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<p>Exerćıcios Álgebra Linear</p><p>Prof.: Alonso Sepúlveda Castellanos Sala 1F 104</p><p>1. Fazer os exerćıcios 1.1.1 - 1.1.9 e 1.1.21 - 1.1.29, da apostila do professor Reginaldo Santos.</p><p>2. Seja A =</p><p>(</p><p>2 x2</p><p>2x− 1 0</p><p>)</p><p>. Encontre o valor de x sabendo que a matriz A é simétrica.</p><p>3. Se A é uma matriz triângular superior, então a matriz At é:</p><p>4. Se A é uma matriz diagonal, então a matriz At é:</p><p>5. Diga se verdadeiro ou falso. Justifique.</p><p>(a) Se A e B são matrizes simétricas do mesmo tamanho, então AB = BA.</p><p>(b) Se AB = 0 então BA = 0.</p><p>(c) Se podemos efetuar o produto A · A, então A é uma matriz quadrada.</p><p>(d) Suponha que A 6= 0 e AB = AC. Então B = C.</p><p>6. Dada a matriz</p><p>B =</p><p> cos(θ) −sen (θ) 0</p><p>sen(θ) cos(θ) 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>Calcule BBt e clasifique a matriz B.</p><p>7. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e</p><p>colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:</p><p>Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo</p><p>Moderno 5 20 16 7 17</p><p>Mediterrâneo 7 18 12 9 21</p><p>Colonial 6 25 8 5 13</p><p>(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respec-</p><p>tivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?</p><p>(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,</p><p>respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é p preço unitário de cada tipo de casa?</p><p>(c) Qual é o custo total do material empregado?</p><p>8. Uma rede de comunicação tem cinco locais locais com transmissores de potências distintas.</p><p>Estabelecemos que aij, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente</p><p>à estação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe</p><p>que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para</p><p>si mesma.</p><p>A =</p><p></p><p>0 1 1 1 1</p><p>1 0 1 1 0</p><p>0 1 0 1 0</p><p>0 0 1 0 1</p><p>0 0 0 1 0</p><p></p><p>Qual seria o significado da matriz A2?</p><p>Seja A2 = (cij). temos que o elemento c42 = 1. Note que a única parcela não nula veio de</p><p>a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma</p><p>retransmissão pela estação 3, embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2.</p><p>(a) Calcule A2.</p><p>(b) Qual é o significado de c13 = 2?</p><p>(c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar</p><p>a afirmação: ’A matriz A2 representa o número de caminhos dispońıveis para se ir de</p><p>uma estação a outra com uma única retransmissão’.</p><p>(d) Qual é o significado das matrizes A = A2, A3 e A+ A2 + A3?</p><p>(e) Se A fosse simétrica, o que significaria?</p><p>9. Mostre que existem matrizes A,B ∈M2(R) tais que (A−B)(A+B) 6= A2 −B2.</p><p>10. Seja A =</p><p></p><p>−3 3 −4 0</p><p>1 1 2 2</p><p>2 −1 3 1</p><p>0 3 1 3</p><p> . Existe uma matriz B 6= 0 tal que AB = 0? Existe uma</p><p>matriz C 6= 0 tal que CA = 0?</p><p>O temor do SENHOR é o prinćıpio do conhecimento;</p><p>os loucos desprezam a sabedoria e a instrução. Pv. 1:7</p><p>2</p>