impressao 2

Prévia do material em texto

MODELAGEM MATEMÁTICA 
APLICADA ÀS FINANÇAS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Na aula anterior, vimos que a matemática financeira estuda a evolução 
do valor do dinheiro no tempo, por meio da capitalização ou do desconto, 
sendo que o desconto refere-se à descapitalização de um montante para 
encontrar seu valor presente. Enquanto a capitalização determina o valor 
nominal de uma aplicação, a operação de desconto determina o valor atual de 
um título vencível no futuro. 
Segundo Castanheira (2008), podemos imaginar o desconto como 
aquele benefício que alguém merece por estar antecipando o pagamento de 
uma dívida ou o resgate de um título. Assim, desconto é o abatimento 
concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado. 
Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de 
capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. 
Nesta aula, vamos estudar os principais conceitos envolvendo desconto, 
os tipos de desconto, a relação entre eles e o cálculo de títulos equivalentes. 
CONTEXTUALIZANDO 
Título de crédito é um comprovante de dívida e indica que uma pessoa 
deve uma quantia em dinheiro numa data futura. Esse título possui data de 
vencimento, mas o devedor pode antecipar o seu pagamento, obtendo com 
isso um abatimento, ou seja, um desconto. Os títulos de crédito mais utilizados 
são a nota promissória e a duplicata. 
Segundo Castanheira (2008), a nota promissória é um comprovante da 
aplicação de capital com vencimento predeterminado, sendo um título em que 
necessariamente uma das partes é pessoa física. Já a duplicata é um título 
emitido por pessoa jurídica contra o seu cliente, que pode ser pessoa física ou 
jurídica. 
O conceito de desconto é muito utilizado e possui alguns detalhes 
importantes, como tipo de desconto, taxa utilizada e período de antecipação. 
Com certeza você já deve ter solicitado desconto no pagamento de um título ou 
conhece alguém que já realizou esse processo. 
 
 
3 
TEMA 1 – DESCONTO 
De acordo com Castanheira (2008), desconto é o abatimento concedido 
sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado e ocorre 
quando conhecemos o valor nominal de um título e desejamos determinar seu 
valor atual. 
O valor nominal corresponde ao valor no dia do vencimento do título, ou 
seja, o valor obtido no final do período. Já o valor atual ou valor presente é um 
valor menor que o nominal e obtido em qualquer período antes do final do 
compromisso, ou seja, antes da data de vencimento do título. Considerando o 
valor nominal e o valor atual, o desconto será a diferença entre eles. Para 
calcular o desconto, utilizamos uma taxa de desconto e um período de tempo, 
isto é, o tempo que falta para vencimento da dívida ou do título. 
 
Fonte: elaborado com base em Puccini, 2007. 
Consideramos dois tipos de desconto: simples e composto. O desconto 
simples é o processo de determinação do valor atual de um título utilizando o 
sistema de juros simples. Já no desconto composto utilizamos o sistema de 
juros compostos. 
TEMA 2 – DESCONTO SIMPLES 
O desconto pode ser calculado considerando como capital o valor 
nominal ou valor atual, assim temos dois modos de calcular o desconto: 
desconto simples comercial e desconto simples racional. 
Desconto simples comercial, representado por Dc, também é conhecido 
como desconto por fora ou bancário. É o desconto calculado aplicando uma 
taxa de descontos simples (i) sobre o valor nominal (N) do título, considerando 
um prazo de antecipação do pagamento (n). Assim: 
 
 
4 
Dc = N .i . n 
O valor atual (Vc) ou valor presente é igual ao valor nominal menos o 
desconto: 
Vc = N – Dc 
Como Dc = N .i . n, temos: 
Vc = N – (N .i . n) 
Colocando o valor de N em evidência chegamos à fórmula do valor atual (Vc): 
Vc = N (1 – i . n) 
Exemplo 1: uma duplicata de R$5.000 foi quitada 4 meses antes do 
vencimento, à taxa de desconto comercial simples de 1,5% ao mês. Qual o 
valor do desconto e o valor atual? O enunciado fornece os seguintes dados: 
N = 5000 
n = 4 meses 
i = 1,5% ao mês / 100 = 0,015 
Aplicando os dados acima encontramos o valor do desconto: 
Dc = N .i . n 
Dc = 5000 .0,015 . 4 
Dc = 300 
Como o valor atual (Vc) é igual ao nominal menos o desconto, temos: 
Vc = N – Dc 
Vc = 5000 – 300 
Vc = 4.700 
Exemplo 2: qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal 
equivalente a R$120,75, à taxa de desconto comercial simples de 6% a.a., 
4 meses antes do vencimento? O enunciado fornece os seguintes dados: 
N = 120,75 
n = 4 meses 
 
