Topografia Aplicada à Engenharia

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
FACULDADE DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA
TOPOGRAFIA APLICADA À ENGENHARIA I
Aula 04
Professor: Samir de Souza Ol ive ira A lves
E-mai l : samir.a lves@eng.uer j .br
Calendário
18/out AULA 4
25/out
Aula Prática 2
Grupo 1 - Grupo 2 - Grupo 3
01/nov
Aula Prática 2
Grupo 4 - Grupo 5 - Grupo 6
08/nov
Aula Prática 2
Grupo 7 - Grupo 8 - Grupo 9 - Grupo 10
15/nov FERIADO
22/nov TRABALHO (10 pontos)
- Entrega de Relatório Técnico e dos Cálculos da Aula Prática (em grupo)
29/nov PROVA (10 pontos)
- Conteúdo baseado nas aulas 1, 2 e 3
06/dez 2ª CHAMADA
- Conteúdo baseado em todas as aulas
13/dez PROVA FINAL
- Conteúdo baseado em todas as aulas
Plano de aula
1. Levantamento Planimétrico
◦ 1.1 Cálculo de Coordenadas Planimétricas 
◦ 1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
◦ 1.3 Tipos de Poligonal
2. Poligonal fechada:
◦ 2.1 Conceitos;
◦ 2.2 Levantamento de campo;
◦ 2.3 Medidas de ângulos;
◦ 2.4 Determinação dos azimutes;
◦ 2.4 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada.
1. Levantamento Planimétrico
Definição (NBR 13.133, 2018):
“método que projeta no plano horizontal os detalhes topográficos 
especificados de acordo com a finalidade”
Ponto de detalhe (NBR 13.133, 2018):
“Pontos que determinam os acidentes naturais e/ou artificiais 
necessários para estabelecer a forma do detalhe e/ou do relevo, 
indispensáveis à sua representação gráfica”
1. Levantamento Planimétrico
Durante um levantamento topográfico, normalmente são determinados pontos de apoio ao 
levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos), e a partir destes, são 
levantados os demais pontos que permitem representar a área levantada. A primeira etapa 
pode ser chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de levantamento de 
detalhes.
Figura 1 - Diferentes formas de materialização de pontos.
1. Levantamento Planimétrico
Pontos de apoio (NBR 13.133, 2018):
“Pontos convenientemente distribuídos, que vinculam o terreno ao 
levantamento topográfico e, por isso, são materializados com, por exemplo, 
estacas, piquetes, marcos de concreto, pinos de metal ou tinta, dependendo 
da sua importância e permanência”
Como achar a 
monografia de 
um marco?
1.1 Cálculo de Coordenadas Planimétricas 
• Nesta fase, será detalhado o desenvolvimento 
necessário para a determinação das coordenadas 
planas, ou seja, as coordenadas x e y. 
• As projeções planas são obtidas em função da 
distância entre os vértices de um alinhamento e o 
azimute ou rumo deste mesmo alinhamento. 
• De uma forma mais simples, pode-se dizer que a 
projeção em “X” é a representação da distância 
entre os dois vértices do alinhamento sobre o eixo 
das abscissas e a projeção em “Y” a representação 
da mesma distância no eixo das ordenadas
X = D × sen A
Y = D × cos A
1.1 Cálculo de Coordenadas Planimétricas 
• Conhecendo-se as coordenadas do ponto A, o azimute da direção A-B e a distância horizontal
entre A e B, calculam-se as coordenadas do ponto B:
𝑋 (𝑁)
𝐴
𝐵
𝑌 (𝑁)
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝑋𝐵 = 𝑋𝐴 + [𝐷ℎ𝐴−𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑧𝐴−𝐵)]
𝑌𝐵 = 𝑌𝐴 + [𝐷ℎ𝐴−𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧𝐴−𝐵)]
𝑋𝐵 = 𝑋𝐴 + ∆𝑋𝐴−𝐵
𝑌𝐵 = 𝑌𝐴 + ∆𝑌𝐴−𝐵
∆𝑋𝐴−𝐵 = 𝐷ℎ𝐴−𝐵 × sin𝐴𝑧𝐴−𝐵
∆𝑌𝐴−𝐵 = 𝐷ℎ𝐴−𝐵 × cos𝐴𝑧𝐴−𝐵
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Conhecendo-se as coordenadas planimétricas de dois pontos é possível calcular o azimute 
da direção formada entre eles:
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
De acordo com a definição, azimute de uma direção é 
medido a partir do Norte, no sentido horário, varia de 
0º a 360º. 
