Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 72

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CAPÍTULO 8 - Questões 01 a 03 
Informações: 
(a) ax + by = c tem solução se e somente s c for múltiplo do mdc(a, b). 
(b) se x0 e y0 é uma solução particular de ax + by = c, então x = x0 + (b/d)t e y 
= y0 - (a/d)t, com t um inteiro qualquer e d = mdc(a, b), são soluções de ax + by 
= c. 
01 – Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas 
lineares: 
Neste item resolveremos apenas os das letras (a) e (d) pois o processo de 
resolução é repetitivo. 
(a) 56x + 72y = 40 
Solução: 
Calculando o mdc(72, 56) 
 
72 = 56.1 + 16 
56 = 16.3 + 8 
16 = 8.2 + 0 
8 = 56 – 16.3 = 56 – (72 –56.1).3 = 56.4 – 72.3 = 56.(4) + 72(-3) 
Temos: 40 = 8.5 = 56.(4.8) + 72.(-3.5) = 56.(32) + 72(-15). 
Solução particular: xo = 32 e yo = -15. 
Todas as soluções:- x = 32 + (72/8)t = 32 + 9t e y = -15 - (56/8)t = -15 - 
7t. 
Resposta:- x = 32 + 9t e y = -15 – 7t 
(b) 24x + 138y = 18 Resposta: x = 18 + 23t y = -3 – 4t 
(c) 221x + 91y = 117 Resposta: x = -18 + 7t e y = 45 – 17t 
(d) 84x – 438y = 156 
Solução: mdc(438, 84) 
438 = 84.5 + 18 ;84 = 18.4 + 12 ;18 = 12.1 + 6 ;12 = 6.2 + 0 
6 = 18 – 12.1 = 18 – (84 – 18.4).1 = 18.5 – 84.1 = (438 – 84.5).5 – 84.1 = 
= 84(-26) + 438(5) = 84(-26) – 438(-5) 
156 = 6.26 = 84(-26.26) – 438(-5.26) = 84(-676) – 438(-130) 
Solução particular: xo = -676 e yo = -130 
Soluções: x = -676 + (-438/6)t = -676 + 73t y = -130 – (84/6)t = -130 – 16t. 
Resposta:- x = -676 - 73t y = -130 – 16t. 
(e) 48x + 7y = 5 Resposta:- x = -5 + 7t y = 35 – 48t 
(f) 57x – 99y = 77 Resposta: não tem solução pois mdc(57, 99) = 3 e 31 não é 
multiplo de 3 
(g) 11x + 30y = 31 Resposta: x = 11 + 30t y = -3 – 11t 
(h) 27x – 18y = 54 Resposta: x = 2 - 2t y = - 3t (note que x = 2 e y = 0 é 
solução imediata)