conhecimento duxv

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- A) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) \( \frac{1}{\sqrt{e}} \) 
 - D) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{-x^2} \) não tem uma forma fechada, mas é 
conhecida e avaliada numericamente. 
 
23. **Problema 23:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 - A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 - C) \( \ln(x) + C \) 
 - D) \( \frac{x}{\ln(x)} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), resultando na integral \( \int 
\frac{1}{u} \, du \). 
 
24. **Problema 24:** Calcule a integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 - B) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 - C) \( \frac{e - 1}{4} \) 
 - D) \( \frac{e^2 - 1}{4} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando em \( \frac{1}{2} \int e^u 
\, du \). 
 
25. **Problema 25:** Determine a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{3}{4} \sin(x) - \frac{1}{4} \sin(3x) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \sin^3(x) + C \) 
 - C) \( -\cos^3(x) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{2} \sin^2(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3}{4} \sin(x) - \frac{1}{4} \sin(3x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \) e integramos. 
 
26. **Problema 26:** Calcule \( \int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 - B) \( \frac{\pi}{2} \) 
 - C) \( \frac{\pi}{6} \) 
 - D) \( \frac{\pi}{3} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) e integramos. 
 
27. **Problema 27:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, derivando numerador e denominador. 
 
28. **Problema 28:** Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 - B) \( e^{x^2} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 - D) \( x e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), resultando em \( \frac{1}{2} e^{u} + C 
\). 
 
29. **Problema 29:** Encontre \( \int_0^1 (1 - x)^{10} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{11} \) 
 - B) \( \frac{1}{10} \) 
 - C) \( \frac{1}{9} \) 
 - D) \( \frac{1}{12} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{11} \) 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da integral de potência, resultando em \( \frac{(1 - 
x)^{11}}{11} \). 
 
30. **Problema 30:** Calcule \( \int_0^1 x^3 (1 - x)^{5} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{48} \) 
 - B) \( \frac{1}{60} \) 
 - C) \( \frac{1}{70} \) 
 - D) \( \frac{1}{80} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{48} \) 
 **Explicação:** Usamos a fórmula da integral beta, que é \( B(a, b) = 
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \). 
 
31. **Problema 31:** Determine a integral \( \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3} \) 
 - B) \( \frac{1}{2} \) 
 - C) \( \frac{2}{3} \) 
 - D) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( x = \sin(u) \), resultando em uma integral que 
pode ser resolvida. 
 
32. **Problema 32:** Calcule a integral \( \int e^{x} \sin(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 - B) \( e^{x} \sin(x) + C \) 
 - C) \( e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 - D) \( e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
33. **Problema 33:** Calcule \( \int_0^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx \).