Matematica (39)

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Inequações trigonométricas
Um foguete F, lançado em trajetória vertical de um ponto A do solo 
plano e horizontal, é monitorado a partir de um ponto B do solo, distante 
1.000 m de A. Quais serão as possíveis medidas do ângulo ABF, quando a 
distância AF for superior a 1.000 m?
 Resolução de uma inequação 
trigonométrica imediata
Resolver,	em	um	universo	U, uma inequação trigonométrica significa 
obter o conjunto solução S formado por todos os valores pertencentes a 
U	que,	atribuídos	à	variável	da	inequação, tornam verdadeira a sentença 
assim	obtida.	Resolveremos	as	inequações	trigonométricas	imediatas	pelo	
método gráfico, conforme mostram os exercícios resolvidos a seguir.
 Objetivo
 Resolver inequações 
trigonométricas.
Seção 13.6
Note que, ao determinar os possíveis valores de a, obtivemos as so-
luções da inequação tg a . 1, em que a é a medida de um ângulo agudo. 
Inequações do tipo tg a . k, sen a . k ou cos a . k (ou com as relações 
 ou %), sendo k uma constante real, são chamadas de inequações 
trigonométricas imediatas.
Como a é a medida de um ângulo agu-
do, concluímos que 45w , a , 90w.
A
d
B
F
1.000 m
α
tg a 5 
d
 ______ 
1.000
 
d . 1.000
 ] tg a . 1
Indicando por a a medida do ângulo 
ABF e por d a distância AF, esquemati-
zamos:
483
S
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In
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s
CAP 13.indb 483 06.08.10 09:24:39
32 Resolver a inequação sen x > 1 __ 
2
 , para 0 1.
a) para 0b) cos x > cos s __ 
7
 
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 77 a 82, 99 e 100.
a) 
cos x , 2 1 __ 
2
 
sen x > 1 __ 
2
 
b) 
sen x . 
dll 2 ___ 
2
 
sen x , 
dll 3 ___ 
2
 
c) 
tg x . 1
tg x 1
sen x . 1 __ 
2
 
Q
P
O C
x
T
B
 Resolução de uma inequação trigonométrica por meio 
de inequações polinomiais
Certas inequações trigonométricas podem ser resolvidas com o auxílio de uma inequação 
polinomial, bastando para isso uma mudança de variável, conforme mostram os exercícios re-
solvidos a seguir.
486
C
a
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 1
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A
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CAP 13.indb 486 06.08.10 09:24:43
38 Resolver a inequação
 2 cos2 x 2 cos x , 0, para 0 0
c) 2 sen2 x 1 5 cos x 2 4 . 0
d) 2 cos2 x 1 5 sen x 2 8 , 0
e) @ 2 cos x 2 1 # @ 2 cos x 2 dll 2 # , 0
f ) 2 sen x 2 1 _____________ 
2 sen x 2 dll 2 
 , 0 83 Resolva em V as inequações dos itens a, f e j do 
exercício anterior.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 83 a 86.
EXERCÍCIOS COmplEmEntaRES
g) 2 cos x 2 1 ___________ 
2 cos x 1 1
 . 0
h) tg 2 x 2 tg x . 0
i ) @ tg x 2 dll 3 # @ tg 2 x 2 1 #x2 2 4x 1 4 cos2 a 5 0.
18 Em relação à expressão E 5 cos (ks 2 x), com k 9 b, 
podemos afirmar que:
a) E 5 cos x, para qualquer valor de k.
b) E 5 2cos x, para qualquer valor de k.
c) E 5 cos x, se k for um número par.
d) E 5 sen x, se k for um número par.
e) E 5 2sen x, se k for um número ímpar.
17 Simplifique:
a) E 5 
cos (2a) 1 sen (2a)
 ______________________ 
cos (s 1 a) 1 sen (s 2 a)
 , em que cos a % sen a.
b) E 5 
cos 0w 2 cos2 (180w 1 a)
 _______________________ 
sen 90w 1 cos (360w 2 a)
 , em que cos a % 21.
16 (UFRN) A expressão E 5 
sen (s 2 x) 2 sen (s 1 x)
 ________________________ 
sen (2s 2 x)
 ,
 com sen x % 0, é equivalente a:
a) E 5 2 sen x
b) E 5 22 sen x
c) E 5 2
d) E 5 22
e) E 5 sen x
C
α
BA
D
8 A circunferência trigonométrica abaixo apresenta 
as medidas em grau, na 1a volta positiva, associa-
das aos pontos M, N e P.
9 Determine o valor mínimo da função f : V p V de-
finida por f (x) 5 Osen xO.
12 Sendo a e d medidas de arcos trigonométricos, com 
{a, d} - [0, 2s[, classifique como verdadeira (V) ou 
falsa (F) cada uma das afirmações a seguir.
a) Se a e d pertencem ao 1o quadrante e a . d, então 
sen a . sen d.
b) Se a e d pertencem ao 2o quadrante e a . d, então 
sen a . sen d.
c) Se a e d pertencem ao 1o quadrante e a . d, então 
cos a . cos d.
d) Se a e d pertencem ao 3o quadrante e a . d, então 
cos a . cos d.
10 Se a variável x pode assumir qualquer medida de 
um arco trigonométrico, calcule o menor valor pos - 
 sível da expressão 1 _______ 
Ocos xO
 .
11 (UFMA) Sendo 180w , a , b , 270w, assinale a afir-
mação verdadeira.
a) cos a 5 cos b
b) cos a . cos b
c) sen a , sen b
d) cos a 3 cos b , 0
e) cos a 3 cos b . 0
QP (70° � 3� � �)
N (90° � �) M (�)
13 Calcule a medida do lado BC do triângulo:
14 O valor de cos 1.560w é igual ao valor de:
a) cos 30w d) 2cos 60w
b) sen 30w e) cos 45w
c) 2sen 60w
15 (Unifor-CE) O valor de cos 26s ____ 
3
 1 cos 89s ____ 
3
 é igual a:
a) 21 d) 3 __ 
4
 