 
5 
i = 6% ao ano 
Vc = ? 
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim 
transformamos a taxa que está em ano para meses e após aplicamos a fórmula 
para encontrar o valor atual: 
i = 6% ao ano / 12 = 0,5% a.m / 100 = 0,005 
Vc = N (1 – i . n) 
Vc = 120,75 (1 – 0,005 . 4) 
Vc = 120,75 (1 – 0,02) 
Vc = 120,75 . 0,98 
Vc = 118,34 
O desconto simples racional, representado por Dr, também conhecido como 
desconto por dentro, é calculado aplicando taxa de juros simples (i) sobre o valor atual 
(Vr) do título, considerando o prazo de antecipação do pagamento (n). Logo: 
Dr = Vr . i .n 
Sabemos que o valor atual é igual ao nominal (N) menos o desconto: 
Vr = N – Dr 
Substituindo Dr na fórmula acima e isolando o Vr, encontramos a 
fórmula do valor atual no desconto racional simples: 
Vr = N – Dr 
Vr = N – (Vr . i .n) 
Vr + (Vr . i .n) = N 
Vr (1+ i.n) = N 
in
N
Vr
+
=
1 
 
 
6 
Exemplo 3: qual o valor do desconto racional simples e o valor do 
resgate de um título de R$200, 4 meses e 12 dias antes do vencimento à taxa 
de 20% a.a.? O enunciado fornece os seguintes dados: 
N = 200 
n = 4 meses e 12 dias 
i = 20% ao ano 
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim 
transformamos a taxa que está em ano para dias e o período também para 
dias. Lembrando que um mês possui 30 dias e um ano 360 dias: 
n = 4 meses e 12 dias = (30*4) + 12 = 120 + 12 = 132 dias 
i = 20% ao ano / 360 = 0,0556% a.d / 100 = 0,000556 
in
N
Vr
+
=
1 
132.000556,01
200
+
=Vr
 
073392,01
200
+
=Vr
 
073392,1
200
=Vr
 
Vr = 186,33 
Agora aplicamos a fórmula do desconto racional simples: 
Dr = Vr . i .n 
Dr = 186,33 . 0,000556 . 132 
Dr = 13,68 
Exemplo 4: qual o valor atual de um título de R$75,40 que sofreu um 
desconto racional simples de 1,5% ao mês, 1 mês e 17 dias antes do 
vencimento? O enunciado fornece os seguintes dados: 
 
 
7 
N = 75,40 
n = 1 mês e 17 dias 
i = 1,5% ao mês 
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim 
transformamos a taxa que está em mês para dias e o período também para dias: 
n = 1 mês e 17 dias = 30 + 17 = 47 
i = 1,5% ao mês / 30 = 0,05% a.d / 100 = 0,0005 
in
N
Vr
+
=
1 
47.005,01
40,75
+
=Vr
 
0235,01
40,75
+
=Vr
 
0235,1
40,75
=Vr
 
Vr = 73,66 
O desconto simples racional ou comercial é aplicado aos títulos de curto 
prazo, geralmente inferiores a um ano. 
TEMA 3 – DESCONTO COMERCIAL x RACIONAL 
Considerando as fórmulas do desconto comercial e racional simples que 
estudamos no tema 2, temos: 
Dc = N .i . n 
Dr = Vr . i .n 
Vamos substituir o valor de Vr na segunda fórmula para encontrar a 
fórmula do desconto racional: 
 
 
 
