Matemática Financeira - Unidade 2

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Conteudista
Prof.ª M.ª Rosângela Maura Correia Bonici
Revisão Textual
Aline de Fátima Camargo da Silva
Juros Simples 
2
Sumário
Objetivos da Unidade ............................................................................................................3
Introdução .............................................................................................................................. 4
Contextualização .................................................................................................................. 4
Juros Simples ..........................................................................................................................7
Juro Exato e Juro Comercial ..........................................................................................................8
Fórmula para Cálculo do Juro Simples ......................................................................................11
Cálculo dos Juros Simples ................................................................................................. 11
Cálculo do Capital ou Valor Presente ..............................................................................12
Cálculo da Taxa de Juros Simples ....................................................................................14
Cálculo do Período ...............................................................................................................15
Fórmula para o Cálculo do Montante (M) ou Valor Futuro (FV). ................................16
Cálculo do Montante ...........................................................................................................16
Cálculo do Valor Presente (PV) ou Capital (C)...............................................................18
Atividades de Fixação .........................................................................................................19
Material Complementar......................................................................................................21
Referências ........................................................................................................................... 22
Gabarito ................................................................................................................................24
3
Atenção, estudante! Aqui, reforçamos o acesso ao conteúdo on-line para 
que você assista à videoaula. Será muito importante para o entendimento 
do conteúdo.
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zação é para consulta off-line e possibilidade de impressão. No entanto, re-
comendamos que acesse o conteúdo on-line para melhor aproveitamento.
• Conhecer o conceito de juros simples; 
• Aprender a calcular juros simples;
• Aprender a resolver exercícios algébricos usando a calculadora HP-12C.
Objetivos da Unidade
4
VOCÊ SABE RESPONDER?
O que são juros simples e como eles impactam nas nossas finanças?
Introdução
Nesta Unidade de ensino estudaremos o sistema de capitalização de juros simples. 
Aprenderemos o conceito e como efetuar seu cálculo usando o método convencio-
nal (algébrico) e a calculadora HP-12C. No material complementar, você encontrará 
a indicação de um site com um emulador de HP-12C, que é uma calculadora virtual, 
e de outro com o guia do usuário HP-12C, caso precise.
Para obter um melhor aproveitamento desta Unidade, leia o conteúdo teórico, assis-
ta ao vídeo e ouça o Powerpoint narrado, pois esses materiais são complementares. 
Caso tenha qualquer dúvida, consulte seu tutor(a); ele(a) terá prazer em ajudá-lo(a).
Contextualização
Por que essa chatice de juros? Por que foram inventar essas coisas tão complicadas? 
Algum matemático estressado, na calada da noite, inventou essa tortura de letras e 
números para apavorar os(as) estudantes?
Sabe-se que não inventaram isso como algo para dificultar a vida das pessoas e, 
também, que não é nada complicado. Pelo contrário, esses conhecimentos saíram 
de gente simples do comércio de esquina.