b) 0 e) 1
c) 1 __ 
2
 
A
CB
π
4
π
3
8 cm12 cm
 A medida associada ao ponto Q é:
a) 330w c) 335w e) 350w
b) 320w d) 340w
490
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CAP 13.indb 490 06.08.10 09:24:49
27 (UFJF-MG) Considere a equação x 2 2 2 kx 1 k2 1 k 5 0, 
sendo k um número real negativo.
a) Determine a soma das raízes da equação dada 
em função de k.
b) Determine o produto das raízes da equação dada 
em função de k.
c) Determine o valor de k sabendo que as raízes 
da equação dada são o seno e o cosseno de um 
mesmo ângulo.
32 Calcule os valores de sen a e cos a sabendo que
 tg a 5 2 1 __ 
3
 e 3s ___ 
2
 , a , 2s.
31 Determine sen a e cos a sabendo que tg a 5 27 e
 
s
 __ 
2
 , a , s.
30 Dado que tg a 5 22 e s __ 
2
 , a , s, calcule sen a e cos a.
28 (Fuvest-SP) Qual das afirmações a seguir é verda-
deira?
a) sen 210w , cos 210w , tg 210w
b) cos 210w , sen 210w , tg 210w
c) tg 210w , sen 210w , cos 210w
d) tg 210w , cos 210w , sen 210w
e) sen 210w , tg 210w , cos 210w
29 (Ufop-MG) Se tg a 5 2 e s , a , 3s ___ 
2
 , então cos a é 
 igual a:
a) 2 
dll 3 ___ 
2
 c) 2 
dll 5 ___ 
5
 e) 1 __ 
2
 
b) 2 1 __ 
2
 d) 
dll 3 ___ 
2
 
26 Sabendo que sen x % 0, simplifique a expressão:
 E 5 
cos 0 1 cos (2s 2 x) 3 cos (s 1 x)
 _______________________________ 
sen (2x) 3 sen (s 1 x)
 
33 (Covest-PE) Sabendo que 
 sen2 x 2 3 3 sen x 3 cos x 1 2 3 cos2 x 5 0, temos que 
os possíveis valores para tg x são:
a) 0 e 21 d) 21 e 22
b) 0 e 1 e) 22 e 0
c) 1 e 2
34 Sendo s , a , 3s ___ 
2
 e sen a 3 cos a 5 1 __ 
2
 , calcule tg a.
36 As figuras a seguir representam a circunferência 
trigonométrica e o eixo das tangentes. Em cada item, 
determine as medidas a, com 0___ 
6
 
47 Considerando o universo U 5 [2s, s[, resolva a
 equação sen2 x 5 1 __ 
2
 .
51 A figura abaixo mostra uma corda AB, de 10 dll 3 cm, 
em uma circunferência de centro O e 10 cm de raio. 
Calcule a medida do ângulo agudo que essa corda 
forma com o diâmetro que tem o ponto A como um 
dos extremos.
O
A
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CAP 13.indb 492 06.08.10 09:24:51
76 O número de soluções da equação sen4 x 5 cos4 x 
no intervalo [0, 2s] é: 
a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5
77 Resolva as inequações para 0 2 
dll 3 ___ 
3
 
