numeros PFKH

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b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{7}{4} \) 
 d) \( \frac{9}{4} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{7}{4} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ \frac{5x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = 
\left( \frac{5}{4} - \frac{4}{3} + 2 \right) = \frac{7}{4} \). 
 
53. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos^3(x) \)?** 
 a) \( -3\cos^2(x)\sin(x) \) 
 b) \( 3\cos^2(x)\sin(x) \) 
 c) \( 3\sin^2(x)\cos(x) \) 
 d) \( -\sin^3(x) \) 
 **Resposta:** a) \( -3\cos^2(x)\sin(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3\cos^2(x)(-\sin(x)) = -
3\cos^2(x)\sin(x) \). 
 
54. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) \, dx \)?** 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_0^1 = \left( 
\frac{1}{3} + 2 + 4 \right) = 4 \). 
 
55. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 3} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** Quando \( x \to \infty \), os termos de maior grau dominam. Portanto, o 
limite é \( 1 \). 
 
56. **Qual é a integral \( \int \sin^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\cos(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}\sin(x) + C \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), então a 
integral se torna \( \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \). 
 
57. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ x^3 - x^2 + x \right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - 0 = 1 \). 
 
58. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \)?** 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \) 
 c) \( x^2 \) 
 d) \( x \ln(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = (x^2)' \ln(x) + x^2 (\ln(x))' = 2x 
\ln(x) + x \). 
 
59. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \). 
 
60. **Qual é a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 d) \( 2e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \), resultando 
na integral \( \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
61. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)?** 
 a) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{1}{2x} \) 
 d) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é conhecida e dada por \( \frac{1}{x^2 + 1} 
\). 
 
62. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( \frac{5}{4} \) 
 c) \( \frac{3}{4} \) 
 d) \( \frac{7}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{4} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ x^4 - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = (1 - 
\frac{2}{3} + 1) = \frac{5}{3} \).