TZ6 analises anual

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D) \( -2i \) 
**Resposta: A)** Pela fórmula do somatório das raízes de uma equação do segundo grau 
\( -b/a \): 
Neste caso \( b = 2 \) e \( a = 1 \), logo, a soma é \( -2 \). 
 
16. Se \( z = -1 + \sqrt{3}i \), qual é o seu módulo? 
A) 1 
B) 2 
C) \( 2\sqrt{2} \) 
D) 2 
**Resposta: B)** O módulo \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \). 
 
17. Se \( z = 1 + i \), qual é o argumento \( \theta \)? 
A) \( \frac{\pi}{4} \) 
B) \( \frac{3\pi}{4} \) 
C) \( \frac{\pi}{2} \) 
D) \( \frac{5\pi}{4} \) 
**Resposta: A)** O argumento é \( \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4} \). 
 
18. Calcule \( \frac{z_1}{z_2} \) para \( z_1 = 5 + 5i \) e \( z_2 = 1 - i \). 
A) \( 5 + 5i \) 
B) \( 10 + 10i \) 
C) \( 5\sqrt{2} \) 
D) \( 5\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
**Resposta: D)** Multiplicando por conjugado: 
\( z_1/z_2 = \frac{(5 + 5i)(1 + i)}{1 + 1} = \frac{(5 + 10i - 5)}{2} = \frac{10i}{2} = 
5\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \). 
 
19. Qual é o valor de \( \bar{z} + z \) se \( z = -4 - 3i \)? 
A) \( -7 \) 
B) \( -8 \) 
C) \( -4 \) 
D) \( -6 \) 
**Resposta: A)** O conjugado é \( \bar{z} = -4 + 3i \): 
Então, \( \bar{z} + z = -4 + 3i + (-4 - 3i) = -8 \). 
 
20. Qual é a forma polar de \( z = 0 - 4i \)? 
A) \( 4e^{i\frac{3\pi}{2}} \) 
B) \( 4e^{i\frac{\pi}{2}} \) 
C) \( 0 \) 
D) \( 4 + 0i \) 
**Resposta: A)** O módulo é 4 e o argumento é \( \frac{3\pi}{2} \). 
 
21. Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), qual é o argumento de \( z^2 \)? 
A) \( \frac{\pi}{4} \) 
B) \( \frac{\pi}{2} \) 
C) \( \frac{3\pi}{4} \) 
D) \( \frac{\pi}{3} \) 
**Resposta: D)** O argumento de \( z \) é \( \frac{\pi}{3} \) e o de \( z^2 \) será o dobro: 
Portanto, \( 2\cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \). 
 
22. Qual é o valor de \( \frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} \) para \( z = e^{i\theta} \)? 
A) \( i \) 
B) \( \tan\theta \) 
C) \( \cot\theta \) 
D) \( \frac{1}{i} \) 
**Resposta: B)** 
\( z + \bar{z} = 2\cos\theta \) 
\( z - \bar{z} = 2i\sin\theta \) 
Portanto, \( \frac{2\cos\theta / 2i\sin\theta} = \cot\theta \). 
 
23. Se \( z_1 = -2 + 2i \) e \( z_2 = 3 - 4i \), qual é o valor da expressão \( z_1z_2 + z_1 + z_2 \)? 
A) 4 
B) -7 
C) -4 
D) -5 
**Resposta: C)** 
Calculando \( z_1z_2 = (-2)(3) + (-2)(-4i) + (2i)(3) + (2i)(-4i) \). Isso simplifica a expressão: 
Portanto, \( (-6 + 8i + 6i + 8) + (-2 + 2i + 3 - 4i) = ... \). 
 
24. Qual é o resultado de \( z^2 + z + 1 = 0 \) para \( z \)? 
A) \( e^{i\frac{\pi}{3}}, e^{-i\frac{\pi}{3}} \) 
B) \( e^{i\frac{\pi}{2}}, e^{-i\frac{\pi}{2}} \) 
C) \( e^{i\frac{3\pi}{3}} \) 
D) \( -1 \) 
**Resposta: A)** Utilizando a fórmula de Bhaskara ou reescrevendo como \( z(z^2 + ... ) \). 
 
25. Qual é o produto \( z_1z_2 \) se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = -1 + i \)? 
A) \( -1 + 2i \) 
B) \( 1 + 2i \) 
C) \( 2 \) 
D) \( 2 + 1i \) 
**Resposta: A)** 
Calculando: 
\( = (1 + i)(-1 + i) = -1 + i - i + i^2)]) \). Portanto, \( -1 + 2i \). 
 
26. Se \( z = re^{i\theta} \) e \( r = 1 \), qual é a forma retangular de \( z^3 \)? 
A) \( \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \) 
B) \( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \) 
C) \( -1 \) 
D) \( e^{i\theta} \) 
**Resposta: A)** \( (re^{i\theta})^3 = r^3(\cos(3\theta) + i\sin(3\theta)) \). 
 
27. Determine as potências de \( i \): \( i^{10} \).