MÓDULO 4 - INTERVALO DE CONFIANÇA

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<p>FACULDADE DE ILHÉUS - CESUPI</p><p>Cursos: Ciências Contábeis</p><p>Disciplina: Métodos Quantitativos Aplicados a Ciências Contábeis</p><p>Professor: Carlos Armando Rocha Filho</p><p>Aluno (a) : Data:26/08/24</p><p>MÓDULO 4 - INTERVALO DE CONFIANÇA</p><p>· Conceito</p><p>É uma Estimativa de um Intervalo utilizado na Estatística, que contém um Parâmetro Populacional.</p><p>Esse Parâmetro de População Desconhecido é encontrado através de um modelo de amostra calculado a partir dos dados recolhidos.</p><p>Exemplo: A Média de uma Amostra Recolhida x̅ pode ou não coincidir com a verdadeira Média Populacional μ.</p><p>Para isso, é possível considerar um Intervalo de Médias Amostrais onde esta Média Populacional possa estar contida. Quanto maior este intervalo, maior a probabilidade de isso ocorrer.</p><p>O Intervalo de Confiança é expresso em porcentagem, denominadas por Nível de Confiança, sendo 90%, 95% e 99% as mais indicadas.</p><p>Na imagem abaixo, por exemplo, temos um Intervalo de Confiança de 90% entre seus limites superior e inferior (a e -a).</p><p>Exemplo de Intervalo de Confiança de 90% entre seu limite superior (a) e inferior (-a).</p><p>O Intervalo de Confiança é um dos conceitos mais importantes nos Testes de Hipóteses na estatística, por ser utilizado como uma Medida de Incerteza. O termo foi introduzido pelo matemático e estatístico polonês Jerzy Neyman em 1937.</p><p>· Qual a Relevância de um Intervalo de Confiança?</p><p>O Intervalo de Confiança é importante para indicar a Margem de Incerteza (ou imprecisão) frente a um cálculo efetuado.</p><p>Esse cálculo usa a Amostra do Estudo para Estimar o Tamanho Real do resultado na População de origem.</p><p>O Cálculo de um Intervalo de Confiança é uma estratégia que considera a Amostragem de Erro.</p><p>A Dimensão do Resultado do seu estudo e seu Intervalo de Confiança caracterizam os valores presumíveis para a População Original.</p><p>Quanto mais estreito for o Intervalo de Confiança, maior é a probabilidade da porcentagem da População de Estudo representar o Número Real da População de Origem dando maior certeza quanto ao resultado do objeto de estudo.</p><p>· Como Interpretar um Intervalo de Confiança?</p><p>A interpretação correta do intervalo de confiança é provavelmente o aspecto mais desafiador desse conceito estatístico.</p><p>Um exemplo da interpretação mais comum do conceito é a seguinte:</p><p>Existe uma Probabilidade de 95% de que, no futuro, o verdadeiro valor do parâmetro da população (por exemplo, Média) caia no intervalo X (limite inferior) e Y (limite superior).</p><p>Assim, interpreta-se o Intervalo de Confiança da seguinte maneira:</p><p>É 95% confiante de que o intervalo entre X (limite inferior) e Y (limite superior) contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional.</p><p>· As Etapas do Cálculo do Intervalo de Confiança</p><p>O intervalo é calculado usando as seguintes etapas:</p><p>1. Reúna os dados da amostra: n;</p><p>2. Calcule a média da amostra x̅;</p><p>3. Determine se um desvio padrão populacional (σ) é conhecido ou desconhecido;</p><p>4. Se um desvio padrão populacional for conhecido, pode-se usar um ponto z para o nível de confiança correspondente;</p><p>5. Se um desvio padrão populacional for desconhecido, podemos usar uma estatística t ( student ) para o nível de confiança correspondente;</p><p>Assim, encontram-se os limites inferior e superior do intervalo de confiança usando as seguintes fórmulas:</p><p>a) Desvio Padrão de uma População Conhecida:</p><p>b) Desvio Padrão de uma População Desconhecida:</p><p>· Intervalo de Confiança para Média</p><p>Ao ter a informação do Desvio Padrão de uma População, pode-se calcular um Intervalo de Confiança para a Média ou a Média dessa População.</p><p>Quando uma característica estatística que está sendo medida (como renda, QI, preço, altura, quantidade ou peso) é numérica, na maioria dos casos estima-se encontrar o valor médio para a população.