Unidade_II_Parte_I_-_Vibraes_Livres_Sem_Amortecimento_de_Sistemas_com_1_GL x

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA</p><p>CENTRO DE TECNOLOGIA</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS</p><p>VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO</p><p>DE</p><p>SISTEMAS com 1 GL</p><p>N O T A S D E A U L A S</p><p>Virgílio Mendonça da Costa e Silva</p><p>Junho – 2020</p><p>2</p><p>2. Vibrações Livres sem Amortecimento de Sistemas com 1 GL</p><p>2.1 Sistemas com Oscilações Retilíneas</p><p>2.1.1 Determinação da Equação Diferencial do Movimento</p><p>A Equação Diferencial do Movimento – EDM de sistemas vibratórios com</p><p>um Grau de Liberdade – 1 GL, sem amortecimento, pode ser determinada tanto</p><p>pelo método de somatório de forças, aplicando a segunda lei do movimento de</p><p>Newton, quanto pelo método de energia, aplicando o princípio de conservação</p><p>de energia ou através da Equação de Lagrange.</p><p>2.1.1.1 Método de Somatório de Forças (Newton)</p><p>Todo sistema que possui massa e elasticidade á capaz de vibrar (oscilar).</p><p>O mais simples sistema oscilatório é o sistema massa-mola, composto de uma</p><p>massa M e uma mola de rigidez K e massa desprezível. A Figura 2.1 mostra um</p><p>sistema sem amortecimento, de um grau de liberdade, em razão de o seu</p><p>movimento ser definido por uma coordenada apenas em X.</p><p>Quando posto em movimento, haverá oscilação na frequência natural fn,</p><p>que é uma propriedade do sistema. Examinaremos neste capitulo alguns dos</p><p>conceitos básicos associados à vibração livre de sistemas com um grau de</p><p>liberdade sem amortecimento.</p><p>O exame do movimento do sistema baseia-se, inicialmente, na segunda</p><p>lei do movimento de Newton. Conforme mostra a Figura 2.1, a deformação da</p><p>mola na posição de equilíbrio estático é ∆ e a força da mola ∆K é igual à força</p><p>gravitacional W M g= atuando sobre a massa.</p><p>M</p><p>K</p><p>∆</p><p>K</p><p>M</p><p>Peso</p><p>K ∆</p><p>Posição sem Deflexão</p><p>Sistema em Equilibrio Estático</p><p>M</p><p>X</p><p>K (∆+X)</p><p>Peso</p><p>Xɺɺ</p><p>Sistema em Movimento</p><p>Diagrama de Corpo livre</p><p>Figura 2.1 – Sistema de Vibração Livre sem Amortecimento de 1 GL</p><p>3</p><p>Medindo o deslocamento X da posição de equilíbrio estático, as forças que</p><p>atuam sobre a massa M são ( )∆K X+ e a força gravitacional W(peso).</p><p>Considerando positivo na direção de cima para baixo, todas as quantidades</p><p>(força, velocidade e aceleração) são também positivas na mesma direção.</p><p>Aplicando a segunda lei do movimento de Newton (O somatório de todas</p><p>as forças atuando em um sistema em movimento é igual ao produto da massa</p><p>pela aceleração). Assim temos:</p><p>( )∆F = M X = W - K Xɺɺ +∑ (2.1)</p><p>ou</p><p>M X + K X = 0ɺɺ (2.2)</p><p>onde, no sistema Internacional de Unidades:</p><p>M é a massa do sistema em [Kg]</p><p>K é a rigidez do sistema em [N/m]</p><p>A equação diferencial acima, é conhecida como a Equação Diferencial do</p><p>Movimento - EDM de um sistema de um grau de liberdade, sem amortecimento.</p><p>A primeira parcela da equação (2.2) representa a força de inércia do sistema,</p><p>enquanto que a segunda parcela representa a força da mola.</p><p>2.1.1.2 Método de Conservação de Energia</p><p>A energia total de um sistema conservativo é constante. Logo podemos</p><p>determinar a equação diferencial do movimento aplicando o princípio de</p><p>conservação de energia. Parte da energia na vibração livre de um sistema não</p><p>amortecido é cinética e parte é potencial. A energia cinética T é conservada na</p><p>massa em razão da sua velocidade, enquanto que a energia potencial U é</p><p>conservada sob a forma de esforço na deformação elástica (no caso de um</p><p>sistema com molas linear ou torcional) ou trabalho realizado num campo de</p><p>força como a gravidade (no caso de um pendulo simples). Sendo constante a</p><p>energia total do sistema, sua taxa de variação em relação ao tempo é zero,</p><p>conforme mostra-se a seguir:</p><p>T + U = constante (2.3)</p><p>4</p><p>( )d</p><p>T + U = 0</p><p>dt</p><p>(2.4)</p><p>Nosso interesse aqui é determinar a equação do movimento. Logo</p><p>teremos:</p><p>Energia cinética:</p><p>21</p><p>T = M X</p><p>2</p><p>ɺ (2.5)</p><p>Energia Potencial: ( )∆ 21</p><p>U K + X - MgX</p><p>2</p><p>= (2.6)</p><p>Considerando o potencial zero na posição de equilíbrio estático e</p><p>substituindo as equações (2.5) e (2.6) na equação (2.4), tem-se:</p><p>( )∆ 