Matemática Discreta MIRBM

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C) \(y = C e^x\) 
D) \(y = C e^{-x}\) 
**Resposta:** A) \(y = \frac{1}{C - x}\) 
**Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \(\int \frac{1}{y^2 - 1} dy = \int 
dx\). 
 
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**23.** Calcule o limite: 
\[ 
\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) 
\] 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \(\infty\) 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Multiplicamos por \(\frac{\sqrt{x^2 + 2x} + x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x}\) e 
simplificamos. 
 
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**24.** Determine a integral: 
\[ 
\int \frac{x^3}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx 
\] 
A) \(-\frac{1}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C\) 
B) \(-\frac{1}{2} (4 - x^2)^{3/2} + C\) 
C) \(-\frac{1}{4} (4 - x^2)^{3/2} + C\) 
D) \(-\frac{1}{5} (4 - x^2)^{3/2} + C\) 
**Resposta:** A) \(-\frac{1}{3} (4 - x^2)^{3/2} + C\) 
**Explicação:** Usamos a substituição \(u = 4 - x^2\), então \(du = -2x \, dx\). 
 
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**25.** Qual é a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\)? 
A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
B) \(\frac{2x^2}{1 + x^4}\) 
C) \(\frac{2x}{1 + x^2}\) 
D) \(\frac{x}{1 + x^2}\) 
**Resposta:** A) \(\frac{2x}{1 + x^4}\) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x\). 
 
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**26.** Calcule a integral: 
\[ 
\int e^{-x^2} \, dx 
\] 
A) Não tem forma fechada 
B) \(\sqrt{\pi}\) 
C) \(e^{-x^2} + C\) 
D) \(1 + C\) 
**Resposta:** A) Não tem forma fechada 
**Explicação:** A integral de \(e^{-x^2}\) não tem uma solução em termos de funções 
elementares. 
 
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**27.** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \(\infty\) 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, já que temos uma indeterminação \( 
\frac{0}{0} \). 
 
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**28.** Qual é a integral de \(f(x) = \sec^2(x)\)? 
A) \(\tan(x) + C\) 
B) \(\sec(x) + C\) 
C) \(\sin(x) + C\) 
D) \(\cos(x) + C\) 
**Resposta:** A) \(\tan(x) + C\) 
**Explicação:** A integral de \(\sec^2(x)\) é uma das integrais básicas. 
 
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**29.** Calcule a integral: 
\[ 
\int x e^{x^2} \, dx 
\] 
A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
B) \(-\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
C) \(e^{x^2} + C\) 
D) \(-e^{x^2} + C\) 
**Resposta:** A) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
**Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
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**30.** Determine a convergência da série: