JURO COMPOSTO

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<p>Matemática Financeira</p><p>REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA</p><p>Prof. Dr. Dermeval Cerqueira</p><p>JUROS COMPOSTOS</p><p>No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. No regime de juros</p><p>compostos, a remuneração ou rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a</p><p>participar da geração do rendimento no período seguinte. Dizemos, então, que os juros são</p><p>capitalizados.</p><p>Se aplicarmos $1000 à taxa de 20% a.m. durante 3 meses, teríamos os seguintes rendimentos</p><p>e montantes no regime de juros simples e no regime de juros compostos.</p><p>Juros Simples Juros Compostos</p><p>Mês Rendimento Montante Rendimento Montante</p><p>1 $1.000 x 0,2 = $200 $1.200 $1.000 x 0,2 = $200 $1200</p><p>2 $1.000 x 0,2 = $200 $1400 $1200 x 0,2 = $240 $1.440</p><p>3 $1.000 x 0,2 = $200 $1600 $1440 x 0,2 = $288 $1.728</p><p>O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Os juros compostos, o</p><p>dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos</p><p>de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros.</p><p>CÁLCULO DO MONTANTE</p><p>Para n períodos, podemos calcular diretamente o montante S resultante da aplicação do principal P</p><p>durante n períodos a uma taxa de juros composta i:</p><p>M = C.(1 +i)n</p><p>Onde,</p><p>M = montante</p><p>C = Capital (Principal)</p><p>i = taxa</p><p>t = n = tempo</p><p>A fórmula expressa o montante ao fim de n períodos como uma função exponencial do capital</p><p>inicial aplicado. A taxa de juros deve ser sempre referida à mesma unidade de tempo do período financeiro.</p><p>O fator ( 1 + i)n é chamado fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única. È o</p><p>número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obtermos seu valor futuro ou de</p><p>resgate.</p><p>Exemplo: Se o capital fosse de $1000, a taxa composta, de 20% a.m., e o prazo, de 3 meses, o montante ao</p><p>término do terceiro mês poderia ser calculado diretamente da seguinte forma:</p><p>Dados:</p><p>C = $1000 M = C.(1+i)n</p><p>i = 20% = 0,2 a.m. M = 1000.(1+0,2)3</p><p>n = 3 meses M= $1728</p><p>Matemática Financeira</p><p>CÁLCULO DO CAPITAL</p><p>O valor presente de um montante ou pagamento único (capital) tem sua fórmula deduzida da fórmula</p><p>do montante, como segue:</p><p>Se ➔ M = C.(1 + i)n então ni</p><p>M</p><p>C</p><p>)1( +</p><p>=</p><p>O fator </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+ ni)1(</p><p>1</p><p>é conhecido como fator de valor presente, fator de desconto, ou fator de</p><p>atualização para pagamento único. É simplesmente o valor inverso do fator de valor futuro para pagamento</p><p>único. Portanto, o cálculo do valor presente de uma aplicação, conhecido o montante, é apenas uma</p><p>operação inversa do cálculo do montante, conhecido o valor da aplicação.</p><p>Exemplo:</p><p>1) Qual é o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a., monta $14.000?</p><p>Dados:</p><p>C = ? ni</p><p>M</p><p>C</p><p>)1( +</p><p>=</p><p>n = 6 anos</p><p>6)15,01(</p><p>14000</p><p>+</p><p>=C</p><p>i = 15% a.a. = 0,15</p><p>M = 14000 6)15,1(</p><p>14000</p><p>=C ➔</p><p>31306,2</p><p>14000</p><p>=C = $6.052,59</p><p>CÁLCULO DA TAXA DE JURO</p><p>Ainda considerando a equação do montante, e isolando a incógnita i (taxa), temos a equação para o</p><p>cálculo da taxa de juro.</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>n</p><p>C</p><p>M</p><p>i</p><p>Ex.: A que taxa de juros um capital de $13.200 poderá transformar-se em $35.112,26, se o período de</p><p>aplicação for de 7 meses?</p><p>Dados:</p><p>i = ?</p><p>C = 13200</p><p>M = 35.112,26</p><p>n = 7 meses</p><p>Resolução:</p><p>Matemática Financeira</p><p>1</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>n</p><p>C</p><p>M</p><p>i ➔ 1</p><p>13200</p><p>26,35112 7</p><p>1</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=i ➔ ( ) 166,2 7</p><p>1</p><p>−=i ➔ i = 7 66,2 - 1 ➔ i = 1,15 – 1</p><p>➔ i = 0,15 ➔ i = 15%</p><p>CÁLCULO DO TEMPO</p><p>Para determinarmos em que tempo ocorre uma operação financeira, usaremos a equação do</p><p>montante, aplicando em seguida a propriedade logarítmica da potência.</p><p>M = C.(1 + i)n</p><p>Exemplo:</p><p>Em que prazo um empréstimo de $55.000 pode ser quitado por meio de um único pagamento de</p><p>$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15%a.m.?</p><p>Dados: C = 55000 M = 110624,80 i = 15% a.m. = 0,15 n = ?</p><p>M = C.(1 + i)n</p><p>110624,80 = 55000(1 + 0,15)n</p><p>n)15,1(</p><p>55000</p><p>80,110624</p><p>=</p><p>2,01136 = (1,15)n ➔</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>equação</p><p>dalados</p><p>dos</p><p>seaplica</p><p>log</p><p>log 2,01136 = log (1,15)n</p><p>log 2,01136 = n. log (1,15)</p><p>15,1log</p><p>01136,2log</p><p>=n</p><p>n = 5 meses</p><p>Matemática Financeira</p><p>CÁLCULO DO JURO</p><p>Numa operação financeira, o juro consiste na diferença entre o montante e a aplicação (capital),</p><p>assim a equação para o cálculo efetivo do juro é:</p><p>J = C.