8 
in
N
Vr
+
=
1 
ni
in
N
Dr ..
1+
=
 
ni
niN
Dr
.1
..
+
=
 
Comparando as fórmulas dos descontos, temos que o desconto 
comercial é sempre maior que o racional, pois o desconto racional é obtido 
dividindo o desconto comercial por 1+ i.n: 
Dc = N .i . n 
ni
niN
Dr
.1
..
+
= 
Realizando a diferença entre os descontos temos: 
ni
niN
niNDrDc
.1
..
..
+
−=−
 
ni
Dc
DcDrDc
.1+
−=−
 
ni
DcniDc
DrDc
.1
).1(
+
−+
=−
 
ni
DcniDcDc
DrDc
.1
..
+
−+
=−
 
ni
niDc
DrDc
.1
..
+
=−
 
ni
ni
Dc
DrDc ..
.1+
=−
 
Substituindoni
Dc
.1+ por Dr, temos: 
niDrDrDc ..=− 
Isolando o Dc e colocando em evidência o Dr chegamos à seguinte relação: 
 
 
9 
niDrDrDc ..=− 
niDrDrDc ..+= 
).1( niDrDc += 
Analisando a relação entre o desconto comercial e racional temos que 
Dc>Dr, logo Vcna data zero pelo critério de valor atual, 
se a uma determinada taxa seus valores atuais forem iguais. Considerando 
vários títulos N1, N2, ... , Nn com vencimentos n1, n2,..., nn, temos: 
nn
n
nn
i
N
i
N
i
N
Vr
)1(
...
)1()1( 21
21
+
==
+
=
+
=
 
Exemplo 2: considere os seguintes títulos e verifique se são equivalentes 
à taxa de 1% ao mês pelo critério de desconto racional composto: 
• Título 1: valor nominal de R$1.000 com vencimento para 1 mês. 
• Título 2: valor nominal de R$1.010 com vencimento para 2 mês. 
• Título 3: valor nominal de R$1.033 com vencimento para 4 mês. 
Para verificar se os títulos são equivalentes precisamos calcular os 
valores atuais e após comparar os valores obtidos: 
Título 1: valor nominal de R$1.000 com vencimento para um mês. 
1)1(
1
n
i
N
Vr
+
=
 
10,990
)01,01(
1000
1
=
+
=Vr
 
Título 2: valor nominal de R$1.010 com vencimento para dois meses. 
2)1(
2
n
i
N
Vr
+
=
 
 
 
17 
10,990
)01,01(
1010
2
=
+
=Vr
 
Título 3: valor nominal de R$1.033 com vencimento para quatro meses. 
3)1(
3
n
i
N
Vr
+
=
 
69,992
)01,01(
1033
4
=
+
=Vr
 
Analisando os resultados temos que os dois primeiros títulos são equivalentes à 
taxa de 1% ao mês e o terceiro título não é equivalente aos demais. 
TROCANDO IDEIAS 
Você já realizou ou conhece alguém que realizou financiamento ou 
empréstimo? O pagamento ocorreu na data de vencimento ou houve antecipação? 
Se pago antecipadamente, ocorreu desconto? Qual o desconto praticado? 
NA PRÁTICA 
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios. 
Exercício 1: qual o valor do desconto e o valor recebido de um título de 
R$5.000,00 com vencimento para 60 dias, considerando desconto comercial simples 
que cobra juros de 4% ao mês? Nesse enunciado temos os seguintes dados: 
N = 5000 
n = 60 dias 
i = 4% ao mês / 100 = 0,04 
Dc = ? 
Vc = ? 
O período de antecipação está em dias e a taxa em mês. Antes da 
aplicação da fórmula vamos transformar o período em meses. 
n = 60 dias = 2 meses 
Dc = N .i . n 
 
 
18 
Dc = 5000 . 0,04 . 2 
Dc = 400 
Temos o valor do desconto, agora vamos calcular o valor recebido pelo 
detentor do título: 
Vc = N – Dc 
Vc = 5000 – 400 
Vc = 4.600 
Exercício 2: um título de R$1.300,00 foi resgatado antes de seu 
vencimento obtendo desconto racional simples de R$238,78. Qual o prazo para 
o vencimento desse título se a taxa de juros aplicada foi de 27% a.a.? O 
enunciado fornece os seguintes dados: 
N = 1300 
Dr = 238,78 
i = 27% a.a / 100 = 0,27 
n = ? 
Com os dados acima, vamos encontrar o valor atual do título. 
Vr = N – Dr 
Vr = 1300 – 238,78 
Vr = 1061,22 
Agora vamos aplicar a fórmula do desconto para encontrar o prazo para 
vencimento desse título. 
Dr = Vr . i .n 
238,78 = 1061,22 . 0,27 . n 
238,78 = 286,5294 n 
5294,286
78,238
=n
 
