Tema 08 Sistema de Amortizações - Modelo Americano - AULA

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Sistemas de amortização
Apresentação
Ao fazermos um investimento, muitas vezes nós precisamos tomar empréstimos e assumir dívidas, 
que serão pagas posteriormente. Na Matemática Financeira, as formas de pagamentos desses 
empréstimos são conhecidas como sistemas de amortização e o processo de reembolso é realizado 
por meio de pagamentos de prestações, constituídas de amortização e juros.
No mercado existem diversos sistemas de amortização, uns possibilitam pagamento único e outros 
parcelados. No Brasil, os sistemas de amortização mais conhecidos são o sistema PRICE e o sistema 
SAC.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos o conceito de sistema de amortização, sua 
classificação e aplicações envolvendo os principais tipos de sistemas de amortização.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.•
Identificar os principais tipos de sistemas de amortização, em uso no Brasil.•
Utilizar planos financeiros para demonstrar os cálculos, semelhanças e diferenças entre os 
sistemas de amortização.
•
Desafio
No estudo da matemática financeira, os sistemas de amortização mais conhecidos são o sistema 
PRICE e o sistema SAC, sendo que no sistema PRICE a prestação é constante e no SAC a 
amortização é constante. É importante destacar que ao se trabalhar com sistemas de amortização, 
para nos auxiliar no cálculo e interpretação, geralmente fazemos uma tabela com os principais 
elementos da dívida, conhecida como plano financeiro.
Vamos ao trabalho? 
Imagine que você é o gestor financeiro da empresa NOAR, fabricante de aviões, e a empresa 
pretende obter um financiamento de R$150.000,00 para a compra de uma nova máquina. Há duas 
opções de pagamento: uma pelo sistema de amortização SAC, e a outra pelo sistema PRICE, ambas 
amortizadas em 4 (quatro) prestações anuais. Sabe-se também que o custo da operação é 
constituído de juros de 20% ao ano. 
Elabore o plano financeiro completo do financiamento para os dois sistemas de amortização. E 
sabendo que a empresa NOAR estima que, somente a partir do segundo ano após a contratação do 
financiamento, terá um incremento de receita pela venda de novos aviões, defina e justifique qual 
será a melhor forma de pagamento para ela.
Infográfico
Ao trabalharmos com qualquer sistema de amortização é muito importante, para melhor 
entendimento do processo, a construção de uma tabela com os principais elementos da dívida, que 
na matemática financeira é conhecida como plano financeiro.
O infográfico a seguir apresenta a descrição de cada coluna do plano financeiro.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 
acessar.
Conteúdo do livro
Acompanhe nesse vídeo as características de três sistemas de amortização: PRICE (prestação 
constante), SAC (amortização constante) e SAM (amortizações mistas). O vídeo apresenta a 
definição de cada sistema, apontando suas características e um exemplo de plano financeiro.Os 
sistemas de amortização são desenvolvidos para as operações de empréstimos e financiamentos de 
longo prazo e constitui a forma pela qual a dívida contraída será paga. De forma geral, pode-se 
dizer que o sistema de amortização é a forma de pagamento dos juros e a devolução do principal 
contratado.
A escolha do sistema de amortização influenciará o fluxo de pagamento do tomador, ou seja, o 
valor a ser desembolsado para quitação do valor principal. Desta forma é fundamental conhecer as 
características de cada sistema de amortização e seu plano financeiro.
Neste capítulo você aprenderá os conceitos básicos sobre o sistema de amortização, os principais 
sistemas de amortizações adotados no Brasil e o cálculo de suas prestações, o valor amortizado e 
os juros.
 
Bons estudos!
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Explicar os principais conceitos do sistema de amortização.
 > Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil.
 > Utilizar planos financeiros para demonstrar cálculos, semelhanças e dife-
renças entre os sistemas de amortização.