Então, vamos à história!
Tudo que conhecemos hoje, das coisas mais simples às mais avançadas, vem dos 
primeiros pensamentos simples do dia a dia. Não foi a Matemática que inventou a 
prática; foi o contrário disso. Assim, para entendermos bem os cálculos de porcen-
tagem é necessário conhecermos sua origem.
Tudo começou com a necessidade de se tomar dinheiro emprestado. Alguém o em-
prestava para outra pessoa, cobrava-o de volta após algum tempo, e mais um outro 
valor como aluguel, inicialmente, arbitrário, de acordo com a “cara do freguês”.
É óbvio que quem emprestava o dinheiro gostaria de receber o maior aluguel possí-
vel. Os tomadores de empréstimo, por sua vez, queriam pagar pouco pelo aluguel.
5
Figura 1 - Empréstimo
Fonte: Freepik
Uns olhavam os negócios dos outros e comparavam com os próprios negócios que 
tinham feito antes, para ver quem era menos ganancioso na hora de emprestar.
Agora, vamos supor a seguinte situação: alguém pegou R$ 10 mil emprestado e, 
após um mês, devolveu esse valor e pagou mais R$ 500 pelo aluguel do dinheiro. 
Uma outra pessoa também tomou emprestado R$ 10 mil e, após um mês, devolveu 
os R$ 10 mil e mais R$ 600 como valor do aluguel.
Por um acaso, o segundo tomador do empréstimo (o que pagou R$ 600) encontrou 
o primeiro tomador (o que pagou R$ 500) e ficou sabendo dos valores, concluindo 
que pagou a mais, isto é, R$ 100 a mais que o primeiro.
A visualização do negócio foi imediata: R$ 10 mil emprestados por um, exigiram R$ 
500 de aluguel; o mesmo valor, emprestado por outro, exigiu pagamento maior.
É nítido, dessa forma, que se o segundo tomador do empréstimo precisar novamen-
te de dinheiro, não irá procurar aquele emprestador que lhe cobrou mais dinheiro. 
Irá, naturalmente, procurar o emprestador do outro negócio, que praticava preço de 
aluguel de dinheiro mais em conta.
E isso foi feito.
6
Figura 2 - Melhor oferta
Fonte: Freepik
Passando o tempo, o emprestador de dinheiro que cobrava “mais caro” percebeu 
que não estava mais sendo procurado para fazer empréstimos e foi em busca da 
razão disso: descobriu que alguém estava emprestando (alugando) dinheiro “mais 
barato”.
No intuito de não perder oportunidades de negócio, ele, então, passou a anunciar 
que iria cobrar daquele momento em diante, R$ 499 de aluguel, caso alguém neces-
sitasse de R$ 10 mil emprestados. Com isso, nascia o primeiro mercado de juros, em 
que a competição ditava os valores.
Juro é o mesmo que aluguel. Repare bem que, no exemplo dado, bastou ver os valo-
res cobrados como aluguel (juro) para observar quem fez o melhor negócio. E você 
sabe por quê? Porque a base de cálculo era igual nos dois casos: R$ 10 mil.
Agora, se os valores fossem R$ 2.200, com juros de R$ 92, e R$ 1.600, com juros de 
R$ 80, de imediato, não daria para saber, apenas olhando os valores, quem estava 
levando mais vantagem, certo?
Isso, nos primeiros momentos, causou uma grande dificuldade, pois nem sempre as 
bases de cálculo (o dinheiro emprestado ou objeto do aluguel) eram em números 
redondos.
Então, alguém teve uma brilhante ideia: que tal imaginar que o valor do empréstimo 
é R$ 100 para qualquer transação? Assim, com a base de cálculo sempre a mesma, 
ficaria imediata e visual, a comparação entre juros (aluguéis) com base em valores 
diferentes (capitais).
7
Vamos pensar em valores mais fáceis. Fizeram mais ou menos assim: Se alguém 
emprestou R$ 800 e cobrou R$ 40 de aluguel no fim de um mês, então era só “fingir” 
que esse valor R$ 800 era R$ 100.
Mas como assim “fingir”?
“Fingir”, no caso, é separar os R$ 800 em blocos de R$ 100, o que dá 8 blocos. Agora, 
se por 8 blocos se pagou R$ 40 de aluguel, então, cada bloco “custou” a quem pegou 
o empréstimo R$ 5. E, pronto, resolvido o problema: para cada R$ 100 existentes no 
valor do empréstimo, cobraram-se R$ 5.
Podemos reescrever a sentença anterior da seguinte forma. “R$ 5 de juros POR 
CADA CEM REAIS emprestados”, ou seja, “5 POR CENTOde juros”. Esse valor finan-
ceiro que você associa a cada grupo de R$ 100 (no caso o valor R$ 5) se chama Taxa 
