qa a vida da matematica

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47. **Qual é a integral de \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)?** 
 a) \(\sinh^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\sinh^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \sinh^{-1}(x) + C 
 \] 
 
48. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{2x^2 - x + 4} 
 \] 
 a) \(\frac{3}{2}\) 
 b) \(\frac{5}{2}\) 
 c) 0 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo cada termo pelo maior grau de \(x\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} = 
\frac{3}{2} 
 \] 
 
49. **Qual é a integral de \(f(x) = \sec(x)\tan(x)\)?** 
 a) \(\sec(x) + C\) 
 b) \(\ln(\sec(x) + \tan(x)) + C\) 
 c) \(\tan(x) + C\) 
 d) \(\sec^2(x) + C\) 
 **Resposta:** b) \(\ln(\sec(x) + \tan(x)) + C\) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C 
 \] 
 
50. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x)^{3} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{8}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int (1 - x)^{3} \, dx = \left[-\frac{(1 - x)^{4}}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} 
 \] 
 
51. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^5 + 2x^3 + x\)?** 
 a) \(5x^4 + 6x^2 + 1\) 
 b) \(5x^4 + 3x^2 + 1\) 
 c) \(3x^4 + 2x^2 + 1\) 
 d) \(5x^4 + 2x^2 + 1\) 
 **Resposta:** a) \(5x^4 + 6x^2 + 1\) 
 **Explicação:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1 
 \] 
 
52. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (x^2 + x)^{\frac{3}{2}} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{5}{12}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2 + x\): 
 \[ 
 \int_0^1 (x^2 + x)^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{1}{4} 
 \] 
 
53. **Qual é a integral de \(f(x) = \cos^2(x)\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \sin(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} \cos(x) + C\) 
 d) \(\sin(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\): 
 \[ 
 \int \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C 
 \] 
 
54. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} 
 \] 
 a) 0