Porém, o valor calculado anteriormente realizado 
sempre fornecerá o valor do RUMO.
Para conhecermos em qual quadrante o azimute está, é 
importante que DX e DY sejam calculados fazendo-se 
sempre a coordenada do segundo ponto menos a 
coordenada do primeiro.
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Exercício 1
1) Calcular o azimute da direção 2-3 conhecendo-
se as coordenadas:
Fazendo-se:
Como ΔX é positivo e ΔY é negativo, sabe-se que o 
azimute da direção 2-3 está no 2º quadrante, ou 
seja, entre 90° e 180°
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Exercício 1
Em seguida, calcula-se o arco-tangente do módulo 
do quociente (Δ X/ ΔY), obtendo-se o RUMO da 
direção 2-3:
Logo, calcula-se o AZIMUTE através do RUMO no 
2° quadrante:
𝑅2−3 = 16° 38′46"
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Exercício 1
Em seguida, calcula-se o arco-tangente do módulo 
do quociente (Δ X/ ΔY), obtendo-se o RUMO da 
direção 2-3:
Logo, calcula-se o AZIMUTE através do RUMO no 
2° quadrante:
𝑅2−3 = 16° 38′46"
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Exercício 2
Calcular o azimute da direção 3-4 conhecendo-se 
as coordenadas:
Exercício 3
Calcular o azimute da direção 4-5 conhecendo-se 
as coordenadas:
1.2 Cálculo de Azimutes a Partir de 
Coordenadas Planimétricas de dois Pontos
Exercício 2
Calcular o azimute da direção 3-4 conhecendo-se 
as coordenadas:
Resposta: A 3-4 (3º Quadrante) = 232º 16’ 54’’
Exercício 3
Calcular o azimute da direção 4-5 conhecendo-se 
as coordenadas:
Resposta: A 4-5 (4º Quadrante) = 329º 35’ 21’’
1.3 Tipos de Poligonal
• A poligonação é um dos métodos mais empregados para a determinação de coordenadas de
pontos em Topografia, principalmente para a definição de pontos de apoio planimétricos.
• Consiste em determinar novos pontos por meio da medição de direções (ângulos horizontais) e
distâncias horizontais, a partir de uma orientação inicial.
• Denomina-se por caminhamento o percurso realizado para os processos de medição na
poligonação.
1.3 Tipos de Poligonal
As poligonais levantadas em campo poderão ser abertas, fechadas ou enquadradas
Poligonal Aberta Poligonal Fechada Poligonal enquadrada
2. Poligonal fechada - Conceitos
• Parte de um ponto com coordenadas conhecidas e retorna ao mesmo ponto. Sua principal
vantagem é permitir a verificação de erro de fechamento angular e linear;
• Permite a compensação dos erros, quando estes são igual ou menores que uma tolerância pré-
definida;
• Normalmente são determinados os ângulos externos ou internos da poligonal.
Ângulos InternosÂngulos externos
2.1 Levantamento de Campo
• Considerando o caminhamento no sentido horário, realizam-se coletas de direções (ângulos
horizontais externos) e distâncias e uma poligonal fechada;
• As etapas em campo para cada ponto da poligonal são:
• 1º Passo) Estacionar o equipamento no ponto;
• 2º Passo) Nivelar e centrar o equipamento;
• 3º Passo) Fazer a pontaria na estação ré, medindo a direção horizontal entre o ponto
ocupado e o ponto da estação ré;
•4º Passo) Fazer a pontaria na estação vante, medindo a direção horizontal e a distância
horizontal entre o ponto ocupado e o ponto da estação vante.
2.2 - Conceitos
• No sentido de caminhamento da poligonal, a estação anterior a estação ocupada (EST 01)
denomina-se de estação RÉ e a estação seguinte (EST 03) de VANTE.