22d 1 1</p><p>M X + K + X - MgX = 0</p><p>dt 2 2</p><p>ɺ </p><p> </p><p> </p><p>(2.7)</p><p>ou</p><p>1 1</p><p>M 2 X X + K 2 X X = 0</p><p>2 2</p><p>ɺ ɺɺ ɺ (2.8)</p><p>Simplificando os termos chaga-se à:</p><p>M X + K X = 0ɺɺ (2.9)</p><p>Se nosso interesse é determinar a frequência natural do sistema,</p><p>podemos estabelecer de acordo com o princípio de conservação de energia, que:</p><p>1 1 2 2T + U = T + U (2.10)</p><p>onde os índices 1 e 2 representam dois instantes de tempo. Admitindo que o</p><p>índice 1 seja o instante de tempo em que à massa passa pela posição de</p><p>equilíbrio estático, temos energia potencial nula, 1U 0= . Seja 2 o tempo</p><p>correspondente ao Máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade</p><p>da massa é nula, resultando em 2T 0= . Assim temos:</p><p>1 2T + 0 = 0 + U (2.11)</p><p>5</p><p>Entretanto, se o sistema está submetido a um movimento harmônico, os</p><p>valores de 1T e 2U são os máximos, daí:</p><p>max maxT = U (2.12)</p><p>Facilmente, pode-se demonstrar que esta equação conduz diretamente à</p><p>frequência natural do sistema.</p><p>2.1.1.3 Aplicação da Equação de Lagrange</p><p>Os sistemas mecânicos sem dissipação de energia (sem força de</p><p>amortecimento) são considerados sistemas conservativos. Assim, a maneira</p><p>mais simples para se determinar a E.D.M. - Equação Diferencial do Movimento,</p><p>usando a energia cinética e potencial do sistema, é pela utilização do princípio</p><p>de Conservação de Energia, como feito anteriormente. No entanto, podemos</p><p>também obter a E.D.M. aplicando as expressões de energias cinética e potencial</p><p>do sistema mecânico na Equação de Lagrange.</p><p>Vimos que a equação de Lagrange é representada por:</p><p>k</p><p>k k k k</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t q q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(2.13)</p><p>onde:</p><p>T é a energia cinética do sistema</p><p>U é a energia potencial do sistema</p><p>D é a energia dissipada do sistema</p><p>kQ é a k-éssima força externa generalizada aplicada ao sistema</p><p>kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema</p><p>Para um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento temos</p><p>apenas uma coordenada generalizada 1q X= . As equações de energia para</p><p>estes sistema são:</p><p>6</p><p>Energia Cinética:</p><p>21</p><p>T = M X</p><p>2</p><p>⋅ ɺ (2.14)</p><p>Energia Potencial:</p><p>( )∆ 21</p><p>U K + X - MgX</p><p>2</p><p>= (2.15)</p><p>Energia Dissipada:</p><p>D = 0 (2.16)</p><p>Calculando as parcelas da equação (2.13) com base nas equações (2.14),</p><p>(2.15) e (2.16), temos:</p><p>k</p><p>T T 1</p><p>= = M 2 X</p><p>q X 2</p><p>ɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.17)</p><p>k</p><p>d T d T</p><p>= = M X</p><p>d t q d t X</p><p>ɺɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.18)</p><p>k</p><p>T T</p><p>= = 0</p><p>q X</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.19)</p><p>k</p><p>D D</p><p>= = 0</p><p>q Xɺɺ</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.20)</p><p>∆</p><p>k</p><p>U U 1</p><p>= = K + K 2 X - Mg = K X</p><p>q X 2</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.21)</p><p>kQ = 0 (2.22)</p><p>Substituindo as equações (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) e (2.22) na</p><p>equação (2.13), obtém-se:</p><p>7</p><p>M X + K X = 0ɺɺ</p><p>(2.23)</p><p>2.1.2 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento</p><p>A equação (2.2) é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem,</p><p>homogênea, com coeficientes constantes. Portanto, sua solução é do tipo:</p><p>( ) s tX t = e (2.24)</p><p>Substituindo a solução dada pele equação (2.24) na equação (2.2),</p><p>obtém-se:</p><p>( )2 s tM s + K e = 0 (2.25)</p><p>A condição para que a equação (2.25) seja igual a zero é que o termo</p><p>entre parênteses seja igual a zero, ou seja:</p><p>2M s + K = 0 (2.26)</p><p>De onde se obtém:</p><p>1, 2</p><p>K</p><p>s = -</p><p>M</p><p>± (2.27)</p><p>ou</p><p>1, 2</p><p>K</p><p>s = i</p><p>M</p><p>± (2.28)</p><p>onde: i = 1− .</p><p>Como a equação diferencial (2.2) tem duas soluções, a solução geral é a</p><p>combinação geral das duas soluções, ou seja:</p><p>( ) 1 2s t s tX t = A e + B e (2.29)</p><p>ou</p><p>8</p><p>( )</p><p>K K</p><p>i t i t</p><p>M MX t = A e + B e</p><p>+ −</p><p>(2.30)</p><p>Aplicando Euler (</p><p>θ θ θ i e = cos( ) i sen( )± ± ), pode-se escrever:</p><p>( ) ( ) ( )K K</p><p>X t = A B cos( t) + A B i sen( t)</p><p>M M</p><p>+ − (2.31)</p><p>ou simplesmente</p><p>( ) 1 1</p><p>K K</p><p>X t = A cos( t) + B sen( t)</p><p>M M</p><p>(2.32)</p><p>onde 1A A B= + e ( )1B A B i= + são constantes que dependem das condições</p><p>iniciais imposta ao sistema.