b) cos x 
dll 2 ___ 
2
 
d) Otg xO , dll 3 
e) Otg xO > 1
f ) Otg xO 1 1 . O2 tg xO
80 Resolva em V os sistemas dos itens a e d do exercício 
anterior.
69 (UFPB) O número de soluções da equação
 2 sen2 x 2 3 sen x 1 1 5 0 no intervalo E 0, 5s ___ 
2
 R é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
62 Resolva em V a equação (tg 2 x 2 3)(cos2 x 2 1) 5 0. 
63 Resolva a equação tg x 3 sen x 2 tg x 2 sen x 1 1 5 0 
para 0 1 __ 
2
 
b)
cos x , 2 
dll 3 ___ 
2
 
sen x > 
dll 2 ___ 
2
 
c)
tg x . 
dll 3 ___ 
3
 
cos x 0
b) tg 3 x 2 tg x . 0
86 Considerando o universo U 5 [0, 2s[, resolva as 
inequações:
a) 3tg 2 x 2 2 dll 3 tg x 2 3 0
d) 
tg 2 x 2 3
 _________ 
tg x 1 1
 1 ______ 
sen x
 é:
a) 3s ___ 
4
 b) 2s ___ 
3
 c) 
s
 __ 
3
 d) 5s ___ 
4
 e) 3s ___ 
2
 
88 A Lua gira ao redor da Terra em uma órbita quase 
circular, com raio médio de 384.000 km, percorrendo 
 aproximadamente 
s
 ___ 
15
 rad por dia, para leste, em 
 relação ao Sol. Admitindo que essa órbita seja uma 
circunferência, concluímos que a velocidade da Lua 
em volta da Terra é:
a) 1.300s _______ 
3
 km/h d) 2.203s _______ 
5
 km/h
b) 25.600s km/h e) 3.200s _______ 
3
 km/h
c) 12.800s km/h
89 Se um ponto gira n radianos em um tempo t sobre 
uma circunferência, dizemos que a velocidade an-
 gular média ha do ponto é dada por ha 5 n __ 
t
 . Se essa 
 velocidade for sempre a mesma para quaisquer 
valores correspondentes de n e t, dizemos que a 
velocidade angular do ponto é constante.
a) Com velocidade angular constante, um ponto P 
leva 2 min para percorrer um arco de 30 cm sobre 
uma circunferência com 10 cm de raio. Qual é a 
velocidade angular do ponto P em rad/min?
b) A velocidade angular constante de um ponto 
Q sobre uma circunferência é 3,6 rad/s. Se esse 
ponto leva 3 s para percorrer um arco de 54 cm, 
qual é a medida do raio dessa circunferência?
90 Um pontoP gira sobre uma circunferência de 6 cm 
 de raio à velocidade angular constante de 5s ___ 
8
 rad/s. 
 Calcule a velocidade desse ponto em cm/s.
 Exercícios contextualizados
87 Um ciclista partiu de um ponto A de uma pista 
 circular de 100 m de raio e percorreu 117s _____ 
20
 rad, em 
 um mesmo sentido, estacionando em um ponto B. 
Adotando s 5 3,14, concluímos que a medida, em 
metro, do menor arco + AB dessa pista é:
a) 67,6 m c) 534,6 m e) 47,1 m
b) 38,9 m d) 24,2 m
 Calcule a distância d, em quilômetro, entre os pontos 
A e B.
EXERCÍCIOS dE REvISãO CumulatIva
Ao concluir o estudo deste capítulo, resolva 
estes exercícios, que envolvem alguns assuntos 
estudados nos capítulos anteriores.
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CAP 13.indb 494 06.08.10 09:24:53
 Para ângulos de medidas inferiores a 1w (um grau), 
uma boa aproximação para o seno do ângulo é a 
medida do mesmo ângulo em radiano. 
 Utilizando esses dados e o raciocínio de Aristarco, 
pode-se concluir que a distância da Terra ao Sol é 
de aproximadamente:
a) 2.500.000 km d) 147.000.000 km
b) 3.800.000 km e) 7.000.000.000 km
c) 34.600.000 km
Lua
Terra
90°
89,85°
Sol
100 Um ponto P está no mesmo plano horizontal de um 
ponto B da trajetória vertical de um elevador pano-
râmico, com PB 5 10 m, conforme a figura. Durante 
a subida, o elevador passa por dois pontos, A e C, 
 com AB 5 10 dll 3 ______ 
3
 m e CB 5 10 dll 3 m.
98 Dois pontos, A e D, estão alinhados com o centro 
B da base de uma torre de transmissão elétrica, de 
altura BC, tal que AD 5 35 m, AB 5 80 m, o ângulo 
ABC é reto e os ângulos CAB e CDB têm medidas a e 
90w 2 a, respectivamente. Calcule a altura da torre.
35 m
90° � ��
80 m
A
D
C
B
A
B
C
P
 Enquanto o elevador E percorre a distância AC, a 
medida a do ângulo agudo EPB é tal que:
a) 30w