Coda - Fundamentos da Mecânica dos Materiais e das Estruturas 2015

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<p>1</p><p>2</p><p>v</p><p>i</p><p>v</p><p>v v v</p><p>v</p><p>x</p><p>P x ,x</p><p>x</p><p>v</p><p>q</p><p>r Q P q vP</p><p>Q</p><p>x</p><p>x</p><p>3</p><p>F v v v v</p><p>c a b</p><p>c a b a b</p><p>c a b a b</p><p>c a b a b</p><p>i i ic a b</p><p>c</p><p>a b</p><p>v</p><p>c a b</p><p>c a b a b</p><p>c a b a b</p><p>c a b a b</p><p>i i ic a b</p><p>a b b b</p><p>4</p><p>t</p><p>i i i i</p><p>g</p><p>v g v ,v ,v g v g v .g v .g v .g v g g v</p><p>g</p><p>tv g</p><p>v g</p><p>v .g v .g v .g i iv g</p><p>g v</p><p>i i i iv g g v</p><p>v .g v .g v .g g .v g .v g .v</p><p>e i e j</p><p>e k</p><p>5</p><p>v</p><p>i</p><p>iv v .e v .e v .e v .e</p><p>e e e</p><p>v v</p><p>v v v v v v</p><p>v v</p><p>v e v v e v v e v</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>i</p><p>jk</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>v</p><p>v i</p><p>v j</p><p>v k</p><p>6</p><p>Q P Q P Q P</p><p>i ir ( x x ) ( x x ) ( x x ) r r r r r r r</p><p>v</p><p>v</p><p>i</p><p>i</p><p>k k</p><p>v</p><p>v v</p><p>v v .</p><p>v cos</p><p>v</p><p>v cos</p><p>v</p><p>v cos</p><p>v</p><p>k</p><p>k k</p><p>i i</p><p>v cos</p><p>v v</p><p>7</p><p>k k</p><p>k kv e v . e v .n v cos</p><p>v ke</p><p>v kg g .e ke</p><p>k</p><p>kv g v e . g v g cos</p><p>v g v g cos</p><p>i i</p><p>k k</p><p>g vv g g vcos</p><p>v g v g ( v v )( g g )</p><p>x</p><p>x</p><p>v</p><p>8</p><p>R</p><p>R</p><p>A ija</p><p>B ijkb</p><p>i, j ,k , ,</p><p>9</p><p>v Ag v A g k kj jv a g</p><p>C AB C A B k kj jc a b</p><p>v BCa v B C a j jk kv b c a</p><p>t t tC B A t t tC B A k kj j j kjc a b b a</p><p>C a vB C a vB i ijk k j j ijk kc b v a a b v</p><p>A : CB ij ijk ka b c</p><p>A : : CB ij ijk ka b c</p><p>tA: :CB ij ijk k ij ij k ka b c a b c</p><p>v B M k ijk ijv b m</p><p>v : AM i ijk jkv m a</p><p>10</p><p>M</p><p>A v g ij i ja v g</p><p>R</p><p>v g R R</p><p>t</p><p>v v g v g v g</p><p>v g v g g g v g v g v g A</p><p>v g v g v gv</p><p>11</p><p>i j k j i k i i</p><p>j k i k j i j j</p><p>k i j i k j k k</p><p>w v g</p><p>v ( a b ) v a v b</p><p>i , j ,k ke</p><p>w v i v j v k g i g j g k</p><p>w v g v g i v g v g j v g v g k</p><p>w v g</p><p>v g i j</p><p>v g</p><p>w v g v g k</p><p>w g w v</p><p>12</p><p>v g v g</p><p>v v cos v v sen g g cos g g sen</p><p>sen cos .sen sen .cos</p><p>v g v g sen .k</p><p>v v v</p><p>w v g g g g v g v g i v g v g j v g v g k</p><p>i j k</p><p>v ,g ,r v g w</p><p>w r r</p><p>w</p><p>v g r v g sen . r cos A.h V</p><p>g</p><p>v</p><p>x</p><p>x</p><p>13</p><p>A V</p><p>v g r</p><p>V v g r v g v g r v g v g r v g v g r</p><p>i , j ,k</p><p>r</p><p>v v v</p><p>V det g g g</p><p>r r r</p><p>r v g</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>v</p><p>g</p><p>w r</p><p>14</p><p>ij</p><p>ij</p><p>i j</p><p>i j</p><p>i j</p><p>ij e e</p><p>k kj jv v ij ik kja a</p><p>k kij i jw v g</p><p>ijk i j ka v g r</p><p>e ,e ,e</p><p>i j k</p><p>ijk e e e</p><p>15</p><p>P</p><p>P ( x ,x ) P ( x ,x )</p><p>n cos n sen sen cos</p><p>x xn</p><p>nx x</p><p>x xn n</p><p>x x</p><p>x R x tx R x</p><p>i ij jx r x i ji jx r x</p><p>x m</p><p>n m</p><p>R n m</p><p>n m</p><p>v A u</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>P( x ,x )</p><p>16</p><p>R v A R u</p><p>tR</p><p>t tR R v R A R u tv R A R u v A u</p><p>tA R A R tA R A R</p><p>ij ki k ja r a r ij ik k ja r a r</p><p>A : BG</p><p>t tR A R : R B RG</p><p>ik k j ijm mr a r g r b r</p><p>R</p><p>ik k j j ijm m jr a r r g r b r r ik k ijm m jr a g r b r r</p><p>tR</p><p>i ik k i ijm m jr r a r g r b r r i ijm m ja r g r b r r</p><p>17</p><p>i j ijm ma r r g r r b g b i j ijm mg r r g r r</p><p>A : BG t : :G R G R</p><p>R RR m mr rr</p><p>ij a i j i jt t t T T : : TII II</p><p>i( i )</p><p>a</p><p>a a</p><p>a</p><p>i ia A</p><p>ii( i )b b b b</p><p>i i m miy Y G Y i i iy Y G Y</p><p>18</p><p>f</p><p>R R</p><p>f : R R</p><p>f f ( x ,x ,x )</p><p>f f ( x ,x )</p><p>19</p><p>x</p><p>f x ,x x x</p><p>, x</p><p>f x x ,x f x ,xff x ,x x ,x lim</p><p>x x</p><p>,f</p><p>i</p><p>ix</p><p>f x i</p><p>fv i</p><p>x</p><p>x ,x</p><p>x f</p><p>i</p><p>x</p><p>, x</p><p>f x , x x f x ,xff x ,x x ,x lim</p><p>x x</p><p>fv j</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>f x ,x</p><p>gráfico</p><p>20</p><p>f</p><p>,</p><p>,i</p><p>,</p><p>fv f / x</p><p>Grad( f ) f v v v v f</p><p>v f / x f</p><p>f x</p><p>n</p><p>x xf f f v n v n f n</p><p>x x x x x</p><p>i jx x</p><p>f n</p><p>f f</p><p>f</p><p>f</p><p>f R R</p><p>R</p><p>R R</p><p>f x ,x x x</p><p>x ,x</p><p>21</p><p>x x</p><p>f</p><p>x x</p><p>x x R</p><p>R</p><p>x cos</p><p>n</p><p>x senx x</p><p>f</p><p>x cos</p><p>f R</p><p>x sen</p><p>f R</p><p>R</p><p>R</p><p>x</p><p>x</p><p>f</p><p>22</p><p>n</p><p>x</p><p>x xf f f v v f</p><p>x x x x x</p><p>f x ,x</p><p>f / x f / xn n</p><p>f / x f / x</p><p>tf R f</p><p>f / x f / xn</p><p>nf / x f / x</p><p>f R f</p><p>ji , j,if r f ,i ij , jf r f</p><p>u</p><p>R R</p><p>u : R R</p><p>u u( x ,x ,x ) i i ju u x i, j , ,</p><p>i, j ,</p><p>23</p><p>,</p><p>u u</p><p>x</p><p>u x ,x ,x</p><p>x u iu</p><p>jx</p><p>i</p><p>i , j</p><p>j</p><p>u u u</p><p>x x x</p><p>u u u uGrad u x ,x ,x u x ,x ,x x ,x ,x</p><p>x x x x</p><p>u u u</p><p>x x x</p><p>Grad u</p><p>i , ju i , ju</p><p>u</p><p>u</p><p>24</p><p>u u</p><p>Grad u</p><p>u</p><p>n</p><p>i ,n i , j ju u n</p><p>g Grad u n</p><p>i</p><p>x</p><p>u / x</p><p>Grad u i u / x</p><p>u / x</p><p>u x</p><p>x ,x ,x x ,x ,x</p><p>u R u i ij ju r u</p><p>25</p><p>ju j</p><p>j</p><p>f</p><p>ju ju</p><p>i , ij j ,u r u</p><p>j ,u</p><p>i, ij ijj , j ,k ku r u r u r</p><p>i , ij j ,k ku r u r tGrad u R u RGrad</p><p>i, ji j ,k ku r u r tGrad u R u RGrad</p><p>,</p><p>, ,i</p><p>,</p><p>x</p><p>Grad</p><p>x</p><p>x</p><p>26</p><p>f</p><p>,</p><p>,i, ,i</p><p>,</p><p>f</p><p>x f</p><p>f</p><p>Grad f f f f f</p><p>x</p><p>ff</p><p>x</p><p>f f</p><p>Grad f f</p><p>i , j i i i, j , j , j</p><p>f f f f</p><p>A ma</p><p>R ,m , ,</p><p>R</p><p>m,nGrad( A) a n , ,</p><p>m m,a / a</p><p>27</p><p>ij ,ijh f</p><p>i j</p><p>f f f</p><p>x x x x x x</p><p>f f f fH</p><p>x x x x x x x x</p><p>f f f</p><p>x x x x x x</p><p>i</p><p>i ,i , , ,</p><p>i</p><p>fDiv f f f f f</p><p>x</p><p>Div f f f .