</p><p>Aplicando para as condições iniciais as condições de contorno:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>X t = X 0</p><p>t = 0</p><p>X t = X 0ɺ ɺ</p><p></p><p>⇒ </p><p></p><p>(2.33)</p><p>Chega-se à:</p><p>( ) ( ) ( )X 0K K</p><p>X t = X 0 cos( t) + sen( t)</p><p>M MK</p><p>M</p><p>ɺ</p><p>(2.34)</p><p>A equação (3.34) é a solução da equação diferencial do movimento de um</p><p>sistema com um grau de liberdade, sem amortecimento, com vibração livre.</p><p>2.1.3 Definição dos Parâmetros a partir das Condições Iniciais</p><p>Sabemos que o sistema massa-mola em estudo quando vibrando</p><p>livremente produz um movimento harmônico no tempo, onde a resposta pode</p><p>ser representada por uma função senoidal ou cossenoidal. O movimento é</p><p>simétrico em relação à posição de equilíbrio da Massa M. A velocidade é máxima</p><p>e a aceleração é zero toda vez que a massa passar por esta posição. Já nos</p><p>deslocamentos extremos, a velocidade é zero e a aceleração é máxima. Visto</p><p>9</p><p>que isso representa movimento harmônico simples, o próprio sistema massa-</p><p>mola é denominado um oscilador harmônico. Neste caso a solução dada pela</p><p>equação (2.34) pode ser escrita da forma:</p><p>( ) ω φnX t = X cos( t )− (2.35)</p><p>onde:</p><p>X é a amplitude do movimento [ µ m]</p><p>ωn é a frequência angular em [rad/s]</p><p>φ é o ângulo de fase (ângulo entre a origem e o primeiro pico)</p><p>Igualando as equações (2.34) e (2.35) obtém-se:</p><p>( ) ( )</p><p>ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>n</p><p>X 0</p><p>X = X 0 +</p><p>ɺ  </p><p>      </p><p>(2.36)</p><p>( )</p><p>( )φ</p><p>ω</p><p>1</p><p>n</p><p>X 0</p><p>tg</p><p>X 0</p><p>ɺ</p><p>−  </p><p>=   </p><p> </p><p>(2.37)</p><p>ωn</p><p>K</p><p>=</p><p>M</p><p>(2.38)</p><p>Logo, podemos escrever a solução do sistema massa-mola vibrando</p><p>livremente, equação (2.34), como:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>ω ω</p><p>ωn n</p><p>n</p><p>X 0</p><p>X t = X 0 cos( t) + sen( t)</p><p>ɺ</p><p>(2.39)</p><p>ou</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 1</p><p>n</p><p>X 0X K</p><p>X t = X 0 + cos t tg</p><p>M X 0 K</p><p>M</p><p>ɺɺ</p><p>−</p><p>  </p><p>        −            </p><p>   </p><p>(2.40)</p><p>10</p><p>Como a solução é periódica, o período T de vibração pode ser calculado</p><p>usando a expressão:</p><p>( ) ( )X t = X t + T (2.41)</p><p>ou seja</p><p>( )ω φ ω φn nX cos( t ) = X cos( t T )− + − (2.42)</p><p>ou</p><p>( )ω φ ω φ πn nt T = t + 2 n + − − (2.43)</p><p>Para n 1= (um ciclo), obtém-se:</p><p>π π</p><p>ωn</p><p>2 2</p><p>T = =</p><p>K</p><p>M</p><p>[s] (2.44)</p><p>Neste caso, a frequência natural em ciclos por segundo será:</p><p>πn</p><p>1 1 K</p><p>f = =</p><p>T 2 M</p><p>[Hz] (2.45)</p><p>Essas quantidades são expressas em termos da deflexão estática ∆ ,</p><p>notando-se pela Figura 2.1 que ∆K Mg= . Considerando</p><p>2g 386 pol / s= e ∆ em</p><p>polegadas, a expressão da frequência natural em termos de ∆ será:</p><p>π ∆ ∆n</p><p>1 g 3.127</p><p>f = =</p><p>2</p><p>[Hz] (2.46)</p><p>ou</p><p>∆n</p><p>187.6</p><p>f = [c.p.m.] (2.47)</p><p>Nestas condições, a frequência natural do sistema de um grau de</p><p>liberdade é definida unicamente pela deflexão estática ∆ . A Figura 2.2</p><p>apresenta um gráfico em escala logarítmica da equação (2.47). Embora os</p><p>11</p><p>sistemas oscilatórios possam diferir na aparência, a presente discussão aplica-</p><p>se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos a vibração livre</p><p>sem amortecimento.</p><p>Figura 2.2 – Frequência Natural em Função da Deflexão Estática</p><p>Se ao invés da solução dada pela equação (2.35), admitirmos para</p><p>solução uma função do tipo:</p><p>( ) ω φnX t = X sen( t )+ (2.48)</p><p>Chega-se a:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( )</p><p>ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 n1</p><p>X 0 X K</p><p>X t = X 0 + sen t tg</p><p>M X 0K</p><p>M</p><p>ɺ</p><p>ɺ</p><p>−</p><p>  </p><p>        +            </p><p>   </p><p>(2.49)</p><p>Observa-se que a única mudança no resultado passa a ser o ângulo de</p><p>fase, que neste caso ficará:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>ω</p><p>φ n1</p><p>X 0</p><p>= tg</p><p>X 0ɺ</p><p>−  </p><p>  </p><p> </p><p>(2.50)</p><p>2.1.4 Representação Gráfica do Movimento</p><p>0.01 0.05 0.1 0.5 1 5</p><p>100</p><p>500</p><p>1000</p><p>2000</p><p>4000</p><p>Deflexão</p><p>F</p><p>re</p><p>q</p><p>u</p><p>ê</p><p>n</p><p>c</p><p>ia</p><p>[</p><p>C</p><p>.P</p><p>.M</p><p>.]