02_CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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<p>Nesta aula, usaremos as integrais para calcularmos volumes. Sim, é isso mesmo! As integrais não são</p><p>aplicadas apenas no cálculo de áreas. Para isso, trabalharemos com os chamados sólidos de revolução, que</p><p>são descritos pela rotação de uma função em torno de um eixo no plano cartesiano bidimensional.</p><p>Assim, na primeira parte do nosso material, descreveremos os conceitos que embasam essa teoria. Após</p><p>essa etapa, resolveremos aplicações dessa teoria, auxiliando a �xar o conteúdo. Na última parte da aula,</p><p>ampliaremos nosso conhecimento de cálculo de volumes usando mais do que uma função para a</p><p>construção de nossos sólidos de revolução.</p><p>Esse é o enfoque da nossa aula. Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos</p><p>aprendidos com a resolução de problemas.</p><p>Nesta aula, usaremos as integrais para calcularmos volumes. Sim, é isso mesmo! As integrais</p><p>não são aplicadas apenas no cálculo de áreas.</p><p>49 minutos</p><p> Aula 1 - Cálculo de volume de sólidos de</p><p>revolução</p><p> Aula 2 - Integração por partes e</p><p>mudanças de variáveis</p><p> Aula 3 - Curvas em coordenadas polares</p><p> Aula 4 - Integração por substituição</p><p>trigonométrica</p><p> Referências</p><p>198 minutos Imprimir</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>1 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Desejamos a você, estudante, boas-vindas ao estudo do cálculo integral!</p><p>A ideia de um sólido de revolução é poder imaginar uma �gura plana construída por meio de uma função</p><p>f(x) limitada em um intervalo aberto ]a,b[, que, ao “girar” (rotacionar) em torno de um dos eixos do plano</p><p>cartesiano, gera um sólido. Esse sólido carrega o nome que dá sua origem: sólido de revolução.</p><p>Figura 1 | Diversos tipos de sólidos de revolução</p><p>Fonte: Wikimedia Commons</p><p>As imagens estão representando sólidos originados pela rotação em torno do eixo x, porém também</p><p>podemos avaliar rotações ao redor do eixo y, como pode ser observado nas �guras a seguir.</p><p>Figura 2 | Rotação em torno dos eixo y</p><p>Fonte: Wikimedia Commons</p><p>Aplicaremos o conceito de integral para calcular o volume desses sólidos. Iniciaremos essa representação</p><p>por um método conhecido como “volume por fatiamento”.</p><p>y</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>2 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>A ideia por traz dessa técnica é a de fatiar um sólido ao longo do seu domínio com uma espessura tão</p><p>pequena quanto possível (in�nitesimal) e somar todas as áreas dessas secções transversais ao longo desse</p><p>domínio.</p><p>Figura 3 | Volume por fatiamento</p><p>Fonte: Stewart (2017, p. 389).</p><p>Note que o domínio é particionado de forma similar às somas de Riemann. Dessa forma, se for possível</p><p>somar todas as áreas geradas pela intersecção entre o sólido, S, e um plano P perpendicular ao eixo das</p><p>abscissas, será possível obter o volume de S.</p><p>Assim, seja um sólido S, gerado pela rotação de uma função f(x) em torno do eixo das abscissas, com</p><p>domínio conhecido. Seja também a área P formada pela interseção entre um plano A(x),</p><p>perpendicularmente ao eixo , e o sólido S, conforme a Figura 3. Analise a �gura a seguir:</p><p>Figura 4 | Área da seção transversal</p><p>Fonte: Stewart (2017, p. 390).</p><p>Considerando que  é tão pequeno quanto possível, então o volume de  será dado por</p><p>(1)</p><p>Agora, seja a função  ,  rotacionada em torno do eixo x, no intervalo  .</p><p>Figura 5 | Função  rotacionada em torno do eixo das abscissas</p><p>x</p><p>x</p><p>Δx</p><p>V =</p><p>n</p><p>i=1</p><p>A (x</p><p>*</p><p>i</p><p>)Δx =</p><p>b</p><p>a</p><p>A (x)dx</p><p>f (x) = √x x ∈ [0, 4]</p><p>f (x) =</p><p>√</p><p>x</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>3 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>Aplicar o fatiamento nesse sólido é particioná-lo em discos, de acordo com as �guras a seguir.</p><p>Figura 6 | Sólido de revolução particionado em discos</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/m/SHu4kZ4V. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>E com os discos reunidos:</p><p>Figura 7 | Sólido de revolução particionado em discos para</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h. Acesso em: 27 dez. 2022</p><p>f (x) =</p><p>√</p><p>x</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>4 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3</p><p>https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3</p><p>https://www.geogebra.org/m/SHu4kZ4V</p><p>https://www.geogebra.org/m/SHu4kZ4V</p><p>https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h</p><p>https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h</p><p>Note que, ao fatiarmos esse sólido, a área A(x) gerada, com  , é a área de um círculo.</p><p>Figura 8 | Sólido de revolução particionado em discos</p><p>Fonte: adaptada de Stewart (2017, p. 392).</p><p>Na geometria plana, a área de círculos é dada pela equação  , portanto, se conhecermos o raio de</p><p>cada fatia (ou disco) ao longo do domínio determinado, poderemos aplicar a Equação 1.</p><p>Como o raio R(x) desse círculo será exatamente a função  , então a Equação 1 passa a ser escrita</p><p>da forma:</p><p>(2)</p><p>A mesma ideia pode ser aplicada quando a rotação se dá em torno do eixo y. A diferença, nesse caso, é que</p><p>o volume será construído a partir de seções transversais ao sólido, perpendiculares ao eixo das ordenadas.</p><p>Dessa forma, não teremos  , mas, agora, trabalharemos com  .</p><p>Essa mudança transforma a Equação 1 em</p><p>(3)</p><p>Onde:  .</p><p>E, com isso, para funções  que rotacionam em torno do eixo , teremos</p><p>(4)</p><p>No próximo bloco, resolveremos exemplos aplicando essa regra.</p><p>Neste bloco, resolveremos alguns exemplos aplicando o cálculo de volumes por discos com rotação em</p><p>Δx → 0</p><p>A = πr</p><p>2</p><p>f (x) = √x</p><p>V =</p><p>b</p><p>a</p><p>π [f (x)]²dx</p><p>Δx Δy</p><p>V =</p><p>n</p><p>i=1</p><p>A (y</p><p>*</p><p>i</p><p>)Δx =</p><p>d</p><p>c</p><p>A (y)dy</p><p>c ≤ y ≤ d</p><p>x = g (y)</p><p>V =</p><p>d</p><p>c</p><p>π [g (y)]²dy</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>5 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>torno do eixo x e do eixo y. Vejamos o primeiro exemplo.</p><p>: encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva</p><p>de 0 a 4.</p><p>Note que esse exemplo foi iniciado no bloco anterior. Agora, vamos resolvê-lo.</p><p>quando fatiamos o sólido gerado pela rotação de  em torno do eixo das abscissas, no</p><p>intervalo para x entre 0 e 4, obtemos discos de raio  , logo podemos somar todos esses discos</p><p>usando</p><p>Portanto, teremos</p><p>Figura 9 | Volume do sólido de revolução de  em torno de</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/m/vutw99nb. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>: encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y=sin x e acima do intervalo</p><p>, é rotacionada em torno do eixo x</p><p>para resolver esse exemplo, basta extrair os dados do enunciado e resolver a expressão</p><p>, assim:</p><p>Figura 10 | Revolução de no intervalo entre  em torno de x</p><p>y  = √x</p><p>f (x) = √x</p><p>R (x) = √x</p><p>V =</p><p>b</p><p>a</p><p>π[f (x)]</p><p>2</p><p>dx</p><p>V =</p><p>4</p><p>0</p><p>π(√x)</p><p>2</p><p>dx =</p><p>4</p><p>0</p><p>πxdx = π[</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>]</p><p>4</p><p>0</p><p>= 8π</p><p>√</p><p>x O</p><p>x</p><p>[0, π]</p><p>V =</p><p>b</p><p>a</p><p>π[f (x)]</p><p>2</p><p>dx</p><p>V =</p><p>b</p><p>a</p><p>π[f (x)]</p><p>2</p><p>dx =</p><p>π</p><p>0</p><p>π (sin</p><p>2</p><p>x) dx</p><p>V =</p><p>1</p><p>2</p><p>π</p><p>0</p><p>(1 − cos (2x))dx =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>π</p><p>0</p><p>1 dx  −</p><p>π</p><p>0</p><p>cos 2x dx) =</p><p>π</p><p>2</p><p>[0,π ]</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>6 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/m/vutw99nb</p><p>https://www.geogebra.org/m/vutw99nb</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>Agora, resolveremos um exemplo em que a função rotaciona em torno do eixo das ordenadas. Vamos</p><p>avaliá-lo.</p><p>calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da função  em torno do eixo y, no</p><p>intervalo  .</p><p>note que desejamos rotacionar a função f(x)=y=x em torno de y. Portanto, temos  , mas,</p><p>como o domínio em x   será  , então  , para  .</p><p>Figura 11 | Área da região que será rotacionada em torno de y</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Logo, usando  escrevemos:</p><p>O último exemplo desse bloco permitirá que encontremos o volume de uma esfera, estudado, geralmente,</p><p>na área da geometria espacial, ainda no ensino médio.</p><p>rotacione uma região semicircular de raio r, conforme a �gura a seguir, em torno do eixo x, e</p><p>calcule o volume da esfera gerada por essa revolução.