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\[ = e^{2x}(-\sin(x)) + \cos(x)(2e^{2x}) = e^{2x}(-\sin(x) + 2\cos(x)) \]. 
 
4. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x} \)?** 
 a) \( y = e^{-2x} + C \) 
 b) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 d) \( y = Ce^{-2x} + e^{-x} \) 
 **Resposta:** c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) 
 **Explicação:** Usamos o método do fator integrante. O fator é \( e^{\int 2dx} = e^{2x} \). 
Multiplicamos a equação por \( e^{2x} \) e resolvemos. 
 
5. **Qual é a série de Taylor de \( f(x) = \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \)?** 
 a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots \) 
 b) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \ldots \) 
 c) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{24} + \ldots \) 
 d) \( x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \ldots \) 
 **Resposta:** a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor é gerada pela derivada de \( \ln(1+x) \) em \( x=0 \), 
resultando na série alternada. 
 
6. **Qual é o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{\pi}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
 \[ \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x 
- \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} \]. 
 
7. **Qual é a integral imprópria \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) Não converge 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Avaliamos a integral imprópria: 
 \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b 
\to \infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 1 \]. 
 
8. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)?** 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} \) 
 c) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 \) 
 d) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 x^2 \) 
 **Resposta:** b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} \) 
 **Explicação:** A equação tem raízes duplas, então a solução é da forma \( y = C_1 
e^{2x} + C_2 x e^{2x} \). 
 
9. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} e^{3x} \)?** 
 a) \( 3e^{3x} \) 
 b) \( 9e^{3x} \) 
 c) \( 27e^{3x} \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta:** b) \( 9e^{3x} \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 3e^{3x} \) e a segunda derivada é \( 3 \cdot 
3e^{3x} = 9e^{3x} \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3(1-x)^2 \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{30} \) 
 b) \( \frac{1}{20} \) 
 c) \( \frac{1}{60} \) 
 d) \( \frac{1}{12} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{20} \) 
 **Explicação:** Expandindo \( x^3(1-x)^2 = x^3(1 - 2x + x^2) \) e integrando, obtemos: 
 \[ \int_0^1 (x^3 - 2x^4 + x^5) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^5}{5} + \frac{x^6}{6} 
\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{15 - 24 + 10}{60} = \frac{1}{20} \]. 
 
11. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{x^3 + 4x + 1} \)?** 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^3 \): 
 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 
\frac{3 + 0 - 0}{1 + 0 + 0} = 3 \]. 
 
12. **Qual é a integral de \( \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{3} e^{-2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{-2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} e^{-2x} e^{3e^{2x}} + C \) 
 d) \( -\frac{1}{2} e^{-2x} e^{3e^{2x}} + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{3} e^{-2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes ou substituição. A integral se 
torna uma forma que resulta em um termo com \( e^{-2x} \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + x) e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 b) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 c) \( \frac{e - 1}{3} \) 
 d) \( \frac{e^2 - 1}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \). A integral 
transforma-se em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} (e - 1) \).