235_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Pela teoria dos polinômios, a2 + a1 + a0 = 0 é equivalente a afirmar que x = 1 é raiz 
de u(x). Dessa forma, podemos reescrever que:
𝒩(A) = {u(x); x = 1 é raiz de u}
Numa transformação linear A: E → F, tal que (A) = {0}, dizemos que A é 
uma transformação linear injetora. Não é o caso do exemplo anterior, mas é 
o do próximo exemplo.
Considere a transformação linear A: P3 → P4, tal que, dado u = u(x) ∈ P3:
A(u) = (x + 1) ∙ u
Vimos anteriormente que essa transformação calcula a imagem de grau 4 da mul-
tiplicação por (x + 1) de um polinômio de grau 3. Assim, para essa transformação:
(x + 1) ∙ u = 0 ⇔ u = 0
Logo, o único vetor em P3 que tem como imagem o vetor nulo é u(x) = 0. Portanto, 
𝒩(A) = 0, e essa transformação é injetora.
Por outro lado, essa transformação não é sobrejetora, pois, dada qualquer constante 
real k ≠ 0, ela não é imagem de algum u(x) ∈ P3, isto é:
(x + 1)u(x) ≠ k
para todo u ∈ P3. Isso porque o lado esquerdo da desigualdade é um polinômio de 
grau um, no mínimo, e o lado direito é uma constante.
Espaços vetoriais: transformações lineares10
No que já estudamos sobre os espaços vetoriais ℝn, dada a transformação linear 
A: ℝn → ℝm, existe matriz T, m × n, tal que:
A(u) = T ∙ u
E o conjunto núcleo de A corresponde ao espaço nulo de A calculado pela solução 
homogênea da igualdade T ∙ u = 0.
Considere a transformação linear A: P2 → ℝ2, tal que:
A(a2x2 + a1x + a0) = (a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0)
Dado u = ax2 + bx + c ∈ P2, temos que u ∈ 𝒩(A), se A(u) = 0, isto é, se:
(a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0) = (0, 0)
Ou melhor, se, e somente se:
a2 + 2a1 – a0 = 0
3a2 – 2a1 + a0 = 0
o que é equivalente ao sistema matricial:
1 2 –1
3 –2 1
.
a2
a1
a0
= 
TA
0
0
Aplicando o método de Gauss na matriz TA, calculamos suas equivalências, tal que:
1 2 –1
3 –2 1
1 2 –1
0 –8 4~
1 2 –1
0 2 –1~
1 0 0
0 2 –1~
11Espaços vetoriais: transformações lineares
que equivale ao sistema:
a2 = 0
2a1 – a0 = 0
a0 = a0
ou:
a2 = 0
a1 = a0
a0 = a0
1
2
Dessa forma:
�(A) = u = a0 0x2 + x + 1 , a0 є ℝ1
2
Isso significa que 𝒩(A) é um subespaço vetorial de P2 dos vetores múltiplos de x + 11
2
.
Com respeito à injetividade de transformações lineares, uma propriedade 
importante é que uma transformação linear e injetiva A: E → F leva conjuntos 
linearmente independentes de E em conjuntos linearmente independentes de F.
Já vimos que a transformação A: P3 → P4,
A(u) = (x + 1) ∙ u
é linear e injetora. Sabemos que o conjunto {1, x, x2, x3} é linearmente independente 
em P3 Agora, se tomamos a imagem por A de cada um desses vetores:
A(1) = x + 1
A(x) = x2 + x
A(x2) = x3 + x2
A(x3) = x4 + x3
Espaços vetoriais: transformações lineares12