</p><p>Figura 12 | Área da região que será rotacionada em torno de y</p><p>y = x</p><p>2</p><p>0 ≤ x ≤ 3</p><p>2</p><p>x = ±</p><p>√</p><p>y</p><p>0 ≤ x ≤ 4 g (y) = x =</p><p>√</p><p>y 0 ≤ y ≤ 16</p><p>V =</p><p>d</p><p>c</p><p>π [g (y)]²dy</p><p>V = π</p><p>16</p><p>0</p><p>(</p><p>√</p><p>y)</p><p>2</p><p>dy = π[</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>]</p><p>16</p><p>0</p><p>= 128 π</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>7 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq</p><p>https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).</p><p>Solução: a equação de uma circunferência é dada pela expressão  . Assim, a metade superior</p><p>dessa circunferência será representada pela função  . Com isso, conseguimos calcular o</p><p>volume de uma esfera quando a função f(x) rotaciona em torno do eixo das abscissas. Logo, fazemos:</p><p>Dessa forma, conseguimos aplicar as integrais no cálculo de volumes de estruturas que têm seus contornos</p><p>descritos por funções.</p><p>Neste bloco, resolveremos exemplos em que o volume será descrito pela rotação de duas funções em torno</p><p>de um dos eixos principais, x ou y. Essa técnica é chamada de volume por arruelas, mas em quase nada se</p><p>diferencia de tudo o que já de�nimos nessa aula. Vamos entender!</p><p>Ao calcularmos a área, aplicando o conceito de integrais, entre duas curvas y=f(x) e y=g(x), com  e</p><p>f,  contínuas, chegaremos à seguinte expressão</p><p>com  .</p><p>O que desejamos agora é rotacionar essa área em torno do eixo das abscissas.</p><p>Figura 13 | Grá�cos de f(x) e g(x)</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>= r</p><p>2</p><p>f (x) =</p><p>√</p><p>r</p><p>2</p><p>− x</p><p>2</p><p>V = π</p><p>r</p><p>−r</p><p>π (r</p><p>2</p><p>− x</p><p>2</p><p>)dx = π[r</p><p>2</p><p>x −</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>]</p><p>r</p><p>−r</p><p>π (r</p><p>2</p><p>− x</p><p>2</p><p>)dx = π[r</p><p>2</p><p>x −</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>]</p><p>r</p><p>−r</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>πr</p><p>3</p><p>a ≤ x ≤ b</p><p>A =</p><p>b</p><p>a</p><p>[f (x) − g (x)]dx</p><p>f (x) ≥ g (x)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>8 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).</p><p>Note que obteremos um sólido com um furo central.</p><p>Figura 14 | Grá�cos de  e</p><p>Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).</p><p>Partindo do mesmo princípio adotado para o volume em discos, fazendo, assim, cortes nesse sólido por</p><p>planos perpendiculares ao eixo x, obteremos uma área chamada de arruela.</p><p>A área de cada arruela será dada por  .</p><p>Portanto, usando a mesma lógica aplicada no cálculo do volume por discos, teremos</p><p>(5)</p><p>Onde:  e  .</p><p>Note, na �gura a seguir, que f(x) é o raio da circunferência maior, enquanto g(x) é o raio da circunferência</p><p>menor.</p><p>Figura 15 | Raio das circunferências</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Para o cálculo de volume por arruelas perpendiculares ao eixo y, teremos duas funções do tipo x=f(y) e</p><p>A (x) = π(f (x))</p><p>2</p><p>− π(g (x))</p><p>2</p><p>= π [(f (x))</p><p>2</p><p>− (g (x))</p><p>2</p><p>]</p><p>V =</p><p>b</p><p>a</p><p>π [(f (x))</p><p>2</p><p>− (g (x))</p><p>2</p><p>]dx</p><p>a ≤ x ≤ b f (x) ≥ g (x)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>9 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>x=g(y), com  . Logo, para calcular esse volume, fazemos</p><p>(6)</p><p>Com:  .</p><p>Note que f(y) é o raio da circunferência maior, enquanto g(y) é o raio da circunferência menor.</p><p>calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, obtido pela rotação de</p><p>e  , com  .</p><p>analisaremos, inicialmente, as funções que descrevem a região que será rotacionada. Assim,</p><p>temos:</p><p>Figura 16 | Região entre f e g</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Como  , fazemos:</p><p>No próximo exemplo, também calcularemos o volume por arruelas, mas, agora, com rotação das funções</p><p>em torno do eixo das ordenadas.</p><p>calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da área formada pelas funções</p><p>, com  em torno de  .</p><p>note que a função fornecida é  portanto, em primeiro lugar, precisamos calcular a</p><p>função x=f(y), logo temos:</p><p>Como  , teremos  .</p><p>c ≤ y ≤ d</p><p>V =</p><p>d</p><p>c</p><p>π [(f (y))</p><p>2</p><p>− (g (y))</p><p>2</p><p>]dy</p><p>f (y) ≥ g (y)</p><p>g (x) = x</p><p>2</p><p>+ 4 f (x) = 2 0 ≤ x ≤ 3</p><p>g ≥ f (x)</p><p>V = π</p><p>3</p><p>0</p><p>((x</p><p>2</p><p>+ 4)</p><p>2</p><p>− 2</p><p>2</p><p>)dx</p><p>V =</p><p>3</p><p>0</p><p>(x</p><p>4</p><p>+ 8x</p><p>2</p><p>+ 12)dx</p><p>V = π[</p><p>x</p><p>5</p><p>5</p><p>+</p><p>8x</p><p>3</p><p>3</p><p>+ 12x]</p><p>3</p><p>0</p><p>=</p><p>783π</p><p>5</p><p>f (x) = 9 − x</p><p>2</p><p>0 < x < 3 x  =   − 2</p><p>f (x) = 9 − x</p><p>2</p><p>,</p><p>y = 9 − x</p><p>2</p><p>⇒ x = ±</p><p>√</p><p>9 − y</p><p>x ≥ 0 x =</p><p>√</p><p>9 − y</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>10 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Essa região �cará determinada como pode ser observado na �gura a seguir.</p><p>Figura 17 | Região</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Como desejamos rotacionar essa área em torno de x=-2, teremos que o raio externo da arruela será igual a</p><p>, e o raio interno da arruela terá raio r=2.</p><p>Logo,</p><p>Vimos, portanto, que, além de calcularmos o volume de uma única função sendo rotacionada, podemos</p><p>rotacionar regiões construídas por mais do que uma função. Outras variações ainda podem ser pensadas</p><p>para o cálculo de volumes de revolução.</p><p>Neste vídeo, abordaremos o conceito volume de sólidos de revolução. Para isso, calcularemos o volume de</p><p>sólidos gerados pela rotação de funções em torno dos eixos x e y por técnicas conhecidas como volume por</p><p>discos e volume por arruelas. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car e resolver problemas que</p><p>envolvam o cálculo de volume de sólidos de revolução.</p><p></p><p>Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de</p><p>geometria dinâmica chamado de GeoGebra.</p><p>y = 9 − x</p><p>2</p><p>R =</p><p>√</p><p>9 − y + 2</p><p>V = π</p><p>9</p><p>0</p><p>((</p><p>√</p><p>9 − y + 2)</p><p>2</p><p>− 2</p><p>2</p><p>)dy =</p><p>9</p><p>0</p><p>(9 − y + 4</p><p>√</p><p>9 − y)dy</p><p>V = π[9y −</p><p>y</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>8</p><p>3</p><p>(9 − y)</p><p>3</p><p>2</p><p>]</p><p>9</p><p>0</p><p>=</p><p>225π</p><p>2</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>11 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt.</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt.</p><p>Ao longo da aula, construímos diversas �guras usando essa ferramenta computacional. Seguem alguns</p><p>desses direcionamentos:</p><p>• Construção de sólidos de revolução.</p><p>• Secção de sólidos.</p><p>• Volume por discos.</p><p>Indicamos também a calculadora on-line Symbolab. Com ela, é possível veri�car se os cálculos que você</p><p>fez estão corretos.</p><p>Além dessa ferramenta, sugerimos a leitura do artigo Usando o Geogebra para o ensino de sólidos de</p><p>revolução.</p><p>No cálculo diferencial e integral, percebemos que muitas funções primitivas não podem ser encontradas</p><p>diretamente com a aplicação de técnicas de integração mais simples, como a regra da potência para</p><p>integrais. Certas manipulações algébricas são necessárias para se obter tais funções, por exemplo, podemos</p><p>usar a regra da cadeia para integrais, ou, simplesmente, a regra da substituição de variáveis. Em alguns</p><p>casos, a regra da substituição de variáveis também não é su�ciente, então, utilizamos o que chamamos de</p><p>integração por partes. Nesta unidade de aprendizagem, aprenderemos essas técnicas.</p><p>Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo integral!</p><p>Algumas integrais, de�nidas ou inde�nidas, dependem de ajustes algébricos, como a adoção de mudanças</p><p>de variáveis, para que sejam resolvidas. Nesse contexto, aparece um importante teorema do cálculo</p><p>chamado de “Regra da cadeia para integrais”. De maneira prática, ele é usado como técnica de resolução</p><p>para integrais. Enunciaremos esse teorema na sequência e apresentaremos sua demonstração.</p><p>seja g uma função diferenciável com sua imagem em um intervalo I. Suponha que f seja uma</p><p>No cálculo diferencial e integral, percebemos que muitas funções primitivas não podem ser</p><p>encontradas diretamente com a aplicação de técnicas de integração mais simples, como a</p><p>regra da potência para integrais.</p><p>45 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>12 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq</p><p>https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq</p><p>https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3</p><p>https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3</p><p>https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h</p><p>https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h</p><p>https://pt.symbolab.com/</p><p>https://pt.symbolab.com/</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf</p><p>função de�nida em  I e que F seja uma função primitiva de f em I.