AULA 3

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07/03/2024
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Resistência dos Materiais III
Prof.ª Fernanda Lins Gonçalves Pereira
07/03/2024 Resistência dos Materiais III - Prof.ª Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Tensão
• Método das seções para determinar as cargas internas que atuam em uma região 
específica no interior corpo.
• D.C.L. e Equações de Equilíbrio → Força Resultante FR e Momento MRO
em 
qualquer ponto específico O.
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Tensão
Hipóteses em relação às propriedades do material:
• O material é contínuo – sem vazios
• O material é o coeso – sem trincas, 
separações ou outras falhas
Área pequena – ΔA, Força pequena – ΔF
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Tensão
Área pequena – ΔA, Força pequena – ΔF
Três componentes: ΔFx, ΔFy e ΔFz (tangentes e normal)
Tensão normal,
𝜎 = lim
→
Tensão de cisalhamento, 
𝜏 = lim
→
𝜏 = lim
→
O eixo de z especifica a 
orientação da área, enquanto x e y referem-se às 
retas de direção de cisalhamento
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𝑥
𝑦
𝑧
𝜎
𝜏
𝜏
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Tensão
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𝑥
𝑦
𝑧
𝜎
𝜏
𝜏
Tensão normal,
𝜎 = lim
→
Tensão de cisalhamento, 
𝜏 = lim
→
𝜏 = lim
→
Fonte: @engmatheusborges
Tensão
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𝑥
𝑦
𝑧
𝜎
𝜏
𝜏
Tensão
• Estado de Tensões em um Ponto Tensor das Tensões
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σX
XY
XZ
σY
YXYZ
σZ
ZY
ZX
σX
XY
XZ
σY
YX
YZ X 
Y 
Z 
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎
Tensão
UNIDADES
• S.I. – Sistema Internacional de Unidades
• Força N (newton)
• Comprimento (metro)
• Tensão newton por metro quadrado – chamada de pascal
1 Pa=1N/m² – unidade muito pequena, utiliza-se então 
1 kPa=1x10³N/m² , 1 MPa=1x106N/m2 ou 1GPa=1x109N/m²
• U.S.C.S. – United States Customary System – Sistema americano de unidades
• Força lbf (pound-force ou libra-força)
• Comprimento in ou pol (inch ou polegada) e pé, sendo 1 pé = 12 pol
• Tensão expressa em libras por polegada quadrada “psi” ou quilolibras por polegada quadrada 
“ksi”.
• Conversão de unidades: 1 psi = 6895 Pa e 1 pol = 2,54 cm
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Tensão
psi= pounds per square inch = libras por polegada quadrada
psf= pounds per square foot = libras por pé quadrado
1 pé=12 in
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1 psi=6895 Pa 1Pa=1,45x10-4 psi
1 psi=6,895 kPa 1kPa=1,45x10-1 psi
1 ksi=6,895 MPa 1MPa=1,45x10+2 psi
1000 ksi=6,895 GPa 1GPa=1,45x10+5 psi
1 psf=47,88 Pa 1 Pa=0,02089 psf
Tensão
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Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial
Hipóteses:
• Barra permanece reta e seção transversal permanece plana
• Linhas horizontais e verticais deformam-se uniformemente
• Não consideraremos as regiões próximas às extremidades 
(distorções localizadas) 
• Carga aplicada ao longo do centroide da seção transversal e o 
material seja homogêneo (mesmas propriedades físicas e 
mecânicas em todo seu volume) e isotrópico (possui essas 
mesmas propriedades em todas as direções)
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Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial
• Distribuição de tensão normal média:
Cada área Δ𝐴, está sujeita a uma força Δ𝐹 = 𝜎Δ𝐴
Se Δ𝐴 → 𝑑𝐴 e Δ𝐹 → 𝑑𝐹, admitindo 𝜎 constante
∑ 𝐹 = ∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝜎𝑑𝐴
𝑃 = 𝜎𝐴
𝜎 =
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Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial
• Convenção de sinais:
Um valor positivo para s indica uma 
tensão de tração. Ou seja, a tensão devida 
a uma força DF puxa a área na qual ela 
age.
Um valor negativo para s indica uma 
tensão de compressão. Ou seja, a tensão 
devida a uma força DF empurra a área 
na qual ela age.