</p><p>12</p><p>A natureza harmônica pode ser representada em gráfico, como mostra a</p><p>Figura 2.3(a). Se X</p><p>�</p><p>denota um vetor de magnitude X , que faz um ângulo</p><p>ω φnt − com o eixo vertical ( )X , então a solução, equação (2.35), pode ser vista</p><p>como a projeção do vetor X</p><p>�</p><p>sobre o eixo ( )X . As constantes 1A e 1B da</p><p>equação (2.32) são simplesmente as componentes retangulares de X</p><p>�</p><p>ao longo</p><p>dos eixos ortogonais que fazem o ângulo φ e ( )π φ/ 2− − em relação ao vetor X</p><p>�</p><p>.</p><p>Visto que o ângulo ω φnt − é uma função linear do tempo, ele aumenta</p><p>linearmente com o tempo; assim, todo o diagrama gira em sentido anti-horário</p><p>a uma velocidade angular ωn . Enquanto o diagrama da Figura 2.3(a) gira, a</p><p>projeção de X</p><p>�</p><p>sobre o eixo ( )X varia harmonicamente, de modo que o</p><p>movimento se repete toda vez que o vetor percorre um ângulo de π2 . A</p><p>projeção de X</p><p>�</p><p>, ou seja, ( )X t , é mostrada em gráfico como uma função de ωnt</p><p>na Figura 2.3(b) e como função de t na Figura 2.3(c). O ângulo de fase φ</p><p>também pode ser interpretado como ângulo entre a origem e o primeiro pico.</p><p>Figura 2.3 – Representação Gráfica do Movimento de um Oscilador Harmônico.</p><p>13</p><p>2.2 Sistemas com Oscilações Torcionais</p><p>2.2.1 Determinação da Equação Diferencial do Movimento</p><p>A Equação Diferencial do Movimento – EDM de sistemas vibratórios</p><p>torcionais com um Grau de Liberdade – 1 GL, sem amortecimento, pode ser</p><p>determinada tanto pelo método de somatório de momentos, aplicando a</p><p>segunda lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos</p><p>angulares, quanto pelo método de energia, aplicando o princípio de conservação</p><p>de energia ou através da Equação de Lagrange.</p><p>2.2.1.1 Método de Somatório de Momentos</p><p>O mais simples sistema oscilatório torcional, o pêndulo torcional, é o</p><p>sistema massa-mola, composto</p><p>de um disco com momento de inércia de massa</p><p>0I e uma barra de rigidez torcional TK de massa desprezível. A Figura 2.4</p><p>mostra um sistema torcional sem amortecimento, de um grau de liberdade, em</p><p>razão de o seu movimento ser definido por uma coordenada apenas em θ .</p><p>O exame do movimento do sistema baseia-se, inicialmente, na segunda</p><p>lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos angulares.</p><p>Conforme mostra a Figura 2.4, medindo-se o deslocamento angular θ da</p><p>posição de equilíbrio estático, o momento que atuam sobre o disco será θTK .</p><p>Considerando positivo na direção de sentido anti-horário, todas as quantidades</p><p>(momento, velocidade angular e aceleração angular) são também positivas na</p><p>mesma direção.</p><p>Aplicando a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com</p><p>movimentos angulares (O somatório de todos os momentos atuando em um</p><p>sistema em movimento angular é igual ao produto da inércia de massa pela</p><p>aceleração angular). Assim temos:</p><p>θ θ0 TM = I = - K ɺɺ∑ (2.51)</p><p>ou</p><p>θ θ0 T</p><p>I + K = 0ɺɺ (2.52)</p><p>onde, no sistema Internacional de Unidades:</p><p>0I é a momento de inércia de massa do disco em [Kg m2]</p><p>14</p><p>TK é a rigidez torcional da barra em [N m/rad]</p><p>Figura 2.4 – Pêndulo Torcional.</p><p>A equação diferencial acima, é conhecida como a Equação Diferencial do</p><p>Movimento - EDM de um pêndulo torcional de um grau de liberdade, sem</p><p>amortecimento. A primeira parcela da equação (2.52) representa o momento</p><p>correspondente à inércia do sistema, enquanto que a segunda parcela</p><p>representa o momento de torção da barra.</p><p>A rigidez torcional da barra, TK , depende do comprimento da barra, L ,</p><p>do material da barra, representado pelo modulo de elasticidade transversal, G ,</p><p>e do diâmetro da barra, d , como mostra o desenvolvimento a seguir.</p><p>Considere uma barra de seção circular, de comprimento L , fixa em uma</p><p>extremidade e submetida a um torque tM , na extremidade livre, como mostra a</p><p>Figura 2.5.</p><p>Figura 2.5 – Barra de Seção Circular cilíndrica.