</p><p>Assim, procura-se encontrar a Média Populacional (μ) usando uma Média de Amostra (x̅), contando com uma Margem de Erro.</p><p>O resultado desse cálculo é chamado de Intervalo de Confiança para a Média da População.</p><p>· Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Conhecida</p><p>Quando o Desvio Padrão da População é Conhecido, a fórmula para um Intervalo de Confiança (IC) para uma Média Populacional é:</p><p>Onde:</p><p>· x̅ é a média da amostra; σ é o desvio padrão da população;</p><p>· n é o tamanho da amostra; ΖC representa o valor apropriado da distribuição normal padrão para o seu nível de confiança desejado.</p><p>Em que o Erro (ou Erro Máximo da Estimativa ou Tolerância de Erro) é dado pela</p><p>fórmula:</p><p>Abaixo, seguem os valores para os vários níveis de confiança (ΖC):</p><p>A tabela acima mostra valores de ΖC para os níveis de confiança fornecidos.</p><p>EM RESUMO:</p><p>A Distribuição de Probabilidade da Média Amostral é:</p><p>- Para Populações Infinitas:</p><p>→ ≈ N ( , / √ n )</p><p>- Para Populações Finitas:</p><p>Assim, para Populações Infinitas, a variável normal padrão será denominada Z observado, ou Zc , cuja fórmula é:</p><p>= Zc</p><p>Para Populações Finitas, deve–se acrescentar o Fator de Correção Populacional ao cálculo de Zobservado:</p><p>= Zc</p><p>Fator de Correção:</p><p>Fixado um nível de confiança ɣ, devemos utilizar a tabela da Normal Padrão para determinar os valores críticos da variável Z, ou seja, ( Zc) z crítico, conforme mostra a figura:</p><p>O Intervalo de Confiança para a Média Populacional é tal que:</p><p>·</p><p>De forma mais simples, podemos escrever que o Intervalo de Confiança para a Média Populacional, quando a Variância ( ou Desvio Padrão ) for Conhecida é dado pela fórmula:</p><p>Em que o Erro (ou Erro Máximo da Estimativa ou Tolerância de Erro) é dado pela fórmula:</p><p>Caso se utilize o fator de correção, temos:</p><p>Em que o Erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerância de erro) é dado pela fórmula:</p><p>Exemplo 1</p><p>A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que σ= 5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo–se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.</p><p>Resolução:</p><p>Inicialmente, vamos obter o valor crítico da distribuição Zc , utilizando a tabela da Normal Padrão: queremos encontrar os valores zc e –zc de modo que a probabilidade dos valores compreendidos entre zc e –zc seja igual a 95%, ou seja, ao nível de confiança.</p><p>Como a curva é simétrica, temos que a área compreendida entre 0 e zc vale 95% / 2 = 47,5%.</p><p>Logo, devemos buscar o valor que mais se aproxima de 0,475 na tabela:</p><p>Assim, percebemos que, coincidentemente, há o valor 0,475 exato, correspondendo a um valor crítico zc =1,96. Agora, basta aplicarmos a fórmula:</p><p>Portanto, os limites do nosso intervalo serão:</p><p>500 + 0,98 = 500,98 e 500 – 0,98 = 499,02.</p><p>Ou seja,</p><p>P(499,02 ≤ μ ≤ 500,98) = 0,95. Ou, ainda, de maneira mais simples:</p><p>IC = [499,02 ; 500,98].</p><p>Interpretação: o intervalo [499,02 ; 500,98] contém a verdadeira duração média da peça com 95% de confiança. Isso significa que, se forem construídos intervalos dessa mesma maneira, 95% desses intervalos devem conter μ.</p><p>Exemplo 2</p><p>Vamos considerar o exemplo anterior, mas, agora, suponha que tenhamos uma população de 1000 peças.</p><p>Nesse caso, o intervalo para a média será:</p><p>Logo, o intervalo procurado é: IC = [ 499,07 ; 500,93 ].</p><p>Exemplo 3</p><p>Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça sigam o modelo Normal com média μ desconhecida e variância igual a 0,01 m². Uma amostra de dez animais foi sorteada e forneceu média 1,69 m. Obtenha uma estimativa para o parâmetro μ com uma confiança de 98%.</p><p>Resolução</p><p>Inicialmente, devemos observar que foi dado que σ² = 0,01 m². Logo, σ = √0,01 → σ = 0,1 m</p><p>Utilizando a tabela da normal para encontrar zc temos:</p><p>Ou seja, zc  = 2,33.