</p><p>Então:</p><p>Por hipótese,</p><p>(1)</p><p>Pela regra da cadeia para diferenciação,</p><p>(2)</p><p>Substituindo (1) em (2),</p><p>(3)</p><p>Onde</p><p>(4)</p><p>Se u=g(x) for uma função diferenciável, cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então</p><p>(5)</p><p>Dessa forma, se u=g(x) , então du'(x)dx.</p><p>Note que a demonstração apresenta o caminho que adotaremos para encontrarmos funções primitivas</p><p>através de uma substituição de variáveis. Descrevemos, a seguir, um passo a passo para aplicação:</p><p>Identi�car g(x) e comparar com u.</p><p>Derivar os dois lados dessa equação em relação a x.</p><p>Isolar dx.</p><p>Substituir na integral g(x) por u e dx  pelo resultado encontrado no terceiro passo.</p><p>Simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável u.</p><p>Resolver a integral em relação a u.</p><p>Voltar esse resultado para a variável x.</p><p>A seguir, temos um exemplo dessa aplicação:</p><p>calcule  .</p><p>∫ f (g (x)) [g′(x)]dx = F (g (x)) + C</p><p>F ′(g(x)) = f (g (x)).</p><p>d(F(g(x)))</p><p>dx</p><p>= F ′(g (x))g′(x)</p><p>d[F(g(x))]</p><p>dx</p><p>= f (g (x))[g′(x)],</p><p>∫ f (g (x)) [g′(x)]dx = F (g (x)) + C</p><p>∫ f (g (x))g</p><p>′</p><p>(x)dx = ∫ f (u)du.</p><p>∫ 2x(x</p><p>2</p><p>+ 3)</p><p>4</p><p>dx</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>13 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>assim, temos</p><p>•   simpli�cando, obtemos</p><p>resolvendo para u</p><p>voltando a equação para x</p><p>Com isso, aplicamos a regra da cadeia para integrais, também chamada de método da substituição de</p><p>variáveis. Note que resolvemos uma integral inde�nida, mas o mesmo raciocínio pode ser usado para as</p><p>integrais de�nidas, ou seja, com domínio de integração conhecido.</p><p>Em alguns casos, a regra da cadeia para integrais não é su�ciente para encontrarmos a primitiva de uma</p><p>função. Nesse caso, podemos usar uma regra conhecida como “integração por partes”.</p><p>Tomando como referência as obras de Anton, Bivens e Davis (2014) e Stewart (2017), entenderemos esse</p><p>processo.</p><p>Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num mesmo intervalo I determinado. Temos</p><p>Assim, isolando f(x)g'(x), obtemos:</p><p>Agora, suporemos que f'(x)g(x) admite primitiva em I. Note que f(x)g(x) é uma primitiva de [f(x)g(x)]', portanto</p><p>f(x)g'(x) também admitirá primitiva em I. Logo</p><p>u = x</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>du</p><p>dx</p><p>=</p><p>(x</p><p>2</p><p>+3)</p><p>dx</p><p>⇒</p><p>du</p><p>dx</p><p>= 2x</p><p>dx =</p><p>du</p><p>2x</p><p>∫ 2xu</p><p>4</p><p>du</p><p>2x</p><p>∫ u</p><p>4</p><p>du.</p><p>u</p><p>5</p><p>5</p><p>+ C</p><p>(x</p><p>2</p><p>+3)</p><p>5</p><p>5</p><p>+ C</p><p>[f (x)g (x)]′  =  f′(x)g (x) +  f (x)g′(x)</p><p>f (x)g′(x) =   [f (x)g (x)]′ – f′(x)g (x)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>14 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>(6)</p><p>que é a regra da integração por partes.</p><p>A Equação 6 é comumente denotada por:</p><p>onde u=f(x) e v=g(x).</p><p>A seguir, resolveremos um exemplo aplicando essa técnica.</p><p>calcule  .</p><p>como realizaremos uma substituição de variáveis e alguns ajustes algébricos antes mesmo de</p><p>começarmos a resolver a integral, é interessante deixarmos um quadro explicativo com esses ajustes. Segue</p><p>o nosso quadro explicativo:</p><p>u=x dv=cosxdx</p><p>du=dx      v=sinx</p><p>Como  , então:</p><p>OBS.: é necessário acrescentar a constante de integração “C”, todas as vezes que resolvermos integrais</p><p>inde�nidas.</p><p>Com a integração por partes, é possível resolver muitos problemas envolvendo integrais.</p><p>No próximo bloco, resolveremos diversos exemplos aplicando ambas as técnicas vistas neste bloco.</p><p>Pensaremos, agora, na aplicação da regra da cadeia para integrais em casos em que temos integrais</p><p>de�nidas, ou seja, conhecemos o domínio de integração.</p><p>Nesse caso, quando comparamos g(x) com u, precisamos tomar o cuidado de ajustar os intervalos de</p><p>integração para essa nova função. Assim, se g'(x) for contínua em um intervalo [a,b] conhecido e f(x) for</p><p>contínua na imagem de u=g(x), teremos:</p><p>(7)</p><p>Observe que o intervalo de integração precisou ser ajustado em relação à mudança de variável. É</p><p>∫ f (x)g’ (x)dx  =  f (x)g (x)–  ∫ f’ (x)g (x)dx</p><p>∫ u dv  =  uv –  ∫ v du</p><p>∫ xcosxdx</p><p>∫ udv  =  uv –  ∫ vdu</p><p>x  sinx –  ∫ sinx dx  =  xsinx ⋅ cosx  +  C</p><p>b</p><p>a</p><p>f (g (x))g</p><p>′</p><p>(x)dx =</p><p>g(b)</p><p>g(a)</p><p>f (u)du</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>15 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>importante que �que claro que, tanto a mudança de variável como o ajuste do intervalo, não alteram o valor</p><p>�nal da área a ser encontrada. Portanto, geometricamente, tanto  como</p><p>fornecerão a mesma área �nal. Vejamos um passo a passo para resolução:</p><p>identi�car g(x) e comparar com u.</p><p>ajustar os intervalos de integração de forma que se , então .</p><p>derivar os dois lados dessa equação em relação a x.</p><p>isolar dx (OBS.: usamos a variável x como padrão, mas poderia ser qualquer outra variável).</p><p>substituir na integral g(x) por u e dx pelo resultado encontrado no quarto passo, como também os</p><p>novos intervalos de integração.</p><p>simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável u.</p><p>resolver a integral em relação a u.</p><p>Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para a variável original, pois, como conhecemos os</p><p>intervalos de integração, o resultado será numérico.</p><p>Segue um exemplo que será discutido após a resolução:</p><p>determine a área A da função   .</p><p>u=2t-1</p><p>e se</p><p>Como u = 2t-1 então</p><p>Figura 1 | Comparação entre áreas</p><p>b</p><p>a</p><p>f (g (x))g</p><p>′</p><p>(x)dx = A</p><p>g(b)</p><p>g(a)</p><p>f (u)du = A</p><p>x ∈ [a, b] u ∈ [g (a); g (b)]</p><p>1</p><p>−1</p><p>(2t − 1)</p><p>2</p><p>dt = A</p><p>1</p><p>−1</p><p>(2t − 1)</p><p>2</p><p>dt = A</p><p>t = −1 ⇒ u = −3 t = 1 ⇒ u = 1</p><p>du</p><p>dt</p><p>= 2</p><p>dt =</p><p>du</p><p>2</p><p>A =</p><p>1</p><p>−3</p><p>u</p><p>2</p><p>du</p><p>2</p><p>=</p><p>A =</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>−3</p><p>u</p><p>2</p><p>du =</p><p>A =</p><p>1</p><p>2</p><p>.  u</p><p>3</p><p>/3</p><p>1</p><p>−3</p><p>=</p><p>14</p><p>3</p><p>∣</p><p>y</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>16 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Chamamos a atenção para as áreas encontradas na Figura 1. Geometricamente, elas são diferentes, mas a</p><p>área total é igual. Neste caso, A1=A2.</p><p>No próximo exemplo, usaremos as duas técnicas para resolver o mesmo exemplo.</p><p>conhecendo a função  , encontre a primitiva de f(x)</p><p>a primitiva de f(x) é dada por  . Logo, basta integrar a função f(x). Assim,</p><p>fazendo  , teremos  logo  . Substituindo na integral, teremos:</p><p>mas  , então</p><p>Note que ainda não conseguimos resolver essa integral de maneira direta. Para resolvê-la, usaremos a</p><p>integração por partes. Como a variável u já foi usada, chamaremos as partes de t e dk. Logo,</p><p>t=u dk=e²du</p><p>dt=du k=e</p><p>Portanto,</p><p>Então,</p><p>x</p><p>–4–4 –3–3 –2–2 –1–1 11 2200</p><p>A1A1</p><p>A2A2</p><p>f (x) =</p><p>1</p><p>x</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>x</p><p>F (x) = ∫ f (x)dx</p><p>u =</p><p>1</p><p>x</p><p>du = −x</p><p>−2</p><p>dx,   dx = − (x</p><p>2</p><p>)du</p><p>∫</p><p>1</p><p>x</p><p>3</p><p>e</p><p>u</p><p>(−x</p><p>2</p><p>)du = − ∫</p><p>1</p><p>x</p><p>e</p><p>u</p><p>du</p><p>u =</p><p>1</p><p>x</p><p>− ∫ ue</p><p>u</p><p>du</p><p>u</p><p>− ∫ ue</p><p>u</p><p>du ⇒ − [∫ tdk = tk − ∫ kdt]</p><p>− ∫ ue</p><p>u</p><p>du = −  [ue</p><p>u</p><p>− ∫ e</p><p>u</p><p>du]</p><p>= −ue</p><p>u</p><p>+ e</p><p>u</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>17 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por partes.</p><p>Vejamos a resolução desse exemplo na sequência.</p><p>calcule  usando integração por partes.</p><p>Nesse ponto, aplicamos a integração por partes:</p><p>Logo,</p><p>Note que temos uma integral na resposta que apresenta o mesmo grau de di�culdade da integral inicial.</p><p>Contudo, nessa etapa, usaremos a identidade trigonométrica  para conseguirmos</p><p>�nalizar o processo de integração.</p><p>Como temos  dos dois lados da igualdade, podemos organizar esse termo do lado esquerdo da</p><p>igualdade:</p><p>Assim,</p><p>E por �m,</p><p>Observe que, nesse exemplo, usamos uma identidade trigonométrica, porém também era possível aplicar</p><p>uma segunda integração por partes, resolvendo, assim,  . O resultado obtido seria exatamente o</p><p>mesmo. Sugerimos que você teste esse caminho indicado e compare os resultados.