</p><p>15</p><p>Da Figura 2.5(a) pode-se escrever:</p><p>θ γ'AA = r = L (2.53)</p><p>ou</p><p>θγ r</p><p>=</p><p>L</p><p>(2.54)</p><p>onde:</p><p>r é o raio da barra, d / 2</p><p>θ é o ângulo de torção</p><p>γ é a distorção</p><p>Desde que os diâmetros, da seção transversal, permanecem diâmetros,</p><p>após a deformação, a distorção γ , à distancia genérica ρ , pode ser escrita,</p><p>Figura 2.5(b), como:</p><p>ρ θγ</p><p>=</p><p>L</p><p>(2.55)</p><p>Consequentemente, as distorções variam linearmente com o raio ρ . E,</p><p>admitida a validade da lei de Hooke, pode se dizer que as tensões de</p><p>cisalhamento na seção transversal, variam linearmente com o raio, anulando-se</p><p>no centro da barra, para ρ 0= .</p><p>Por simetria, a distribuição das tensões de cisalhamentos, τ , deve ser</p><p>simétrica em relação ao centro, tal como mostra a Figura 2.5(b).</p><p>Para haver equilíbrio é necessário que a soma dos momentos desses</p><p>esforços, que atuam em toda a seção transversal, seja igual a tM , assim:</p><p>τ ρ ρ ρ</p><p>r r</p><p>t 0</p><p>0 0</p><p>M = ds = a ds = a J∫ ∫ (2.56)</p><p>onde a é a constante de proporcionalidade entre τ e ρ , isto é:</p><p>τ ρ = a (2.57)</p><p>16</p><p>e 0J é o momento de inércia de área, definido por:</p><p>ρ</p><p>r</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>J = ds∫ (2.58)</p><p>Explicitando o valor de a na equação (2.57), e substituindo na equação</p><p>(2.56), obtém-se:</p><p>τ ρt</p><p>0</p><p>M</p><p>=</p><p>J</p><p>(2.59)</p><p>Na superfície da barra, onde a tensão de cisalhamento é máxima, pode-se</p><p>escrever:</p><p>τ t</p><p>0</p><p>M</p><p>= r</p><p>J</p><p>(2.60)</p><p>Sabemos, por definição (Lei de Hooke para torção), que:</p><p>τ γ = G (2.61)</p><p>Assim, podemos escrever:</p><p>γ t</p><p>0</p><p>M r</p><p>=</p><p>J G</p><p>(2.62)</p><p>Substituindo o valor da distorção γ , obtido na equação (2.55), na</p><p>equação (2.62), chega-se:</p><p>0</p><p>T</p><p>G J</p><p>K =</p><p>L</p><p>(2.63)</p><p>onde,</p><p>θt TM = K (2.64)</p><p>De acordo com a Figura 2.6, o momento polar de inércia 0J , para uma</p><p>barra de seção circular é dado por:</p><p>πρ ρ π ρ ρ</p><p>r r 4</p><p>2 2</p><p>0</p><p>0 0</p><p>d</p><p>J = ds = 2 d =</p><p>32∫ ∫ (2.65)</p><p>17</p><p>Figura 2.6 – Seção Circular da Barra.</p><p>Substituindo a equação (2.65) na equação (2.63), obtém-se:</p><p>π 4</p><p>T</p><p>G d</p><p>K =</p><p>32 L</p><p>(2.66)</p><p>2.2.1.2 Método de Conservação de Energia</p><p>Como nos casos de sistemas com movimentos retilíneos de translação, a</p><p>energia total de um sistema conservativo com movimento angular é constante.</p><p>Logo podemos determinar a equação diferencial do movimento aplicando o</p><p>princípio de conservação de energia. Parte da energia na vibração livre de um</p><p>sistema não amortecido é cinética e parte é potencial. A energia cinética T é</p><p>conservada na inércia de massa em razão da sua velocidade angular, enquanto</p><p>que a energia potencial U é conservada sob a forma de esforço na deformação</p><p>elástica torcional. Sendo constante a energia total do sistema, sua taxa de</p><p>variação em relação ao tempo é zero, conforme mostra-se a seguir:</p><p>T + U = constante (2.67)</p><p>( )d</p><p>T + U = 0</p><p>dt</p><p>(2.68)</p><p>Nosso interesse aqui é determinar a equação do movimento. Logo</p><p>teremos:</p><p>Energia cinética: θ2</p><p>0</p><p>1</p><p>T = I</p><p>2</p><p>ɺ (2.69)</p><p>Energia Potencial: θ2</p><p>T</p><p>1</p><p>U K</p><p>2</p><p>= (2.70)</p><p>18</p><p>Substituindo as equações (2.69) e (2.70) na equação (2.68), tem-se:</p><p>θ θ2 2</p><p>0 T</p><p>d 1 1</p><p>I + K = 0</p><p>dt 2 2</p><p>ɺ </p><p> </p><p> </p><p>(2.71)</p><p>ou</p><p>θ θ θ θ0 T</p><p>1 1</p><p>I 2 + K 2 = 0</p><p>2 2</p><p>ɺ ɺɺ ɺ (2.72)</p><p>Simplificando os termos chaga-se à:</p><p>θ θ0 T</p><p>I + K = 0ɺɺ (2.73)</p><p>2.2.1.3 Aplicação da Equação de Lagrange</p><p>Os sistemas mecânicos torcionais sem dissipação de energia (sem</p><p>amortecimento) são considerados sistemas conservativos. Assim, a maneira</p><p>mais simples para se determinar a E.D.M. - Equação Diferencial do Movimento,</p><p>usando a energia cinética e potencial do sistema, é pela utilização do princípio</p><p>de Conservação de Energia, como feito anteriormente. No entanto, podemos</p><p>também obter a E.D.M. aplicando as expressões de energias cinética e potencial</p><p>do sistema mecânico na Equação de Lagrange.