</p><p>28</p><p>ij , jDiv Div</p><p>t</p><p>ji , jDiv tDiv</p><p>j</p><p>w Rot f f ^</p><p>k kij i , jw v</p><p>R R</p><p>x x</p><p>x</p><p>f x x f xdf flim lim</p><p>dx x x</p><p>x</p><p>x</p><p>29</p><p>x x</p><p>f x x f xdf flim lim x</p><p>dx x x</p><p>x</p><p>x</p><p>dfdf dx dx</p><p>dx</p><p>df f</p><p>f</p><p>x</p><p>f : R R</p><p>,i i</p><p>f f fdf dx dx dx f dx Grad f dx f dx</p><p>x x x</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f : R R x ,x ,x</p><p>x ,x ,x x ,x ,x dx ,dx ,dx</p><p>f x ,x ,x f x ,x ,x Grad f dx</p><p>x</p><p>f</p><p>Gráfico</p><p>30</p><p>f x ,x ,x</p><p>df Grad f dx</p><p>i i , j jdf f dx</p><p>Resistência dos</p><p>Materiais Mecânica dos Sólidos</p><p>31</p><p>equivalentes mecânicos</p><p>P</p><p>p</p><p>p</p><p>pp</p><p>p</p><p>p</p><p>AV</p><p>32</p><p>df p</p><p>dA</p><p>df p dA</p><p>df df e df i df df e df j df df e df k</p><p>i idf p dA (3.3)</p><p>p</p><p>componente de tensão normal</p><p>componente de tensão de</p><p>cisalhamento</p><p>dA</p><p>p df p.dA</p><p>dA</p><p>df df e</p><p>df</p><p>df</p><p>df df e</p><p>dA</p><p>dA</p><p>p</p><p>p</p><p>33</p><p>t</p><p>dF t dA</p><p>2M</p><p>1M</p><p>1F</p><p>2F</p><p>5F</p><p>6F</p><p>4F</p><p>3F</p><p>1F</p><p>2F</p><p>3F</p><p>1M</p><p>t</p><p>dA</p><p>dA</p><p>t</p><p>n</p><p>dF</p><p>n n</p><p>n n</p><p>34</p><p>df n df</p><p>df n</p><p>t</p><p>t</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>t</p><p>t</p><p>t t</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>35</p><p>t</p><p>xx xy xz x xy xz</p><p>yx yy yz yx y yz ij</p><p>zx zy zz zx zy z</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>36</p><p>x</p><p>( dx .dx ).dx ( dx .dx ).dx</p><p>ij ji</p><p>t</p><p>t</p><p>ij ji</p><p>n nt n</p><p>n dA</p><p>x x x n dA</p><p>x x x n dA</p><p>x x x n dA</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx dx</p><p>dx dxxdx dx</p><p>dx dx</p><p>37</p><p>xF t dA n dA n dA n dA</p><p>t n n n</p><p>t n n n</p><p>t n n n</p><p>i ji j ij jt n n</p><p>tt n n</p><p>t n</p><p>t n</p><p>t n</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>33</p><p>31</p><p>32</p><p>dAn3</p><p>dAn1</p><p>dAn2</p><p>n</p><p>t</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>m</p><p>11</p><p>13</p><p>12</p><p>dA</p><p>21</p><p>22</p><p>23</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>nn</p><p>nm</p><p>38</p><p>i ji j ij jp n n tp n n</p><p>m</p><p>x m n</p><p>n t nm t m nn t n</p><p>nn n t n t n t</p><p>n t t t</p><p>nm m t m t m t</p><p>nn</p><p>n</p><p>nm</p><p>n n n n</p><p>n</p><p>m m m n</p><p>m</p><p>n</p><p>nn n mn</p><p>n m</p><p>nm m mm</p><p>n n n n m</p><p>n m</p><p>m m m n m</p><p>n m</p><p>t t tR R t t tR R</p><p>tR R tR R</p><p>39</p><p>,m,n</p><p>,m,n</p><p>ij ki k jr r ij ik k jr r</p><p>tensor</p><p>p pp</p><p>nn</p><p>p</p><p>p</p><p>mm</p><p>n n n n m</p><p>n m</p><p>m m m n m</p><p>p pp</p><p>nn</p><p>t</p><p>n n n n</p><p>n R n</p><p>m m m n</p><p>p p</p><p>p</p><p>n n n</p><p>m m m</p><p>p p</p><p>p</p><p>mm</p><p>n n n m</p><p>m</p><p>m m m m</p><p>n</p><p>40</p><p>p</p><p>nn</p><p>p R</p><p>p ppn m n</p><p>n m n n</p><p>n m n</p><p>p p</p><p>p p</p><p>n n</p><p>.n n n n</p><p>n n</p><p>p n p</p><p>n</p><p>pn .n</p><p>p n</p><p>p p</p><p>p</p><p>n n</p><p>n n</p><p>n n</p><p>p p</p><p>p</p><p>p</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>pA n</p><p>Det( A)</p><p>p p pI I I</p><p>41</p><p>iiI I I D et</p><p>I I I</p><p>I I IR I</p><p>IQ I R</p><p>R Q</p><p>arctg Q / R</p><p>R /</p><p>R /</p><p>p Icos /</p><p>p Icos /</p><p>p Icos /</p><p>Det( A )</p><p>42</p><p>p pv pn</p><p>pa a a v</p><p>a a a v</p><p>a a a v</p><p>v</p><p>i i ia v a v a</p><p>v v</p><p>n v</p><p>v</p><p>v v</p><p>v v</p><p>tn , ,</p><p>v v</p><p>pR</p><p>n n n</p><p>n</p><p>p</p><p>p p p p</p><p>n nn</p><p>p</p><p>n</p><p>n n n n n n n</p><p>n</p><p>43</p><p>n</p><p>t</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>n</p><p>t n</p><p>n</p><p>p p pt t n n n</p><p>n</p><p>n nm</p><p>n nm</p><p>t</p><p>nn n</p><p>nt</p><p>p p p</p><p>n n n n</p><p>n</p><p>p p p p p pn n n n n n</p><p>p p</p><p>i i i i</p><p>i</p><p>n n</p><p>n</p><p>i/ n</p><p>in in</p><p>n n n</p><p>44</p><p>n n n</p><p>p p p p p p</p><p>max max , ,</p><p>p2 p2</p><p>p1 p1</p><p>p3p3</p><p>max</p><p>max max</p><p>F</p><p>n</p><p>p p</p><p>n</p><p>n</p><p>p p</p><p>n</p><p>n</p><p>p p</p><p>n</p><p>45</p><p>n ,</p><p>n ,</p><p>n nm ) n</p><p>n n n</p><p>p p</p><p>n n</p><p>p p p p</p><p>( )( )n</p><p>( )( )</p><p>p p</p><p>n n</p><p>p p p p</p><p>( )( )n</p><p>( )( )</p><p>p p</p><p>n n</p><p>p p p p</p><p>( )( )n</p><p>( )( )</p><p>p p p</p><p>n</p><p>p p</p><p>n n( )( )</p><p>p p p p</p><p>n</p><p>n</p><p>p1p2p3</p><p>46</p><p>n</p><p>p p p p</p><p>n</p><p>n</p><p>p p p p</p><p>n</p><p>n n n</p><p>n , ,</p><p>x principal</p><p>x principal</p><p>x principal</p><p>m</p><p>47</p><p>n / , , m</p><p>n nm</p><p>oct n nm</p><p>m</p><p>, , / n m n , , /</p><p>p p p</p><p>nn</p><p>p p</p><p>n</p><p>nm</p><p>p p p p</p><p>p p p p p p</p><p>oct n nm</p><p>oct</p><p>oct</p><p>oct max,</p><p>h</p><p>I /</p><p>II / I / I</p><p>I /</p><p>48</p><p>t t</p><p>h h</p><p>I