Introdução
Ao escolher uma modalidade de crédito (empréstimo e/ou financiamento), a 
instituição financeira emitirá um contrato com os detalhes da operação, incluindo 
as taxas cobradas, o sistema de amortização adotado e o período utilizado para 
quitar a dívida. Em posse dessas informações, o tomador poderá calcular o valor 
da parcela e o montante que será pago durante todo o período.
Os contratos também podem prever uma carência para o início do pagamento 
das prestações e a possibilidade de liquidação antecipada, total ou parcial, do 
principal da dívida. No momento da contratação dos serviços, o tomador precisará 
decidir qual será o método para a amortização da dívida. É fundamental, portanto, 
conhecer as vantagens e os riscos de cada sistema de amortização.
Neste capítulo, vamos definir sistemas de amortização, as características 
que envolvem cada um deles e os principais tipos utilizados pelo mercado no 
Brasil. Além disso, explicaremos como calcular as parcelas em cada sistema de 
amortização.
Sistemas de 
amortização
Flávia Monaco Vieira
Sistemas de amortização: conceitos gerais
Amortização, segundo Merchede (2009, p. 59), “[...] é a maneira pela qual 
uma dívida é gradativamente suprimida, mediante pagamento de presta-
ções”, ou seja, é o pagamento da dívida de forma parcelada, em um prazo 
preestabelecido. Apesar de haver diferentes sistemas de amortização, o seu 
objetivo é único: o pagamento do principal, isto é, de um determinado valor 
contraído em empréstimo ou financiamento. Nesse sentido, Puccini (2007, p. 
158) entende que “[...] um sistema de amortização nada mais é do que um 
plano de pagamento de uma dívida contraída”. 
Os diferentes sistemas de amortização de um empréstimo produzem fluxos 
de pagamentos equivalentes entre si. Por essa razão, o valor presente dos 
fluxos de pagamentos, na data focal zero, é igual ao principal do empréstimo 
(ZOT; CASTRO, 2015). Assim, a escolha do sistema de amortização influenciará 
o fluxo de caixa das partes envolvidas (credor e devedor). O devedor, então, 
precisa considerar sua capacidade de pagamento na escolha do sistema de 
amortização, pois o pagamento afetará suas finanças pessoais.
No financiamento, o valor liberado tem uma finalidade específica 
— por exemplo, para a compra de imóvel ou automóvel, ou para 
importação. Já o empréstimo é um recurso concedido sem a necessidade de 
vinculá-lo a alguma finalidade — por exemplo, conta garantida, cheque especial, 
desconto de duplicata, etc. (HOJI, 2016).
O plano financeiro, também conhecido como memória de cálculo, de-
monstra, ao longo do tempo, a ocorrência dos principais eventos que vão 
modificando o saldo de um empréstimo. Para a realização de um plano de 
pagamento, é necessário demonstrar os seguintes dados (ZOT; CASTRO, 2015).
 � Saldo inicial = saldo final anterior (na primeira linha corresponde ao 
principal). 
 � Juros calculados = saldo inicial × taxa unitária.
 � Saldo após juros = saldo inicial + juros calculados.
 � Pagamento = amortização do principal + juros a serem pagos.
 � Amortização = parcela do pagamento referente ao principal.
 � Juros a serem pagos = parcela do pagamento referente aos juros.
 � Saldo final = saldo inicial + juros calculados – pagamento.
Sistemas de amortização2
Para a plena compreensão do conteúdo deste capítulo, lembre-se dos 
seguintes conceitos de operações de empréstimo e financiamento.
 � Valor principal: soma do capital emprestado.
 � Carência: deferimento no pagamento da primeira prestação.
 � Taxas de juros: remuneração paga pelo tomador de crédito à instituição 
financeira.
Principais tipos de sistemas de amortização 
utilizados no Brasil
Os sistemas de amortização mais difundidos no mercado são o sistema de 
prestação constante (SPC), ou amortização Price, e o sistema de amortização 
constante (SAC) (BATISTA JÚNIOR, 2014).Além desses, Zot e Castro (2015) apon-
tam o sistema americano e o sistema misto como as principais modalidades 
em uso no Brasil.
