exercicio das faculdade a433q

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**Explicação:** Usando a expansão de Taylor na vizinhança de \( x = 0 \) para \( \tan(x) \), 
temos \( \tan(x) \sim x \), então: 
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \] 
 
### 13. Encontre o valor de \( \int x^2 \cos(x) dx \). 
a) \( x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) 
b) \( -x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) 
c) \( x^2 \cos(x) + \sin(x) + C \) 
d) \( x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + C \) 
**Resposta:** b) \( -x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes, onde \( u = x^2 \) e \( dv = \cos(x) dx \). 
Assim encontramos a integral: 
\[ \int x^2 \cos(x) dx = -x^2 \sin(x) + \int 2x \sin(x) dx \] 
onde a última parte também requer integração por partes, resultando em: 
\[ -x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) + C \] 
 
### 14. Se \( f(x) = e^{-x^2} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
a) \( -2xe^{-x^2} \) 
b) \( 2xe^{-x^2} \) 
c) \( e^{-x^2} \) 
d) \( -xe^{-x^2} \) 
**Resposta:** a) \( -2xe^{-x^2} \) 
**Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, temos: 
\[ f'(x) = -2x e^{-x^2} \] 
 
### 15. Qual é o resultado da integral \( \int_1^3 (2x^2 - 3x + 1) dx \)? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
**Resposta:** c) 4 
**Explicação:** Integrando e avaliando temos: 
\[ \int (2x^2 - 3x + 1) dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x \] 
Calculando entre 1 e 3, obtemos: 
\[ F(3) - F(1) = \left( \frac{2(27)}{3} - \frac{3(9)}{2} + 3 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 
\right) \] 
 
### 16. Se \( g(y) = y^4 - 8y^3 + 18y^2 - 16 \), quais são as raízes de \( g(y) = 0 \)? 
a) 2, 2, 2, 2 
b) 1, 2, 3, 4 
c) 2, 2, 2 
d) 1, 1, 1, 1 
**Resposta:** a) 2, 2, 2, 2 
**Explicação:** Fatorando ou usando o Teorema de Bolzano, podemos ver que \( g(y) \) é 
um polinômio de quarto grau, e isso resulta em múltiplas raízes em \( y = 2 \). 
 
### 17. Qual é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva \( y = 
x^2 \) e a linha \( y = 4 \) em torno do eixo x? 
a) 16π/5 
b) 8π 
c) 32π/5 
d) 16π 
**Resposta:** d) 16π 
**Explicação:** Usamos o método dos discos: 
\[ V = \pi \int_0^2 (4 - x^2)^2 dx \] 
Resolvendo a integral, obtemos o volume final como 16π. 
 
### 18. Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) dx \). 
a) \( \frac{\pi}{4} \) 
b) \( \frac{\pi}{6} \) 
c) \( \frac{\pi}{3} \) 
d) \( \frac{2\pi}{3} \) 
**Resposta:** a) \( \frac{\pi}{4} \) 
**Explicação:** Podemos usar a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). A integral 
se torna: 
\[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4} 
\] 
 
### 19. Determine \( \int \frac{1}{x \ln(x)} dx \). 
a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
c) \( \frac{1}{x} + C \) 
d) \( \ln(x) + C \) 
**Resposta:** a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos: 
\[ \int \frac{1}{x \ln(x)} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C \] 
 
### 20. Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? 
a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
b) \( 2 \) 
c) \( 1 \) 
d) \( \frac{3}{2} \) 
**Resposta:** a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
**Explicação:** Esta é a famosa série de Basileia, que convergente para \( \frac{\pi^2}{6} 
\). 
 
### 21. Calcule o determinante da matriz: 
\[ 
\begin{pmatrix} 
1 & 2 \\ 
3 & 4 
\end{pmatrix} 
\] 
a) -2 
b) 2