IR R R I R I</p><p>des h</p><p>p t t t t</p><p>des p h p p p p h p p p hR R R R R R R R</p><p>p</p><p>des h</p><p>t</p><p>p pR R</p><p>des</p><p>p p</p><p>des h</p><p>oct t p</p><p>des oct h octR n</p><p>p p p</p><p>p p p</p><p>oct</p><p>nn</p><p>p p p p</p><p>n</p><p>nm des</p><p>p p p p p p p p</p><p>p p p</p><p>h h h</p><p>des p des p des p</p><p>49</p><p>p p p</p><p>Hidrostático</p><p>h</p><p>des p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>50</p><p>f x x x</p><p>dx dx dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dA dx dx</p><p>dA dx dx</p><p>f x ,x ,x</p><p>ff x ,x ,x dx</p><p>x</p><p>51</p><p>x</p><p>dx dx dx dx dx dx dx dx dx b dx dx dx</p><p>x x x</p><p>dx dx dx dx dx dx u dx dx dx</p><p>dV dx dx dx</p><p>b dV u dV</p><p>x x x</p><p>dV</p><p>b u</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>b u</p><p>x x x</p><p>b u</p><p>x x x</p><p>ji j i ib u</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>dx dx dx dx dx</p><p>x</p><p>dx dx dx</p><p>x</p><p>dx dx</p><p>dx dx</p><p>dx dx dx</p><p>x</p><p>b dx dx dx</p><p>52</p><p>tDiv b u</p><p>x</p><p>Figura 4.3 – Equação de movimento angular torque</p><p>x</p><p>t</p><p>dx dxdx dx dx dx dx</p><p>x</p><p>dx dxdx dx dx dx dx I</p><p>x</p><p>x</p><p>dx dx</p><p>t dx dx</p><p>I d d dx dx dx dx dx dx</p><p>dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx</p><p>x x</p><p>idx ia d ia</p><p>d</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx dx</p><p>dx dx dx dx dx</p><p>xx</p><p>dx dx dx</p><p>x</p><p>53</p><p>da a a d a a a a a d a a a a a S</p><p>x x</p><p>da a d a a</p><p>x x</p><p>ij ji</p><p>54</p><p>V</p><p>Q udV</p><p>V</p><p>p b</p><p>V A</p><p>R b dV p dA</p><p>V V</p><p>dQ duR dV u dV</p><p>dt dt</p><p>V A V</p><p>b dV p dA u dV</p><p>i i iV A V</p><p>b dV p dA u dV</p><p>t</p><p>V V V</p><p>Div dV b dV u dV</p><p>pp</p><p>p</p><p>p</p><p>A</p><p>O</p><p>x</p><p>x</p><p>r</p><p>55</p><p>t t</p><p>V A A</p><p>Div dV n dA p dA</p><p>ji , j ji j iV A A</p><p>dV n dA p dA</p><p>O</p><p>t</p><p>A A</p><p>r ^ p dA r ^ n dA kij i j kij i jA A</p><p>r p dA r n dA</p><p>kij i j kA</p><p>A A</p><p>r n dA n dA n dA</p><p>k k ,A V</p><p>n dA dV</p><p>A V</p><p>n dA Div dV</p><p>k i jr kij</p><p>kij i j kij i j kij i j , i , j,A V V</p><p>r n dA r dV r r dV</p><p>56</p><p>k kij i j , i , j kij i jV V</p><p>kij i j , j kij i , jV V</p><p>m r r dV rb dV</p><p>r b dV r dV</p><p>V</p><p>m r ^ u dV k kij i jV</p><p>m ru dV</p><p>kij i j kij i j , j j kij i , jV V V</p><p>ru dV r b b dV r dV</p><p>kij i j j , j kij i , jV V</p><p>r u b dV r dV</p><p>kij i , j kV</p><p>r dV</p><p>i ir x i, ir</p><p>k j j kV</p><p>dV</p><p>k</p><p>k</p><p>k</p><p>k kx</p><p>57</p><p>F</p><p>Ax x x</p><p>A Ay f x y f x f</p><p>A Ay y y f x f x</p><p>med</p><p>F</p><p>Ax x</p><p>x y</p><p>Ay y</p><p>58</p><p>A</p><p>A</p><p>A A</p><p>viz</p><p>med A</p><p>y y x xy x</p><p>x x x</p><p>A</p><p>viz</p><p>med A</p><p>f x f xy x</p><p>x x x</p><p>A A A</p><p>viz</p><p>med A A</p><p>y x y x u x u xy x</p><p>x x x x x</p><p>u</p><p>A x Ax</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>A A</p><p>Ax x</p><p>x</p><p>f x f x dfx x</p><p>dxx x</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>Ax x</p><p>x</p><p>u x u x dux</p><p>dxx x</p><p>A x</p><p>du df dy dy dxx x</p><p>dx dx dx dx</p><p>59</p><p>dx dy</p><p>f</p><p>B B</p><p>x y</p><p>x y</p><p>f x x</p><p>dx dxu dy dy v</p><p>x x</p><p>x x y y</p><p>y yB B</p><p>60</p><p>dx dy</p><p>dx dy</p><p>u v</p><p>f</p><p>dy dx</p><p>f x ,x ,x f x ,x ,x Grad f dx</p><p>f x ,x ,x</p><p>dy df Grad f dx A dx</p><p>i i , j j ij jdy f dx a dx</p><p>A</p><p>dy</p><p>tdy dy dy</p><p>t tdy dx A A dx</p><p>dx dx u</p><p>t tdy u A A u dx t tdy u A A u</p><p>dx</p><p>u B</p><p>u u</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dx dy</p><p>t t</p><p>u u A A u t t</p><p>u u A A u</p><p>dy dx</p><p>dy dx</p><p>61</p><p>tC A A t tC A A</p><p>B</p><p>uv</p><p>uv</p><p>uv</p><p>u v U V</p><p>dy dx A u u</p><p>U Udy dy dx</p><p>U U</p><p>B</p><p>B</p><p>u</p><p>v</p><p>f</p><p>V</p><p>U</p><p>x y</p><p>x y</p><p>62</p><p>u</p><p>UA u</p><p>U u</p><p>U A u</p><p>U</p><p>v</p><p>v</p><p>V A v</p><p>V</p><p>t t t t</p><p>u v</p><p>U V u A A v V U</p><p>U V U V</p><p>t t t</p><p>uv vu</p><p>u v u v</p><p>u A A v u C v</p><p>C</p><p>w u v</p><p>u w</p><p>w v</p><p>u v w uv uw vw u i v j w k</p><p>c c c</p><p>ij</p><p>ij</p><p>i j</p><p>c</p><p>i j</p><p>C</p><p>i j</p><p>ijc e C e e e e i j k</p><p>i i i iC</p><p>63</p><p>tA R A R tA R A R</p><p>t t t t t t tC A A R A R R A R R A A R R C R</p><p>tC R C R tC R C R</p><p>E C I ij ij ijE C</p><p>i i iu x x x y x x x x</p><p>i j i j iju x x x y x x x</p><p>u A I A u I</p><p>64</p><p>t t tC u I u I u u u u I</p><p>t tE u u u u</p><p>u i</p><p>u u</p><p>c c c</p><p>c c c c c</p><p>c c c</p><p>E</p><p>E E E</p><p>E</p><p>E u u u u</p><p>u y x y</p><p>E</p><p>65</p><p>tu u</p><p>E</p><p>t</p><p>lin u u i j j ilin</p><p>ij</p><p>u u</p><p>u i</p><p>v j</p><p>c</p><p>c</p><p>c c cO c O</p><p>i</p><p>lin</p><p>ij ij ijc E i j</p><p>i i i iy f x x x x d</p><p>66</p><p>id</p><p>i iu x x x d</p><p>f A I u</p><p>y x x</p><p>y x x</p><p>u x x x</p><p>u x x x</p><p>A R tC R R I E</p><p>u R I t tu u R R I lin</p><p>67</p><p>pn .n</p><p>p n</p><p>p p pI I I</p><p>iiI I I D et</p><p>f</p><p>x y</p><p>x y</p><p>B B</p><p>68</p><p>I I I</p><p>I I IR I</p><p>IQ I R</p><p>R Q</p><p>arctg Q / R</p><p>R /</p><p>R /</p><p>p Icos /</p><p>p Icos /</p><p>p Icos /</p><p>p p p p p p</p><p>max max , ,</p><p>o</p><p>p p</p><p>i jo</p><p>long</p><p>o</p><p>i j</p><p>69</p><p>u</p><p>A</p><p>u u u u</p><p>x x</p><p>70</p><p>u u</p><p>u u</p><p>71</p><p>72</p><p>t c</p><p>p</p><p>c