Lista Matematica OBMEP (49)

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Nível 2
228. Multiplicação com letras – Na operação dada, as letras a, b e c representam alga-
rismos distintos e diferentes de 1. Determine os valores de a, b e c.
a b b
× c
b c b 1
229. Números sortudos – Digamos que um número é sortudo se a soma de seus algarismos
for divisível por sete. Por exemplo, 7, 25 e 849 são números sortudos. Os dois menores
números sortudos são 7 e 16.
(a) Encontre oito números consecutivos, dos quais dois são números sortudos.
(b) Encontre doze números consecutivos, tais que nenhum seja sortudo.
(c) Mostre que qualquer sequência de treze números consecutivos contém, pelo menos,
um número sortudo.
230. Uma sequência especial – Na sequência 1, 3, 2, . . . cada termo depois dos dois
primeiros é igual ao termo precedente, subtraído do termo que o precede, ou seja,
se n > 2, então an = an−1 − an−2. Qual é a soma dos cem primeiros termos dessa
sequência?
231. Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos α e β dados na gura.
45º
70º
130º
a
b
68 OBMEP 2010
Desaos
Desafios
1. Cadeia do menor número (N2/N3) – Partindo do número 265 863 e utilizando
uma única vez cada uma das operações +,−,× e ÷ e também uma única vez os
números 51, 221, 6 817, 13 259, podemos obter vários números. Por exemplo, 54 911,
como segue.
265 863
÷221−→ 1 203
×51−→ 61 353
−13 259−→ 48 094
+6817−→ 54 911
Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo.
2. Qual é a metade? (N2/N3) – Considere a gura ao lado,
em que AB = AE = ED = CD = CA e o arco CB é um arco
de círculo centrado no ponto E. Você sabe repartir essa gura
em duas partes idênticas, que possam ser superpostas?
3. Cada um em seu estado (N1/N2/N3) – Amélia, Bruno, Constância e Denise são
quatro amigos que se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupando
um lado da mesa. Um dos quatro mora no Amazonas, outro em São Paulo, outro no
Ceará e o quarto na Bahia. Sabendo que valem as condições a seguir, quem mora na
Bahia?
• À direita de Amélia está quem mora no Amazonas.
• Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo.
• Bruno e Denise estão um ao lado do outro.
• Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará.
4. Divisão (N1/N2) – Numa divisão, aumentando o dividendo de 1 989 e o divisor de
13, o quociente e o resto não se alteram. Qual é o quociente?
5. Extraterrestre (N1/N2) – No planeta Staurus, os anos têm 228 dias, divididos em
12 meses de 19 dias. Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio, Quati, Quio,
Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi, que foi o primeiro dia do quarto mês. Que
dia da semana ele festejará seu primeiro aniversário?
6. Que família! (N1/N2) – Numa família, cada menino tem o mesmo número de
irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de irmãos que de irmãs. Qual é a
composição dessa família?
7. Siga a pista (N1) – Na pista de corrida dada, os sete pontos
de referência são marcados a cada 50 m. Os atletas devem
fazer 2 km no sentido indicado pela echa, partindo do ponto
P. Marque o ponto C de chegada.
P
OBMEP 2010 105