exercicios cfrmj

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A) 0 
B) \( \frac{2}{5} \) 
C) \( \frac{5}{2} \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta: B) \( \frac{2}{5} \)** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{5} \). 
 
44. Determine a integral \( \int (6x^5 - 5x^4 + 2) \, dx \). 
A) \( x^6 - \frac{5}{5}x^5 + 2x + C \) 
B) \( x^6 - \frac{5}{4}x^5 + 2x + C \) 
C) \( x^6 - \frac{5}{4}x^4 + 2x + C \) 
D) \( x^6 - \frac{5}{5}x^4 + 2x + C \) 
**Resposta: A) \( x^6 - \frac{5}{5}x^5 + 2x + C \)** 
**Explicação:** Integrando termo a termo, temos \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \), \( \int -5x^4 \, dx 
= -\frac{5}{5}x^5 \) e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
45. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{5x + 2} \)? 
A) \( \frac{5}{2\sqrt{5x + 2}} \) 
B) \( \frac{1}{2\sqrt{5x + 2}} \) 
C) \( \frac{5x + 2}{2} \) 
D) \( \frac{5}{\sqrt{5x + 2}} \) 
**Resposta: A) \( \frac{5}{2\sqrt{5x + 2}} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x + 2}} \cdot 5 = 
\frac{5}{2\sqrt{5x + 2}} \). 
 
46. Calcule \( \int (4\sin(x) + 3\cos(x)) \, dx \). 
A) \( -4\cos(x) + 3\sin(x) + C \) 
B) \( 4\cos(x) + 3\sin(x) + C \) 
C) \( -4\sin(x) + 3\cos(x) + C \) 
D) \( 4\sin(x) - 3\cos(x) + C \) 
**Resposta: A) \( -4\cos(x) + 3\sin(x) + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 4\sin(x) \, dx = -4\cos(x) \) e \( \int 3\cos(x) \, dx = 
3\sin(x) \). 
 
47. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \)? 
A) 0 
B) \( -\frac{1}{2} \) 
C) 1 
D) \( \infty \) 
**Resposta: B) \( -\frac{1}{2} \)** 
**Explicação:** Usando a expansão de Taylor, \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) 
\). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2} \). 
 
48. Determine a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
B) \( -\frac{1}{3x^2} + C \) 
C) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
D) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
**Resposta: B) \( -\frac{1}{3x^2} + C \)** 
**Explicação:** A integral de \( x^{-3} \) é \( -\frac{1}{2}x^{-2} + C \). 
 
49. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \( \infty \) 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** Este limite pode ser resolvido usando a regra de L'Hôpital, onde 
derivamos o numerador e o denominador, resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 
2 \). 
 
50. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)? 
A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
C) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
D) \( \frac{x^2}{x^3 + 1} \) 
**Resposta: A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 \). 
 
51. Determine a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
B) \( \frac{1}{4}x^4 + x^3 - 4 + C \) 
C) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 4 + C \) 
D) \( \frac{1}{4}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), \( \int 3x^2 \, dx = 
x^3 \) e \( \int -4 \, dx = -4x \). 
 
52. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 - x + 5} \)? 
A) 0 
B) \( \frac{1}{2} \) 
C) 1 
D) \( \infty \) 
**Resposta: C) 1** 
**Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{1}{2} \). 
 
53. Determine a derivada de \( f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x - 1 \). 
A) \( 20x^3 - 9x^2 + 2 \) 
B) \( 20x^4 - 9x^3 + 2 \) 
C) \( 5x^3 - 3x^2 + 2 \) 
D) \( 4x^3 - 3x^2 + 2 \) 
**Resposta: A) \( 20x^3 - 9x^2 + 2 \)** 
**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = 20x^3 - 9x^2 + 2 \).