folhas de kfN2

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a) \( z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \) 
b) \( z = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \) 
c) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
d) \( z = 1 \pm i \) 
**Resposta:** c) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
**Explicação:** Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos \( b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 \). As 
raízes são \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \). 
 
19. Qual é a forma retangular do número complexo \( z = 5\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) 
\)? 
a) \( z = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i \) 
b) \( z = 2.5 + 4.33i \) 
c) \( z = 2.5 - 4.33i \) 
d) \( z = 5 + 0i \) 
**Resposta:** a) \( z = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i \) 
**Explicação:** A forma retangular é obtida usando \( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \). 
Portanto, \( z = 5\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i 
\). 
 
20. Determine o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 + 3z + 5 = 0 \). 
a) \( z = -\frac{3}{2} + i\sqrt{\frac{7}{4}} \) 
b) \( z = -\frac{3}{2} \pm i\sqrt{\frac{7}{4}} \) 
c) \( z = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i \) 
d) \( z = -3 \pm 2i \) 
**Resposta:** b) \( z = -\frac{3}{2} \pm i\sqrt{\frac{7}{4}} \) 
**Explicação:** Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos \( b^2 - 4ac = 9 - 20 = -11 \). 
Portanto, as raízes são \( z = \frac{-3 \pm i\sqrt{11}}{2} \). 
 
21. Qual é a solução da equação \( z^2 + 1 = 0 \)? 
a) \( z = i \) 
b) \( z = -i \) 
c) \( z = \pm i \) 
d) \( z = 0 \) 
**Resposta:** c) \( z = \pm i \) 
**Explicação:** A equação \( z^2 = -1 \) tem duas soluções, que são \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
22. Determine o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 4z + 4 = 0 \). 
a) \( z = 2 \) 
b) \( z = 4 \) 
c) \( z = 1 \) 
d) \( z = 0 \) 
**Resposta:** a) \( z = 2 \) 
**Explicação:** A equação é um quadrado perfeito, \( (z - 2)^2 = 0 \), resultando em uma 
raiz única \( z = 2 \). 
 
23. Encontre a soma das raízes da equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \). 
a) \( -2 \) 
b) \( 2 \) 
c) \( -1 \) 
d) \( 1 \) 
**Resposta:** a) \( -2 \) 
**Explicação:** A soma das raízes de uma equação quadrática \( az^2 + bz + c = 0 \) é 
dada por \( -\frac{b}{a} \). Aqui, \( b = 2 \), então a soma é \( -2 \). 
 
24. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^3 + 1 = 0 \)? 
a) \( z = -1 \) 
b) \( z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
c) \( z = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
d) \( z = -1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
**Resposta:** d) \( z = -1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
**Explicação:** A equação \( z^3 = -1 \) tem uma raiz real \( z = -1 \) e duas raízes 
complexas, que podem ser expressas na forma polar. 
 
25. Determine o valor de \( z \) na equação \( z^2 + z + 1 = 0 \). 
a) \( z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \) 
b) \( z = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \) 
c) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
d) \( z = 1 \pm i \) 
**Resposta:** c) \( z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
**Explicação:** Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos \( b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 \). As 
raízes são \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \). 
 
26. Encontre o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 6z + 9 = 0 \). 
a) \( z = 3 \) 
b) \( z = -3 \) 
c) \( z = 0 \) 
d) \( z = 6 \) 
**Resposta:** a) \( z = 3 \) 
**Explicação:** A equação é um quadrado perfeito, \( (z - 3)^2 = 0 \), resultando em uma 
raiz única \( z = 3 \). 
 
27. Resolva a equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \). 
a) \( z = -1 + i \) 
b) \( z = -1 - i \) 
c) \( z = -1 \pm i \) 
d) \( z = 1 + i \) 
**Resposta:** c) \( z = -1 \pm i \) 
**Explicação:** Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos \( b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 \). 
Portanto, as raízes são \( z = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \). 
 
28. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 4z + 4 = 0 \)? 
a) \( -4 \) 
b) \( 4 \) 
c) \( -2 \) 
d) \( 2 \) 
**Resposta:** a) \( -4 \)