</p><p>Aplicando a fórmula, temos:</p><p>Calculando os limites inferior e superior do IC, obtemos:</p><p>1,69 – 0,07 = 1,62  e  1,69 + 0,07 = 1,76.</p><p>Assim: IC = [1,62 ; 1,76].</p><p>Alternativamente, poderíamos escrever: P(1,62 ≤ μ ≤ 1,76) = 0,98.</p><p>· Intervalo de Confiança para a Média Populacional quando a Variância é Desconhecida</p><p>Quando temos Pequenas Amostras e não conhecemos o valor do Desvio Padrão Populacional, construímos Intervalos</p><p>de Confiança para a Média Populacional utilizando a Distribuição t de Student para encontrar os valores críticos ( tc ) com  (n–1) graus de liberdade.</p><p>Como a Variância Populacional é desconhecida, deveremos utilizar a Variância Amostral S2 e, consequentemente, o Desvio Padrão Amostral (S).</p><p>As fórmulas dos Intervalos de Confiança para a Média Populacional quando a Variância Populacional é desconhecida são:</p><p>· A Distribuição t de Student</p><p>Possui as seguintes características:</p><p>1) A Distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em relação à média.</p><p>2) A Distribuiçã t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro chamado de Grau de Liberdade.</p><p>Quando usamos a Distribuiçã t para estimar a Média da População, os Graus de Liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um: g.l. = n – 1.</p><p>3) A área total sob a curva é 1 ou 100%.</p><p>4) A média, moda e mediana da distribuição t são iguais a zero.</p><p>5) Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t se aproxima da distribuição Normal.</p><p>Para mais de 30 Graus de Liberdade, a Distribuição t está tão próxima da Distribuição Normal, que podemos trabalhar diretamente com a Tabela da Normal Padrão (isso é apenas uma referência e pode variar conforme a tabela que se está utilizando).</p><p>· Nota Histórica</p><p>William S. Gosset desenvolveu a Distribuição t enquanto trabalhava na indústria de cervejas Guinness, em Dublin, na Irlanda.</p><p>Gosset publicou suas descobertas usando o pseudônimo de Student.</p><p>A Distribuição t às vezes é chamada de Distribuição t de Student ou Distribuição t-Student.</p><p>· Tabela da Distribuição t-Student</p><p>Na tabela t de Student, ou t-Student, além dos Graus de Liberdade, você deverá procurar a coluna correspondente a p, conforme ilustra a figura seguinte:</p><p>A soma das duas caudas da curva é igual ao valor de p.</p><p>Ou seja, o nível de confiança ɣ corresponde ao valor 1 – p.</p><p>· Tabela t-Student</p><p>A seguir, um exemplo de Tabela t-Student. Essa tabela chega a 120 graus de liberdade. Outras tabelas podem possuir outros valores como algo em torno de 30 ou 40. Os valores de p também podem variar de tabela para tabela.</p><p>Exemplo 4</p><p>Uma amostra de tamanho 10, com média = 8,7 e desvio padrão = 2 , foi extraída de uma População Normal. Construa um intervalo de confiança para a média ao nível de 95%.</p><p>Os graus de liberdade da distribuição são: g.l.= n–1 = 10 – 1 = 9.</p><p>Para usarmos a tabela, devemos observar a coluna correspondente a p=5% (pois 100% – 95% = 5%):</p><p>Logo, o valor crítico procurado é tc = 2,262. Substituindo na fórmula temos:</p><p>Assim, calculando o limite inferior e superior do intervalo, obtemos:</p><p>IC = [7,27 ; 10,13], que é o intervalo que contém a verdadeira média (populacional) com 95% de confiança.</p><p>Exemplo 5</p><p>Você seleciona aleatoriamente 20 instituições que realizam financiamento para compra da casa própria e determina o atual índice de juros do financiamento em cada uma delas. A média da amostra dos juros é de 6,22%, com desvio padrão de 0,42%. Encontre o intervalo de confiança de 99% para a média populacional do índice de juros do financiamento. Assuma que os índices de juros são aproximadamente normalmente distribuídos.</p><p>Resolução</p><p>Inicialmente, podemos verificar, a partir do enunciado, que a média amostral (x barra) é 6,22 e s=0,42. Sendo n=20 temos g.l.= 20 – 1=19.</p><p>Observando a tabela t para g.l.=19 e p=1%, encontramos tc=2,861. Aplicando a fórmula:</p><p>Logo: IC = [5,95 ; 6,49].