de Juros. O dinheiro emprestado, inicialmente, chama-se “Capital”.
Para calcular os juros simples, basta multiplicar o capital pela taxa e pelo período que 
o dinheiro ficou emprestado. Assim, aparece a fórmula dos juros simples J = PV . i . 
n, em que “PV” é o capital emprestado; “i” é a taxa de juros; e “n” o período no qual o 
dinheiro ficou emprestado.
Juros Simples
Diz-se que o regime de capitalização é simples quando o juro incide apenas sobre o 
valor do capital inicial (C) ou valor presente (PV).
Vejamos um exemplo: Suponha que uma pessoa tenha aplicado, em uma instituição 
financeira sob o regime de juros simples, o capital de R$ 100 a uma taxa de 2% ao mês, 
durante 3 meses. A evolução da aplicação, no regime de juros simples, seria a seguinte:
Tabela 1 – Evolução da aplicação de juros simples
Mês Juros (2%) Montante ou Valor Futuro
0 - 100
1 100x0,02 = 2 102
2 100x0,02 = 2 104
3 100x0,02 = 2 106
8
Vemos que, no final dos 3 meses, no regime de juros simples, a pessoa terá um mon-
tante de R$ 106. Observe que, nesse caso, o juro incide sempre SOMENTE sobre o 
valor do Capital.
Em Matemática Financeira, consideramos, para os cálculos, que um mês tem 30 
dias (mês comercial) e um ano 360 dias (ano comercial).
Juro Exato e Juro Comercial
O juro exato considera os dias do calendário, ou seja, para o seu cálculo precisamos 
levar em conta a quantidade de dias existentes em cada mês. Por exemplo:
Tabela 2 – Juro exato
Mês Quantidade de Dias
Janeiro 31 dias
Fevereiro
28 dias
29 dias (ano bissexto)
Março 31 dias
Abril 30 dias
E assim por diante...
Em relação ao ano exato, devem ser considerados 365 dias ou 366, se ele for 
bissexto.
No caso do juro comercial, devemos considerar que um mês tem 30 dias e que um 
ano tem 360 dias.
Vejamos um exemplo de aplicação.
Uma prestação no valor de R$ 14.500 venceu em 01/02/2001, sendo quitada em 
15/03/2001, com uma taxa de 48% ao ano. Determine o valor dos juros exato e co-
mercial pagos nessa operação.
9
Tabela 3 – Juros exato e comercial
Dados Soluções Algébricas
PV = 14500
i = 48% ao ano. 
Transformando a taxa de anual para 
diária 
i exato = 0,48/365 
i comercial =0,48/360
J exato = ?
J comercial = ?
Vencimento: 01/02/2001
Pagamento: 15/03/2001
Calculando dias exatos = 42 
As Unidades de Tempo precisam ser iguais
Tabela 4 - Unidades de tempo
Solução HP 12-C
Cálculo do número de dias
[ D.MY ]
01.022001
15.032001
42 dias
g
6
ENTER
[ ∆DYS ]
f
g
J PV i n� � �
0,4814500 42
365
800,88
exato
exato
J
J
� � �
�
0, 4814500 42
360
812
comercial
comercial
J
J
� � �
�
10
Solução HP 12-C
Juro Exato
14500
0,48
42
365
R$ 800,88
Solução HP 12-C
Juro Comercial
14500
0,48
42
360
R$ 812,00
X
X
X
X
:
:
ENTER
ENTER
11
Fórmula para Cálculo do Juro Simples
Vamos admitir um capital ou Valor Presente (PV) aplicado sob o regime de juros 
simples, a uma determinada taxa (i), durante um certo período de tempo (n) . Assim 
sendo, a fórmula para calcular os juros simples será:
 J = PV . i . n
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
É importante observar que essa fórmula poderá ser aplicada se o prazo da 
aplicação (n) estiver expresso na mesma unidade de tempo a que se refere 
a respectiva taxa (i) considerada. 
Cálculo dos Juros Simples
Determine o juro simples obtido com a aplicação de um capital de R$ 1.250,23 du-
rante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.
Tabela 5 – Cálculo dos juros simples
Dados Soluções Algébricas
PV = 1250,23
n = 5 meses
i = 5,5% a. m. (dividir por 100)
J = ? 
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
J = PV . i .n
J = 1250,53 . 0,055 . 5
J = R$ 343,90
12
Solução HP 12-C
Prazo sempre em meses
Taxa sempre em meses
FIN
1250,23
150
 5 x 30 = 150
66
 5,5 x 12
 INT
R$ 343,90
Cálculo do Capital ou Valor Presente
Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa 
de 2,5 % ao mês?
f
CH
n
i
f
PV
13
Tabela 6 – Capital
Dados Soluções Algébricas
PV = ?
n = 11 meses
i = 2,5% a. m. 
(dividir por 100)
J = 342,96 
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
342,96 = PV . 0,275
342,96 / 0,275 = PV
PV = R$ 1247,13
Solução HP 12-C
342,96
0,025
11
 