</p><p>∫</p><p>1</p><p>x</p><p>3</p><p>e</p><p>1</p><p>x</p><p>dx = −ue</p><p>u</p><p>+ e</p><p>u</p><p>= −</p><p>1</p><p>x</p><p>e</p><p>1</p><p>x</p><p>+ e</p><p>1</p><p>x</p><p>+ C</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>xdx</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>xdx = ∫ cosx ⋅ cosxdx</p><p>∫ udv = uv − ∫ vdu</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = cosx ⋅ sinx − ∫ (sin x) sin x dx</p><p>= cosx ⋅ sinx + ∫ sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>sin</p><p>2</p><p>x + cos</p><p>2</p><p>x = 1,</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = sinx ⋅ cosx + ∫ (1 − cos</p><p>2</p><p>x)dx</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = sinx ⋅ cosx + ∫ 1dx − ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx + ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = sinx ⋅ cosx + x + c</p><p>2 ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = sinx ⋅ cosx + x + c</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx =</p><p>sinx⋅cosx+x</p><p>2</p><p>+ c∫ cos</p><p>2</p><p>x dx =</p><p>sinx⋅cosx+x</p><p>2</p><p>+ c</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>18 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Resolvemos, nos blocos anteriores, exemplos com o uso da integração por partes, em que o domínio não</p><p>era conhecido. No caso de integrais de�nidas, o processo se mantém o mesmo. Dessa forma, não</p><p>precisamos nos preocupar com o ajuste dos intervalos de integração, como é feito na regra da substituição</p><p>de variáveis.</p><p>Pensando em um passo a passo para a integração por partes, temos:</p><p>1.  Precisamos escolher qual parte será chamada de u=f(x) e qual parte será chamada de dv=g(x)dx. Para</p><p>essa escolha, é interessante que dv possa ser integrada facilmente, caso contrário, a integração por partes</p><p>não se justi�ca.</p><p>2.  De�nidos u e dv, devemos derivar u em relação a x e integrar dv em relação a x. A ideia é transformar a</p><p>integral  em uma integral mais simples  .</p><p>3.  Por �m, resolvemos  .</p><p>Note que a parte mais importante da integração por partes é a escolha de quem serão as funções u e dv.</p><p>Alguns critérios podem ser levantados nesse caso, contudo não existe uma regra. Na tentativa de facilitar</p><p>essa escolha, alguns matemáticos costumam usar a seguinte relação:</p><p>Seja um conjunto de funções do tipo:</p><p>1.  Logarítmicas.</p><p>2.  Inversas de trigonométricas.</p><p>3.  Algébricas.</p><p>4.  Trigonométricas.</p><p>5.  Exponenciais.</p><p>Uma estratégia que costuma dar certo é escolher como função d as funções dos itens com menor</p><p>numeração em relação à função que será adotada como dv.</p><p>seja a integral  .</p><p>temos uma função exponencial, e , e uma trigonométrica, sin x.</p><p>Assim, faremos:</p><p>Trigonométrica</p><p>(item 4)</p><p>Exponencial</p><p>(item 5)</p><p>u=sin x  dv=e dx</p><p>∫ u dv ∫ v du</p><p>∫ udv = uv − ∫ vdu</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx</p><p>x</p><p>x</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>19 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Trigonométrica</p><p>(item 4)</p><p>Exponencial</p><p>(item 5)</p><p>u=sin x  dv=e dx</p><p>du=cos x dx v=e</p><p>Observe que usamos o quadro resumo para auxiliar na identi�cação das funções.</p><p>Precisamos aplicar mais uma vez a integração por partes, pois o nosso resultado ainda contém uma integral</p><p>que não pode ser resolvida. Assim, fazemos para  .</p><p>Trigonométrica</p><p>(item 4)</p><p>Exponencial</p><p>(item 5)</p><p>u=cos x  dv=e dx</p><p>Trigonométrica</p><p>(item 4)</p><p>Exponencial</p><p>(item 5)</p><p>u=cos x  dv=e dx</p><p>du=-sin x dx v=e</p><p>x</p><p>x</p><p>b</p><p>a</p><p>udv = uv −</p><p>b</p><p>a</p><p>vdu</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = e</p><p>x</p><p>sin x −</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>cos x dx</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>cos x dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>20 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Logo,</p><p>Portanto,</p><p>Observe o grá�co da área formado por essa função.</p><p>Figura 2 | Comparação entre áreas</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Portanto, algumas vezes, será necessário aplicar a integração por mais do que uma vez. Em outros</p><p>momentos, podemos usar duas técnicas associadas, como a integração por partes e por substituição.</p><p>Observação: trouxemos uma sugestão para a seleção das funções u e dv, contudo reforçamos que a</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = e</p><p>x</p><p>sin x −</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>cos x</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = e</p><p>x</p><p>sin x − [e</p><p>x</p><p>cos x +</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin dx]</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx +</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = e</p><p>x</p><p>sin x − e</p><p>x</p><p>cos x</p><p>2</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = e</p><p>x</p><p>(sin x − cos x)</p><p>π</p><p>0</p><p>e</p><p>x</p><p>sin x dx = [</p><p>e</p><p>x</p><p>(sin x−cos x)</p><p>2</p><p>]</p><p>π</p><p>0</p><p>=</p><p>(e</p><p>π</p><p>+1)</p><p>2</p><p>≈ 12,07035</p><p>x</p><p>ππ</p><p>y</p><p>00</p><p>A1 = 12.07035A1 = 12.07035</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>21 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>proposta descrita não é uma regra. Quando tivermos f(x) e g(x)dx, por exemplo, na mesma classe de</p><p>funções, precisaremos testar variações para essa escolha.</p><p>Neste vídeo, trabalharemos com duas técnicas de integração que permitem que encontremos a primitiva de</p><p>funções nos mais diversos casos. Infelizmente, não podemos usá-las para todos os casos, mas entendê-las</p><p>nos dá mais ferramentas para resolver integrais de�nidas e inde�nidas.</p><p>A regra da cadeia para integrais, ou substituição de variáveis, é uma técnica simples de ser aplicada. Já a</p><p>integração por partes é um pouco mais trabalhosa, mas nem por isso é difícil, e ela permite que</p><p>encontremos o resultado de integrais bastante complexas, dentre elas, algumas integrais trigonométricas.</p><p>Sendo assim, resolveremos alguns exemplos, para que não �quem dúvidas com relação a esse tema. Ao</p><p>�nal da aula, você estará apto a identi�car e resolver integrais que necessitem da aplicação da integração</p><p>por substituição ou da integração por partes.</p><p></p><p>Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de</p><p>geometria dinâmica chamado de GeoGebra.</p><p>Também sugerimos o site do WolframAlpha. Com ele, você poderá veri�car os resultados de suas</p><p>integrais e visualizar o grá�co dessas funções. Apesar de a ferramente estar em língua inglês, você</p><p>pode utilizar o recurso de tradução automática do seu navegador, se preferir.</p><p>Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.</p><p>A escolha pelo uso de um sistema de coordenadas especí�co se dá, na maior parte das vezes, devido à</p><p>Trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano</p><p>bidimensional ortogonal para um sistema de coordenadas polares e veremos como relacionar</p><p>essa descrição com as chamadas curvas paramétricas.</p><p>47 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>22 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis%20</p><p>https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis%20</p><p>facilidade na representação das funções que serão descritas nesse sistema. Dessa forma, faz muito sentido</p><p>usar, para representar curvas, um sistema de coordenadas que tenha seu referencial no ângulo formado</p><p>por essa curva com algum eixo de referência e no raio dessa curva também em relação a esse mesmo eixo.</p><p>Em particular, essa situação que descrevemos existe e chama-se sistema de coordenadas polares. Nessa</p><p>mesma lógica, uma esfera pode ser expressa em um sistema de coordenadas esféricas; um cilindro pode ser</p><p>representado por um sistema de coordenadas cilíndricas; uma elipse �ca facilmente representada</p><p>por um</p><p>sistema de coordenadas elípticas.</p><p>Nessa aula, trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano bidimensional</p><p>ortogonal para um sistema de coordenadas polares e veremos como relacionar essa descrição com as</p><p>chamadas curvas paramétricas.</p><p>Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral!</p><p>Existem diferentes sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas polares pode ser comparado em</p><p>importância ao sistema de coordenadas cartesianas, devido à sua gama de utilizações.</p><p>No sistema de coordenadas polares no plano, as coordenadas de um ponto P são compostas por uma</p><p>distância e uma medida de ângulo em relação a um ponto �xo e a um raio �xo (semieixos).</p><p>Figura 1 | Coordenadas polares</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>O ponto �xo é chamado de polo (origem), representado pela letra "O". O raio �xo é chamado de eixo polar</p><p>(reta polar) e é representado por "Ox".</p><p>A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares  descritas da seguinte forma:</p><p>•  = distância do polo "O" ao ponto "P".</p><p>•  = ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta  .</p><p>Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a distância em relação à origem</p><p>(ρ,  θ)</p><p>ρ</p><p>θ OP</p><p>−→</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>23 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>�xada e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto.</p><p>Observação: por convenção, o ângulo  é medido no sentido anti-horário.