t</p><p>p</p><p>c t</p><p>p</p><p>c t</p><p>t c</p><p>p p p, ,</p><p>p</p><p>p1</p><p>p2</p><p>t</p><p>_</p><p>t</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>73</p><p>o</p><p>p p p p p p</p><p>max max / ; / ; / /</p><p>n ,</p><p>p</p><p>p p p</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1= 2= 3</p><p>_</p><p>Mohr</p><p>1</p><p>2</p><p>_</p><p>_</p><p>_</p><p>_</p><p>=03</p><p>1 2 <</p><p>_</p><p>-( )</p><p>2 1 <</p><p>_</p><p>-( )</p><p>74</p><p>p p p p p p</p><p>oct</p><p>des des des des des des</p><p>des des des des des desJ</p><p>J</p><p>p</p><p>n h</p><p>p</p><p>_</p><p>_</p><p>_</p><p>_</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>von-Mises</p><p>n = 3</p><p>3</p><p>(1,1,1)</p><p>oct</p><p>n</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>75</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p p</p><p>p</p><p>t</p><p>p</p><p>t</p><p>p p</p><p>p</p><p>c</p><p>p</p><p>c</p><p>p p c p p</p><p>c</p><p>t</p><p>1</p><p>2</p><p>t</p><p>_</p><p>t</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>P/ =03</p><p>76</p><p>p p p pt</p><p>t</p><p>c</p><p>p</p><p>t c</p><p>,</p><p>p p p</p><p>c tan( ) ou tan( ) c</p><p>,</p><p>p pp p</p><p>sen( )</p><p>p p</p><p>cos( )</p><p>c t</p><p>c t</p><p>tan( ) c tc c t</p><p>c t</p><p>sen( ) c t</p><p>c t</p><p>cos( )</p><p>c</p><p>,( )</p><p>-</p><p>(</p><p>) 2</p><p>1</p><p>/2</p><p>1+ 2</p><p>2</p><p>+( )/2c t</p><p>__</p><p>-( )/2c t</p><p>__</p><p>/2t_</p><p>c t</p><p>__</p><p>c</p><p>c</p><p>_</p><p>t</p><p>_</p><p>L</p><p>/2t</p><p>_</p><p>/( 2 sen )t</p><p>_</p><p>C/L=tg</p><p>12</p><p>77</p><p>p p p p</p><p>p p p p psen( )max , ,</p><p>t c</p><p>c t</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>1</p><p>2</p><p>t</p><p>_</p><p>t</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>P/ =03</p><p>p</p><p>p</p><p>t</p><p>P</p><p>p p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>sen</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>P/ =03</p><p>p p</p><p>p p sen</p><p>2</p><p>t</p><p>_</p><p>t</p><p>_</p><p>c</p><p>_</p><p>p p</p><p>pn( )</p><p>c se</p><p>1</p><p>sen( )</p><p>p</p><p>n</p><p>p p) p</p><p>78</p><p>79</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>dz</p><p>dz</p><p>dx dy</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx dx dx</p><p>dx</p><p>dxdx</p><p>dx dx dx dx</p><p>80</p><p>/ E</p><p>E dx / dx</p><p>x</p><p>dx dx</p><p>dx / dx dx / dx</p><p>/ /</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>E</p><p>81</p><p>/ / G / G</p><p>G</p><p>/</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>82</p><p>( )E E E</p><p>( )( ) ( )( ) ( )( )</p><p>E ( )E E</p><p>( )( ) ( )( ) ( )( )</p><p>E E ( )E</p><p>( )( ) ( )( ) ( )( )</p><p>G</p><p>G</p><p>G</p><p>ij ijk kc C</p><p>C D</p><p>ij ijk kd D</p><p>ji ijk kc ij ji k kc</p><p>83</p><p>dy dx</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>d</p><p>L</p><p>eu</p><p>dx</p><p>0</p><p>dx</p><p>dy</p><p>FF</p><p>dy</p><p>0 0</p><p>84</p><p>L</p><p>eu d</p><p>L</p><p>L</p><p>eu</p><p>L</p><p>e</p><p>F FL Wu</p><p>L L V</p><p>L</p><p>e eV</p><p>U u dV</p><p>L</p><p>edu</p><p>d</p><p>d</p><p>du e</p><p>85</p><p>L</p><p>eu</p><p>L</p><p>e</p><p>Eu</p><p>L</p><p>eu E</p><p>E</p><p>Conceito de Lei Constitutiva não linear (uniaxial)</p><p>L</p><p>e</p><p>b cu a a</p><p>L</p><p>edu b c</p><p>d</p><p>86</p><p>t</p><p>dd d E d</p><p>d</p><p>tE</p><p>L</p><p>e</p><p>t</p><p>d u E b c</p><p>d</p><p>Outras medidas de tensão (conceituação uniaxial)</p><p>G</p><p>e</p><p>b cu E E a E a E</p><p>ue</p><p>0</p><p>0</p><p>E ( )t</p><p>87</p><p>L</p><p>euS bE cE</p><p>E</p><p>L</p><p>euK E b cE</p><p>E</p><p>L</p><p>eu d L</p><p>e k ku d</p><p>L</p><p>eu L L</p><p>e e</p><p>ij ji</p><p>ij ji</p><p>u u</p><p>L L</p><p>e e</p><p>ijk k ij</p><p>ij k k ij</p><p>u uC C</p><p>L</p><p>eu</p><p>E E</p><p>C =</p><p>88</p><p>H L</p><p>e e oz ozau u C H</p><p>eu C</p><p>H</p><p>H</p><p>e oz</p><p>ij oza oz oza oi zj oza oz oza i j</p><p>ij ij ij</p><p>ija oz ozij ij</p><p>u C C C C</p><p>C C C</p><p>H</p><p>eu II IIC C C C C C C</p><p>ijk ij kII</p><p>EG</p><p>eu S E dE</p><p>EG</p><p>e k ku S E dE</p><p>G</p><p>euS</p><p>E</p><p>G G</p><p>e e</p><p>ij ji</p><p>ij ji</p><p>u uS S</p><p>E E</p><p>G G</p><p>e e</p><p>ijk k ij</p><p>ij k k ij</p><p>u uK E K E</p><p>E E E E</p><p>SVK</p><p>e oz ozau E K E SHK</p><p>eu E EK</p><p>ij ijk kS K E S EK</p><p>89</p><p>tA S A</p><p>Det A</p><p>A</p><p>ij ijk kC C</p><p>C C C C C C</p><p>C C C C C</p><p>C C C C</p><p>C C C</p><p>Sim C C</p><p>C</p><p>ijk ijkC C</p><p>90</p><p>C C C</p><p>C C</p><p>C</p><p>C</p><p>Sim C</p><p>C</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>i j i j i jE E i j</p><p>x</p><p>x E</p><p>x E</p><p>x E</p><p>91</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ E / E / E</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>/ G</p><p>EG</p><p>o</p><p>x E</p><p>x E</p><p>x E</p><p>92</p><p>G</p><p>G</p><p>G</p><p>o</p><p>n</p><p>t</p><p>n n n n t</p><p>n n</p><p>t</p><p>n n n n G</p><p>n n</p><p>n n</p><p>n n</p><p>n n E E E</p><p>n n</p><p>E G E</p><p>G E</p><p>G E</p><p>93</p><p>G</p><p>G</p><p>G</p><p>ij ij kk ijG E</p><p>Trac I</p><p>G E</p><p>ij ij kk ijG G Trac I</p><p>E G</p><p>ijkl ik jl ij kl2GC 2G II I IC</p><p>v</p><p>dV dV dV</p><p>dV dV</p><p>94</p><p>dV dx dx dx dx dx dx</p><p>ijk i j kdV dy dy dy dy dy dy</p><p>z zdy a dx a</p><p>ijk i j k ijk i j k ijk i j ka dx dV a dx a dx a dx a dx a dx a a a dV</p><p>k</p><p>i i k kdx dx</p><p>dV Det A dV</p><p>v Det A</p><p>Det A</p><p>tDet A A Det C Det A</p><p>Det C</p><p>p p pDet C Det</p><p>dx</p><p>dxdx</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>dy</p><p>dy</p><p>dy</p><p>f x x