Slides - Aula 24 - CDI-II

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Diferenciais parciais e totais
Diferenciais parciais
Lembre-se que, para uma função real �: � → � derivável e dado ��, �� �� � �′ �� Δ� e que
������� � ����� � �� ��
Seja agora �: � ⊆ �� → � derivável e � ��, �� ∈ �
��! � �
"�
"�
� Δ� �
"�
"�
� ��
��# � �
"�
"�
� Δ� �
"�
"�
� ��
E ainda:
� �� � �, �� � � ��, �� � ��! ��, �� � � ��, �� �
"�
"�
� Δ�
� ��, �� � � � � ��, �� � ��# ��, �� � � ��, �� �
"�
"�
� Δ�
Exemplo 1
Calcule um valor aproximado para o volume de um cilindro reto com raio 3,1 & e altura 1,96
utilizando diferenciais parciais em:
a) relação ao raio;
b) relação à altura.
Solução
) *; , � -*�,
*�, ,� � 3,2 ; Δ* � 0,1 Δ, � 00,04
Δ*; Δ, � 0,1; 00,04
) 3; 2 � 18- � 55,72
a) relação ao raio;
 
")
"*
� 2-*, ⇒
")
"*
3; 2 � 12- � 37,68
) 3,1; 1,96 � ) 3 � 0,1; 2 0 0,04 � ) 3; 2 �
")
"*
3,2 0,1 � 55,72 � 37,68. �0,1� � 59,49
b) relação à altura.
 
")
",
� -*� ⇒
")
",
3; 2 � 9- � 28,26
) 3,1; 1,96 � ) 3 � 0,1; 2 0 0,04 � ) 3; 2 0
")
",
3,2 . 0,04 � 55,72 0 28.26. �0,04� � 54,59
Diferencial total
Seja �: � ⊆ �� → � derivável e � ��, �� ∈ �
�� � � ��! � � ��# � �
"�
"�
� Δ� �
"�
"�
� Δ� � :� � Δ�; Δ�
Onde :� � �
; � 1; 2; 02 ; 
0,9; 2,12; 01,98 � 1 0 0,1; 2 � 0,12; 02 � 0,02 � 1; 2; 02 � 00,1; 0,12; 0,02 ;
Δ� � 00,1; Δ� � 0,12; Δ= � 0,02;
Δ> � Δ�; Δ�; Δ= � 00,1; 0,12; 0,02
Assim:
0,9; 2,12; 01,98 � > � Δ>
� > � � 1; 2; 02 � 1 � 4 � 4 � 3
� > � Δ> �?
� > � Δ> � � > � �� > � � > � @� > . A>; BC�D :� > �
"�
"�
> ;
"�
"�
> ;
"�
"=
>
Exemplo 3
"�
"�
�
�
�� � �� � =�
; 
"�
"�
�
�
�� � �� � =�
; 
"�
"=
�
=
�� � �� � =�
"�
"�
1; 2; 02 �
1
1� � 2� � �02��
�
1
3
; 
"�
"�
1; 2; 02 �
2
3
; 
"�
"=
1; 2; 02 � 0
2
3
�� �
"�
"�
> Δ� �
"�
"�
> Δ� � �
"�
"=
> Δz � 0
1
3
. 0,1 �
2
3
. 0,12 0
2
3
. 0,02 �
00,1 � 0,24 0 0,04
3
�
0,1
3
0,9; 2,12; 01,98 � > � Δ> � � > � Δ> � � > � �� � 3 �
0,1
3
� 3,0333
Numa calculadora: 0,9; 2,12; 01,98 � 3,0372
Taxa de variação
Exemplo 4
Um cone de raio de base 10cm e altura 25m está se deformando de modo que sua base está dilatando à 
0,3cm/s e sua altura contraindo à 0,2cm/s, calcule a velocidade do volume deste cone no instante 3s.
Solução
) *, , �
*�,
3
F&G
�*
�H
� 0,3; 
�,
�H
� 00,2; 
�)
�H
�?
�)
�H
�
")
"*
.
�*
�H
�
")
",
.
�,
�H
�
2-
3
*,.
�*
�H
�
-
3
*�.
�,
�H
")
"*
10; 25 �
500
3
-; 
")
",
10; 25 �
100
3
-.
�)
�H
�
")
"*
.
�*
�H
�
")
",
.
�,
�H
�
500
3
-. 0,3 �
100
3
-. 0,2 � 10- �
20
3
- �
50-
3
. F&/J � 50,75. F&/J 
Exercícios
Calcule um valor aproximado para
a. 0,98K,G
b. �1,2; 6,9; 07,05; 1,3