</p><p>No caso de  ser negativo, teremos que  e  pertencem à mesma reta que passa por O e estão</p><p>a uma distância  a partir de O, como é possível ver na Figura 2.</p><p>•  Se  , o ponto  está no mesmo quadrante que  .</p><p>•  Se  , ele está no quadrante do lado oposto ao polo.</p><p>Figura 2 | Representação de pontos em coordenadas polares</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Dessa forma, podemos idealizar uma mudança de coordenadas, passando de coordenadas cartesianas para</p><p>coordenadas polares.</p><p>Para isso, usaremos a mesma origem para ambos os sistemas de coordenadas. Como semieixos de</p><p>referência, adotaremos a parte positiva do eixo x, conforme a �gura a seguir:</p><p>Figura 3 | Mudança de coordenadas</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>θ</p><p>ρ (−ρ, θ) (ρ,  θ)</p><p>|ρ|</p><p>ρ > 0 (ρ, θ) θ</p><p>ρ < 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>24 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Sabe-se que</p><p>Logo, como  , podemos escrever</p><p>Note que  .</p><p>O grá�co de uma equação polar  é descrito através de todos os pontos P que têm pelo menos uma</p><p>representação  cujas coordenadas satisfazem a equação.</p><p>A seguir, apresentamos alguns grá�cos descritos por equações polares.</p><p>1.  Seja a equação  .</p><p>Essa é uma reta paralela ao eixo polar. Sabemos que  logo em coordenadas cartesianas temos</p><p>a equação y=b.</p><p>Figura 4 | Grá�co para</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>As coordenadas cartesianas da reta y=b são do tipo (0,b), onde  . Transformando em coordenadas</p><p>polares:</p><p>Como x=0 e y=b, podemos escrever:</p><p>cos θ =</p><p>CA</p><p>H</p><p>=</p><p>x</p><p>√</p><p>x</p><p>2</p><p>+y</p><p>2</p><p>⇒ x =</p><p>√</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>cos θ</p><p>sin θ =</p><p>CO</p><p>H</p><p>=</p><p>y</p><p>√</p><p>x</p><p>2</p><p>+y</p><p>2</p><p>⇒ y =</p><p>√</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>sin θ</p><p>ρ =</p><p>√</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>{</p><p>x = ρ cos θ</p><p>y = ρ sin θ</p><p>tan θ =</p><p>y</p><p>x</p><p>⇒ θ = arctan (</p><p>y</p><p>x</p><p>)</p><p>ρ = f (θ)</p><p>(ρ,  θ)</p><p>ρ sin θ = b</p><p>ρ sin θ = y,</p><p>ρ sin θ = b</p><p>b ∈ R</p><p>x = ρ cos θ y = ρ sin θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>25 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Resolvendo cada uma das colunas, encontramos:</p><p>Logo, podemos concluir que em coordenadas polares teremos  .</p><p>2.  A equação  é uma reta perpendicular ao eixo polar.</p><p>Figura 5 | Grá�co para</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>O grá�co  é uma reta perpendicular ao eixo polar .</p><p>Então, x=2.</p><p>Em coordenadas cartesianas, a reta x=2 tem pares ordenados do tipo (d,0), que, transformando em</p><p>coordenadas polares:</p><p>0 = ρ cos θ b = ρ sin θ</p><p>cos θ = 0 b = ρ sin (</p><p>π</p><p>2</p><p>)</p><p>θ =</p><p>π</p><p>2</p><p>,</p><p>3π</p><p>2</p><p>ρ = b</p><p>(b,</p><p>π</p><p>2</p><p>)</p><p>ρ cos θ = d</p><p>ρ cos θ = b</p><p>ρ cos θ = d</p><p>d = ρ cos θ</p><p>y = ρ sin θ x = ρ cos θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>26 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Como  , então  , logo  Logo, as coordenadas polares serão</p><p>Observe que essas manipulações nos permitem montar diferentes curvas, em diferentes quadrantes no</p><p>plano cartesiano.</p><p>Como vimos, em geral,  representa um círculo com centro O e raio |a|. E se a circunferência não</p><p>estiver centrada na origem, por exemplo, centrada em (a,b)?</p><p>A equação cartesiana da circunferência com centro em (a,b) que contém a origem será:</p><p>, onde</p><p>(1)</p><p>Como e  , podemos substituir em (1), logo</p><p>, onde</p><p>(2)</p><p>Assim,  .</p><p>• Quando b=0 tem-se de (2) que  .</p><p>Sabemos que  , logo  , logo  .</p><p>Como  , tem-se  e, portanto,  .</p><p>Figura 6 | b=0</p><p>0 = ρ sin θ ρ = d</p><p>ρ ≠ 0 sin θ = 0 θ = 0, π, 2π (d,0) ou  (d,2π)</p><p>ρ = a</p><p>(x − a)</p><p>2</p><p>+ (y − b)</p><p>2</p><p>= ρ</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>= a</p><p>2</p><p>+ b</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>− 2ax + y</p><p>2</p><p>− 2bx = 0</p><p>x = ρ cos θ y = ρ sin θ</p><p>(x − a)</p><p>2</p><p>+ (y − b)</p><p>2</p><p>= ρ</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>= a</p><p>2</p><p>+ b</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>θ − 2aρ cos θ + ρ</p><p>2</p><p>sin</p><p>2</p><p>θ − 2bρ sin θ = 0</p><p>ρ</p><p>2</p><p>− 2aρ cos θ − 2bρ sin θ = 0</p><p>ρ (ρ − 2a cos θ − 2b sin θ) = 0</p><p>ρ = 0 (ρ − 2a cos θ − 2b sin θ) = 0</p><p>−2a cos θ = 2b sin θ</p><p>sin θ</p><p>cos θ</p><p>= −</p><p>a</p><p>b</p><p>tan θ = −</p><p>a</p><p>b</p><p>⇒ θ = arctan (−</p><p>a</p><p>b</p><p>)</p><p>ρ = 2a cos θ ⇒ cos θ =</p><p>ρ</p><p>2a</p><p>x = ρ cos θ cos θ =</p><p>x</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>2a</p><p>=</p><p>x</p><p>ρ</p><p>⇒ ρ</p><p>2</p><p>= 2ax</p><p>ρ</p><p>2</p><p>= x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>= 2ax (x − a)</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>= a</p><p>2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>27 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>•  Quando a=0, tem-se de (2) que</p><p>(3)</p><p>Sabemos que  e  , logo</p><p>(3)</p><p>Figura 7 | a=0</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Como  , tem-se  e, portanto,</p><p>ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ =</p><p>ρ</p><p>2b</p><p>y = ρ sin θ sin θ =</p><p>y</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>2b</p><p>=</p><p>y</p><p>ρ</p><p>⇒ ρ</p><p>2</p><p>= 2by</p><p>ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ =</p><p>ρ</p><p>2b</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>= ρ</p><p>2</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>= 2by</p><p>x</p><p>2</p><p>+ y</p><p>2</p><p>− 2by + b</p><p>2</p><p>= b</p><p>2</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>28 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Logo, temos uma circunferência de raio |b| unidades.</p><p>Na sequência, apresentaremos algumas equações genéricas para as principais curvas polares trabalhadas</p><p>nas obras de cálculo diferencial e integral.</p><p>•  Limaçon:</p><p>(3)</p><p>Também chamadas de cardioides</p><p>Figura 8 | Limaçon com |a|<b</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso</p><p>em: 27 dez. 2022.</p><p>Figura 9 | Limaçon com |a|=b</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso em: 27</p><p>dez. 2022.</p><p>Para visualizar mais casos, variando os valores de a e b, acesse a Calculadora Grá�ca do Geogebra .</p><p>x</p><p>2</p><p>+ (y − b)</p><p>2</p><p>= b</p><p>2</p><p>{</p><p>Caso I :  ρ = a ± b cos θ</p><p>Caso II :   ρ = a ± b sin θ</p><p>ρ = 2b sin θ ⇒ sin θ =</p><p>ρ</p><p>2b</p><p>|a| < b |a| = b</p><p>C1 : ρ = 1 + 2 cos θ</p><p>C2 : ρ = 1 + 2 sin θ</p><p>C1 :  ρ = −1 − 1 cos θ</p><p>C2 : ρ = −1 − 1 sin θ</p><p>|a| > b</p><p>C1 : ρ = 2 + cos θ</p><p>C2 : ρ = 2 + sin θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>29 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Figura 10 | Limaçon com |a|>b</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>•  Rosácea  , com  e  , com  {</p><p>Caso I :  ρ = a cos(nθ)</p><p>Caso II :   ρ = a sin(nθ)</p><p>a ≠ 0 n ∈ Z</p><p>*</p><p>+</p><p>n ∈ Z</p><p>*</p><p>+</p><p>C1 :  ρ = 2 cos (2θ)</p><p>C2 : ρ = 2 sin (2θ)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>30 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Figura 11 | Rosácea de quatro pétalas</p><p>Fonte: https://www.geogebra.org/graphing/sjcdbgvb. Acesso em: 27 dez. 2022.</p><p>Ainda, podemos encontrar</p><p>na literatura curvas polares chamadas de Lemniscatas, cujas equações são</p><p>ou  , com  . Também, temos as espirais de Arquimedes e muitas outras</p><p>curvas, as quais não têm apenas um apelo estético importante mas também são usadas em aplicações em</p><p>diversas áreas do conhecimento.</p><p>Com todas essas construções, percebemos que o uso de coordenadas polares ao invés de coordenadas</p><p>cartesianas costuma ser a escolha prática na construção de curvas.</p><p>Dentre essas curvas, também se encontram as elipses e as hipérboles, sobre as quais, geralmente,</p><p>aprendemos no ensino médio usando coordenadas cartesianas.</p><p>Seções cônicas, como elipses e hipérboles, também podem ser escritas em coordenadas polares. Considere</p><p>a �gura a seguir:</p><p>Figura 12 | Hipérbole no sistema cartesiano</p><p>ρ</p><p>2</p><p>= a cos (2θ) ρ</p><p>2</p><p>= a sin (2θ) a ≠ 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>31 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Note que a �gura apresenta duas retas em destaque, as retas F e D. A reta F é a distância entre o foco da</p><p>hipérbole e um ponto dela. Já a reta D é a distância desse mesmo ponto, P, até o eixo diretriz dessa cônica. A</p><p>excentricidade da hipérbole é dada por  .</p><p>Para escrevermos a hipérbole usando coordenadas polares, adotaremos que um dos focos será coincidente</p><p>com o polo do sistema polar, conforme a �gura a seguir:</p><p>Figura 13 | Hipérbole no sistema polar</p><p>Fonte: elaborada pela autora</p><p>Como posicionamos um foco no polo, a distância F, no sistema de coordenadas polares, será dada por  ,</p><p>logo  .