x</p><p>dV</p><p>dV</p><p>n</p><p>95</p><p>p p p p p p p p p p p p p p p</p><p>v</p><p>p p p p p p</p><p>v</p><p>v ii Trac</p><p>v ii ii kk m hG E E E E</p><p>h v</p><p>E</p><p>EK</p><p>96</p><p>p</p><p>tampa</p><p>rígida</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>x</p><p>i i</p><p>E G E</p><p>G E</p><p>E</p><p>G</p><p>ij ij kk ijG E</p><p>Trac I</p><p>G E</p><p>i j</p><p>97</p><p>y</p><p>/ E / E</p><p>/ E / E</p><p>/ G</p><p>y</p><p>E / ( ) E / ( )</p><p>E / ( ) E / ( )</p><p>G</p><p>ij ij kk ijG G Trac I</p><p>i j</p><p>E</p><p>v E</p><p>p</p><p>98</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>água EPD</p><p>água</p><p>( )E E</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>E ( )E</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>G</p><p>p</p><p>E ( )</p><p>( )( ) p ( )</p><p>ij ij kk ijG G Trac I</p><p>i j</p><p>99</p><p>ij ij kk ijG G</p><p>Trac I</p><p>G G</p><p>ij ij kk ijG E</p><p>Trac I</p><p>G E</p><p>ij ij kk ijG G</p><p>p</p><p>100</p><p>u</p><p>Equilíbrio (3):</p><p>ji j i ib u</p><p>tDiv b u</p><p>Relação tensão / deformação (6):</p><p>ij ij kk ijG E</p><p>Trac I</p><p>G E</p><p>ij ij kk ijG G Trac I</p><p>Relação deslocamento / deformação (6):</p><p>i j j i</p><p>ij</p><p>u u tu u</p><p>que são 15 equações para 15 incógnitas ij , ij e iu .</p><p>Condições de contorno em forças de superfície e em deslocamento</p><p>i ji j ij jp n n tp n n</p><p>101</p><p>i iu u u u</p><p>p</p><p>p</p><p>u</p><p>u</p><p>u p</p><p>102</p><p>103</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>y z</p><p>y z</p><p>104</p><p>ij i j j i k k ijG u u u</p><p>ij i ji i</p><p>ji i i ji j ii k ki ij i ji j ii k kj i ji j ii i ijG u u u G u u u G u u u</p><p>i ij j ii i ij j jG u u u b u j ii j ji j jGu G u b u</p><p>j ju Div u</p><p>G u G Grad Div u u G u G u u</p><p>j j jju Trac e j ji jj i iu e</p><p>G u G Grad e u G u G e u</p><p>u Div Grad u</p><p>105</p><p>u u u u</p><p>x x</p><p>u u</p><p>u u</p><p>ij km km ij ik jm jm ik</p><p>zz zzG E G E G G</p><p>G E</p><p>zz zz</p><p>106</p><p>zz zz</p><p>b b</p><p>b b</p><p>b b</p><p>b b b</p><p>zz zz b b b</p><p>zz</p><p>zz ii ii zz zz ii zz b b b</p><p>zz ii ii zz zz ii zz b b b</p><p>zz ii ii zz zz ii zz b b b</p><p>zz ii</p><p>zz ii b b b</p><p>ii zz k kb b</p><p>ii zz k kb b</p><p>ii zz k kb b</p><p>k k ii zz k k k kb b</p><p>107</p><p>kkG E G G G</p><p>kk</p><p>x x</p><p>b b</p><p>kkb b</p><p>kk</p><p>ii b b</p><p>kk</p><p>ii b b</p><p>kk</p><p>ii b b</p><p>jk ii zz jk jk j k k jb b b</p><p>108</p><p>j j jf g f g</p><p>f g ij ij iu</p><p>ij ij iu</p><p>ij i ij i ij ij i</p><p>i k i k i i ku u u u</p><p>ijk k ijk k ijk k kC C C</p><p>ij ij</p><p>ij ij ij ija</p><p>ija</p><p>ij i ja c</p><p>ij ij</p><p>ij i jb ij i jb</p><p>ij i ij i ij i j j ja b b</p><p>109</p><p>u u u</p><p>x x</p><p>Lei constitutiva isotrópica (Hooke)</p><p>110</p><p>ij ij ij kkG i j k</p><p>ij ij ij kkG</p><p>i j k</p><p>Relação deslocamento-deformação - cinemática</p><p>ij i j j iu u i j</p><p>Equações de equilíbrio</p><p>ij i j jb i j</p><p>x</p><p>G G</p><p>b b</p><p>111</p><p>b b</p><p>ii kk b</p><p>b</p><p>x</p><p>Lei constitutiva isotrópica (Hooke)</p><p>ij ij ij kkG i j k</p><p>E</p><p>ij</p><p>ij ij kkG E</p><p>i j k</p><p>Relação deslocamento-deformação - cinemática</p><p>ij i j j iu u i j</p><p>112</p><p>x</p><p>u</p><p>x x</p><p>x u x x x</p><p>u u u u</p><p>u u x</p><p>Equações de equilíbrio</p><p>ij i j jb i j</p><p>b</p><p>113</p><p>G E G E G</p><p>b b</p><p>b b</p><p>ii kk b</p><p>b</p><p>u</p><p>b</p><p>114</p><p>b</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V b V b</p><p>V b V b</p><p>V</p><p>V b V b</p><p>115</p><p>V V V V b b</p><p>V V V V</p><p>V V</p><p>V V</p><p>V</p><p>ax V</p><p>b b</p><p>a</p><p>116</p><p>x x x</p><p>a</p><p>x</p><p>x x R</p><p>x</p><p>tm tn t tv</p><p>x p m</p><p>x c p n</p><p>a</p><p>x p</p><p>x c p v</p><p>a</p><p>a p</p><p>x</p><p>xc</p><p>c</p><p>p a</p><p>p a</p><p>m</p><p>n</p><p>v</p><p>117</p><p>ax V</p><p>b b</p><p>ax</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>c</p><p>A A c</p><p>M t x dA x dA e ax dx e a c</p><p>e c h h</p><p>M Ma</p><p>Ieh</p><p>I a</p><p>M x</p><p>I</p><p>118</p><p>Cálculo do campo de deslocamento</p><p>- EPD</p><p>G a x G Ax</p><p>a x G Bx</p><p>A B</p><p>u Ax u Ax x f x c</p><p>u Bx u Bx f x c</p><p>u u Ax f x f x</p><p>x x</p><p>c Ax f x c f x</p><p>c</p><p>c</p><p>acac</p><p>x</p><p>x</p><p>119</p><p>f x c Ax f x c x Ax</p><p>f x c f x c x</p><p>c c</p><p>u x x Ax x c x c</p><p>u x x Bx c x Ax c</p><p>c c c</p><p>x x</p><p>u c</p><p>u c</p><p>u</p><p>x</p><p>c</p><p>a A B</p><p>Mu x x x x</p><p>G I</p><p>Mu x x x x</p><p>GI</p><p>x</p><p>Mu x x x x</p><p>EI</p><p>Mu x x x x</p><p>EI</p><p>x</p><p>120</p><p>q x x h x h x x x</p><p>h</p><p>V</p><p>q h x x x x</p><p>h</p><p>q x h x</p><p>h</p><p>q x h x</p><p>h</p><p>q x x h x h x x</p><p>h</p><p>q x x h x x</p><p>h</p><p>q x</p><p>h</p><p>q x</p><p>h</p><p>q qx x</p><p>h h</p><p>x h x h</p><p>qx h h h q p</p><p>h</p><p>p</p><p>x</p><p>x</p><p>q</p><p>q</p><p>h</p><p>h</p><p>121</p><p>x h q p p</p><p>x p p</p><p>qp x h x x</p><p>h</p><p>qp x h x</p><p>h</p><p>h h</p><p>A h h</p><p>qF dA e dx e h x x dx</p><p>h</p><p>h h</p><p>A h h</p><p>q q h hM x dA x edx e h x x dx e</p><p>h h</p><p>h h</p><p>A h h</p><p>q q hF dA e dx e h x dx e q e</p><p>h h</p><p>x</p><p>M F p</p><p>dp q h x x h</p><p>dx h</p><p>crit q qp</p><p>qx x h x x</p><p>h</p><p>d q h x</p><p>dx h</p><p>critx h h</p><p>x h</p><p>122</p><p>q</p><p>h</p><p>h q</p><p>ax x bx cx x dx e</p><p>c</p><p>c</p><p>o</p><p>x</p><p>x</p><p>a x a</p><p>a</p><p>a</p><p>a x a</p><p>aa</p><p>d x dx</p><p>d cd c</p><p>e x x ex x</p><p>e c</p><p>e x x</p><p>e x</p><p>e ce