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CRM
2024
ENGENHARIA CIVIL......
Fonte: adaptado de Prof. Marcio Nascimento e Prof. Rene - UNIP.
Profº. Me. Engº. Aldo Roberto Diniz
Mestre em Engenharia Civil; UNICAMP
Engenheiro Civil; IES
Tecnólogo em Construção Civil: FATEC
Ex- Sabesp: 1996-2014.
Profº. UNIP - 2013
Empresário – Ardiniz Engenharia e Meio Ambiente - 2014
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
PLANO DE ENSINO
CURSO: Engenharia Civil
DISCIPLINA: Complementos de Resistência dos Materiais - Civil
SÉRIE: 6o Semestre
CARGA HORÁRIA SEMANAL: 03 horas-aula
CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 60 horas-aula
EMENTA
Flexão, cisalhamento transversal, cargas combinadas, projetos de vigas,
transformação de tensões, torção, flambagem de colunas, deflexões em vigas.
OBJETIVOS GERAIS
Fornecer ao aluno de engenharia civil os conhecimentos básicos das
propriedades mecânicas dos sólidos reais, com vistas à sua utilização no
projeto e cálculo de estruturas. Capacitar o aluno ao cálculo de tensões e
deformações causadas pelos esforços simples, no regime da elasticidade,
bem como à resolução de problemas de dimensionamento, avaliação e
verificação.
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1) Flexão. Diagramas de força cortante e momento fletor, Deformação 
por flexão de um elemento reto. A fórmula da flexão. Flexão assimétrica
2) Cisalhamento Transversal. Cisalhamento de elementos retos. A 
fórmula do cisalhamento. Tensões de cisalhamento em vigas
3) Torção. Deformação por torção de um eixo circular. A formula da 
torção
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
4) Cargas Combinadas. Estado de tensão causado por cargas combinadas.
5) Projetos de Vigas. Base para o projeto de vigas. Projeto de vigas prismáticas.
6) Transformação de Tensões. Transformações de tensões no plano. Tensões 
principais e tensão de cisalhamento máxima no plano. Círculo de Mohr.
7) Flambagem de colunas. Carga crítica. Coluna ideal com apoios de pinos
•Colunas com vários tipos de apoios.
8) Deflexões em vigas; A linha elástica. Inclinação e deslocamento por 
integração. Método de superposição
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
AVALIAÇÃO
O desempenho do aluno será avaliado bimestralmente, de acordo com as normas de avaliação
do curso.
(NP1 + NP2) / 2 deve ser > 7pts
SUBSTITUTIVA
EXAME (Média + Exame)/2 deve ser > 5pts
COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. O.; JOHNSTON, E. R. “Resistência dos Materiais”, Editora Pearson Makron Books, São Paulo,
2010.
HIBBELER, R. C. “Resistência dos Materiais”, Editora Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2000-2011.
TIMOSHENKO e GERE. “Mecânica dos Sólidos”, Livros Técnicos e Científicos, São Paulo, 2001.
Complementar
MARGARIDO, A. F. “Fundamentos de Estruturas”, São Paulo: Zigurate, 2001.
BOTELHO, M. H. C. “Resistência dos Materiais para Entender e Gostar”, Editora Edgard Blucher, São
Paulo, 2008.
POPOV, E. P. “Introdução à Mecânica dos Sólidos”, Editora Edgard Blucher, São Paulo, 2006.
ALMEIDA. M. C. F. “Estruturas Isostáticas”, Editora Oficina de Textos, Rio de Janeiro, 2008.
SUSSEKIND, J.CARLOS, “Curso de Análise Estrutural: Estruturas Isostáticas”, Editora Oficina de Textos,
Rio de Janeiro, 2000.
Revisão dos conceitos básicos
Conversão de Unidades
Revisão dos conceitos básicos
Revisão dos conceitos básicos
Revisão dos conceitos básicos
Diagrama tensão-deformação
 Forças internas 
Cargas Internas 
Se um sistema de forças coplanares 
atua sobre um membro, então em geral 
uma resultante interna da força normal 
N, da força cortante V e do momento 
fletor M atuarão em qualquer seção 
transversal ao longo do membro. As 
direções positivas dessas cargas estão 
mostradas na Figura 
Figura 1 – Convenção de sinais para os esforços internos. 
 Forças internas 
A resultante interna da força 
normal, da força cortante e do 
momento fletor são determinadas 
usando-se o método das seções. 
Para encontrá-las, o membro é 
seccionado no ponto C onde as 
cargas internas devem ser 
determinadas. Um diagrama de 
corpo livre de uma das partes 
seccionada é então desenhado e as 
cargas internas são mostradas em 
suas direções positivas, conforme 
mostrado na Figura 2. 
Figura 2 – Método das seções. 
 Forças internas 
A resultante da força normal é determinada somando as forças normais na 
seção transversal. 
A resultante da força cortante é encontrada somando-se as forças 
tangentes à seção transversal, e a resultante do momento fletor é 
encontrado somando-se os momentos em relação a um ponto qualquer da 
estrutura. 