Sistema de prestação constante (SPC), ou 
amortização Price
O SPC, também conhecido como sistema francês de amortização ou amorti-
zação Price, é muito utilizado em operações de crédito direto ao consumidor 
e em financiamentos habitacionais (PUCCINI, 2007). Esse modelo consiste no 
pagamento da dívida por meio de prestações (PMT), sucessivas, periódicas 
e iguais, em que os juros gerados a cada período são pagos primeiramente 
(ZOT; CASTRO, 2015).
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes. Ou seja, os juros 
diminuem, enquanto a amortização aumenta, permanecendo o valor das 
prestações igual ao longo do tempo. Veja, na Figura 1, a dinâmica do SPC.
Sistemas de amortização 3
Figura 1. Comportamento de juros e amortização.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
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0 1 2 3
Tempo (períodos)
PMT = A1 + J1 = A2 + J2 = A3 + J3 = A4 + J4
4
J1 J2 J3 J4
A1 A2 A3 A4
Veja, a seguir, as expressões de cálculo do SPC.
Prestação (PTM)
O valor das prestações é obtido pelo cálculo de uma prestação postecipada:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo), i é a taxa de juros e n é o 
número de períodos ou parcelas. Vejamos um exemplo para fixar os conceitos.
Considerando, por exemplo, um empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n), com juros de 10% a.a. (i), calcule o 
valor da prestação (PMT). Manualmente, resolve-se o problema da seguinte 
maneira:
PTM = VP × [i × (1 + i)n]/[(1 + i)n – 1]
PTM = 6.000 × [0,10 × (1 + 0,10)6]/[(1 + 0,10)6 – 1]
PTM = 1.377,64
Na HP 12C, temos o seguinte:
6000 CHS PV
10 i
6 n
g END (para informar que a série é postergada)
PMT
Sistemas de amortização4
Juros ( J)
Os juros incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período 
(ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo 
de juros, um momento t qualquer, é a seguinte:
Jt = SDt–1 × i
onde SD é o saldo devedor, i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um 
exemplo.
Após a ocorrência dos juros do primeiro ano (J1) no valor de R$ 600,00* 
e o pagamento da primeira prestação (PTM1) no valor de R$ 1.377,64, o saldo 
devedor (SD1) ficou em R$ 5.222,36. Com base nessas informações, calcule 
os juros do segundo ano (J2):
Jt = SDt – 1 × i
J2 = SD2–1 × i
J2 = SD1 × i
J2 = 5.222,36 × 0,10
J2 = 522,24
*O J1 é calculado pelo VP × i (R$ 6.000,00 × 10%).
Amortização (A)
A amortização é obtida pela diferença entre o valor da prestação (PMT) e o 
dos juros (J):
A1 = PMT – J1, 
A1 = PMT – (PV × i)
At = A1 × (1 + i)t–1
onde i é a taxa de juros e t é o tempo. Vejamos um exemplo para facilitar a 
compreensão.
Sabendo que o valor da amortização do ano 1 (A1) é de R$ 777,64, calcule 
o valor amortizado no terceiro ano (A3):
At = A1 × (1 + i)t–1
A3 = 777,64 × (1 + 0,10)3–1
A3 = 777,64 × (1,1)2 
Sistemas de amortização 5
A3 = 940,95
Veja, no Quadro 1, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC.
Quadro 1. Demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT J1 = PV × i A1 = PMT – J1 SD1 = SD0 – A1
2 PMT J2 = SD1 × i A2 = PMT – J2 SD2 = SD1 – A2
... ... ... ... ...
n PMT Jn = SDn–1 × i An = PMT – Jn SDn = SDn–1 – An
Veja, no Quadro 2, o preenchimento do plano financeiro do SPC nas se-
guintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
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Sistemas de amortização 7
Observe que todas as prestações são iguais e que a amortização é calculada 
após o cálculo dos juros, que corresponde à diferença entre a prestação e 
os juros.