Estação de Ré e Vante
2.3 Medidas de ângulos
O ângulo horizontal externo (𝛼𝑖) será dado por: 
𝛼𝑖 = 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟é
Estação de Ré e Vante
Exemplo:
Ângulo horizontal = 287º 39’ 40” - 15º 02’ 30”
Ângulo horizontal = 272º 37’ 10”
2.3 Medidas de ângulos
O ângulo horizontal externo (𝛼𝑖) será dado por: 
𝛼𝑖 = 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟é
Ponto ocupado: 0=PP
Estação ré: ponto 3
Estação vante: ponto 1
2.3 Medidas de ângulos
O ângulo horizontal externo (𝛼𝑖) será dado por: 
𝛼𝑖 = 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟é
Ponto ocupado: ponto 1
Estação ré: ponto 0=PP
Estação vante: ponto 2
2.3 Medidas de ângulos
O ângulo horizontal externo (𝛼𝑖) serádado por: 
𝛼𝑖 = 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟é
Ponto ocupado: ponto 2
Estação ré: ponto 1
Estação vante: ponto 3
2.3 Medidas de ângulos
O ângulo horizontal externo (𝛼𝑖) será dado por: 
𝛼𝑖 = 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟é
Ponto ocupado: ponto 3
Estação ré: ponto 2
Estação vante: ponto 0=PP
𝛼3
2.3 Medidas de ângulos
• É necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a poligonal forma um
polígono fechado é possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos. Em um
polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a:
onde 𝑛 é o número de vértices do polígono ou o número de pontos de uma poligonal fechada.
• Assim, sendo σ𝛼 o somatório dos ângulos externos de uma poligonal fechada, o erro angular 
cometido é dado por:
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 𝑛 + 2 ∗ 180°
𝑒𝑎 = ෍𝛼 − [ 𝑛 + 2 ∗ 180°]
2.3 Medidas de ângulos
• Este erro terá que ser menor que a tolerância angular (𝑇𝑎), que pode ser entendida como o erro
angular máximo aceitável nas medições. A tolerância angular pode ser calculada pela seguinte
equação:
onde 𝑛 é o número de pontos da poligonal fechada e 𝑃 a precisão nominal angular do
equipamento.
• Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro
cometido entre as estações e somente depois realizar o cálculo dos azimutes. Os critérios para
correção angular podem ser:
• distribuir os erros nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal;
• distribuir proporcionalmente o erro para cada estação.
𝑇𝑎 = 𝑃 𝑛
2.4 Determinação dos azimutes
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o
cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os
ângulos horizontais medidos em campo.
𝑁
𝐴
𝐵
𝑁
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝐶
2.4 Determinação dos azimutes
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o
cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os
ângulos horizontais medidos em campo.
𝑁
𝐴
𝐵
𝑁
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝐶
𝐴𝑧𝐵−𝐶
𝑁
Ponto ocupado: ponto B
Estação ré: ponto A
Estação vante: ponto C
Ângulo horizontal 𝛼𝑏:
𝛼𝑏
2.4 Determinação dos azimutes
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o
cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os
ângulos horizontais medidos em campo.
𝑁
𝐴
𝐵
𝑁
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝐶
𝐴𝑧𝐵−𝐶
𝑁
𝛼𝑏
𝐴𝑧𝐴−𝐵
2.4 Determinação dos azimutes
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o 
cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os 
ângulos horizontais medidos em campo.
𝑁
𝐴
𝐵
𝑁
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝐶
𝐴𝑧𝐵−𝐶
𝑁
𝛼𝑏
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝛼𝑏 − 180°
2.4 Determinação dos azimutes
• Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o 
cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os 
ângulos horizontais medidos em campo.
𝑁
𝐴
𝐵
𝑁
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝐶
𝐴𝑧𝐵−𝐶
𝑁
𝛼𝑏
𝐴𝑧𝐴−𝐵
𝛼𝑏 − 180°
𝐴𝑧𝐵−𝐶 = 𝐴𝑧𝐴−𝐵 + 𝛼𝑏 − 180°
Observação:
- Se o valor do azimute calculado 
der negativo, soma-se 360 °.
2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
• Após todos os ângulos terem sido corrigidos e os azimutes calculados é possível iniciar o cálculo
das coordenadas parciais ou provisórias dos pontos.