</p><p>Se a reta diretriz estiver à direita do polo, teremos</p><p>(4)</p><p>Como  , então  .</p><p>Substituindo esse resultado em (4), obtemos:</p><p>(5)</p><p>e =</p><p>F</p><p>D</p><p>ρ</p><p>F = ρ</p><p>D = d − ρ cos θ</p><p>e =</p><p>F</p><p>D</p><p>=</p><p>ρ</p><p>D</p><p>D =</p><p>ρ</p><p>e</p><p>ρ =</p><p>e⋅d</p><p>1+e cos θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>32 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>A Equação 5 é a equação polar de uma hipérbole quando a reta diretriz está à direita do polo.</p><p>Usando o mesmo princípio, é possível obter as equações quando a reta diretriz está à esquerda, ou acima</p><p>ou abaixo.</p><p>O processo que aplicamos para a hipérbole é válido para as demais cônicas: elipse, parábola e para a</p><p>própria circunferência.</p><p>Vamos supor que uma partícula P se desloca na curva  , com  , onde t é o</p><p>tempo. Assim, podemos dizer que a posição da partícula depende do tempo, que é um parâmetro dessa</p><p>curva, ou seja, cada ponto (x,y)  depende de t.</p><p>Portanto, dizemos que uma partícula que tem sua posição de�nida por equações paramétricas se move ao</p><p>longo de uma curva na direção em que t   aumenta.</p><p>É comum, nesse contexto, que o trajeto da partícula apareça direcionado por setas, como vemos na Figura</p><p>14.</p><p>Figura 14 | Curva C</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>A curva C não é uma função do tipo  , porque C possui para cada x mais de um correspondente em</p><p>y. Dessa forma, se �zermos o teste da reta vertical, ou seja, se traçarmos uma reta vertical sobre C, essa reta</p><p>interceptará C em mais de um único ponto.</p><p>Assim, uma curva plana, parametrizada, é uma curva do tipo</p><p>C :  {</p><p>x = t cos 2πt</p><p>y = t sin 2π t</p><p>0 < t < 3</p><p>y = f (x)</p><p>f : I → R</p><p>2</p><p>t ↦ (f</p><p>1</p><p>(t), f</p><p>2</p><p>(t))</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>33 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>onde I é o intervalo de  .</p><p>Em geral, considera-se que a variável t representa o tempo e que a função f(t)   representa a posição de uma</p><p>partícula que se desloca no plano.</p><p>Nem sempre o parâmetro adotado será o tempo. Podemos escrever, por exemplo, uma curva</p><p>parametrizada a partir da expressão  , que representa a conversão que usamos quando</p><p>passamos as coordenadas de um sistema cartesiano para coordenadas de um sistema polar. Nesse caso,</p><p>assumiremos que  é uma constante.</p><p>Você já ouviu falar da Tautócrona? É uma curva cicloide que possui características muito interessantes. Se</p><p>você colocar dois objetos sobre ela em pontos diferentes, esses objetos chegarão ao centro dessa curva ao</p><p>mesmo tempo.</p><p>Figura 15 | Tautócrona com vários objetos</p><p>Fonte: Wikimedia Commons .</p><p>Seja uma curva traçada por um ponto P  posicionado no arco de um círculo, quando este gira ao longo de</p><p>uma reta (eixo das abscissas), como pode ser observado na Figura 16.</p><p>Vamos supor que, inicialmente, o ponto P está na origem com um ângulo de rotação  e que o raio</p><p>desse círculo vale  . Quando o círculo começa a rolar pelo eixo x, esse ângulo gira  radianos, como podemos</p><p>ver na Figura 16.</p><p>Figura 16 | Giro de  radianos</p><p>R</p><p>C :  {</p><p>x = ρ cos θ</p><p>y = ρ sin θ</p><p>ρ</p><p>θ = 0</p><p>ρ</p><p>θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>34 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Como esse círculo está em contato com o eixo x, dizemos que a distância que ele girou a partir da origem foi</p><p>de  .</p><p>Assim, o centro do círculo será  . Agora, sejam (x,y) as coordenadas de P. Usando como referência a</p><p>Figura 16, temos que</p><p>Nota:  e</p><p>Com isso, obtemos as equações paramétricas da cicloide e, como vimos, a rampa tautócrona é uma curva</p><p>cicloide.</p><p>(6)</p><p>Portanto, representar curvas através de equações paramétricas nos auxilia no processo de cálculo e</p><p>representação e, ainda, possibilita a conversão dessa equação do sistema de coordenadas cartesianas para</p><p>o sistema de coordenadas polares.</p><p>Nesta aula, falaremos da relação entre as coordenadas polares e as curvas parametrizadas. Curvas</p><p>paramétricas são uma importante ferramenta computacional e de modelagem matemática. Dessa forma,</p><p>descreveremos gra�camente alguns modelos de curvas envolvendo mudança de coordenadas de um</p><p>sistema cartesiano para um sistema polar e discutiremos esses resultados pensando em implementação</p><p>computacional através da parametrização. Ao �nal da aula, você estará apto a resolver problemas que</p><p>apresentem a necessidade de conversão para o sistema de coordenadas polares.</p><p></p><p>|OT | = arc (PT ) = ρθ</p><p>C (ρθ, ρ)</p><p>x = |OT | − |PQ| = ρθ − ρ sin θ = ρ (θ − sin θ)</p><p>y = |TC| − |QC| = ρ − ρ cos θ = ρ (1 − cos θ)</p><p>sin θ =</p><p>|PQ|</p><p>ρ</p><p>cos θ =</p><p>|QC|</p><p>ρ</p><p>{ ,   θ ∈ R</p><p>x = ρ (θ − sin θ)</p><p>y = ρ (1 − cos θ)</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>35 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de</p><p>geometria dinâmica chamado de GeoGebra.</p><p>Para saber um pouco mais sobre as formas polares cônicas, sugerimos o material intitulado</p><p>Coordenadas polares, de Frensel e Delgado.</p><p>Nesta aula, usaremos as técnicas de integração para generalizar a integração de algumas funções</p><p>trigonométricas. A integração por partes e a regra da substituição de variáveis para integrais serão a base na</p><p>nossa manipulação algébrica.</p><p>Além disso, trabalharemos com o cálculo do comprimento de curvas usando parametrização e coordenadas</p><p>polares, para que possamos aplicar esse resultado no cálculo de áreas de curvas escritas em coordenadas</p><p>polares. A parametrização aparece como uma importante ferramenta tanto para a conversão de um sistema</p><p>cartesiano para um sistema polar como para o pensamento da implementação computacional dessas</p><p>funções.</p><p>Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos aprendidos com a resolução de</p><p>problemas.</p><p>Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral II!</p><p>Começaremos essa seção resolvendo um exemplo. A ideia é aplicar as técnicas de integração que</p><p>conhecemos para encontrar a primitiva de uma função trigonométrica, para que, na sequência, possamos</p><p>generalizar o resultado obtido.</p><p>Assim, seja nosso exemplo:</p><p>resolva a integral  .</p><p>como vimos nas nossas aulas, essa integral pode ser resolvida através da integração por partes.</p><p>Usando</p><p>a identidade trigonométrica  , temos  .</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>sin</p><p>2</p><p>x + cos</p><p>2</p><p>x = 1 cos</p><p>2</p><p>x = 1 − sin</p><p>2</p><p>x</p><p>Nesta aula, usaremos as técnicas de integração para generalizar a integração de algumas</p><p>funções trigonométricas.</p><p>42 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>36 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt</p><p>https://www.professores.uff.br/katiafrensel/wp-content/uploads/sites/115/2017/08/ga2-aula4.pdf</p><p>https://www.professores.uff.br/katiafrensel/wp-content/uploads/sites/115/2017/08/ga2-aula4.pdf</p><p>https://www.professores.uff.br/katiafrensel/wp-content/uploads/sites/115/2017/08/ga2-aula4.pdf</p><p>Logo,</p><p>Sendo assim, de�niremos quem serão as partes u e dv.</p><p>Como  , então:</p><p>Logo,</p><p>Ainda, com o intuito de resolvermos exemplos que permitam que façamos uma generalização, resolveremos</p><p>o exemplo a seguir:</p><p>resolva a integral  .</p><p>usando identidade trigonométrica, sabemos que  . Portanto,</p><p>. Com isso, fazemos:</p><p>Aplicando a integração por partes, teremos:</p><p>Assim,</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = ∫ 1 − sin</p><p>2</p><p>x dx = ∫ 1 dx − ∫ sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>u  = sin x dv  = sin xdx</p><p>du  = cos x dx v  =   − cos x</p><p>∫ udv  =  uv –  ∫ vdu</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = x − ∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = x − [− sin x cos x + ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx]</p><p>2 ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx = x + sin x cos x</p><p>∫ cos</p><p>2</p><p>x dx =</p><p>x</p><p>2</p><p>+</p><p>sin x cos x</p><p>2</p><p>+ C</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>sin</p><p>2</p><p>x + cos</p><p>2</p><p>x = 1</p><p>sin</p><p>2</p><p>x = 1 − cos</p><p>2</p><p>x</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = ∫ 1 − cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = ∫ 1dx − ∫ cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = ∫ 1dx − ∫ cos x cos x dx</p><p>u  = cos x dv  = cos x dx</p><p>du  = − sin x dx v  = sin x</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>37 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Logo,</p><p>Observe que, nos dois exemplos, temos um padrão similar. Contudo, será que essa regra é válida para n</p><p>ímpar? Faremos dois exemplos na sequência para veri�car.</p><p>encontre a família de funções primitivas para a função sin³ x.