Sistema de amortização constante (SAC)
Diferentemente do sistema Price, em que as prestações é que devem ser 
iguais, no SAC, as amortizações do principal devem ser sempre iguais (ou 
constantes) em todo o prazo da operação. Veja, na Figura 2, a dinâmica do SAC.
Figura 2. Comportamento da dinâmica do SAC.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
PMT1 = A + J1 PMT3 = A + J3
PMT2 = A + J2 PMTn = A + Jn
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Amortização (A)
A amortização é obtida mediante a divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações. É representada por:
A = VP/n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento) e n é o número de 
prestações.
Sistemas de amortização8
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), tem-se:
A = VP/n
A = 6.000,00/6
A = 1.000,00
Juros ( J)
Pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente 
ao longo do tempo, comportando-se como uma progressão aritmética de-
crescente. A expressão de cálculo dos juros para um período qualquer t é:
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), a 
ser pago em seis prestações anuais (n), o valor dos juros no 5º ano será (J5):
Jt = (VP/n) × (n – t + 1) × i
J5 = (6.000,00/6) × (6 – 5 + 1) × 0,10
J5 = 1.000,00 × 2 × 0,10
J5 = 200,00
Prestação (PMT)
A prestação é obtida pela soma da amortização (A) com os juros (J), sendo a 
amortização representada por (VP/n). A expressão de cálculo da prestação 
para um período qualquer t é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), n é o número de pres-
tações, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Sistemas de amortização 9
Por exemplo, considerando o empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP), 
a ser pago em seis prestações anuais (n) com juros anuais de 10% a.a. (i), o 
valor da prestação no segundo ano (PMT2) é:
PMT = (VP/n) × [1 + (n – t + 1) × i]
PMT2 = (6.000/6) × [1 + (6 – 2 + 1) × 0,10]
PMT2 = 1.000,00 × [1 + (5 × 0,10)]
PMT2 = 1.000,00 × 1,5
PMT2 = 1.500,00
Veja, no Quadro 3, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAC.
Quadro 3. Demonstrativo do SAC
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = A + J1 J1 = SD0 × i A SD1 = SD0 – A
2 PMT2 = A + J2 J2 = SD1 × i A SD2 = SD1 – A
... ... ... ... ...
n PMTn = A + Jn Jn = SDn–1 × i A SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora veja, no Quadro 4, o preenchimento do plano financeiro do SAC nas 
seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6. 
 � Juros: 10% a.a.
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Observe que o valor da amortização é constante durante todo o período.
Sistema de amortização americano (SAA)
O SAA se caracteriza por pagar todo o principal na última prestação, com 
pagamento periódico de juros. Como não há capitalização de juros, o saldo 
devedor não se altera ao longo do tempo. Nesse caso, os juros devidos em cada 
período são constantes. No vencimento da operação, são pagos o principal 
e a última parcela dos juros. Veja, na Figura 3, a dinâmica SAA.
Figura 3. Comportamento da dinâmica do SAA.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PMT1 = PMT2 = PMT3 =
PMTn =
SDi + Jn
J1 J2 J3
(PV = SDi1)
0 1 2 3 n
Tempo (períodos)
Veja a expressão de cálculo a seguir.
Última prestação (PMT): PMT = VP (1 + i)
onde VP é o valor presente (valor do empréstimo) e i são os juros.
Por exemplo, vamos calcular a última prestação considerando o emprés-
timo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com pagamento de juros periódicos de 
10% a.a. (i).
PMT = VP (1 + i)
PMT = 6.000,00 (1 + 0,10)
PMT = 6.000 × 1,10
PMT = 6.600,00*
*O valor da prestação (PMT) corresponde ao valor da amortização (R$ 6.000,00) 
+ os juros do período (R$ 600,00).
