70_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Esse resultado não aconteceu por acaso. Temos o seguinte teorema, que 
também pode ser encontrado em Nicholson (2015).
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear no plano euclidiano com 
representação dada por MT, são equivalentes as seguintes afirmações.
1. T é invertível (isto é, MT é invertível).
2. Existe uma transformação linear S, tal que TºS = SºT = I2×2.
Além disso, a matriz de S é dada por MT
–1.
Aqui, é fundamental destacar a relação entre a transformação e sua forma 
matricial.
T é invertível se, e somente se, MT também for.
Essas relações nos permitem estabelecer um procedimento alternativo para 
encontrar a inversa de algumas matrizes. Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz MT =
cos (60º) –sen (60º)
sen (60º) cos (60º)
, que representa uma rotação de 60º, 
no sentido anti-horário, em torno da origem. Calculando os valores de seno e cosseno, 
MT pode ser escrita como:
MT =
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
Nessa situação, conhecemos bem a transformação geométrica envolvida. Sabemos, 
por exemplo, que a transformação inversa seria uma rotação de –60º no sentido 
horário. Essa transformação teria sua forma matricial dada por:
MT
–1 = cos (–60º) –sen (–60º)
sen (–60º) cos (–60º)
13Geometria vetorial e transformações lineares
Novamente, calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
MT
–1 =
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
Essa MT
–1 é nossa candidata à matriz inversa. Vejamos se, de fato, ela é inversa de MT. 
Para tal, basta calcular os produtos MTMT
–1 e MT
–1MT. Temos:
MTMT
–1 = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2–
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1 0
0 1
De forma semelhante, também obtemos:
MT
–1MT = = 
1
2
√3
2
√3
2
1
2
–
1
2
–√3
2
√3
2
1
2
1 0
0 1
Assim, MT
–1 é, de fato, a inversa da matriz apresentada inicialmente.
O procedimento utilizado no exemplo anterior pode ser sumarizado da 
seguinte maneira.
1. Observar a transformação geométrica induzida pela matriz, caso ela 
exista.
2. Procurar pela transformação inversa.
3. Encontrar a matriz dessa transformação.
Assim como matrizes, transformações lineares também apresentam a noção 
de núcleo, que também se relaciona com o fato de uma transformação linear 
e, por consequência, a matriz que a induz ser ou não invertível.
Vamos denotar que o núcleo por Null(T), de uma transformação linear 
T, é o conjunto de todos os vetores do v→ plano euclidiano, tais que T(v→) = 0.
Geometria vetorial e transformações lineares14
Segue da definição de uma transformação linear que:
 � o vetor nulo 0
→
 sempre pertence ao núcleo de uma transformação linear, 
isto é, ;
 � se v→ ∈ Null(T), então todo múltiplo de v→ também pertencerá.
Essas observações, somadas aos resultados previamente apresentados, nos 
permitem apresentar o seguinte resultado.
Teorema: seja T:R2 → R2 uma transformação linear cuja forma matricial é 
MT, são equivalentes as seguintes informações.
 � det(MT) ≠ 0.
 � Null(T) = {0
→
}.
 � T é invertível.
 � MT é invertível.
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado.
Considere A uma transformação de rotação de 90º no sentido anti-horário. Qual é o 
núcleo dessa transformação?
Como visto nas seções anteriores, a forma matricial dessa transformação é dada por:
R90 =
cos 90º –sen 90º
sen 45º cos 90º
Calculando os valores de seno e cosseno, obtemos:
R90 =
0 –1
1 0
Não é difícil perceber que o determinante dessa matriz é igual 1 e, portanto, diferente 
de zero. Como consequência do resultado anterior, temos:
Null(T ) = {0
→
}
15Geometria vetorial e transformações lineares