 
 
19 
n = 0,8334 
Como a taxa está em ano o resultado obtido também é representado em 
ano, vamos converter para meses utilizando regra de três simples. 
1 ano 12 meses 
0,8334 ano n 
n = 0,8334*12 = 10 meses 
Exercício 3: um título de R$21.000,00 foi descontado dois meses antes 
com valor atual de R$20.168,40. Qual a taxa mensal de desconto para o 
desconto racional composto? No enunciado temos os seguintes dados: 
N = 21.000 
Vr = 20.168,40 
n = 2 meses 
i = ? 
Aplicamos a fórmula do valor atual para encontrar a taxa utilizada. 
ni
N
Vr
)1( +
=
 
2)1(
21000
40,20168
i+
=
 
Como temos que isolar a variável i, vamos passar (1+i)2 que está 
dividindo para o primeiro membro multiplicando: 
21000)1(40,20168 2 =+ i
 
Agora vamos passar o valor 20.168,40 que está multiplicando para o 
segundo membro dividindo: 
40,20168
21000
)1( 2 =+ i
 
041233,1)1( 2 =+ i 
 
 
20 
Para isolar a variável i será necessário tirar a potência que aparece na 
operação entre parêntese, lembrando que o inverso da potenciação é a raiz. 
2 041233,1)1( =+ i
 
(1 + i) = 1,020408 
Para finalizar, vamos passar o 1 que está somando no primeiro membro 
para o segundo membro, subtraindo: 
i = 1,020408 – 1 
i = 0,020408 x 100 
i = 2,0408% a.m 
Exercício 4: uma pessoa possui dois títulos, um de R$720,00 com 
vencimento para dois meses e outro de R$960,00 com vencimento para três 
meses. Não podendo pagar os títulos, essa pessoa propõe a substituição por 
um único título com vencimento para quatro meses à taxa de 1,2% ao mês, 
considerando desconto comercial simples. Qual o valor nominal do novo título? 
Nesse exercício temos a substituição de dois títulos por um único. 
Assim, a soma dos valores atuais dos títulos substituídos deve ser igual ao 
valor atual do novo título. 
N = R$ 720 
n = 2 meses 
N’ = R$ 960 
n = 3 meses 
n1 = 4 meses 
i = 1,2% ao mês 
)n . i - (1
 )n' . i - (1 N'
)n . i - (1
 n) . i - (1 N
 = N
11
1 +
 
4) . 0,012 - (1
 3) . 0,012 - 960(1
4) . 0,012 - (1
 2) . 0,012 - (1 720
 = N1 +
 
 
 
21 
0,048) - (1
0,9640 960.
0,048) - (1
 720.0,976
 = N1 +
 
0,9520
925,44
0,9520
 702,72
 = N1 +
 
1008,972738,1513 = N1 +
 
25,1710 = N1 
Na aula anterior, estudamos juros simples e compostos e nesta aula 
complementamos com os conceitos relacionados a desconto. Vimos como calcular 
utilizando fórmulas, mas podemos também utilizar a calculadora financeira HP 12C. 
Para saber mais sobre a utilização dessa calculadora, acesse 
 e leia os capítulos 3 e 11 do livro Matemática Financeira com HP 12C e Excel: 
uma abordagem descomplicada, disponível na biblioteca virtual. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo desconto 
simples e composto, as diferenças entre desconto comercial e racional, a 
relação entre os descontos e os principais conceitos sobre títulos equivalentes. 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
CAMARGO, C. Análise de Investimentos e demonstrativos financeiros. 
Curitiba: Ibpex, 2007. 
CASTANHEIRA, N. P, MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2008. 
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo Aplicado à Gestão e aos Negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
FRANCISCO, W. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1991. 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma 
abordagem descomplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. 2007. Disponível em: 
. Acesso em: 06 fev. 2021.