente é</p><p>contínua,	o	fluxo	é	estacionário,	não	induzindo	qualquer	tensão	no	segundo</p><p>enrolamento.</p><p>EXPERIMENTANDO</p><p>Fator de acoplamento2.2</p><p>Define-se	o	fator	de	acoplamento	como	sendo	uma	relação	entre	o</p><p>fluxo	magnético	mútuo	φ12	e	o	fluxo	magnético	φ1		produzido	pelo</p><p>enrolamento	1	devido	à	circulação	da	corrente	I1,	ou,	ainda,	entre	o	fluxo</p><p>magnético	mútuo	φ21	e	o	fluxo	magnético	φ2	produzido	pelo	enrolamento</p><p>2	devido	à	circulação	de	corrente	I2.</p><p>(6)</p><p>UNIUBE 57</p><p>Como	0	≤	φ12	≤φ1	e	0	≤ ≤	 ,	então	0	≤	K	≤	1.	Quando	o	fator	de</p><p>acoplamento	for	próximo	de	zero,	significa	que	uma	pequena	parte	do</p><p>fluxo	magnético	produzido	pelo	enrolamento	1,	por	onde	circula	corrente</p><p>I1, enlaça a bobina 2. Isso implica um acoplamento fraco. Ao contrário,</p><p>quando	o	fator	de	acoplamento	for	próximo	da	unidade,	significa	que</p><p>o	fluxo	mútuo	fica	muito	próximo	ao	fluxo	do	enrolamento	1.	Assim,	o</p><p>acoplamento será forte.</p><p>Indutância mútua em função das indutâncias próprias2.3</p><p>Pode-se escrever a indutância da seguinte forma, utilizando deduções</p><p>anteriores,</p><p>e (7)</p><p>Da expressão 6, tem-se que</p><p>e (8)</p><p>Em 7, multiplicando-se uma expressão pela outra, e substituindo nela a</p><p>expressão 8, pode-se demonstrar que a indutância mútua é função das</p><p>indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2</p><p>(9)</p><p>(10)</p><p>(11)</p><p>58 UNIUBE</p><p>O valor de M é a indutância mútua, K é o fator de acoplamento, L1 é</p><p>a indutância própria do enrolamento 1 e L2 é a indutância própria do</p><p>enrolamento 2.</p><p>Ligação série de indutores2.4</p><p>A associação série de dois indutores, sem acoplamento magnético,</p><p>de indutância própria L1 e L2, resulta em um indutor de indutância</p><p>equivalente	Leq=	L1	+	L2	(Figura	2).</p><p>Figura 2: Ligação série de indutores.</p><p>Figura 3: Representação esquemática</p><p>de um transformador.</p><p>A tensão induzida no enrolamento 1 é proveniente da indutância própria,</p><p>devido	à	circulação	da	corrente	i1(t),	e	da	indutância	mútua,	devido	à</p><p>circulação da corrente i2(t) enrolamento 2.</p><p>(12)</p><p>Mas seja (13)</p><p>UNIUBE 59</p><p>Assim,</p><p>(14)</p><p>Então,</p><p>(15)</p><p>Por outro lado,</p><p>(16)</p><p>Como (17)</p><p>(18)</p><p>Então,</p><p>(19)</p><p>A tensão total e(t) induzida entre os terminais da associação dos dois</p><p>indutores será</p><p>(20)</p><p>(21)</p><p>Então,</p><p>(22)</p><p>(23)</p><p>(24)</p><p>60 UNIUBE</p><p>O Leq	(+)	é	a	indutância	equivalente	nessa	conexão	de	indutores,	que</p><p>produziram	fluxos	magnéticos	que	se	somaram.	Denomina-se	essa</p><p>conexão de conexão aditiva. Agora, observe a conexão executada nos</p><p>indutores	da	Figura	4.	Nesse	caso,	os	fluxos	produzidos	pelas	correntes</p><p>que circulam em cada um dos enrolamentos se subtraem. Essa conexão</p><p>é chamada conexão subtrativa.</p><p>Figura 4: Representação esquemática de um</p><p>transformador.</p><p>Novamente, a tensão induzida no enrolamento 1 é proveniente da</p><p>indutância	própria	devido	à	circulação	da	corrente	i1(t)	e	da	indutância</p><p>mútua	devido	à	circulação	da	corrente	i2(t)	enrolamento	2	e	vice‑versa.</p><p>Assim,</p><p>(25)</p><p>Assim,</p><p>(26)</p><p>Então,</p><p>(27)</p><p>UNIUBE 61</p><p>Por outro lado,</p><p>(28)</p><p>Assim,</p><p>(29)</p><p>Então,</p><p>(30)</p><p>A tensão total e(t) induzida entre os terminais da associação dos dois</p><p>indutores será</p><p>(31)</p><p>Então,</p><p>(32)</p><p>(33)</p><p>(34)</p><p>O	Leq	(−)	é	a	indutância	equivalente	quando	a	conexão	entre	os	indutores</p><p>é uma conexão subtrativa. Fazendo a diferença entre a indutância</p><p>equivalente na conexão aditiva e na conexão subtrativa, encontra-se:</p><p>(35)</p><p>62 UNIUBE</p><p>Convenção dos pontos2.5</p><p>Nem sempre os indutores são desenhados indicando-se o sentido de</p><p>seus enrolamentos. Ou seja, existem circuitos em que os indutores são</p><p>representados pelos seus símbolos. Nesse caso, utiliza‑se da regra</p><p>do ponto para informar se a conexão entre eles é aditiva ou subtrativa</p><p>(Figura 5).