AP3-PC-2016-2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Pré-Cálculo para a Engenharia 2016
GABARITO
Considere as expressões abaixo e faça o que se pede nas questões 1 e 2. Dadas as expressões
f(x) =
√
16−x2
p(x) e p(x) = x5−7x3 +6x2.
Questão 1 [1,0 ponto] Fatore o polinômio p(x).
Solução: p(x) = x2(x3−7x+6) = x2(x+3)(x−2)(x−1), pois 1, 2 e −3 são ráızes do polinômio
x3−7x+6.
Questão 2 [1,0 ponto] Determine o doḿınio da função f .
Solução: Devemos determinar os valores de x tal que 16−x2 ≥ 0 e p(x) 6= 0.
Mas 16− x2 ≥ 0 se x ∈ [−4,4] e pela fatoração de p(x) na questão 1, temos que p(x) = 0 em
0,1,2,−3.
Logo, o doḿınio de f é dado por [−4,−3)∪ (−3,0)∪ (0,1)∪ (1,2)∪ (2,4].
Considere as funções f(x) = 32x−1 e g(x) = log3(9x)2 e faça o que se pede nas questões 3 e 4.
Questão 3 [1,0 ponto] Determine a expressão de (g ◦f)(x).
Solução:
De fato, (g◦f)(x) = g(f(x)) = g(32x−1) = log3(9(32x−1))2 = 2log3(9(32x−1)) = 2log3(32(32x−1)) =
2log3(32x+1) = 2(2x+1)log3(3) = 4x+2.
Questão 4 [1,0 ponto] Calcule f(g(1)).
Solução: Temos que g(x) = log3(9x)2, e assim, g(1) = 2log3(9) = 2 ·2 = 4; logo, f(g(1)) = f(4) =
32·4−1 = 37.
Questão 5 [2,0 pontos] Determine os zeros da função f : R → R, definida por
f(x) = 2|cosx|2−3|cosx|+1.
Solução: Determinar os zeros da função f , significa determinar os valores reais de x tais que
f(x) = 0. Mas f(x) = 0⇔ 2|cosx|2−3|cosx|+1 = 0.
Seja y = |cosx|. Assim,
2y2−3y+1 = 0⇔ y =
3±
√
9−4.1.(2)
2.2 = 3±1
4 .
Logo, y = 1
2 ou y = 1.
Temos, portanto, dois casos a analisar:
Pré-Cálculo para Engenharia AP 3 2
• y = 1
2 . Isto é, |cosx|= 1
2 .
Sendo assim, cosx= 1
2 ou cosx=−1
2 .
Conclúımos que os zeros da função f são, neste caso, da forma:
{x ∈ R;x= π
3 +kπ,
2π
3 +kπ k ∈ Z}.
• y = 1. Ou seja, |cosx|= 1.
Logo, cosx= 1 ou cosx=−1. Dáı, os zeros, neste caso, são da forma
{x ∈ R;x= kπ k ∈ Z}.
Para as questões 6 e 7 considere a função f : [−4,4]→ R definida como abaixo e a função g(x) =
f(x+1)−2.
•um segmento de reta no intervlo [−4,2) tal que f(x) = 2 para todo x neste intervalo.
•um segmento de reta no intervalo [2,4] tal que 2 é zero da função f neste intervalo, |f(3)|= 2 e a
função f é crescente neste intervalo.
Questão 6 [2,0 pontos] Determine a lei da função f .
Solução: Analisando a função f no intervalo [2,4].
Como 2 é zero da função f , temos que f(2) = 0.
Por outro lado, |f(3)| = 2, assim, f(3) = 2 ou f(3) = −2. Como f é crescente e 2