c</p><p>b x x b</p><p>b</p><p>123</p><p>a b</p><p>c V gx</p><p>V gx</p><p>x xf f x x</p><p>f c</p><p>f c</p><p>x xf</p><p>xf</p><p>f c</p><p>f c</p><p>x xf</p><p>f x x</p><p>f c</p><p>f c</p><p>g x g x</p><p>g c g c</p><p>h x</p><p>h c</p><p>hc</p><p>h x x</p><p>h x x h x</p><p>h</p><p>h</p><p>h</p><p>h</p><p>b</p><p>x</p><p>x</p><p>124</p><p>x bx x cxa x x</p><p>h</p><p>a</p><p>h</p><p>a x</p><p>h</p><p>a a</p><p>h h</p><p>xaV x x cx gx</p><p>h</p><p>axV bx gx</p><p>h</p><p>ax x bx</p><p>h</p><p>p</p><p>p h b a x a b</p><p>x a xp b</p><p>h</p><p>x</p><p>a xp b</p><p>h</p><p>x</p><p>h</p><p>h V V V</p><p>a x b dx b dV V dV gdV g h</p><p>h</p><p>a h b h g h</p><p>h</p><p>a b g</p><p>p</p><p>ahp h bh gh</p><p>h</p><p>a b g</p><p>a b g</p><p>125</p><p>a</p><p>xg x x cx gx</p><p>h</p><p>x p</p><p>h h</p><p>h h</p><p>xp dx g x cx gx dx</p><p>h</p><p>c</p><p>c</p><p>h</p><p>h</p><p>h h h hp x dx g c g</p><p>h</p><p>c g</p><p>h</p><p>a b c</p><p>b</p><p>m x m xsen f x h x</p><p>m</p><p>126</p><p>x</p><p>Carregamento ante-simétrico</p><p>m xsen f x</p><p>m</p><p>sen x f sen x f sen x f</p><p>sen x</p><p>f f f</p><p>m m m mf x c x c senh x c x x c x senh x</p><p>mc mc mc mc</p><p>m</p><p>x xe esenh x</p><p>x xe ex</p><p>m m m mm xsen c x c senh x c x x c x senh x</p><p>c</p><p>c</p><p>x</p><p>x</p><p>127</p><p>m m msen x c x c senh x</p><p>m mc senh x x x c x x x senh x</p><p>m m m m msen x c x c senh x c x x c x senh x</p><p>m m mx c senh x c x</p><p>m mc x x senh x c senh x x x</p><p>Bordo superior:</p><p>p x c p x c</p><p>Bordo inferior:</p><p>p x c p x c</p><p>m</p><p>mx c B sen m x m</p><p>mx c A sen m x</p><p>m x c m x c</p><p>m m</p><p>m mA B F m mA B</p><p>m mA B</p><p>x c</p><p>m</p><p>x x</p><p>A</p><p>B</p><p>F F x x</p><p>m</p><p>A</p><p>B</p><p>F F</p><p>128</p><p>m m mA B senh c c cc</p><p>senh c c</p><p>m m mA B c c senh cc</p><p>senh c c</p><p>m m mA B cc</p><p>senh c c</p><p>m m mA B senh cc</p><p>senh c c</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c senh c x x senh x senh c</p><p>A B sen x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c senh x x x c</p><p>A B sen x</p><p>senh c c</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c senh c x x senh x senh c</p><p>A B sen x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c senh x x x c</p><p>A B sen x</p><p>senh c c</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c c senh x x x x senh cA B x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c x x senh x x cA B x</p><p>senh c c</p><p>x x</p><p>A B</p><p>c c A B A B</p><p>A B</p><p>Carregamento simétrico</p><p>m x h x</p><p>129</p><p>x h x h x h</p><p>x</p><p>h h h</p><p>m m m mh x c x c senh x c x x c x senh x</p><p>mc mc mc mc</p><p>m m m m mm x c x c senh x c x x c x senh x</p><p>m</p><p>mx c B m x m</p><p>mx c A m x</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c senh c x x senh x senh c</p><p>A B x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c senh x x x c</p><p>A B x</p><p>senh c c</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c senh c x x senh x senh c</p><p>A B x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c senh x x x c</p><p>A B x</p><p>senh c c</p><p>m</p><p>m m</p><p>m m</p><p>c c c senh x x x x senh cA B sen x</p><p>senh c c</p><p>c senh c c x x senh x x cA B sen x</p><p>senh c c</p><p>A B</p><p>A</p><p>B</p><p>m</p><p>x x</p><p>A</p><p>B</p><p>m</p><p>xx</p><p>130</p><p>Superposição dos carregamentos e soluções - série de Fourier:</p><p>s</p><p>m m</p><p>m m</p><p>m x m xp x x c B B sen B</p><p>i</p><p>m m</p><p>m m</p><p>m x m xp x x c A A sen A</p><p>mA mA mB mB</p><p>A B</p><p>x x</p><p>sx c p x</p><p>ix c p x</p><p>131</p><p>A mA mA B mB mB</p><p>iA p x dx x c dx</p><p>i</p><p>m</p><p>m x m xA p x sen dx x c sen dx</p><p>i</p><p>m</p><p>m x m xA p x dx x c dx</p><p>sB p x dx x c dx</p><p>s</p><p>m</p><p>m x m xB p x sen dx x c sen dx</p><p>s</p><p>m</p><p>m x m xB p x dx x c dx</p><p>A B</p><p>m ante sim m sim</p><p>m m</p><p>x x</p><p>m ante sim m sim</p><p>m m</p><p>x x A</p><p>m ante sim m sim</p><p>m m</p><p>x x</p><p>132</p><p>m</p><p>m</p><p>m xx c B B</p><p>m</p><p>m</p><p>m xx c A A</p><p>B qdx q</p><p>m</p><p>qB q m x dx sen m x</p><p>m</p><p>a</p><p>a</p><p>q qA dx dx dx q</p><p>a a</p><p>a</p><p>m a</p><p>q qA m x dx m x dx m x dx</p><p>a a</p><p>a</p><p>a</p><p>q q m asen m x sen m x sen</p><p>a m ma</p><p>m</p><p>q m aA sen</p><p>ma</p><p>q kN cm cm c cm a cm</p><p>kN cm kN cm o</p><p>x kN cm</p><p>a aa a</p><p>c</p><p>c</p><p>q</p><p>q aq a</p><p>x</p><p>x</p><p>133</p><p>kN cm kN cm</p><p>133</p><p>P</p><p>P x x</p><p>P r r P r</p><p>x</p><p>P</p><p>x r</p><p>x r sen</p><p>x x r</p><p>P</p><p>r</p><p>x</p><p>x</p><p>134</p><p>x xdx dr d</p><p>r</p><p>x xdx dr d</p><p>r</p><p>x x</p><p>dx drr</p><p>dx x x d</p><p>r</p><p>dx rsen dr</p><p>dx sen r d</p><p>r rdr dx dx</p><p>x x</p><p>d dx dx</p><p>x x</p><p>r r</p><p>x x dxdr</p><p>dxd</p><p>x x</p><p>r r</p><p>senx x</p><p>T sen</p><p>r rx x</p><p>x x</p><p>i r i if f r f</p><p>r</p><p>rf r f r f r</p><p>x x</p><p>135</p><p>r</p><p>rf r f r f r</p><p>x x</p><p>r rt</p><p>r</p><p>f r f r f rx x</p><p>f T</p><p>f r f r f rr</p><p>x x</p><p>r</p><p>sen</p><p>f r f rr</p><p>f r f r</p><p>sen</p><p>r</p><p>r</p><p>seng r f r f r f r</p><p>r</p><p>rh r f r sen f r f r</p><p>r</p><p>r</p><p>sen</p><p>f r g r g rr</p><p>f r g r g r</p><p>sen</p><p>r</p><p>r rr r</p><p>seng r f r f r</p><p>r</p><p>rg r sen f r f r</p><p>r</p><p>f f f ff sen sen</p><p>r r r r r r</p><p>f f f ff sen sen</p><p>r r r r r r</p><p>h</p><p>f f f ff sen sen</p><p>r r r r r r</p><p>136</p><p>f f ff f f</p><p>r r r r</p><p>r r r r</p><p>r r r r r r r r</p><p>Tensão e