</p><p>Figura 5: Convenção dos pontos para associação em</p><p>série de indutores magneticamente acoplados.</p><p>Ao lado de um de seus terminais, é colocado um ponto. Se uma corrente</p><p>entra ou sai de ambos os indutores pelo terminal marcado com o ponto, a</p><p>indutância mútua entre eles é positiva. Ao contrário, se a corrente entra em um</p><p>indutor pelo terminal marcado pelo ponto e sai do outro indutor pelo terminal</p><p>também marcado pelo ponto, a indutância mútua entre eles é negativa.</p><p>Exemplo 1</p><p>Seja a associação série de indutores conforme mostrado na Figura 6</p><p>a seguir. Calcule o valor da indutância equivalente total da associação.</p><p>Figura 6: Representação esquemática de um transformador.</p><p>UNIUBE 63</p><p>Dados:</p><p>Resolução:</p><p>indutor 1</p><p>indutor 2</p><p>indutor 3</p><p>A indutância equivalente total é:</p><p>Transformadores2.6</p><p>Transformadores são dispositivos conversores de energia, utilizados em</p><p>circuitos	elétricos,	com	a	finalidade	de	ajustar	níveis	de	tensão,	ou	seja,</p><p>elevar ou abaixar tensões. Mas, além de adaptar níveis de tensão, os</p><p>transformadores	são	usados	entre	outras	finalidades,	por	exemplo,	para</p><p>se	efetuar	o	casamento	de	impedância.	O	que	significa	fazer	com	que	a</p><p>impedância da carga, por intermédio do uso do transformador, torne-se</p><p>igual	à	impedância	interna	da	fonte	de	alimentação,	possibilitando,	assim,</p><p>a máxima transferência de potência (Figura 7).</p><p>Gui</p><p>Realce</p><p>- M23? Alterar</p><p>64 UNIUBE</p><p>Figura 7: Representação esquemática de um transformador.</p><p>O transformador é também utilizado para se ter o chamado isolamento</p><p>galvânico. De fato, em um transformador convencional não existe</p><p>ligação elétrica entre o circuito do primário e do secundário. Assim,</p><p>pode-se entender que o primário é um circuito e o secundário, outro</p><p>circuito elétrico. E entre eles há transferência de energia, embora não</p><p>haja ligação elétrica. De fato, a ligação existente entre os dois circuitos do</p><p>transformador é devida ao acoplamento magnético entre os dois circuitos.</p><p>Portanto há circuitos galvanicamente isolados.</p><p>Relação entre tensão do primário e do secundário2.7</p><p>Se uma tensão senoidal v1(t) é aplicada ao enrolamento do primário, por</p><p>intermédio de uma fonte de tensão, esta faz circular pelo enrolamento</p><p>uma corrente I1(t).</p><p>(36)</p><p>Essa corrente senoidal produz no circuito magnético do transformador</p><p>uma força magnetomotriz alternada. Tal força magnetomotriz, por sua</p><p>vez,	produz	no	núcleo	de	ferro	do	dispositivo	um	fluxo	magnético	também</p><p>alternado.</p><p>(37)</p><p>UNIUBE 65</p><p>Ou	seja,	um	fluxo	magnético	que	varia	com	o	tempo.	Utilizando-se	a	Lei</p><p>de	Faraday,	pode-se	afirmar	que	uma	tensão	senoidal	será	induzida	nos</p><p>terminais desse enrolamento.</p><p>(38)</p><p>(39)</p><p>(40)</p><p>(41)</p><p>(42)</p><p>Comparando a expressão 34 com a 40, nota-se que a corrente i1(t)</p><p>que circula no enrolamento do primário está 900 atrasada em relação</p><p>à	tensão	induzida	e	(t).	Naturalmente,	isso	é	algo	que	se	devia	esperar,</p><p>posto que se trata de uma carga puramente indutiva nesse momento.