</p><p>Vimos que a equação de Lagrange é representada por:</p><p>k</p><p>k k k k</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t q q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(2.74)</p><p>onde:</p><p>T é a energia cinética do sistema</p><p>U é a energia potencial do sistema</p><p>D é a energia dissipada do sistema</p><p>kQ é a k-éssima força externa generalizada aplicada ao sistema</p><p>kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema</p><p>Para um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento temos</p><p>apenas uma coordenada generalizada 1q = θ . As equações de energia para</p><p>estes sistema são:</p><p>Energia Cinética:</p><p>19</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>T = I</p><p>2</p><p>⋅ θɺ (2.75)</p><p>Energia Potencial:</p><p>θ2</p><p>T</p><p>1</p><p>U K</p><p>2</p><p>= (2.76)</p><p>Energia Dissipada:</p><p>D = 0 (2.77)</p><p>Calculando as parcelas da equação (2.74) com base nas equações (2.75),</p><p>(2.76) e (2.77), temos:</p><p>θ</p><p>θk</p><p>T T 1</p><p>= = M 2</p><p>q 2</p><p>ɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.78)</p><p>θ</p><p>θk</p><p>d T d T</p><p>= = M</p><p>d t q d t</p><p>ɺɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.79)</p><p>θk</p><p>T T</p><p>= = 0</p><p>q</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.80)</p><p>θk</p><p>D D</p><p>= = 0</p><p>q ɺɺ</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.81)</p><p>θ θ</p><p>θ T T</p><p>k</p><p>U U 1</p><p>= = K 2 = K</p><p>q 2</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.82)</p><p>kQ = 0 (2.83)</p><p>Substituindo as equações (2.79), (2.80), (2.81), (2.82) e (2.83) na</p><p>equação (2.74), obtém-se:</p><p>20</p><p>θ θ0 T</p><p>I + K = 0ɺɺ (2.84)</p><p>2.2.2 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento</p><p>Desenvolvimento análogo ao da seção 2.1.2, pode ser feito para obtenção</p><p>da solução da equação diferencial do movimento dada pela equação (2.84). O</p><p>resultado será idêntico aos obtidos pelas equações (2.32), (2.34) e (2.35),</p><p>bastando para isto substituir M por 0I , K por TK e, evidentemente ( )X t por</p><p>( )θ t , ou seja:</p><p>( )θ T T</p><p>1 1</p><p>0 0</p><p>K K</p><p>t = A cos( t) + B sen( t)</p><p>I I</p><p>(2.85)</p><p>ou, aplicando para as condições iniciais as condições de contorno:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>t = 0</p><p>t = 0</p><p>t = 0ɺ ɺ</p><p></p><p>⇒ </p><p></p><p>(2.86)</p><p>( ) ( ) ( )θ</p><p>θ θ T T</p><p>0 0T</p><p>0</p><p>0K K</p><p>t = 0 cos( t) + sen( t)</p><p>I IK</p><p>I</p><p>ɺ</p><p>(2.87)</p><p>ou ainda, como sabemos que trata-se de movimento harmônico simples:</p><p>( )θ θ ω φnt = cos( t )− (2.88)</p><p>onde:</p><p>θ é a amplitude do movimento [rad]</p><p>ωn é a frequência angular em [rad/s]</p><p>φ é o ângulo de fase (ângulo entre a origem e o primeiro pico)</p><p>( ) ( )θ</p><p>θ θ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>n</p><p>0</p><p>= 0 +</p><p>ɺ  </p><p>      </p><p>(2.89)</p><p>21</p><p>( )</p><p>( )</p><p>θ</p><p>φ</p><p>θ ω</p><p>1</p><p>n</p><p>0</p><p>tg</p><p>0</p><p>ɺ</p><p>−  </p><p>=   </p><p> </p><p>(2.90)</p><p>ω T</p><p>n</p><p>0</p><p>K</p><p>=</p><p>I</p><p>(2.91)</p><p>Logo, podemos escrever a solução do sistema torcional massa-mola</p><p>vibrando livremente, equação (2.84), como:</p><p>( ) ( ) ( )θ</p><p>θ θ ω ω</p><p>ωn n</p><p>n</p><p>0</p><p>t = 0 cos( t) + sen( t)</p><p>ɺ</p><p>(2.92)</p><p>ou</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>θ ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 1T</p><p>0 nT</p><p>0</p><p>0 0K</p><p>t = 0 + cos t tg</p><p>I 0 K</p><p>I</p><p>ɺ ɺ</p><p>−</p><p>  </p><p>        −        </p><p>        </p><p>(2.93)</p><p>2.2.3 Definição dos Parâmetros a partir das Condições Iniciais</p><p>Como a solução é periódica, o período T de vibração pode ser calculado</p><p>usando a expressão:</p><p>( ) ( )θ θt = t + T (2.94)</p><p>ou seja</p><p>( )θ ω φ θ ω φn n cos( t ) = cos( t T )− + − (2.95)</p><p>ou</p><p>( )ω φ ω φ πn nt T = t + 2 n + − − (2.96)</p><p>Para n 1= (um ciclo), obtém-se:</p><p>22</p><p>π π</p><p>ωn T</p><p>0</p><p>2 2</p><p>T = =</p><p>K</p><p>I</p><p>[s] (2.97)</p><p>Neste caso, a frequência natural em ciclos por segundo será:</p><p>π</p><p>T</p><p>n</p><p>0</p><p>K1 1</p><p>f = =</p><p>T 2 I</p><p>[Hz] (2.98)</p><p>2.2.4 Representação Gráfica do Movimento</p><p>A representação gráfica do movimento é idêntica à obtida na Figura 2.3,</p><p>bastando para isto fazer a substituição adequada das grandezas definidas na</p><p>seção 2.2.2.