Sistemas de amortização12
Veja, no Quadro 5, o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAA.
Quadro 5. Demonstrativo do SAA
n Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 — — — SD0 = VP
1 PMT1 = VP × i J1 = VP × i — SD1 = VP
2 PMT2 = VP × i J2 = VP × i — SD2 = VP
... ... ... ... ...
n PMTn = VP + (VP × i) Jn = PV × i An = VP SDn = SDn–1 – An
Fonte: Adaptado de Camargos (2013).
Agora, veja, no Quadro 6, o preenchimento do plano financeiro do SAA 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização 13
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Sistemas de amortização14
Observe que, periodicamente, os juros de R$ 600,00 foram pagos, perma-
necendo o valor do empréstimo como saldo devedor.
Sistema de amortização montante ou único 
O sistema de amortização montante é caracterizado pelo fato de o montante 
e os juros do período serem pagos de uma só vez, ao final. Veja, na Figura 4, 
a dinâmica do sistema montante.
Figura 4. Dinâmica do sistema montante.
Fonte: Adaptada de Puccini (2007).
PV = SDi1
FV = SDi1 + J
0 1 2 n
Tempo (períodos)
Empréstimo a i% ap
n – 1
Veja as expressões de cálculo a seguir.
Prestação única (PMT)
Os cálculos se resumem à aplicação da fórmula do valor futuro (VF):
VF = VP (1 + i)n
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Sistemas de amortização 15
Por exemplo, vamos calcular o valor da prestação (PMT) considerando o 
empréstimo no valor de R$ 6.000,00 (VP) com juros anuais de 10% a.a. (i) que 
serão pagos ao final de seis anos (n):
PMT = VP (1 + i)n
PMT = 6.000,00 (1 + 0,1)6
PMT = 6.000 × 1,77156
PMT = R$ 10.629,37*
*O saldo devedor corresponde ao valor amortizado (R$ 6.000,00) + o valor 
dos juros (R$ 4.629,37).
Juros ( J)
Os juros podem ser obtidos pela equação:
J = VP [(1 + i)n – 1]
onde VP é o valor presente (valor do financiamento), i é a taxa de juros e n é 
o número de prestações.
Veja, no Quadro 7, o preenchimento do plano financeiro do sistema misto 
nas seguintes condições.
 � Valor do empréstimo: R$ 6.000,00.
 � Número de prestações (anuais): 6.
 � Juros: 10% a.a.
Sistemas de amortização16
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Sistemas de amortização 17
Comparação entre os sistemas de 
amortização
A fim de análise, será elaborado um plano financeiro para os sistemas SPC, 
SAC e SAA com base nos seguintes dados:
 � Valor do empréstimo: R$ 20.000,00.
 � Número de prestações mensais: 24.
 � Taxa dos juros: 20% a.a. = 1,5309% a.m.
Veja, no Quadro 8, o plano financeiro comparativo entre os sistemas.
Sistemas de amortização18
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Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Matemática Financeira - Fundamentos e Aplicações
Este livro ensina os fundamentos da matemática para que se compreenda o seu impacto no nosso 
dia a dia. A obra apresenta conceitos seguidos de exemplos, problemas acompanhados de solução e 
o passo a passo com o uso de calculadoras. Os exemplos foram retirados do mundo dos negócios e 
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Essa etapa é crucial para que o comprador faça um bom investimento. Por este motivo, neste 
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como definir qual é a melhor opção para você. Acompanhe e boa leitura!
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Sistemas de Amortizações - PRICE - SAC – SAM
Acompanhe nesse vídeo as características de três sistemas de amortização: PRICE (prestação 
constante), SAC (amortização constante) e SAM (amortizações mistas). O vídeo apresenta a 
definição de cada sistema, apontando suas características e um exemplo de plano financeiro.
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