TM matematica com amor

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8. **Qual é a integral definida \(\int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - C) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{6}\) 
 
 **Resposta correta: A) \(\frac{\pi}{2}\)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\): 
 \[ 
 \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - 
\frac{1}{2} \sin(2x) \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} 
 \] 
 
9. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2\)?** 
 - A) \(y = \frac{1}{x + C}\) 
 - B) \(y = C e^{x}\) 
 - C) \(y = C e^{-x}\) 
 - D) \(y = C x\) 
 
 **Resposta correta: A) \(y = \frac{1}{x + C}\)** 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos: 
 \[ 
 \frac{dy}{y^2} = dx 
 \] 
 Integrando ambos os lados: 
 \[ 
 -\frac{1}{y} = x + C \implies y = \frac{1}{-x - C} 
 \] 
 Reescrevendo, obtemos \(y = \frac{1}{x + C}\). 
 
10. **Qual é o valor de \(\frac{d^2}{dx^2} e^{3x} \sin(2e^{3x})\) em \(x = 0\)?** 
 - A) 0 
 - B) 6 
 - C) 12 
 - D) 24 
 
 **Resposta correta: C) 12** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A primeira derivada é: 
 \[ 
 \frac{d}{dx} (e^{3x} \sin(2e^{3x})) = 3e^{3x} \sin(2e^{3x}) + e^{3x} \cdot 2 \cdot 3e^{3x} 
\cos(2e^{3x}) 
 \] 
 Avaliando em \(x = 0\), obtemos \(3(1)(0) + 6(1)(1) = 6\). 
 Para a segunda derivada, aplicamos novamente a regra do produto, resultando em 
\(12\). 
 
11. **Qual é a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{4}\) 
 - B) \(\frac{1}{3}\) 
 - C) \(\frac{1}{6}\) 
 - D) \(\frac{1}{2}\) 
 
 **Resposta correta: B) \(\frac{1}{3}\)** 
 **Explicação:** Calculando a integral: 
 \[ 
 \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} 
\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = 
\frac{1}{3} 
 \] 
 
12. **Qual é a solução da equação \(\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0\)?** 
 - A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 - B) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 - C) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) 
 - D) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
 
 **Resposta correta: A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é dada por: 
 \[ 
 y = C_1 \cos(\sqrt{4} x) + C_2 \sin(\sqrt{4} x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) 
 \] 
 
13. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 4}\)?** 
 - A) 0 
 - B) \(\frac{3}{5}\) 
 - C) \(\frac{5}{3}\) 
 - D) 1 
 
 **Resposta correta: B) \(\frac{3}{5}\)** 
 **Explicação:** Dividindo numerador e denominador pelo maior grau de \(x\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{5} 
 \] 
 
14. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 x e^{2x} \, dx\)?** 
 - A) \(\frac{1}{2}\) 
 - B) \(\frac{1}{4}(e^2 - 1)\) 
 - C) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\) 
 - D) \(\frac{1}{3}(e^2 - 1)\) 
 
 **Resposta correta: B) \(\frac{1}{4}(e^2 - 1)\)** 
 **Explicação:** Usamos integração por partes: 
 \[