</p><p>2.3 Sistemas com Oscilações Angulares</p><p>2.3.1 Determinação da Equação Diferencial do Movimento</p><p>A Equação Diferencial do Movimento – EDM de sistemas vibratórios com</p><p>movimentos angulares, de um Grau de Liberdade – 1 GL, sem amortecimento,</p><p>pode ser determinada tanto pelo método de somatório de momentos, aplicando</p><p>a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos</p><p>angulares, quanto pelo método de energia, aplicando o princípio de conservação</p><p>de energia ou através da Equação de Lagrange.</p><p>2.3.1.1 Método de Somatório de Momentos</p><p>O mais simples sistema oscilatório com movimento angular, o pêndulo</p><p>simples, é o sistema composto de uma massa M presa à extremidade de uma</p><p>corda com a outra extremidade fixa. A Figura 2.7 mostra um pêndulo simples</p><p>sem amortecimento, de um grau de liberdade, em razão de o seu movimento ser</p><p>definido por uma coordenada apenas em θ .</p><p>O exame do movimento do sistema baseia-se, inicialmente, na segunda</p><p>lei do movimento de Newton para sistemas com movimentos angulares.</p><p>Conforme mostra a Figura 2.7, medindo-se o deslocamento angular θ da</p><p>23</p><p>posição de equilíbrio estático, o momento que atua será ( )θM g L sen .</p><p>Considerando positivo na direção de sentido anti-horário, todas as quantidades</p><p>(momento, velocidade angular e aceleração angular) são também positivas na</p><p>mesma direção.</p><p>Aplicando a segunda lei do movimento de Newton para sistemas com</p><p>movimentos angulares (O somatório de todos os momentos atuando em um</p><p>sistema em movimento angular é igual ao produto da inércia de massa pela</p><p>aceleração angular). Assim temos:</p><p>( )θ θ0M = I = - M g L senɺɺ∑ (2.99)</p><p>ou, considerando pequenas oscilações, onde ( )θ θsen ≈ , obtém-se:</p><p>θ θ0</p><p>I + M g L = 0ɺɺ (2.100)</p><p>Como o momento de inércia da massa M com relação ao ponto O é</p><p>2</p><p>0I = M L , chega-se a:</p><p>θ θL + g = 0ɺɺ (2.101)</p><p>ou</p><p>θ θg</p><p>+ = 0</p><p>L</p><p>ɺɺ (2.102)</p><p>L</p><p>h</p><p>Mg</p><p>Mg sen θ</p><p>θ</p><p>O</p><p>X</p><p>Figura 2.7 – Pêndulo Simples.</p><p>24</p><p>A equação diferencial (2.102), é conhecida como a Equação Diferencial do</p><p>Movimento - EDM de um pêndulo simples de um grau de liberdade, sem</p><p>amortecimento. Pela equação observa-se que a frequência natural depende</p><p>apenas do comprimento da corda.</p><p>2.3.1.2 Método de Conservação de Energia</p><p>Como nos caso de sistemas com movimentos retilíneos, a energia total de</p><p>um sistema conservativo com movimento angular é constante. Logo podemos</p><p>determinar a equação diferencial do movimento aplicando o princípio de</p><p>conservação de energia. Parte da energia na vibração livre de um sistema não</p><p>amortecido é cinética e parte é potencial. A energia cinética T é conservada na</p><p>inércia de massa em razão da sua velocidade angular, enquanto que a energia</p><p>potencial U é conservada pelo trabalho realizado num campo de força como a</p><p>gravidade. Sendo constante a energia total do sistema, sua taxa de variação em</p><p>relação ao tempo é zero, conforme mostra-se a seguir:</p><p>T + U = constante (2.103)</p><p>( )d</p><p>T + U = 0</p><p>dt</p><p>(2.104)</p><p>Nosso interesse aqui é determinar a equação do movimento. Logo</p><p>teremos:</p><p>Energia cinética:</p><p>21</p><p>T = M X</p><p>2</p><p>ɺ (2.105)</p><p>Energia Potencial: ( )( )θU M g h = M g L 1 - cos= (2.106)</p><p>Da Figura 2.7, observa-se que:</p><p>( )θX = L sen ⇒ ( )θ θ</p><p>22 2 2X = L cos ɺɺ    (2.107)</p><p>logo,</p><p>( )θ θ</p><p>22 21</p><p>T = M L cos</p><p>2</p><p>ɺ   (2.108)</p><p>25</p><p>Substituindo as equações (2.106) e (2.108) na equação (2.104), e, em</p><p>seguida considerando pequenas oscilações, onde ( )θ θsen ≈ e ( ) θθ</p><p>2</p><p>cos 1-</p><p>2</p><p>≈ ,</p><p>na forma quadrática e ( )θcos 1≈ na forma linear, obtém-se:</p><p>θ θ θ θ21</p><p>M L 2 + M g L = 0</p><p>2</p><p>ɺ ɺɺ ɺ (2.109)</p><p>Simplificando os termos chaga-se à:</p><p>θ θL + g = 0ɺɺ</p><p>(2.110)</p><p>2.3.1.3 Aplicação da Equação de Lagrange</p><p>Os sistemas mecânicos constituídos por pêndulos sem dissipação de</p><p>energia (sem amortecimento) são considerados sistemas conservativos. Assim,</p><p>a maneira mais simples para se determinar a E.D.M. - Equação Diferencial do</p><p>Movimento, usando a energia cinética e potencial do sistema, é pela utilização</p><p>do princípio de Conservação de Energia, como feito anteriormente. No entanto,</p><p>podemos também obter a E.D.M. aplicando as expressões de energias cinética e</p><p>potencial do sistema mecânico na Equação de Lagrange.