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Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial
• Tensão Média em A
𝜎 é =
𝐹
𝐴
=
𝑃
𝐴
• Tensão Média em B
𝜎 é =
𝐹
𝐴
=
𝑃
𝐴
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Tensão normal média – Exemplo 1 
• Um empreiteiro prendeu um cabo de aço em um olhal, ponto A, no seu 
compressor, e com a haste de sua ponte rolante içou o compressor. Se o 
compressor pesar 600 libras e o diâmetro do cabo for 3/16 polegadas, qual será a 
tensão trativa no cabo?
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Tensão normal média – Exemplo 1 
• Peso do compressor = 600 lb; diâmetro do cabo = 3/16 pol; 
tensão no cabo?
• D.C.L.
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∑ 𝐹 = 0
𝐹 − 600 𝑙𝑏 = 0
𝐹 = 600 𝑙𝑏
• Solução
𝜎 é = = =
⋅
⋅
𝜎 é = 21729,95psi=21,7ksi
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Tensão normal média – Para casa
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Fonte: @engmatheusborges
em MPa
Tensão normal média – Para casa
• Solução
𝜎 é = =
⋅ ,
⋅
= 3,43𝑀𝑃𝑎
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Fonte: @engmatheusborges
Tensão normal média – Exemplo 2
• A barra da figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao 
carregamento mostrado.
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Rascunho
Tensão normal média – Exemplo 2
• Largura = 35 mm e espessura = 10 mm
Tensão normal média máxima ?
• DCL
𝐹 á = 30𝑘𝑁
𝜎 á =
𝐹 á
𝐴
=
⋅
=
⋅
⋅
= 85,7 ⋅ 10 𝑃𝑎
= 85,7𝑀𝑃𝑎
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Tensão normal média – Exemplo 3
• A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a 
figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, determinar 
a tensão normal média em cada haste. 
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Rascunho
Tensão normal média – Exemplo 3
• Luminária = 80 kg; diâmetro AB = 10 mm, BC = 8 mm; 
tensão normal média em cada haste? 
• DCL
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• Equações de Equilíbrio
∑ 𝐹 = 0 → −𝐹 cos 60° + = 0
∑ 𝐹 = 0 → 𝐹 sin 60° + − 784,8 = 0
𝐹 = 632,38𝑁 e 𝐹 = 395,24𝑁
Tensão normal média – Exemplo 3
• Luminária = 80 kg; diâmetro AB = 10 mm, BC = 8 mm; 
tensão normal média em cada haste? 
• 𝐹 = 632,38𝑁 e 𝐹 = 395,24𝑁
• Cálculo das Tensões:
𝜎 = =
,
⋅
= 8,05𝑀𝑃𝑎
𝜎 = =
,
⋅
= 7,86𝑀𝑃𝑎
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Tensão normal média – Exemplo 4
• O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN. 
Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de 
compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A 
haste tem uma área de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é 
de 650 mm².
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Rascunho
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Tensão normal média – Exemplo 4
• Posição x? 𝜎 = 𝜎 ; 𝐴 = 400 mm²; 𝐴 = 650 mm²
• DCL
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• Equações de Equilíbrio
∑ 𝐹 = 0 → 𝐹 − 3000 + 𝐹 = 0
∑ 𝑀 = 0 → −3000𝑥 + 200𝐹 = 0 → 𝐹 = 15𝑥
𝐹 = 3000 − 15𝑥
Tensão normal média – Exemplo 4
• Posição x? 𝜎 = 𝜎 ; 𝐴 = 400 mm²; 𝐴 = 650 mm²
• 𝐹 = 15𝑥 e 𝐹 = 3000 − 15𝑥
• Cálculo das Tensões:
𝜎 = 𝜎
= → = → 𝑥 ≈ 124𝑚𝑚
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Tensão de Cisalhamento Média
• Considere a força F aplicada à barra
• Sendo F suficientemente grande, ela
provocará deformação e falha na barra
ao longo dos planos AB e CD
• DCL do segmento 
AC  V = F/2 
• A tensão de cisalhamento 
média distribuída sobre 
cada área secionada é 
definida por:
*Equação aproximada
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𝜏 é =
𝑉
𝐴
Tensão de Cisalhamento Média
• Cisalhamento Simples
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Área da seção 
transversal do 
parafuso 