R$ 1247,13
ENTER
ENTER
x :
342,96
0,025 11
J PV i n
JPV
i n
PV
� � �
�
�
�
�
14
Cálculo da Taxa de Juros Simples
Maria pagou ao Banco de Imóveis S/A a importância de R$ 2,14 de juros simples por dia, por um 
atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco?
Tabela 7 – Taxa de juros simples
Dados Soluções Algébricas
PV = 537,17
n = 1 dia
i = ?
J = 2,14
 
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
 
 
 
Solução HP 12-C
2,14
537,17
1
 
30
100
11,95% ao mês
ENTER
ENTER
x
x
:
x
2,14
537,17 1
0,00398... (1 mês)
0,11951...
11,95% (ao mês)
J PV i n
Ji
PV n
i
i x
i
i
� � �
�
�
�
�
�
�
�
15
Cálculo do Período
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos 
de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês?
Tabela 8 – Cálculo do período
Dados Soluções Algébricas
PV = 967,74
n = ?
i = 1,5% a.m.
(dividir por 100)
J = 226,45
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
n = 15,60
(15 meses e 0,6 do mês)
0,6 x 30 = 18 dias
n = 5 meses e 18 dias
Solução HP 12-C
226,45
967,74
0,015
 
15,60 meses
ENTER
ENTER
x :
226,45
967,74 0,015
15,60 (15 meses e 0,6 do mês)
0,6 30 18 
5 18 
J PV i n
Ji
PV n
i
n
dias
n meses e dias
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
16
Fórmula para o Cálculo do Montante (M) ou 
Valor Futuro (FV)
Montante ou Valor Futuro é o capital inicial acrescido dos juros.
FV = PV + J J = PV . i . n
Assim, temos:
FV = PV + PV. i . n
Colocando PV em evidência, temos:
FV = PV . (1 + i . n)
Vejamos alguns exemplos de aplicação
Cálculo do Montante
Qual é o valor do resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59, aplicados em um CDB 
de 90 dias a uma taxa de 1,45% ao mês?
Tabela 9 – Cálculo do montante
Dados Soluções Algébricas
FV = ?
PV = 84975,59
n = 90 d = 3 m
i = 1,45% a.m.
(dividir por 100)
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
FV = PV .(1+i . n)
FV = 84975,59. (1+0,0145.3)
FV = 84975,59 . (1+0,0435)
FV = 84975,59. (1,0435)
FV = 88672,03
17
Solução HP 12-C
Prazo sempre em dias
Taxa sempre em ano
FIN
84975,59
 
90
 
1,45
12
 
INT 
R$ 88672,03
Cálculo do Valor Presente (PV) ou Capital (C)
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate foi de R$ 84.248,00 por 
um período de 3 meses, sabendo que a taxa de aplicação a juros simples foi de 
1,77% ao mês.
f
CHS PV
n
x i
+
ENTER
18
Tabela 10 – Cálculo valor presente ou capital
Dados Soluções Algébricas
FV = 84248,00
PV = ?
n = 3 meses
i = 1,77% a.m.
(dividir por 100)
AS UNIDADES DE TEMPO 
PRECISAM SER IGUAIS
Solução HP 12-C
84248
1
0,0177
 