</p><p>usando o mesmo princípio adotado nos dois primeiros exemplos, temos:</p><p>Note que, neste exemplo, será necessário usar a regra da substituição de variáveis.</p><p>Assim,</p><p>Logo,</p><p>Agora, usando as mesmas regras de integração, resolveremos a integral .</p><p>partiremos da aplicação da identidade trigonométrica já descrita nos outros exemplos. Dessa</p><p>forma, temos:</p><p>Usando a regra da substituição de variáveis em  , teremos:</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = x − [sin x cos x + ∫ sin</p><p>2</p><p>x dx]</p><p>2 ∫ sin</p><p>2</p><p>x dx = x − sin x cos x</p><p>∫ sin</p><p>2</p><p>x dx =</p><p>x</p><p>2</p><p>−</p><p>sin x cos x</p><p>2</p><p>+ C</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = ∫ sin x sin</p><p>2</p><p>x dx = ∫ sin x (1 − cos</p><p>2</p><p>x)dx</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = ∫ sin x dx − ∫ sin x cos</p><p>2</p><p>x dx</p><p>u = cos x du = − sin x dx</p><p>dx = −du/ sin x</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = ∫ sin x dx − [∫ sin x u</p><p>2</p><p>(−</p><p>du</p><p>sin  x</p><p>)]</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = ∫ sin x dx + [∫ u</p><p>2</p><p>du]</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = ∫ sin x dx + [</p><p>u</p><p>3</p><p>3</p><p>]</p><p>∫ sin</p><p>3</p><p>x dx = − cos x +</p><p>cos</p><p>3</p><p>x</p><p>3</p><p>∫ cos</p><p>3</p><p>dx = ∫ cos x  (1 − sin</p><p>2</p><p>x)dx = ∫ cos x − ∫ cos x sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>∫ cos x sin</p><p>2</p><p>x dx</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>38 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Logo,</p><p>Assim:</p><p>Com isso, temos dois padrões que se repetem, sendo um para funções potência pares e outro para funções</p><p>potência ímpares. Conseguimos descrever esses resultados através de fórmulas de recorrência, como se</p><p>segue:</p><p>(1)</p><p>e</p><p>(2)</p><p>Essa lógica também é válida para as funções potência de tangentes e secantes:</p><p>(3)</p><p>e</p><p>(4)</p><p>Note que construímos regras que generalizam a resolução de integrais trigonométricas que seguem certos</p><p>padrões. Contudo, essas regras não precisam ser decoradas, pois, com as técnicas de integração</p><p>conhecidas, em particular, as técnicas da integração por partes e substituição de variáveis, conseguimos</p><p>resolver essas mesmas integrais. A lógica da generalização é agilizar o processo de cálculo e identi�car</p><p>padrões que podem ser aplicados em casos especí�cos.</p><p>Nesse bloco, falaremos de integração de curvas polares.</p><p>Para compreendermos o cálculo do comprimento de uma curva descrita por uma função polar, precisamos,</p><p>inicialmente, entender o desenvolvimento da equação do comprimento para curvas paramétricas.</p><p>u = sin x du = cos x dx</p><p>dx =</p><p>du</p><p>cos x</p><p>∫ cos</p><p>3</p><p>dx = ∫ cos x − ∫ cos x u</p><p>2</p><p>du</p><p>cos x</p><p>∫ cos</p><p>3</p><p>dx = ∫ cos x − ∫ u</p><p>2</p><p>du</p><p>∫ cos</p><p>3</p><p>dx = sin x −</p><p>sin</p><p>3</p><p>x</p><p>3</p><p>∫ sen</p><p>n</p><p>x dx = −</p><p>1</p><p>n</p><p>sen</p><p>n−1</p><p>x cos x +</p><p>n−1</p><p>n</p><p>∫ sen</p><p>n−2</p><p>x dx</p><p>∫ cos</p><p>n</p><p>x dx =</p><p>1</p><p>n</p><p>cos</p><p>n−1</p><p>xsenx +</p><p>n−1</p><p>n</p><p>∫ cos</p><p>n−2</p><p>x dx</p><p>∫ tg</p><p>n</p><p>x dx =</p><p>tg</p><p>n−1</p><p>n−1</p><p>− ∫ tg</p><p>n−2</p><p>x dx</p><p>∫ sec</p><p>n</p><p>x dx =</p><p>sec</p><p>n−2</p><p>x tgx</p><p>n−1</p><p>+</p><p>n−2</p><p>n−1</p><p>∫ sec</p><p>n−2</p><p>x dx</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>39 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Assim, descreveremos esse conceito para, na sequência, aplicarmos essa teoria às coordenadas polares.</p><p>Seja comprimento L de um arco C na forma y=F(x), onde  , expressa pela equação que relaciona a</p><p>integral das diferenciais em relação a x.</p><p>Para entender esse conceito, assumiremos a curva  .</p><p>Figura 1 | Curva C e comprimento L</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Considere dL um arco de comprimento in�nitesimal.</p><p>O triângulo que aparece na Figura 1 e que está ampliado na Figura 2 nos permite escrever</p><p>Como  , então</p><p>Figura 2 | Comprimento in�nitesimal dL</p><p>a ≤ x ≤ b</p><p>C : y = F (x)</p><p>dL</p><p>2</p><p>= dy</p><p>2</p><p>+ dx</p><p>2</p><p>dL =</p><p>√</p><p>dy</p><p>2</p><p>+ dx</p><p>2</p><p>dL = dx</p><p>√</p><p>(</p><p>dy</p><p>dx</p><p>)</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>dL = dx</p><p>√</p><p>y´</p><p>2</p><p>+1</p><p>L =</p><p>b</p><p>a</p><p>dL</p><p>L =</p><p>b</p><p>a</p><p>[</p><p>√</p><p>y´</p><p>2</p><p>+1]dx ⇒</p><p>b</p><p>a</p><p>√</p><p>1 + (</p><p>dy</p><p>dx</p><p>)</p><p>2</p><p>dx</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>40 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>No exemplo a seguir, aplicaremos essa teoria.</p><p>seja a função f(x)=e   no intervalo fechado [0,3]. Calcule o comprimento de arco do grá�co dessa</p><p>função nesse intervalo.</p><p>sabendo que  , então calculando  , podemos escrever</p><p>Resolvendo essa integral, obtemos</p><p>Figura 3 | Curva L, f(x)= entre 0 e 3</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Agora, suponha que C possa ser escrita por equações paramétricas x=f(t) e y=g(t) com  , em que</p><p>. Isso signi�ca que  é percorrida uma vez, da esquerda para a direita, quando t aumenta de</p><p>até  e a,  .</p><p>Assim,</p><p>Como  , temos</p><p>x</p><p>L =</p><p>b</p><p>a</p><p>√</p><p>1 + (</p><p>dy</p><p>dx</p><p>)</p><p>2</p><p>dx f´(x) = e</p><p>x</p><p>L =</p><p>3</p><p>0</p><p>√</p><p>1 + (e</p><p>x</p><p>)</p><p>2</p><p>dx</p><p>L = (</p><p>√</p><p>1 + e</p><p>2x</p><p>− ln</p><p>1+</p><p>√</p><p>1+e</p><p>2x</p><p>e</p><p>x</p><p>)</p><p>3</p><p>0</p><p>=</p><p>√</p><p>1 + e</p><p>6</p><p>− ln</p><p>√</p><p>1+e</p><p>6</p><p>+1</p><p>e</p><p>3</p><p>− [</p><p>√</p><p>2 − ln (</p><p>√</p><p>2 + 1)]</p><p>∣</p><p>x</p><p>α ≤ t ≤ β</p><p>dx</p><p>dt</p><p>= f´(t) > 0</p><p>α β f (β) = b</p><p>L =</p><p>b</p><p>a</p><p>√</p><p>1 + (</p><p>dy</p><p>dx</p><p>)</p><p>2</p><p>dx =</p><p>β</p><p>α</p><p>(1 + (</p><p>dy</p><p>dt</p><p>dx</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>dx</p><p>dt</p><p>)dt</p><p></p><p></p><p>⎷</p><p>dx</p><p>dt</p><p>> 0</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>41 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>(5)</p><p>se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas x=f(t) e y=g(t),  , onde f' e g'</p><p>contínuas em  e C for percorrida exatamente uma vez, quando t aumenta de  até  ,então o</p><p>comprimento de C é</p><p>(6)</p><p>No exemplo a seguir, calcularemos o comprimento de uma curva cicloide.</p><p>calcule o comprimento de arco da cicloide dada por</p><p>calculando as derivadas de x e y em relação a t, obteremos</p><p>Portanto,</p><p>Aqui pensaremos em como calcular essa integral. Para isso, usaremos a identidade</p><p>, com t=2x que fornece  .</p><p>Como  temos  e, assim,  , portanto</p><p>Dessa forma,</p><p>Se  , com  e  é um parâmetro, teremos</p><p>e</p><p>Usando a regra do produto e derivando em relação a  , obteremos</p><p>L =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>(</p><p>dx</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dy</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>dt</p><p>L =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>f´(t)</p><p>2</p><p>+ g´(t)</p><p>2</p><p>dt</p><p>α ≤ t ≤ β</p><p>[α, β] α β</p><p>L =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>(</p><p>dx</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dy</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>dt =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>f´(t)</p><p>2</p><p>+ g´(t)</p><p>2</p><p>dt</p><p>{</p><p>x (t) = r</p><p>(t − sin t)</p><p>y (t) = r (1 − cos t)</p><p>{</p><p>dx</p><p>dt</p><p>= r (1 − cos t)</p><p>dy</p><p>dt</p><p>= r sin t</p><p>L =</p><p>2π</p><p>0</p><p>√</p><p>(</p><p>dx</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dy</p><p>dt</p><p>)</p><p>2</p><p>dt =</p><p>2π</p><p>0</p><p>√</p><p>r</p><p>2</p><p>(1 − cos t)</p><p>2</p><p>+ r</p><p>2</p><p>sin</p><p>2</p><p>tdt</p><p>L =</p><p>2π</p><p>0</p><p>√</p><p>r</p><p>2</p><p>(1 − 2 cos t + cos</p><p>2</p><p>t + sin</p><p>2</p><p>t)dt = r</p><p>2π</p><p>0</p><p>√</p><p>2 (1 − cos t)dt</p><p>sin</p><p>2</p><p>x =</p><p>1</p><p>2</p><p>(1 − cos 2x)</p><p>1 − cos t = 2 sin</p><p>2</p><p>(</p><p>t</p><p>2</p><p>)</p><p>0 ≤ t ≤ 2π 0 ≤</p><p>t</p><p>2</p><p>≤ π sin (</p><p>t</p><p>2</p><p>) ≥ 0</p><p>√</p><p>2 (1 − cos t) =</p><p>√</p><p>4 sin</p><p>2</p><p>(</p><p>t</p><p>2</p><p>) = 2 sin (</p><p>t</p><p>2</p><p>) = 2 sin</p><p>t</p><p>2</p><p>∣ ∣</p><p>L = 2r</p><p>2π</p><p>0</p><p>sin (</p><p>t</p><p>2</p><p>)dt = 2r [−2cos (</p><p>t</p><p>2</p><p>)</p><p>2π</p><p>0</p><p>] = 2r [2 + 2] = 8r</p><p>∣</p><p>ρ = f (θ) α ≤ θ ≤ β θ</p><p>x = ρ cos θ = f (θ) cos θ y = ρ sin θ = f (θ) sin θ</p><p>θ</p><p>dx</p><p>dθ</p><p>=</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>cos θ − ρ sin θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>42 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Assim, como  , escrevemos</p><p>Logo,</p><p>Com isso, escrevemos</p><p>(7)</p><p>encontre o comprimento de arco da cardioide de equação   no intervalo fechado</p><p>.