(1 + i)n - C</p><p>Ou ainda</p><p>J = C [(1+i)n -1]</p><p>Exemplos:</p><p>1.Qual é o montante de um capital de R$ 18 600,00 aplicados em 6 meses, a juros de 1 % am?</p><p>2. João Esperto aplicou R$ 12 000,00 numa aplicação por 12 meses a juros 0,89% a.m. Quanto ele receberá</p><p>no final da aplicação? Quanto foi o rendimento total?</p><p>Lista de Exercícios</p><p>1.Qual é o montante de um capital de R$3500,00 aplicados em 8 meses, a juros compostos de 20%am?</p><p>2.A que taxa de juros um capital de R$13200,00 pode transformar-se em R$35.112,26, considerando um</p><p>período de aplicação de sete meses?</p><p>3.Quanto rende um capital de R$4000,00 aplicados por dez meses a juros efetivos de 2% am?</p><p>4.A que taxa de juros um capital de R$ 2000,00 obtém-se um rendimento de R$280 em dois meses?</p><p>5.Determinar o capital que, aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m., rende R$10000,00.</p><p>6. Em quantos meses um capital de R$5000,00, aplicados a uma taxa de juros efetiva de 5% a.m., produz</p><p>juros de R$1700,48?</p><p>7. Um aplicador deposita R$2800 em um banco que paga 5% ao mês durante dois anos. Qual será o</p><p>montante ao final desse período?</p><p>TAXA EQUIVALENTE NA MODALIDADE COMPOSTA</p><p>A) 5% a.m. vale quantos porcentos ao ano?</p><p>B) 4% a.m. vale quantos porcentos ao ano?</p><p>C) 4% a.m. vale quantos porcentos ao semestre?</p><p>D) 60% a.a. vale quantos porcentos ao mês?</p><p>E) 78% a.a. vale quantos porcentos ao mês?</p><p>F) 7,9% a.a. vale quantos porcentos ao mês?</p><p>Matemática Financeira</p><p>G) 78% a.a. vale quantos porcentos ao semestre?</p><p>H) 78% a.s. vale quantos porcentos ao mês?</p><p>I) 24 % a.a. vale quantos porcentos ao bimestre?</p><p>J) 36 % a.s. vale quantos porcentos ao ano?</p><p>8. Calcule qual foi o capital aplicado à taxa de 3,25% ao mês que, após um semestre produziu um montante</p><p>de R$1393,28.</p><p>9.Uma pessoa aplica R$1500.00 por 30 dias, à taxa de 60% ao ano. Quanto receberá no final da aplicação?</p><p>9A. Uma pessoa aplica R$1500.00 por 30 dias, à taxa de 60% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto</p><p>receberá no final da aplicação?</p><p>10.Durante quantos meses devo deixar R$1400.00 aplicados à taxa de 6% ao mês, para receber R$2507,18?</p><p>11.Um aplicador deposita a quantia de R$3000 e, passados oito meses, ele resgata R$5977,68. Qual a taxa</p><p>anual dessa operação?</p><p>12. Uma pessoa depositou R$ 2000,00 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais R$ 2500,00 e,</p><p>dois meses depois deste último depósito, realiza uma retirada de R$ 1300,00. Qual será o saldo da poupança</p><p>ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15% am?</p><p>13. Quanto tempo deve transcorrer para que o montante de um capital de R$ 5000,00 aplicado a juros</p><p>efetivos e 6%am se iguale ao montante de outro capital de R$ 8000,00 aplicado à taxa efetiva de 4% am?</p><p>14.Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$100.000,00 `a</p><p>taxa de 3,75% ao mês?</p><p>15.Um agiota empresta R$80.000,00 hoje para receber R$507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas</p><p>mensal e anual deste empréstimo.</p><p>16. Uma empresa obtém um empréstimo de R$700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2</p><p>anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo</p><p>deverá ser quitado?</p><p>17. Em que prazo uma aplicação de R$272.307,03 em letras de câmbio, à taxa de 3,25% ao mês, gera um</p><p>resgate de R$ 500.000,00?</p><p>18. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu</p><p>valor?</p><p>19. Qual é mais vantajoso: aplicar R$10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse</p><p>mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?</p><p>20. Jarbas aplicou R$ 5.000,00, a taxa de 3% ao mês, durante 5 meses. Qual o valor do montante dessa</p><p>aplicação após os 5 meses?</p><p>21. Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses.</p><p>22. Uma pessoa aplicou x reais a uma taxa de juro composto de 2,4% a.m. Sabendo que após 5 meses</p><p>recebeu um montante de R$ 40.000,00, descubra o valor de x.</p><p>Matemática Financeira</p><p>23. Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa</p><p>modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1000 reais nessa aplicação. Ao final de</p><p>n anos, O capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é:</p><p>a) 1000 + 0,15n.</p><p>b) 1000 x 0,15n.</p><p>c) 1000 x 0,15n.</p><p>d) 1000 + 1,15n.</p><p>e) 1000 x 1,15n.</p><p>24. Um aplicador financeiro depositou R$ 8.000,00 em determinado banco e, após 18 meses, resgatou a</p><p>quantia de R$ 12.464,00. Qual a taxa de juro composto mensal dessa aplicação?</p><p>25. Uma pessoa aplicará R$ 20.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês. Quantos</p><p>meses serão necessários para que essa pessoa resgate R$ 32.894,00?</p><p>26. Uma pessoa aplica R$ 1 500,00 por 30 dias, à taxa de 60% ao ano. Quanto receberá no final da</p><p>aplicação?</p>