calculo da faculdade et c 1E4

Prévia do material em texto

**Explicação:** Para encontrar \( \frac{1}{z} \), multiplicamos numerador e denominador 
pelo conjugado: \( \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{1^2 + 1^2} = \frac{1-i}{2} = 
\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \). 
 
16. Qual é o valor de \( z^2 - 2z + 5 = 0 \)? 
A) \( 1 \pm 2i \) 
B) \( -1 \pm 2i \) 
C) \( \pm i \) 
D) Não tem soluções reais 
*Resposta: B) \( -1 \pm 2i \)* 
**Explicação:** Usando a fórmula quadrática, \( z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 
\cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i \). 
 
17. Se \( z = re^{i\theta} \), qual é \( z^n \)? 
A) \( r^n e^{in\theta} \) 
B) \( nre^{i\theta} \) 
C) \( e^{ir \theta} \) 
D) \( r^{\frac{1}{n}} e^{i\frac{\theta}{n}} \) 
*Resposta: A) \( r^n e^{in\theta} \)* 
**Explicação:** Conforme a propriedade de potências de números complexos em forma 
polar, temos \( z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} \). 
 
18. Determine o valor de \( z^2 + 1 = 0 \). 
A) \( i \) e \( -i \) 
B) \( 1 \) e \( -1 \) 
C) \( 0 \) 
D) \( 2i \) 
*Resposta: A) \( i \) e \( -i \)* 
**Explicação:** A equação \( z^2 = -1 \) resulta nas soluções \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
19. Se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é \( z_1 z_2 \)? 
A) 2 
B) 0 
C) 1 
D) \( -1 \) 
*Resposta: A) 2* 
**Explicação:** Calculando o produto: \( z_1 z_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \). 
 
20. Qual é a forma rectangular de \( z = 5 \text{cis} \left( \frac{\pi}{2} \right) \)? 
A) 0 
B) 5 
C) \( 5i \) 
D) \( 5 - 5i \) 
*Resposta: C) \( 5i \)* 
**Explicação:** A fórmula retangular é \( r(\cos \theta + i \sin \theta) = 5(\cos \frac{\pi}{2} + 
i \sin \frac{\pi}{2}) = 5(0 + i \cdot 1) = 5i \). 
 
21. Se \( z = 2 + 2\sqrt{3}i \), qual é o argumento de \( z \)? 
A) \( \frac{\pi}{3} \) 
B) \( \frac{\pi}{2} \) 
C) \( \frac{2\pi}{3} \) 
D) \( \frac{3\pi}{4} \) 
*Resposta: A) \( \frac{\pi}{3} \)* 
**Explicação:** Usando \( \tan^{-1} \left( \frac{2\sqrt{3}}{2} \right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 
\frac{\pi}{3} \). 
 
22. Qual é \( z^{-1} \) se \( z = -1 + i \)? 
A) \( \frac{-1}{2} - \frac{1}{2}i \) 
B) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \) 
C) \( \frac{1}{-1+i} \) 
D) \( \frac{-1 + i}{2} \) 
*Resposta: A) \( \frac{-1}{2} - \frac{1}{2}i \)* 
**Explicação:** Multiplicando pelo conjugado \( \frac{-1 - i}{(-1)^2 + (1)^2} = \frac{-1-i}{2} = 
-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \). 
 
23. Determine a soma \( z_1 + z_2 \) se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = -1 + 4i \). 
A) \( 1 + 7i \) 
B) \( 3 + i \) 
C) \( -1 + i \) 
D) \( -2 + 7i \) 
*Resposta: A) \( 1 + 7i \)* 
**Explicação:** Somando as partes reais e imaginárias: \( z_1 + z_2 = (2-1) + (3+4)i = 1 + 7i 
\). 
 
24. O que representa a equação \( z^8 = 1 \) no plano complexo? 
A) Uma linha 
B) Um círculo 
C) Oito raízes da unidade 
D) Uma parábola 
*Resposta: C) Oito raízes da unidade* 
**Explicação:** A equação tem oito soluções, que são as raízes oitavas da unidade, 
distribuídas uniformemente ao longo do círculo unitário. 
 
25. Se \( z = \sqrt{3} - i \), qual é o módulo de \( z \)? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) \( \sqrt{4} \) 
*Resposta: B) 2* 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \). 
 
26. Qual é o valor de \( z^3 + 8 = 0 \)? 
A) \( -2 \) 
B) \( -1 \) 
C) \( 2 \) 
D) Não tem soluções reais