rs0g geometria

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d) \( \ln(\sec(x) + \tan(x)) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é bem conhecida: 
 \[ 
 \int \sec^2(x) \,dx = \tan(x) + C 
 \] 
 
39. **Qual misturando uma nova informação, o que representa a segunda derivada?** 
 a) O produto da função 
 b) A taxa de crescimento 
 c) A concavidade da função 
 d) O valor máximo 
 **Resposta:** c) A concavidade da função 
 **Explicação:** A segunda derivada nos diz se a função é côncava para cima ou para 
baixo, refletindo a concavidade. 
 
40. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Não existe 
 d) Infinitamente pequeno 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1 + x)}{1} = 1 
 \] 
 
41. **Qual é a integral de \( \cos^2(x) \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}\sin(x) + C \) 
 c) \( \frac{1 + \cos(2x)}{2} + C \) 
 d) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1 + \cos(2x)}{2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) para resolver 
a integral. 
 
42. **Qual é a integral de \( e^{-x} \)?** 
 a) \( e^{-x} + C \) 
 b) \( -e^{-x} + C \) 
 c) \( 0 + C \) 
 d) \( e^{x} + C \) 
 **Resposta:** b) \( -e^{-x} + C \) 
 **Explicação:** A integral básica de \( e^{-x} \) resulta em: 
 \[ 
 \int e^{-x} \,dx = -e^{-x} + C 
 \] 
 
43. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x + 5 \)?** 
 a) \( 4x^3 + 12x^2 + 6 \) 
 b) \( 4x^2 + 12x + 6 \) 
 c) \( 12x^2 + 6x + 5 \) 
 d) \( 4x^3 + 3x^2 + 6 \) 
 **Resposta:** a) \( 4x^3 + 12x^2 + 6 \) 
 **Explicação:** A derivada de cada termo é: 
 \[ 
 4x^3 + 12x^2 + 6 
 \] 
 
44. **Como analisamos a crescente/decrescente de uma função?** 
 a) Avaliamos a integral 
 b) Usamos a primeira derivada 
 c) Usamos a segunda derivada 
 d) Todos os acima 
 **Resposta:** b) Usamos a primeira derivada 
 **Explicação:** A primeira derivada nos informa onde a função é crescente (se \( f'(x) > 0 
\)) ou decrescente (se \( f'(x)