 Forças internas 
Para construir os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para um membro, é necessário 
seccionar o membro em um ponto qualquer, 
localizado a uma distância x da extremidade esquerda. 
Se a carga externa consiste em variações na carga 
distribuída, ou uma série de forças e momentos de 
binários concentrados atuando sobre o membro, 
então diferentes expressões para V e M devem ser 
determinadas dentro das regiões entre quaisquer 
descontinuidades de carga, conforme ilustrado na 
Figura 3. 
Figura 3 – Método das seções. 
 Forças internas 
O esforço cortante e o momento incógnitos são indicados na seção 
transversal na direção positiva, de acordo com a convenção de sinais 
estabelecida, e depois o esforço cortante e momento fletor internos são 
determinados com funções de x. 
Cada uma das funções de esforço cortante de do momento fletor é então 
expressa graficamente para criar os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor. 
 Flexão 
Diagramas de forças cortantes e momento fletor são 
representações gráficas do cisalhamento interno e do 
momento fletor no interior de uma viga. A construção 
desses diagramas requer um corte na viga a uma 
distância arbitrária x da extremidade esquerda, a 
determinação de V e M em função de x, e por fim, a 
construção dos gráficos com os resultados. Conforme 
mostrado na Figura 4, é necessário adotar uma 
convecção de sinais para força cortante e momento 
positivos. 
Figura 4 – Convenção de sinais 
 Flexão 
Também é possível fazer a representação 
gráfica de diagramas de força cortante e 
momento fletor se considerarmos que, em cada 
ponto, a inclinação do diagrama de força 
cortante correspondente a uma negativa do 
carregamento distribuído. A inclinação do 
diagrama de momento é o cisalhamento. Assim, 
𝑤 =− 𝑑𝑉 / 𝑑𝑥
𝑒
𝑉 = 𝑑𝑀/ 𝑑𝑥
A Figura 5, apresenta a representação gráfica dessas equações. 
 Flexão 
Figura 5 – Diagramas de V e M. 
 Flexão 
Um momento fletor a produzir uma variação 
linear da deformação no interior da viga. 
Contanto que o material seja homogêneo e a lei 
de Hooke se aplique, o equilíbrio pode ser 
utilizado para relacionar o momento interno na 
viga com a distribuição de tensão. O resultado é 
equação da flexão. 
𝜎 = 𝑀𝑐 / 𝐼
onde I e c são o momento de inércia e a distância do 
centroide ao ponto de análise, respectivamente. 
 Flexão 
𝜎 = 𝑀𝑐 / 𝐼
onde I e c são o momento de inércia e a distância do 
centroide ao ponto de análise, respectivamente. 
Figura 6 – Tensão normal devido a flexão. 
A Figura 6 ilustra a distribuição 
de tensão normal na seção 
transversal de uma viga.
A tensão normal devido a flexão 
é nula sobre o eixo centroidal e 
varia linearmente até o máximo. 
 Flexão 
Se a seção transversal da viga não for 
simétrica em torno de um eixo 
perpendicular ao eixo neutro, então 
ocorrerá flexão assimétrica, Figura 7. 
Figura 7 – Tensão normal devido a flexão. 
 Flexão 
A tensão máxima pode 
ser determinada por 
fórmulas ou o problema 
pode ser resolvido 
considerando-se a 
superposição da flexão 
em torno de dois eixos 
separados, tal que: 
𝜎max=−(𝑀𝑧𝑐 / 𝐼𝑧)+ (𝑀𝑦𝑐 / 𝐼𝑦) 
Referência de Estudo 
Capítulo 6. Seções 6.1 a 6.4 
HIBBELER, R. C. “Resistência dos materiais”, São Paulo, 
PrenticeHall, 7ª edição, 2010. 
Tabe
la
Mo
men
to 
máxi
mo
 Flexão 
 Flexão composta 
 Flexão 
 Flexão 
 TORÇÃO 
Torque é um momento que tende a 
torcer um elemento em torno de seu 
eixo longitudinal. Se o ângulo de 
rotação for pequeno, o comprimento 
e o raio do eixo permanecerão 
inalterados. 
A Figura ilustra a deformação de um 
eixo circular devido a aplicação de 
um torque. 
Figura – Deformação por torção. 
 TORÇÃO 
O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em 
um torque igual e oposto ao torque aplicado. Tal que:
Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja 
conhecido, a distribuição das tensões não é. Ao contrário da 
tensão normal devido a cargas axiais, a distribuição das 
tensões de cisalhamento, devido a carga de torção, não pode 
ser assumida uniforme. 
 TORÇÃO 
A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é 
proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra, 
conforme mostrado na Figura. 
Figura – Ângulo de torção. 
Quando submetida à torção, cada seção transversal de um eixo 
circular permanece plana e indeformada. As seções transversais 
de barras circulares vazadas também permanecem planas e 
indeformadas após a aplicação de um torque. No entanto, seções 
transversais de barras não circulares são distorcidas quando 
submetidas à torção. 
A tensão de cisalhamento devido a aplicação de um torque varia 
linearmente com a posição radial na seção 
Consideremos uma viga prismatica ( secao
transversal constante) horizontal com secao
transversal retangular com lados b e h sendo b