𝑋𝑖 = 𝑋𝑖−1 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)]
𝑌𝑖 = 𝑌𝑖−1 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)]
• A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as
coordenadas dos demais pontos até retornar ao
ponto de partida. Porém, A diferença entre as
coordenadas calculadas e as fornecidas para este
ponto resultará no chamado erro planimétrico ou
erro linear cometido. Como os ângulos foram
ajustados, este erro será decorrente de imprecisões
na medição das distâncias.
Erro de 
Fechamento 
Linear
2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
• O erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente na direção X (𝑒𝑥) e outra na
direção Y (𝑒𝑦), e calculados por:
onde:
• 𝑋0𝑃𝑃 e 𝑌0𝑃𝑃 são as coordenadas fornecidas do ponto 
inicial 0PP;
• 𝑋0𝑃𝑃
𝐶 e 𝑌0𝑃𝑃
𝐶 são as coordenadas calculadas para o ponto inicial. 
• O erro planimétrico (𝑒𝑝) é dado por:
𝑒𝑥 = 𝑋0𝑃𝑃
𝐶 − 𝑋0𝑃𝑃
𝑒𝑦 = 𝑌0𝑃𝑃
𝐶 − 𝑌0𝑃𝑃
𝑒𝑝 = 𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑦
2
2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
• É necessário verificar se este erro está abaixo de uma determinada tolerância linear.
Normalmente esta é dada em forma de escala, como por exemplo, 1:1000. Para calcular o erro
planimétrico em forma de escala utilizam-se as seguintes fórmulas:
onde:
• Σ𝑑 é o somatório de todas as distâncias da poligonal (perímetro da poligonal).
• Parte-se para a distribuição do erro se o erro cometido for menor que o permitido, conforme
a escala (E):
𝑒𝑝 =
1
𝑍
𝑍 =
Σ𝑑
𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑦
2
1
𝐸
≥
1
𝑍
2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
• As correções às coordenadas serão proporcionais às distâncias medidas. Quanto maior for a
distância, maior será a correção. Será aplicada uma correção para as coordenadas X (𝐶𝑋) e outra
para as coordenadas Y (𝐶𝑌), conforme equações abaixo:
onde:
• 𝐶𝑋𝑖 é a para a coordenada 𝑋𝑖;
• 𝐶𝑌𝑖 é a para a coordenada 𝑌𝑖;
• 𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 é a distância parcial entre 𝑖 − 1 e 𝑖;
• Σ𝑑 é o somatório de todas as distâncias da poligonal (perímetro da poligonal).
𝐶𝑋𝑖 = −𝑒𝑋 ∗
𝐷ℎ𝑖−1,𝑖
Σ𝑑
𝐶𝑌𝑖 = −𝑒𝑦 ∗
𝐷ℎ𝑖−1,𝑖
Σ𝑑
2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
• As coordenadas corrigidas 𝑋𝑖
𝑐 e 𝑌𝑖
𝑐 são dados por:
𝑋𝑖
𝑐 = 𝑋𝑖−1
𝑐 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)] + 𝐶𝑋𝑖
𝑌𝑖
𝑐 = 𝑌𝑖−1
𝑐 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)] + 𝐶𝑌𝑖
Exercício
Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal, determinar 
as coordenadas dos pontos que formam a mesma. São dados:
Coordenadas da estação OPP: 𝑋0𝑃𝑃 = 223,49 𝑚 e 𝑌0𝑃𝑃 = 712,53 𝑚
Azimute da direção 0PP-1: 𝐴𝑧0𝑃𝑃−1 = 121° 18′ 08′′
Tolerância nominal angular do equipamento: 7′′
Tolerância Linear: 1:5000