deformação</p><p>P</p><p>x</p><p>x</p><p>x r</p><p>x nn</p><p>x</p><p>x r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>137</p><p>n</p><p>r x x</p><p>x x</p><p>tR R</p><p>r r</p><p>r</p><p>n n n</p><p>n</p><p>r r</p><p>r</p><p>n n n</p><p>n</p><p>t n n sen</p><p>R</p><p>sen</p><p>tm</p><p>r cte</p><p>r r</p><p>r</p><p>n n n</p><p>n</p><p>r r</p><p>r</p><p>n n n</p><p>n</p><p>r cte</p><p>Relação Deformação - Deslocamento</p><p>r</p><p>sen</p><p>f r f r f r f r sen</p><p>r r</p><p>138</p><p>r</p><p>r</p><p>senu u u u</p><p>senu u u u</p><p>r r</p><p>u R u</p><p>ruu n u usen sen</p><p>uu n u usen sen</p><p>r r</p><p>r</p><p>senu u u usen sen</p><p>senu u u usen sen</p><p>r r</p><p>u</p><p>x x</p><p>tu R u R</p><p>r rt t</p><p>r</p><p>senu u u u</p><p>R R R R R Rsenu u u u</p><p>r r</p><p>r r rt</p><p>qr</p><p>senu u u</p><p>u I R R I Rsenu u u</p><p>r r</p><p>r r r</p><p>r</p><p>u u u</p><p>u</p><p>u u u</p><p>r</p><p>r</p><p>r r</p><p>r r r</p><p>r r r</p><p>r</p><p>u u</p><p>uu u u ru</p><p>u u u u u</p><p>ur</p><p>r</p><p>139</p><p>tu u</p><p>r r r r</p><p>r rt</p><p>r r</p><p>r r</p><p>uu u u</p><p>r r</p><p>u u</p><p>u uu u u</p><p>r r r r</p><p>r</p><p>rr</p><p>u</p><p>r</p><p>r uu</p><p>r r</p><p>r</p><p>r</p><p>u uu</p><p>r r r</p><p>Relação tensão-deformação</p><p>Estado Plano de tensões (EPT):</p><p>r</p><p>r r rG</p><p>rG</p><p>r rG</p><p>140</p><p>E EG</p><p>E</p><p>r r rG E</p><p>rG E</p><p>r rG</p><p>rE</p><p>Estado Plano de deformações (EPD):</p><p>r</p><p>r r rG</p><p>rG</p><p>r rG</p><p>E G EG</p><p>E</p><p>r r rG</p><p>141</p><p>rG</p><p>r rG</p><p>p r( ) p r( )</p><p>Divergente da força de domínio - Equação de compatibilidade em tensões</p><p>r</p><p>rb r b r b r</p><p>x x</p><p>r</p><p>rb r b r b r</p><p>x x</p><p>b R b</p><p>rbb n senb</p><p>bb n senb</p><p>r r r</p><p>rb r b b sen b b sen</p><p>x x</p><p>r r r</p><p>rb r b sen b b sen b b</p><p>x x</p><p>r bbb b b</p><p>r r</p><p>142</p><p>r b</p><p>r b</p><p>Equações de Equilíbrio</p><p>r dr d</p><p>r dr d dV rdrd</p><p>r r d</p><p>d</p><p>d</p><p>r r d</p><p>r r rdr</p><p>r r rdr</p><p>r r rdr</p><p>r r rdr</p><p>rb</p><p>b</p><p>r</p><p>d</p><p>d</p><p>x</p><p>x</p><p>143</p><p>r r d r r d</p><p>r r d d r r d d</p><p>r r d sen d r r d sen d</p><p>d d</p><p>r</p><p>d sen d d sen d</p><p>d d d d</p><p>d d sen d d</p><p>d d dr d d dr b rd dr</p><p>r r r r r rdr r dr d dr r dr d</p><p>r r r rd sen d dr d sen d dr</p><p>r r rr rb</p><p>r</p><p>r r b u</p><p>r r r</p><p>r rr</p><p>r rb u</p><p>r r r</p><p>144</p><p>O problema da elasticidade em coordenadas polares</p><p>r r r r</p><p>ru u</p><p>- Funções de tensão de Airy em coordenadas polares</p><p>r V</p><p>x</p><p>V</p><p>x</p><p>r x x</p><p>145</p><p>x x</p><p>r</p><p>x x x x</p><p>r</p><p>V</p><p>r r V</p><p>r r r r r r</p><p>r</p><p>Vb</p><p>r</p><p>Vb</p><p>r</p><p>V</p><p>V</p><p>r r r r</p><p>r r r r r r r r</p><p>x</p><p>x</p><p>x r</p><p>x</p><p>x V</p><p>x V</p><p>r</p><p>146</p><p>x</p><p>d V</p><p>dr r</p><p>d V</p><p>r dr r</p><p>d d d d d d d d d V d</p><p>dr r dr dr r dr dr r dr r dr r dr dr r dr</p><p>r</p><p>d d d d</p><p>dr r dr r dr r dr</p><p>Ar r B r C r D</p><p>A B C e D</p><p>r</p><p>r r</p><p>r</p><p>CA r A B</p><p>r</p><p>CA r A B</p><p>r</p><p>r</p><p>10.3.1. Cilindro maciço</p><p>147</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>cte</p><p>rr</p><p>A C</p><p>r</p><p>A C</p><p>r B B r</p><p>r</p><p>10.3.2. Tubo (ou anel) de parede espessa</p><p>r</p><p>b r r bp b b</p><p>148</p><p>r</p><p>r aa</p><p>r bb</p><p>r</p><p>rr</p><p>u</p><p>r</p><p>ru</p><p>r r</p><p>r</p><p>r</p><p>du K K</p><p>dr</p><p>r</p><p>r</p><p>u K K</p><p>r</p><p>a</p><p>b</p><p>r aa</p><p>b</p><p>r b</p><p>149</p><p>K</p><p>E</p><p>K</p><p>K</p><p>E</p><p>K</p><p>ru</p><p>ru K Ar r Ar Br C r K Ar r Ar Br C r F</p><p>ru K Ar r Ar Br C r K Ar r Ar Br C r</p><p>Ar F</p><p>r A F</p><p>B C</p><p>a</p><p>C B</p><p>a</p><p>b</p><p>C B</p><p>b</p><p>a ba b</p><p>C</p><p>b a</p><p>b ab aB</p><p>b a</p><p>r</p><p>Cu K B K r K</p><p>r</p><p>b b</p><p>150</p><p>ab</p><p>C a</p><p>b</p><p>B</p><p>10.3.4. Flexão pura de barra curva</p><p>r</p><p>CA r A B</p><p>r</p><p>CA r A B</p><p>r</p><p>r</p><p>M</p><p>M</p><p>a</p><p>b</p><p>r</p><p>r</p><p>151</p><p>r ra b r ra b</p><p>r r</p><p>b</p><p>a</p><p>r r dr M</p><p>CA a A B</p><p>a</p><p>CA b A B</p><p>b</p><p>V</p><p>d</p><p>dr</p><p>b</p><p>b b</p><p>a a</p><p>a</p><p>d d dr dr r dr</p><p>dr dr dr</p><p>r r r</p><p>r a r b</p><p>b</p><p>a</p><p>M</p><p>A b b a a B b a C b a M</p><p>A B C</p><p>152</p><p>M bC a b</p><p>N a</p><p>MA b a</p><p>N</p><p>MB b a b b a a</p><p>N</p><p>bN b a a b</p><p>a</p><p>r</p><p>M a b b r ab a</p><p>N r a b r</p><p>M a b b r ab a b a</p><p>N r a b r</p><p>r</p><p>c c</p><p>r r r rM M</p><p>Ar r r r b a r re</p><p>e</p><p>cr a b b ar</p><p>b a</p><p>r</p><p>b a</p><p>153</p><p>r h r f</p><p>h r f</p><p>10.4.1 - Carregamento concentrado longitudinal em uma cunha simétrica:</p><p>P x</p><p>r f</p><p>r</p><p>r</p><p>f</p><p>r r r</p><p>r R</p><p>x</p><p>x</p><p>P</p><p>r</p><p>R</p><p>r</p><p>d</p><p>d</p><p>R d</p><p>R</p><p>rdF Rd</p><p>dF sen</p><p>dF</p><p>x</p><p>x</p><p>154</p><p>d f d f f</p><p>d d</p><p>f Asen B C sen D</p><p>r</p><p>d ff r C D sen</p><p>r r r r r d r</p><p>r R</p><p>x x x</p><p>x</p><p>r Rd P</p><p>rsen Rd</p><p>r R</p><p>C D sen Rd P</p><p>R</p><p>sen C D sen Rd</p><p>R</p><p>C sen D P C sen P</p><p>PC</p><p>sen</p><p>D sen C D sen D</p><p>155</p><p>r</p><p>P</p><p>sen r r</p><p>r</p><p>P r sen</p><p>sen</p><p>r Rd</p><p>10.4.2 - Carregamento transversal em uma cunha simétrica:</p><p>r</p><p>x</p><p>x</p><p>P</p><p>r</p><p>R</p><p>r</p><p>156</p><p>r</p><p>f</p><p>r r