</p><p>Pode-se	obter	o	valor	eficaz	da	tensão	no	primário	dividindo	a	amplitude</p><p>máxima pelo fator , por se tratar de um sinal alternado senoidal.</p><p>(43)</p><p>(44)</p><p>O	fluxo	que	enlaça	o	secundário,	se	for	desprezado	o	fluxo	de	dispersão,</p><p>será o mesmo que envolve o enrolamento do primário. Assim,</p><p>(45)</p><p>A	relação	entre	as	tensões	eficazes	induzidas	no	enrolamento	do	primário</p><p>e do secundário será</p><p>Gui</p><p>Realce</p><p>alterar = cos??</p><p>66 UNIUBE</p><p>(46)</p><p>Efetuando	as	devidas	simplificações,	obtém-se	a	expressão</p><p>(47)</p><p>Em que é a relação de transformação:</p><p>(48)</p><p>Relação de transformação é uma relação entre as espiras do primário</p><p>e as espiras do secundário. Se a relação de transformação é maior que</p><p>1, ou seja, 	>	1,	tem-se	um	transformador abaixador. Isso porque,</p><p>nesse caso, o número de espiras do secundário é menor que aquele do</p><p>primário. Ao contrário, se a relação de transformação é menor que 1, ou</p><p>seja, < 1, tem‑se um transformador elevador, já que neste caso o</p><p>número de espiras do secundário é maior que o número de espiras do</p><p>primário.</p><p>Exemplo 2</p><p>Seja a estrutura de um transformador monofásico de núcleo de ferro ideal</p><p>mostrado	na	Figura	8,	no	qual	N1	=	1200	e	N2	=	275	espiras.	O	valor</p><p>eficaz	da	tensão	no	enrolamento	secundário	é	V2		=	48	V,	em	60	Hz.</p><p>UNIUBE 67</p><p>Figura 8: Representação esquemática de um transformador.</p><p>Determine a tensão a ser aplicada no enrolamento do primário.</p><p>Determine	o	fluxo	máximo	no	núcleo	de	ferro.</p><p>Resolução:</p><p>a) Tensão a ser aplicada no primário:</p><p>b) Fluxo máximo no núcleo:</p><p>Se um transformador está operando a vazio, ou seja, sem qualquer</p><p>carga conectada ao seu secundário, uma pequena corrente circula pelo</p><p>seu enrolamento do primário. É a chamada corrente de magnetização,</p><p>responsável	pela	produção	do	fluxo	magnético	que	o	transformador	precisa</p><p>para operar. Mas, se uma carga é conectada ao seu secundário, a corrente</p><p>que	circula	no	secundário	se	reflete	no	primário.	Então,	no	primário	circula</p><p>uma corrente, que é a soma vetorial da corrente de magnetização e a</p><p>chamada componente de carga da corrente do primário .</p><p>CURIOSIDADE</p><p>68 UNIUBE</p><p>Relação entre corrente do primário e do secundário2.8</p><p>Conforme dito anteriormente, quando se aplica uma tensão senoidal</p><p>nos terminais do enrolamento do primário, uma corrente senoidal por ele</p><p>circula.	Essa	corrente	produz	a	FMM1.	A	FMM1	produz	o	fluxo	magnético,</p><p>que induz tensão no enrolamento do primário e do secundário. Se uma</p><p>carga for conectada no secundário, esta absorve uma corrente que possui</p><p>um ângulo de fase que depende da natureza da carga. Assim, se a carga</p><p>é	indutiva,	a	corrente	i2(t)	estará	atrasada	um	ângulo	φ2	em	relação	à</p><p>tensão do secundário, como mostra o diagrama fasorial da Figura 9.</p><p>Figura 9: Diagrama fasorial.</p><p>A corrente produz uma força magnetomotriz FMM2, que tende a</p><p>diminuir a FMM1. Uma reação ocorre no primário, que absorve uma</p><p>corrente adicional, chamada de componente de carga da corrente do</p><p>primário. Tal corrente produz uma nova força magnetomotriz F’MM1</p><p>de	igual	magnitude	de	FMM2	e	sentido	oposto,	o	que	significa	que	se</p><p>anulam.	Assim,	o	fluxo	inicial	se	mantém	inalterado,	pois,	de	fato,	a	força</p><p>magnetomotriz	resultante	é	a	FMM1.	Ao	final,	a	corrente	do	primário	é	a</p><p>soma vetorial da corrente de magnetização com a componente de carga</p><p>da corrente. Assim,</p><p>UNIUBE 69</p><p>(49)</p><p>Como a corrente de magnetização é um valor pequeno, observa-se que</p><p>o módulo da corrente é aproximadamente igual ao da corrente .