numeros ormanos dcccxliv

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d) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\cos(2x) + C \) 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e integramos. 
 
73. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: d) 3** 
 **Explicação:** O numerador pode ser fatorado como \( (x-1)(x^2+x+1) \), então o limite 
se torna \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
74. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 a) \( 2xe^{x^2} \) 
 b) \( e^{2x} \) 
 c) \( e^{x^2} \cdot 2 \) 
 d) \( 2e^{x} \) 
 **Resposta: a) \( 2xe^{x^2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{g(x)}g'(x) \), onde \( g(x) = x^2 \). 
 
75. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** O integrando é \( (x-1)^3 \), então a integral é \( \left[ \frac{(x-1)^4}{4} 
\right]_0^1 = 0 \). 
 
76. **Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \)?** 
 a) \( \tan^{-1}(x + 1) + C \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|x + 1 + \sqrt{2}| + C \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|x + 1 - \sqrt{2}| + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x + 1) + C \) 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln|x + 1 + \sqrt{2}| + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a completude do quadrado para resolver a integral. 
 
77. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( -\frac{1}{3} \) 
 **Resposta: c) \( \frac{1}{3} \)** 
 **Explicação:** Usamos a expansão de Taylor para \( \tan(x) \) e obtemos \( \frac{-
\frac{x^3}{3}}{x^3} = -\frac{1}{3} \). 
 
78. **Qual é a integral de \( \int x e^{2x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \) 
 b) \( xe^{2x} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}xe^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
79. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta: c) \( 2 \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 
1 + 1 \right) = 2 \). 
 
80. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) 
 c) \( \sec(x) \) 
 d) \( \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( \sec^2(x) \)** 
 **Explicação:** A derivada da tangente é bem conhecida e é dada por \( f'(x) = \sec^2(x) 
\). 
 
81. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_1^2 = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 1 \). 
 
82. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) \( -5 \) 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental que diz que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 5 \). 
 
83. **Qual é a integral de \( \int \cos(x) \sin(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2}\sin^2(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}\cos^2(x) + C \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C \)**