letras e nuemros NS

Prévia do material em texto

b) 2 
c) 1 
d) 0 
**Resposta:** a) -2 
**Explicação:** A soma das raízes de um polinômio \( az^n + bz^{n-1} + ... + k = 0 \) é dada 
por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( a = 1 \) e \( b = 2 \), então a soma das raízes é \( -\frac{2}{1} = -2 
\). 
 
29. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( |z|^2 \)? 
a) 8 
b) 4 
c) 2 
d) 10 
**Resposta:** a) 8 
**Explicação:** O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = 
\sqrt{a^2 + b^2} \). Portanto, 
\[ |z|^2 = a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \]. 
 
30. Qual é o resultado de \( (1 + i)(1 - i) \)? 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
**Resposta:** a) 2 
**Explicação:** Usando a propriedade da multiplicação de números complexos: 
\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]. 
 
31. Qual é a forma polar de \( z = -1 \)? 
a) \( 1 \text{cis} \pi \) 
b) \( 1 \text{cis} \frac{3\pi}{2} \) 
c) \( 1 \text{cis} 0 \) 
d) \( 1 \text{cis} \frac{\pi}{2} \) 
**Resposta:** a) \( 1 \text{cis} \pi \) 
**Explicação:** A forma polar de um número complexo é dada por \( r \text{cis} \theta \), 
onde \( r \) é o módulo e \( \theta \) é o argumento. Para \( z = -1 \), temos \( r = 1 \) e \( 
\theta = \pi \). 
 
32. Qual é o valor de \( z^3 \) se \( z = 1 + i \)? 
a) \( 2 + 2i \) 
b) \( -2 + 2i \) 
c) \( -2 - 2i \) 
d) \( 2 - 2i \) 
**Resposta:** a) \( 2 + 2i \) 
**Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) 
= 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i \). 
 
33. Qual é a representação em forma trigonométrica de \( z = 1 + \sqrt{3}i \)? 
a) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) 
b) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{6} \) 
c) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
d) \( 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \) 
**Resposta:** a) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) 
**Explicação:** Primeiro, calculamos o módulo: 
\[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \] 
O argumento é: 
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \] 
Portanto, a forma trigonométrica é \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \). 
 
34. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( \overline{z} \)? 
a) \( 2 - 2i \) 
b) \( -2 + 2i \) 
c) \( -2 - 2i \) 
d) \( 2 + 2i \) 
**Resposta:** a) \( 2 - 2i \) 
**Explicação:** O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( 
\overline{z} = a - bi \). Portanto, \( \overline{z} = 2 - 2i \). 
 
35. Qual é o resultado de \( z^2 + z + 1 = 0 \)? 
a) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
b) \( z = -1 \) 
c) \( z = 1 \) 
d) \( z = 0 \) 
**Resposta:** a) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
**Explicação:** Usando a fórmula de Bhaskara: 
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm 
i\sqrt{3}}{2} \]. 
 
36. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( |z|^2 \)? 
a) 25 
b) 16 
c) 10 
d) 20 
**Resposta:** a) 25 
**Explicação:** O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( |z| = 
\sqrt{a^2 + b^2} \). Portanto, 
\[ |z|^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]. 
 
37. Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)? 
a) \( 4i \) 
b) \( -4 \) 
c) \( 4 \) 
d) \( -4i \) 
**Resposta:** b) \( -4 \) 
**Explicação:** Primeiro, calculamos \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
Agora, \( z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = -4 \).