Estação Direção Ângulo Horizontal externos Distância (m)
0PP 0PP-1 294° 16' 45'' 92,06
1 1-2. 252° 34' 26'' 57,58
2 2-3. 260° 44' 14'' 77,06
3 3-0PP. 272° 24' 23'' 98,24
Exercício
1ª Etapa) Cálculo da tolerância angular (𝑇𝑎):
2ª Etapa) Cálculo do erro angular cometido (𝑒𝑎):
3ª Etapa) Correção angular (𝐶𝑎):
𝑇𝑎 = 𝑃 𝑛
𝑒𝑎 = ෍𝛼 − [ 𝑛 + 2 ∗ 180°]
𝐶𝑎 = −
𝑒𝑎
𝑛
Estação Direção Ângulo Horizontal Distância (m)
0PP 0PP-1 294° 16' 45'' 92,06
1 1-2. 252° 34' 26'' 57,58
2 2-3. 260° 44' 14'' 77,06
3 3-0PP. 272° 24' 23'' 98,24
Σ 1079° 59’ 48'' 324,94
𝑃 = 7′′
𝛼𝑖
𝑐 = 𝛼𝑖 + 𝐶𝑎
Exercício
4ª Etapa) Cálculo dos azimutes (𝐴𝑧𝑖,𝑖+1):
5ª Etapa) Cálculo das coordenadas provisórias (𝑋𝑖, 𝑌𝑖):
6ª Etapa) Cálculo do erro planimétrico (𝑒𝑝) em forma de escala:
𝐴𝑧𝑖,𝑖+1 = 𝐴𝑧𝑖−1,𝑖 + 𝛼𝑖 − 180°
𝑋𝑖 = 𝑋𝑖−1 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)]
𝑌𝑖 = 𝑌𝑖−1 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)]
𝑒𝑥 = 𝑋0𝑃𝑃
𝐶 − 𝑋0𝑃𝑃
𝑒𝑦 = 𝑌0𝑃𝑃
𝐶 − 𝑌0𝑃𝑃
𝑒𝑝 = 𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑦
2 𝑒𝑝 =
1
𝑍
𝑍 =
Σ𝑑
𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑦
2
𝐴𝑧0𝑃𝑃−1 = 121° 18′ 08′′
Estação Direção Ângulo Horizontal Distância (m)
0PP 0PP-1 294° 16' 45'' 92,06
1 1-2. 252° 34' 26'' 57,58
2 2-3. 260° 44' 14'' 77,06
3 3-0PP. 272° 24' 23'' 98,24
Σ 1079° 59’ 48'' 324,94
𝑋0𝑃𝑃 = 223,49 𝑚
𝑌0𝑃𝑃 = 712,53 𝑚
Exercício
7ª Etapa) Correções do erro planimétrico (𝐶𝑋𝑖, 𝐶𝑌𝑖):
8ª Etapa) Cálculo das coordenadas corrigidas (𝑋𝑖
𝑐, 𝑌𝑖
𝑐):
Estação Direção Ângulo Horizontal Distância (m)
0PP 0PP-1 294° 16' 45'' 92,06
1 1-2. 252° 34' 26'' 57,58
2 2-3. 260° 44' 14'' 77,06
3 3-0PP. 272° 24' 23'' 98,24
Σ 1079° 59’ 48'' 324,94
𝐶𝑋𝑖 = −𝑒𝑋 ∗
𝐷ℎ𝑖−1,𝑖
Σ𝑑
𝐶𝑌𝑖 = −𝑒𝑦 ∗
𝐷ℎ𝑖−1,𝑖
Σ𝑑
𝑋𝑖
𝑐 =𝑋𝑖−1
𝑐 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)] + 𝐶𝑋𝑖
𝑌𝑖
𝑐 = 𝑌𝑖−1
𝑐 + [𝐷ℎ𝑖−1,𝑖 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑧𝑖−1,𝑖)] + 𝐶𝑌𝑖
Obrigado pela atenção!
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	Slide 28: 1.3 Tipos de Poligonal
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	Slide 30: 2.1 Levantamento de Campo
	Slide 31: 2.2 - Conceitos
	Slide 32: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 33: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 34: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 35: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 36: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 37: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 38: 2.3 Medidas de ângulos
	Slide 39: 2.4 Determinação dos azimutes
	Slide 40: 2.4 Determinação dos azimutes
	Slide 41: 2.4 Determinação dos azimutes
	Slide 42: 2.4 Determinação dos azimutes
	Slide 43: 2.4 Determinação dos azimutes
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	Slide 48: 2.5 Cálculo e ajuste de uma poligonal fechada
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