3
 
R$ 80000,00
x + :
ENTER
ENTER
ENTER
 (1 )
(1 )
84248
(1 0,0177 3)
84248
(1,0531)
80000,00
FV PV i n
FVPV
i n
PV
PV
PV
� � � � �
�
� �
�
� �
�
�
19
1 – Analise as afirmações a assinale as alternativas corretas. 
I. Juros é o valor cobrado pelo detentor do dinheiro para cedê-lo àqueles que dele 
necessitem. Para o detentor é a remuneração paga pela cessão do dinheiro e para 
quem necessita dele é o custo pago pelo aluguel do dinheiro. A taxa de juros é a 
razão entre os juros recebidos (ou pagos) ao final de um período de tempo e o 
capital inicialmente empregado;
II. Capital é a importância ou dinheiro disponível para emprestarmos a quem dele 
necessite (ponto de vista do investidor), ou importância ou dinheiro de que ne-
cessitamos e da qual não dispomos sendo, portanto, necessário obtê-lo por meio 
de um empréstimo (ponto de vista do tomador);
III. O período é o intervalo de tempo em que o capital estará disponível para aplica-
ção ou empréstimo, definindo o resultado daoperação;
IV. Montante é o valor resultante, ao final do período, do empréstimo ou da aplicação 
financeira;
V. Luiza quer fazer um empréstimo no Banco Z. Após fazer os cálculos, ela percebeu 
que o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 3 mil pelo prazo 
de 12 meses, à taxa de 1,5% ao mês, seria de R$ 900. 
As afirmativas corretas são:
a) I, II e III.
b) II, III e IV.
c) III, IV e V.
d) I, II, III e V.
e) Todas as afirmações estão corretas.
Atividades de Fixação
20
2 – Marcus deseja ampliar as instalações de sua loja e solicitou um empréstimo no 
valor de R$ 300 mil, valor já com os juros incorporados e com vencimento para 
seis anos. Ele analisou as taxas de alguns bancos e constatou que, caso desejasse 
aplicar usando juros simples, obteria uma taxa de 8% ao ano. Desse modo, qual 
seria o capital que Marcus precisaria aplicar hoje, para dispor do montante neces-
sário a fim de quitar o empréstimo, por ocasião do seu vencimento?
a) R$ 625.000,00
b) R$ 46.296,29
c) R$ 202.702,00
d) R$ 202.702,70
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Atividades de Fixação
Atenção, estudante! Veja o gabarito desta atividade de fixação no fim 
deste conteúdo.
21
Ecalculos
https://bit.ly/3Ras2cU
EPx – Web HP 12C Emulator
Site traz uma calculadora HP-12C virtual.
https://bit.ly/47jq4fY
Matemática Financeira – Só Matemática
https://bit.ly/47jpHC6
Sites
Leituras
Material Complementar
22
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: métodos algébricos. HP- 12C, 
Microsoft Excel. 2 ed. Ver. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 
2009.
Referências
23
Questão 1
d) ) I,II, III e V.
Justificativa: Todas as afirmações são verdadeiras, exceto a assertiva V. O valor dos 
juros correspondentes ao empréstimo é de R$540. Vejamos a resolução da alterna-
tiva incorreta:
Passo 1: Coletar os dados da afirmativa V.
Passo 2: Aplique os dados coletados no passo 1 na fórmula j=PV×i×n
Passo 1:
PV=R$3000
n=12
i = 1,5%am = = 0 ,015am1,5
100
j=?
Passo 2:
j=PV×i×n
j=3000×0,015×12
j=540
Portanto, o valor dos juros 
correspondentes ao empréstimo é de 
R$540,00
Questão 2
d) R$ 202.702,70
Justificativa: Marcus precisaria aplicar hoje R$202.702,70. Vejamos a resolução da 
alternativa
Passo 1: coletar os dados do enunciado.
Passo 2: Aplique os dados coletados no passo 1 na fórmula, FV=PV×(1+i×n), ou seja, 
 𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1 + 𝑖 × 𝑛
Gabarito
24
Passo 1:
FV=R$300.000,00
n=6 anos
𝑖 = 8% 𝑎. 𝑎 =
8
100 = 0,08 𝑎.𝑎
PV=?
Passo 2 :
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1 + 𝑖 × 𝑛
𝑃𝑉 =
300.000
1 + 0,08 × 6 =
300000
1 + 0,48 =
300000
1,48 = 202.702,70
Portanto, Marcus precisaria aplicar hoje R$ 202.702,70.
Gabarito
	Introdução
	Contextualização
	Juros Simples
	Juro Exato e Juro Comercial
	Fórmula para Cálculo do Juro Simples
	Cálculo dos Juros Simples
	Cálculo do Capital ou Valor Presente
	Cálculo da Taxa de Juros Simples
	CÁLCULO DO PERÍODO
	Fórmula Para O Cálculo Do Montante (M) Ou Valor Futuro (FV)
	Cálculo Do Montante