</p><p>Interpretação: com 99% de confiança, podemos dizer que a média populacional do índice de juros do financiamento está entre 5,95% e 6,49%.</p><p>· Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional</p><p>Agora, queremos construir um Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional p. Lembrando que a estimativa pontual de p é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é denotada por (na fórmula, lê-se "p chapéu"):</p><p>E, ainda,</p><p>Que é a Proporção Amostral de Fracassos.</p><p>Antes de construir um intervalo para a proporção, devemos verificar se a distribuição de amostragem de p (no caso, p chapéu) pode ser aproximada pela distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as condições:</p><p>Se essas duas condições ocorrerem, podemos construir o intervalo de confiança para a proporção, que utilizará, para a determinação do valor crítico, a tabela da Normal. As fórmulas dos intervalos de confiança para a proporção são:</p><p>Populações infinitas:</p><p>Populações finitas:</p><p>Lembre–se: uma população é considerada finita quando</p><p>Importante: quando não possuímos uma estimativa prévia do valor de "p chapéu" (proposrção amostral) utilizamos uma abordagem conservadora para o cálculo do intervalo de confiança, baseada no fato de que a expressão p(1–p) possui valor máximo igual a ¼ quando 0 ≤ p ≤ 1.</p><p>Você pode verificar isso construindo o gráfico da função p(1–p) e achando o seu valor máximo no intervalo [0;1].  Neste caso, a margem de erro é:</p><p>Exemplo 6</p><p>Pretende–se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção da população em geral para um nível de confiança de 95%?</p><p>Resolução</p><p>Inicialmente, vamos calcular a proporção amostral:</p><p>Utilizando a tabela da Normal, obtemos o valor crítico para 95% de confiança: zc=1,96.</p><p>Aplicando a fórmula:</p><p>Logo, o intervalo de confiança é:</p><p>Exemplo 7</p><p>A Figura abaixo foi feito com base em uma pesquisa entre 900 norte–americanos adultos. Construa um intervalo de 99% de confiança para a população de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos.</p><p>Resolução: A partir da Figura, temos que:</p><p>Na tabela da Normal, devemos buscar uma probabilidade compreendida entre 0 e zc igual a 0,495. Perceba que esse valor não existe na tabela, porém, ele é o ponto médio dos valores 0,4949 correspondendo a zc=2,57 e 0,4951 correspondendo a zc=2,58. Pelo fato de essa probabilidade ser o ponto médio das probabilidades encontradas, trabalharemos, para uma melhor aproximação, com o ponto médio dos valores críticos da tabela, ou seja:</p><p>Então:</p><p>O intervalo de confiança é: IC=[0,589 ; 0,671]. Ou: IC=[58,9% ; 67,1%].</p><p>Interpretação: com 99% de confiança, a proporção de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos está entre 58,9% e 67,1%.</p><p>Exemplo 8</p><p>Você está analisando uma campanha política e quer estimar, com 95% de confiança, a proporção dos eleitores que irão votar em um determinado candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da população real. Encontre o número mínimo da amostra necessária se:</p><p>a) não há nenhuma estimativa prévia;</p><p>b) há uma estimativa prévia de:</p><p>c) compare os resultados obtidos.</p><p>Resolução:</p><p>a) Não havendo nenhuma estimativa de "p chapéu", trabalharemos com a abordagem mais conservadora:</p><p>Logo, temos que o tamanho mínimo da amostra é de 1068 eleitores.</p><p>b) Como temos a estimativa de "p chapéu" que é 0,31, fazemos:</p><p>Portanto, o tamanho mínimo da amostra, neste caso, é de 914 eleitores.</p><p>c) Sem nenhuma estimativa prévia, o tamanho mínimo da amostra é de 1068 eleitores. Havendo a estimativa prévia, o tamanho da amostra necessária passa a ser de 914 eleitores. Isso ocorre por que na falta de uma estimativa prévia, maximizamos o valor de p(1–p), fazendo com que o tamanho da amostra aumente.</p><p>· Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão</p><p>Para construirmos intervalos para a variância e desvio padrão, devemos lembrar que a estimativa pontual para σ² é s² e que a estimativa pontual para σ é s. Além disso, devemos trabalhar com uma outra distribuição que não a Normal nem a t-Student: usamos a qui-quadrado.