</p><p>Vimos que a equação de Lagrange é representada por:</p><p>k</p><p>k k k k</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t q q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(2.111)</p><p>onde:</p><p>T é a energia cinética do sistema</p><p>U é a energia potencial do sistema</p><p>D é a energia dissipada do sistema</p><p>kQ é a k-éssima força externa generalizada aplicada ao sistema</p><p>kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema</p><p>Para um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento temos</p><p>apenas uma coordenada generalizada 1q = θ . As equações de energia para</p><p>estes sistema são:</p><p>26</p><p>Energia Cinética:</p><p>( )θ θ θ</p><p>22 2 2 21 1</p><p>T = M L cos = M L</p><p>2 2</p><p>ɺ ɺ   (2.112)</p><p>Energia Potencial:</p><p>( )( )θ θ21</p><p>U M g h = M g L 1 - cos = M g L</p><p>2</p><p>= (2.113)</p><p>Energia Dissipada:</p><p>D = 0 (2.114)</p><p>Calculando as parcelas da equação (2.111) com base nas equações</p><p>(2.112), (2.113) e (2.114), temos:</p><p>θ</p><p>θ</p><p>2</p><p>k</p><p>T T 1</p><p>= = M L 2</p><p>q 2</p><p>ɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.115)</p><p>θ</p><p>θ</p><p>2</p><p>k</p><p>d T d T</p><p>= = M L</p><p>d t q d t</p><p>ɺɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.116)</p><p>θk</p><p>T T</p><p>= = 0</p><p>q</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.117)</p><p>θk</p><p>D D</p><p>= = 0</p><p>q ɺɺ</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(2.118)</p><p>θ θ</p><p>θk</p><p>U U 1</p><p>= = M g L 2 = M g L</p><p>q 2</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(2.119)</p><p>kQ = 0 (2.120)</p><p>27</p><p>Substituindo as equações (2.116), (2.117), (2.118), (2.119) e (2.120) na</p><p>equação (2.111), obtém-se:</p><p>θ θL + g = 0ɺɺ (2.121)</p><p>2.3.2 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento</p><p>Desenvolvimento análogo ao da seção 2.1.2, pode ser feito para obtenção</p><p>da solução da equação diferencial do movimento dada pela equação (2.122). O</p><p>resultado será idêntico aos obtidos pelas equações (2.32), (2.34) e (2.35),</p><p>bastando para isto substituir M por L , K por g e, evidentemente ( )X t por</p><p>( )θ t , ou seja:</p><p>( )θ 1 1</p><p>g g</p><p>t = A cos( t) + B sen( t)</p><p>L L</p><p>(2.122)</p><p>ou, aplicando para as condições iniciais as condições de contorno:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>t = 0</p><p>t = 0</p><p>t = 0ɺ ɺ</p><p></p><p>⇒ </p><p></p><p>(3.123)</p><p>( ) ( ) ( )θ</p><p>θ θ</p><p>0g g</p><p>t = 0 cos( t) + sen( t)</p><p>L Lg</p><p>L</p><p>ɺ</p><p>(2.124)</p><p>ou ainda, como sabemos que trata-se de movimento harmônico simples:</p><p>( )θ θ ω φnt = cos( t )− (2.125)</p><p>onde:</p><p>θ é a amplitude do movimento [rad]</p><p>ωn é a frequência angular em [rad/s]</p><p>φ é o ângulo de fase (ângulo entre a origem e o primeiro pico)</p><p>28</p><p>( ) ( )θ</p><p>θ θ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>n</p><p>0</p><p>= 0 +</p><p>ɺ  </p><p>      </p><p>(2.126)</p><p>( )</p><p>( )</p><p>θ</p><p>φ</p><p>θ ω</p><p>1</p><p>n</p><p>0</p><p>tg</p><p>0</p><p>ɺ</p><p>−  </p><p>=   </p><p> </p><p>(2.127)</p><p>ωn</p><p>g</p><p>=</p><p>L</p><p>(2.128)</p><p>Logo, podemos escrever a solução do sistema pêndulo simples, equação</p><p>(2.111), como:</p><p>( ) ( ) ( )θ</p><p>θ θ ω ω</p><p>ωn n</p><p>n</p><p>0</p><p>t = 0 cos( t) + sen( t)</p><p>ɺ</p><p>(2.129)</p><p>ou</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )</p><p>θ θ</p><p>θ θ</p><p>θ ω</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 1</p><p>n</p><p>0 0g</p><p>t = 0 + cos t tg</p><p>L 0 g</p><p>L</p><p>ɺ ɺ</p><p>−</p><p>  </p><p>        −            </p><p>   </p><p>(2.130)</p><p>2.2.3 Definição dos Parâmetros a partir das Condições Iniciais</p><p>Como a solução é periódica, o período T de vibração pode ser calculado</p><p>usando a expressão:</p><p>( ) ( )θ θt = t + T (2.131)</p><p>ou seja</p><p>( )θ ω φ θ ω φn n cos( t ) = cos( t T )− + − (2.132)</p><p>ou</p><p>( )ω φ ω φ πn nt T = t + 2 n + − − (2.133)</p><p>Para n 1= (um ciclo), obtém-se:</p><p>29</p><p>π π</p><p>ωn</p><p>2 2</p><p>T = =</p><p>g</p><p>L</p><p>[s] (2.134)</p><p>Neste caso, a frequência natural em ciclos por segundo será:</p><p>πn</p><p>1 1 g</p><p>f = =</p><p>T 2 L</p><p>[Hz] (2.135)</p><p>2.3.4 Representação Gráfica do Movimento</p><p>A representação gráfica do movimento é idêntica à obtida na Figura 2.3,</p><p>bastando para isto fazer a substituição adequada das grandezas definidas na</p><p>seção 2.3.2.</p>