</p><p>Então,</p><p>(50)</p><p>Sabe-se que a força magnetomotriz é dada pelo produto da corrente pelo</p><p>número de espiras. Assim,</p><p>(51)</p><p>Mas , assim,</p><p>(52)</p><p>(53)</p><p>Ou seja, a relação entre a corrente do primário e do secundário é igual</p><p>ao inverso da relação de transformação</p><p>(54)</p><p>Exemplo 3</p><p>Um transformador monofásico de núcleo de ferro ideal, conforme</p><p>mostrado	na	Figura	10	a	seguir,	alimenta	uma	carga	resistiva	de	12	Ω,</p><p>em 60 Hz.</p><p>70 UNIUBE</p><p>Figura 10: Representação esquemática de um transformador.</p><p>Sabendo	que	o	valor	eficaz	da	tensão	no	secundário	é	24	V,	que	no</p><p>primário o número de espiras é 3600 e no secundário 275, pede‑se:</p><p>a) determine a corrente no secundário;</p><p>b) determine a corrente solicitada da fonte de alimentação no primário;</p><p>c) determine a tensão no primário.</p><p>Resolução:</p><p>a) Corrente no secundário</p><p>b) Corrente no primário</p><p>c) Tensão no primário</p><p>UNIUBE 71</p><p>Impedância refletida2.9</p><p>Se a expressão 45 for dividida pela expressão 52, tem-se que</p><p>(55)</p><p>A	relação	entre	o	valor	eficaz	tensão	e	o	valor	eficaz	corrente	do	primário</p><p>é a impedância do primário .	Enquanto	a	relação	entre	o	valor	eficaz</p><p>tensão	e	o	valor	eficaz	corrente	do	secundário	é	a	 impedância	do</p><p>secundário . Assim,</p><p>(56)</p><p>Quando se conecta uma carga no secundário de um transformador, a</p><p>energia que a carga consome de fato vem da fonte de alimentação que</p><p>está no primário. Existe uma relação de transformação, que é a razão entre o</p><p>número de espiras do primário e o número de espiras do secundário. A fonte</p><p>enxerga a impedância da carga multiplicada pela relação de transfomação</p><p>ao quadrado.</p><p>IMPORTANTE!</p><p>72 UNIUBE</p><p>A	impedância	do	primário	pode	ser	entendida	como	sendo	a	reflexão	da</p><p>impedância do secundário para o primário. Ou seja, 1	=	 2 . Por outro</p><p>lado,</p><p>(57)</p><p>Da mesma maneira, a impedância do secundário pode ser entendida</p><p>como	sendo	a	reflexão	da	impedância	do	primário	para	o	secundário,	ou</p><p>seja, .</p><p>Exemplo 4</p><p>Uma	tensão	senoidal	dada	por	v1(t)	=	180sen(377t)	V	alimenta	um</p><p>transformador monofásico de núcleo de ferro, conforme mostrado na</p><p>Figura	11.	Em	seu	secundário	está	conectada	uma	carga	de	2,2	KΩ.	N1</p><p>=	88	e	N2=	1440,	que	se	referem	ao	número	de	espiras	do	primário	e	do</p><p>secundário, respectivamente.</p><p>Figura 11: Representação esquemática de um transformador.</p><p>a) Determine a impedância de entrada do transformador.</p><p>b) Determine a corrente na carga.</p><p>c) Determine a corrente no primário.</p><p>Resolução:</p><p>a) Impedância de entrada do transformador</p><p>UNIUBE 73</p><p>b) Corrente na carga</p><p>c) Corrente no primário</p><p>Potência2.10</p><p>O	 valor	 eficaz	 da	 tensão	 induzida	 no	 enrolamento	 de	 entrada	 do</p><p>transformador é E1 e o da corrente que ele absorve da fonte de</p><p>alimentação é I1. Por outro lado, na saída do dispositivo, alimentando</p><p>uma carga elétrica, tem-se como sendo o valor da tensão induzida no</p><p>enrolamento do secundário e 	o	valor	eficaz	da	corrente.	A	partir	das</p><p>expressões 45 e 51, tem-se que</p><p>74 UNIUBE</p><p>(58)</p><p>Assim, trabalhando a expressão 56, tem-se</p><p>(59)</p><p>A expressão 57 mostra que, para um transformador ideal, ou seja, sem</p><p>perdas,	a	potência	aparente	do	primário	E1	I1	é	igual	à	potência	aparente</p><p>no secundário E2 I2 .</p><p>Autotransformadores2.11</p><p>Transformadores convencionais são equipamentos que possuem, sobre</p><p>uma estrutura</p>