</p><p>· A Distribuição Qui-Quadrado</p><p>A distribuição qui-quadrado (representa-se por χ²) é uma família de curvas, cada uma determinada pelos graus de liberdade.</p><p>Para formar um intervalo de confiança para, usa-se a distribuição χ² com graus de liberdade iguais a um a menos do que o tamanho da amostra, ou seja, g.l. = n – 1 .</p><p>Além disso, a</p><p>área abaixo da curva da distribuição χ² é igual a 1 e as distribuições qui-quadrado são assimétricas positivas.</p><p>A distribuição qui-quadrado é utilizada quando estamos analisando a variância de uma amostra quando essa amostra é proveniente de uma população normalmente distribuída.</p><p>Abaixo, temos os gráficos de algumas distribuições qui-quadrado segundo os graus de liberdade:</p><p>· A Tabela da Distribuição Qui-Quadrado</p><p>Para a construção de intervalos de confiança para a variância e o desvio padrão, devemos obter dois valores na tabela da qui-quadrado, que chamaremos de χ²inf  e χ²sup .</p><p>Note que a tabela nos fornece a área à direita do valor observado.</p><p>.</p><p>Exemplo 9</p><p>Vamos encontrar os valores críticos χ²inf  e χ²sup para um intervalo de confiança de 90%, quando o tamanho da amostra for igual a 20.</p><p>Resolução: Os graus de liberdade são: g.l. = n – 1 = 20 – 1 = 19.</p><p>Para um intervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de χ²inf e de 5% à direita de χ²sup. Mas, para utilizarmos a tabela, devemos pensar em valores à direita e, portanto, temos de 95% à direita de χ²inf e 5% à direita de χ²sup, conforme ilustra a figura:</p><p>· Intervalo de Confiança para a Variância</p><p>A fórmula do intervalo de confiança para a variância é dada a seguir. Note que o valor de qui-quadrado superior está no termo da esquerda e o valor de qui-quadrado inferior está no termo da direita. Isso está correto!</p><p>· Intervalo de Confiança para o Desvio Padrão</p><p>A fórmula do intervalo de confiança para o desvio padrão é:</p><p>Exemplo 10</p><p>Um farmacêutico seleciona aleatoriamente 30 amostras de um antialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,20 miligramas. Supondo que os pesos são normalmente distribuídos, construa um intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão da população.</p><p>Resolução</p><p>Devemos considerar uma área à direita de χ²inf igual a 0,995 e uma área à direita de χ²sup igual a 0,005. Para g.l. = n – 1 = 30 – 1 = 29, os valores críticos obtidos na tabela são: χ²inf = 13,121 e χ²sup = 52,336.</p><p>O intervalo para a variância é:</p><p>O intervalo para o desvio padrão é:</p><p>Assim, podemos dizer com 99% de confiança que a variância populacional está entre 0,80 e 3,18 miligramas², enquanto que o desvio padrão fica entre 0,89 e 1,78 miligramas.</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image22.png</p><p>image23.png</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image26.png</p><p>image27.png</p><p>image28.png</p><p>image29.png</p><p>image30.png</p><p>image31.png</p><p>image32.png</p><p>image33.png</p><p>image34.png</p><p>image35.png</p><p>image36.png</p><p>image37.png</p><p>image38.png</p><p>image39.png</p><p>image40.png</p><p>image41.png</p><p>image42.png</p><p>image43.png</p><p>image44.png</p><p>image45.png</p><p>image1.png</p><p>image46.png</p><p>image47.png</p><p>image48.png</p><p>image49.png</p><p>image50.png</p><p>image51.png</p><p>image52.png</p><p>image53.png</p><p>image54.png</p><p>image55.png</p><p>image2.jpeg</p><p>image56.png</p><p>image57.png</p><p>image58.png</p><p>image59.png</p><p>image60.png</p><p>image61.png</p><p>image62.png</p><p>image63.png</p><p>image64.png</p><p>image65.png</p><p>image3.jpeg</p><p>image66.png</p><p>image67.png</p><p>image68.png</p><p>image69.png</p><p>image70.png</p><p>image71.png</p><p>image72.png</p><p>image73.png</p><p>image74.png</p><p>image75.png</p><p>image4.jpeg</p><p>image76.png</p><p>image5.png</p>