</p><p>Figura 4 | Cardioide de equação polar  e equação paramétrica</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Esse desa�o será resolvido na nossa videoaula.</p><p>Para trabalharmos com o conceito de área de uma região escrita em coordenadas polares, consideraremos</p><p>uma função contínua e não negativa f, contida em um intervalo fechado [α,β].</p><p>dy</p><p>dθ</p><p>=</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>sin θ + ρ cos θ</p><p>cos</p><p>2</p><p>θ + sin</p><p>2</p><p>θ = 1</p><p>(</p><p>dx</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dy</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>= (</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>θ − 2ρ</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>cos θ sin θ + ρ</p><p>2</p><p>sin</p><p>2</p><p>θ + (</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>sin</p><p>2</p><p>θ + 2ρ</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>sin θ cos θ + ρ</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>θ =</p><p>= (</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>+ ρ</p><p>2</p><p>(</p><p>dx</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dy</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>= (</p><p>dρ</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>+ ρ</p><p>2</p><p>L =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>r</p><p>2</p><p>+ (</p><p>dr</p><p>dθ</p><p>)</p><p>2</p><p>dθ =</p><p>β</p><p>α</p><p>√</p><p>[f (θ)]</p><p>2</p><p>+ [f´(θ)]</p><p>2</p><p>dθ</p><p>ρ = 1 + cos θ</p><p>θ ∈ [0,2π]</p><p>ρ = 1 + cos θ {</p><p>x (θ) = (1 + cos θ) cos θ</p><p>y (θ) = (1 + cos θ) sin θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>43 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Assumiremos que a região R está delimitada pela curva ρ=f(θ) e pelas retas θ=α e θ=β, conforme Figura 5 e</p><p>.</p><p>Figura 5 | Área entre as curvas  ;  e</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>O princípio usado para a obtenção da área se dá com o uso da integral de Riemann. Assim, consideraremos,</p><p>inicialmente, uma partição  de , tal que</p><p>.</p><p>Figura 6 | Valor de  no intervalo</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>Temos, então, subintervalos da forma  , onde  .</p><p>Seja  um valor de  no intervalo  .</p><p>A medida em radianos do ângulo entre as retas  e  será denotada por  .</p><p>O número de unidades de área na área do setor circular de raio  unidades e ângulo central</p><p>radianos é dada por</p><p>θ = β</p><p>ρ = f (θ) θ = α θ = β</p><p>Δ [α, β]</p><p>α = θ</p><p>0</p><p>< θ</p><p>1</p><p>< … < θ</p><p>i−1</p><p>< θ</p><p>i</p><p>< θ</p><p>i+1</p><p>< … < θ</p><p>n−1</p><p>< θ</p><p>n</p><p>= β</p><p>θ [θ</p><p>i−1</p><p>, θ</p><p>i</p><p>]</p><p>[θ</p><p>i−1</p><p>, θ</p><p>i</p><p>] i = 1, … , n</p><p>ξ</p><p>i</p><p>θ [θ</p><p>i−1</p><p>, θ</p><p>i</p><p>]</p><p>θ</p><p>i−1</p><p>θ</p><p>i</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ</p><p>f (ξ</p><p>i</p><p>) Δ</p><p>i</p><p>θ</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>44 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>(8)</p><p>Assim, uma aproximação para a área S total de R é dada por</p><p>Assumindo que, quanto menor  mais próximo da área real de R será a aproximação, então por</p><p>Riemann escrevemos:</p><p>(9)</p><p>Ainda, podemos dizer que, observando a Figura 6, a aproximação melhora quando  , mas a soma em</p><p>(9) são somas de Riemann para a função  , logo</p><p>Portanto, dizemos que a área da região R pode ser calculada por</p><p>(10)</p><p>Onde  .</p><p>calcule a área limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas  , apresentada na</p><p>�gura a seguir</p><p>(10)</p><p>Figura 7 | Rosácea de quatro pétalas. Curva polar  , equação paramétrica</p><p>Fonte: elaborada pela autora.</p><p>a área da região limitada pelo laço pintado de cinza (laço do lado direito) será calculada entre os</p><p>raios  e  .</p><p>ΔS</p><p>R</p><p>i =</p><p>1</p><p>2</p><p>f (ξ</p><p>i</p><p>)</p><p>raio</p><p>2</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ</p><p>ângulo</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p></p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p></p><p>S ≈</p><p>n</p><p>i=1</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (ξ</p><p>i</p><p>)]</p><p>2</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ,</p><p>S = lim</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ→0</p><p>n</p><p>i=1</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (ξ</p><p>i</p><p>)]</p><p>2</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ</p><p>n → ∞</p><p>g (θ) =</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (θ)]</p><p>2</p><p>lim</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ→0</p><p>n</p><p>i=1</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (ξ</p><p>i</p><p>)]</p><p>2</p><p>Δ</p><p>i</p><p>θ =</p><p>β</p><p>α</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (θ)]</p><p>2</p><p>dθ</p><p>S =</p><p>β</p><p>α</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (θ)]</p><p>2</p><p>dθ =</p><p>β</p><p>α</p><p>1</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>dθ</p><p>ρ = f (θ)</p><p>ρ = cos 2θ</p><p>S =</p><p>β</p><p>α</p><p>1</p><p>2</p><p>[f (θ)]</p><p>2</p><p>dθ =</p><p>β</p><p>α</p><p>1</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>dθ</p><p>ρ = cos 2θ C2 : {</p><p>x (θ) = r (θ) cos θ</p><p>y (θ) = r (θ) sin θ</p><p>θ =</p><p>7π</p><p>4</p><p>= −</p><p>π</p><p>4</p><p>θ =</p><p>π</p><p>4</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>45 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>Portanto, podemos escrever</p><p>Sabendo que    é uma função par, temos que</p><p>Com isso, obtivemos a área de uma das pétalas da rosácea descrita pela curva polar  .</p><p>Nesta aula, resolveremos o desa�o proposto para o cálculo do comprimento de arco de um cardioide em</p><p>coordenadas polares. Também, falaremos da integração de funções trigonométricas e da generalização de</p><p>algumas regras que permitem calcular a integral dessas funções. Ao �nal da aula, você estará apto a</p><p>identi�car quais são as situações que podem ser resolvidas através de coordenadas polares, assim como</p><p>será capaz de aplicar diferentes técnicas de integração nos mais variados problemas.</p><p></p><p>Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de</p><p>geometria dinâmica chamado de GeoGebra.</p><p>Além do Geogebra, indicamos uma calculadora online chamada Symbolab , a qual traz muitas</p><p>ferramentas de cálculo importantes e, dentre elas, calculadoras para validar resultados de derivadas e</p><p>integrais .</p><p>S =</p><p>π</p><p>4</p><p>−</p><p>π</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>ρ</p><p>2</p><p>dθ =</p><p>1</p><p>2</p><p>π</p><p>4</p><p>−</p><p>π</p><p>4</p><p>cos</p><p>2</p><p>2θdθ</p><p>cos θ</p><p>S =</p><p>1</p><p>2</p><p>π</p><p>4</p><p>−</p><p>π</p><p>4</p><p>cos</p><p>2</p><p>2θdθ = 2 (</p><p>1</p><p>2</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>cos</p><p>2</p><p>2θdθ) =</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>cos</p><p>2</p><p>2θdθ =</p><p>S =</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>(1 + cos 4θ)dθ =</p><p>1</p><p>2</p><p>[θ +</p><p>1</p><p>4</p><p>sin 4θ]</p><p>π</p><p>4</p><p>0</p><p>=</p><p>π</p><p>8</p><p>∣</p><p>ρ = cos θ</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.  . Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 25 out. 2022.</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:</p><p>15 minutos</p><p>V</p><p>er</p><p>a</p><p>n</p><p>o</p><p>ta</p><p>çõ</p><p>es</p><p>wlldd_231_u2_cal_dif_int_II https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202301/WHITE_LABEL/CALCULO_DIFERENCIAL_...</p><p>46 of 47 8/5/2024, 6:16 PM</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt%20</p><p>https://www.geogebra.org/?lang=pt%20</p><p>https://pt.symbolab.com/</p><p>https://pt.symbolab.com/</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator</p><p>https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 26 out. 2022.</p><p>STEWART, J.  . São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 25 out. 2022.</p><p>LEITHOLD, L. . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.</p><p>STEWART, J. . Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.  . v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso em: 25 out. 2022.</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 6 out. 2022.</p><p>STEWART, J.  . São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . Acesso em: 25 out. 2022.</p><p>ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L.  . v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/ . Acesso</p><p>em: 25 out. 2022.</p><p>GUIDORIZZI, H. L.  . 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/ . Acesso em: 26 out. 2022</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I.  . v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2018. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/ . Acesso em: 29 out. 2022.</p><p>STEWART, J.  . São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em: https://</p><p>integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/ . 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