Superfície de 
fixação entre 
os elementos
Força de cisalhamento simples, 𝑉 = 𝐹
D.C.L D.C.L
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Tensão de Cisalhamento Média
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Tensão de Cisalhamento Média
• Cisalhamento Duplo
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D.C.L D.C.L
𝑉 = atua em cada área secionada
Áreas da seção 
transversal do 
parafuso 
Superfícies de 
fixação entre 
os elementos
Tensão de Cisalhamento Média
• Equilíbrio
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𝐹 = 0
𝐹
 çã
− 𝐹
 çã 
= 0
𝜏 Δ𝑥Δ𝑦 − 𝜏 Δ𝑥Δ𝑦 = 0
𝜏 = 𝜏 𝐹 = 0 → 𝜏 = 𝜏
𝑀 = 0
−𝐹 Δ𝑧 + 𝐹 Δy = 0
−𝜏 Δ𝑥Δ𝑦 Δ𝑧 + 𝜏 Δ𝑥Δ𝑧 Δy = 0
𝜏 = 𝜏
𝜏 = 𝜏 = 𝜏 = 𝜏 = 𝜏
𝜏
𝜏
𝜏 𝜏
Δ𝑥
Δ𝑦
Δz
𝑥
𝑦
𝑧
𝜏
𝜏
𝜏𝜏
Tensão de cisalhamento média – Exemplo 1
• A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada para a qual a 
profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma força 
axial de 800 N ao longo do eixo do centroide da área da seção transversal da 
barra, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que 
atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no plano da seção b-b.
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Rascunho
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Tensão de cisalhamento média – Exemplo 1
• Seção quadrada; Tensão normal média? 
Tensão de cisalhamento média?
• DCL seção a-a
𝜎 = =
⋅
= 0,5𝑀𝑃𝑎 ou 500𝑘𝑃𝑎
𝜏 = 0
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Tensão de cisalhamento média – Exemplo 1
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𝑏
𝑏
• Seção quadrada; Tensão normal média? 
Tensão de cisalhamento média?
• DCL seção b-b
𝜎 = =
⋅ °
⋅
°
= 0,375𝑀𝑃𝑎
ou 375𝑘𝑃𝑎
𝜏 = =
⋅ °
⋅
°
= 0,217𝑀𝑃𝑎
ou 217𝑘𝑃𝑎
800𝑁
𝐹
𝐹
60°
Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço de 
10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5 
kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das 
duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada como abcd.
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Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• Haste de aço d=10 mm; Tensão de cisalhamento média da haste na
parede?; Tensão de cisalhamento média ao longo das duas áreas 
sombreadas?
• DCL da haste de aço
𝜏 é =
5000𝑁
𝜋 ⋅ 10
4 𝑚𝑚
= 63,7𝑀𝑃𝑎
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Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• Haste de aço d=10 mm; Tensão de cisalhamento média da haste na
parede?; Tensão de cisalhamento média ao longo das duas áreas 
sombreadas?
• DCL da escora de madeira
𝜏 é =
2500𝑁
40 ⋅ 20 𝑚𝑚
= 3,12𝑀𝑃𝑎
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Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• O elemento inclinado da figura está submetido a uma força de compressão de 
600 lb. Determinar a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato 
planas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do 
plano definido por EDB.
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Rascunho
Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• 𝜎 ?; 𝜎 ?; 𝜏 ?
• DCL da peça inclinada
𝜎 = =
⋅
, ⋅
= 240𝑝𝑠𝑖
𝜎 = =
⋅
⋅ ,
= 160𝑝𝑠𝑖
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𝑥
𝑦
Tensão de cisalhamento média – Exemplo 2
• 𝜎 ?; 𝜎 ?; 𝜏 ?
• DCL da peça EDBA
𝜏 = = =
⋅
⋅ ,
= 80𝑝𝑠𝑖
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𝑥
𝑦
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Tensão admissível
• Critérios de projeto
S ≤ R
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Solicitação
=
Tensões atuantes
Resistência
=
Tensões admissíveis
Tensão admissível
• Fator de segurança, 𝐹. 𝑆. = = =
𝐹 obtida em testes experimentais do material 
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Consequência
P
ro
ba
bi
li
da
de
Baixo Médio
AltoMédio