r</p><p>r</p><p>d ff r C D sen</p><p>r r r r r d r</p><p>C D sen Rd</p><p>R</p><p>sen C D sen Rd P</p><p>R</p><p>C PD</p><p>sen</p><p>r</p><p>P sen</p><p>sen r r</p><p>P r</p><p>sen</p><p>10.4.3 - Cunha assimétrica sob carregamento concentrado no vértice:</p><p>x x</p><p>A B</p><p>157</p><p>x</p><p>r</p><p>A</p><p>r</p><p>A</p><p>r</p><p>B</p><p>r</p><p>Bsen</p><p>r</p><p>AP A d AP A sen d</p><p>BP B sen d BP B sen d</p><p>A AP sen</p><p>sen A AP</p><p>B BP B BP sen sen</p><p>A B</p><p>A BP P P A BP P P</p><p>A Bsen sen P</p><p>R</p><p>r r</p><p>x</p><p>x</p><p>AP</p><p>AP</p><p>A Ar sen</p><p>R</p><p>r r</p><p>x</p><p>x</p><p>BP</p><p>BP</p><p>B B r</p><p>158</p><p>A B sen sen P</p><p>o s sen sen c</p><p>P P</p><p>c P s o P</p><p>A</p><p>c s o</p><p>c P s o P</p><p>B</p><p>c s o</p><p>r</p><p>P c o s sen P c sen o s</p><p>r c s o</p><p>P</p><p>x</p><p>x</p><p>P</p><p>r</p><p>P</p><p>x</p><p>x</p><p>159</p><p>10.4.4 - Momento concentrado aplicado no vértice de uma cunha:</p><p>senM</p><p>sen</p><p>r</p><p>M</p><p>r sen r</p><p>M</p><p>r sen</p><p>r r sen rd</p><p>r rsen rd</p><p>r r d M</p><p>r</p><p>x x</p><p>x</p><p>x rr</p><p>R</p><p>r</p><p>M</p><p>d</p><p>d</p><p>r Rd</p><p>r Rd sen</p><p>x</p><p>x</p><p>160</p><p>r</p><p>M</p><p>r sen r</p><p>M</p><p>r sen</p><p>x</p><p>x</p><p>rr</p><p>r</p><p>M</p><p>P</p><p>M P x</p><p>x x</p><p>x</p><p>P</p><p>161</p><p>10.4.5 - Meio semi-infinito com carregamento concentrado - Detalhe para soma de tensões:</p><p>P r sen P r</p><p>r</p><p>P</p><p>r r</p><p>P sen</p><p>r r</p><p>r P sen P</p><p>r r</p><p>x</p><p>x</p><p>P</p><p>P</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>162</p><p>Ao AP</p><p>BP Bo</p><p>A B</p><p>A B</p><p>A</p><p>A r</p><p>B</p><p>B r</p><p>A B</p><p>x x</p><p>A AA A A A A A</p><p>r r</p><p>A AA A A A A A</p><p>r</p><p>sen sen</p><p>sen sen</p><p>B BB B B B B B</p><p>r r</p><p>B BB B B B B B</p><p>r</p><p>sen sen</p><p>sen sen</p><p>A A A A AA A</p><p>AA A A A A</p><p>senP</p><p>rsen sen</p><p>B B B B BB B</p><p>BB B B B B</p><p>senP</p><p>rsen sen</p><p>AP</p><p>BP</p><p>A</p><p>B</p><p>x</p><p>x</p><p>Ao Bo</p><p>163</p><p>A A B B</p><p>A A B B</p><p>10.4.6 - Carregamento uniformemente distribuído em parte do semi-infinito:</p><p>x x</p><p>q q sensen r r</p><p>r r r r r r</p><p>q sen</p><p>r</p><p>r qr q</p><p>x</p><p>x</p><p>q</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>164</p><p>r</p><p>q q qr</p><p>r r r r</p><p>r r r</p><p>qr</p><p>A A A A Aq sen r</p><p>A A A A A A Aq r r sen r</p><p>A A A Aq r x x</p><p>B B B B Bq sen r</p><p>B B B Bq r x x</p><p>A B A A B B B Aq r r x x x</p><p>A A B Bq r r x a</p><p>q</p><p>q</p><p>q</p><p>B A</p><p>Ax</p><p>Bx</p><p>x</p><p>x</p><p>BxAx</p><p>x x</p><p>Bo</p><p>Ao</p><p>a</p><p>165</p><p>A A B Bq r r</p><p>A A Aq r B B Bq r</p><p>A B</p><p>10.4.7 - Carregamento tangencial uniformemente distribuído em parte do semi-infinito:</p><p>A A A B B Bq r sen r sen</p><p>10.4.8 - Carregamento transversal qualquer sobre semi-infinito:</p><p>q</p><p>B A</p><p>AxBx</p><p>x x</p><p>a</p><p>166</p><p>dPd r</p><p>dP q d</p><p>qd r d</p><p>a</p><p>q r d</p><p>Br x Bx r</p><p>rsen x cte r x sen</p><p>B A</p><p>Ax</p><p>Bx</p><p>xx</p><p>a</p><p>d q</p><p>q d</p><p>P</p><p>x</p><p>Br</p><p>Ar</p><p>r</p><p>167</p><p>Bx x</p><p>sen</p><p>Bx</p><p>d dx</p><p>d d sen</p><p>xd d</p><p>sen</p><p>r x sen</p><p>A</p><p>B</p><p>x q d</p><p>sen</p><p>A</p><p>B</p><p>A A B B</p><p>A A B B</p><p>x xq d q</p><p>sen sen sen sen sen</p><p>A</p><p>A</p><p>x r</p><p>sen</p><p>B</p><p>B</p><p>x r</p><p>sen</p><p>AA</p><p>A</p><p>x</p><p>sen x</p><p>BB</p><p>B</p><p>x</p><p>sen x</p><p>A A A B B B A A B B B Aq qr x x r x x r r x x x</p><p>A A B Bq r r ax</p><p>ax</p><p>A A B Bq r r</p><p>A A A A A B B B B Bq r r sen r r sen</p><p>168</p><p>Bo B x</p><p>q q sensen r r</p><p>A</p><p>10.4.9 - Ensaio diametral de um corpo de prova cilíndrico:</p><p>r r</p><p>r r</p><p>r</p><p>r</p><p>P</p><p>P r sen r</p><p>PP x</p><p>x</p><p>o o</p><p>r r</p><p>PP x</p><p>x</p><p>o o</p><p>r r</p><p>169</p><p>r</p><p>r</p><p>P</p><p>P rr sen</p><p>d r d r</p><p>rr d</p><p>r r</p><p>r r</p><p>P</p><p>d</p><p>h P</p><p>d</p><p>rr</p><p>d</p><p>rr</p><p>Rot</p><p>Rot</p><p>h</p><p>170</p><p>r tR R</p><p>n sen</p><p>R</p><p>n sen</p><p>r tR R</p><p>sensen</p><p>R</p><p>sensen</p><p>sen senP P</p><p>r rsen sen sen sen</p><p>sen senP P</p><p>r rsen sen sen sen</p><p>h</p><p>ij</p><p>x o</p><p>h P d r r</p><p>d</p><p>P</p><p>d</p><p>171</p><p>10.4.10 - Orifício em uma chapa:</p><p>b</p><p>b a</p><p>b</p><p>S r</p><p>r S r Ssen</p><p>r b S r b</p><p>r b S r b sen</p><p>r</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>SS</p><p>x</p><p>x</p><p>b</p><p>172</p><p>f r</p><p>f r Ar Br C D</p><p>r</p><p>r r</p><p>r</p><p>S a S a a</p><p>r r r</p><p>S a S a</p><p>r r</p><p>r</p><p>S a a sen</p><p>r r</p><p>r a</p><p>r r S S</p><p>d a S sen</p><p>a S a S</p><p>x</p><p>173</p><p>S</p><p>r</p><p>S a S a a</p><p>r r r</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>x</p><p>x</p><p>174</p><p>S a S a</p><p>r r</p><p>r</p><p>S a a sen</p><p>r r</p><p>S S</p><p>10.4.11 - Flexão simples de uma barra circular:</p><p>f r sen</p><p>d d d f df f</p><p>dr r dr r dr r dr r</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>b</p><p>r</p><p>175</p><p>f r Ar B C r D r r</p><p>r</p><p>r</p><p>B DAr sen</p><p>r r</p><p>B DAr sen</p><p>r r</p><p>r</p><p>B DAr</p><p>r r</p><p>A B D</p><p>r r r ra b b a</p><p>B DAa</p><p>a a</p><p>B DAb</p><p>b b</p><p>r</p><p>r</p><p>b b</p><p>b b</p><p>ra a</p><p>a a</p><p>BP r dr dr Ar C D r</p><p>r r r r</p><p>b a bA b a B D P</p><p>a b a</p><p>PA</p><p>N</p><p>Pa bB</p><p>N</p><p>PD a b</p><p>N</p><p>176</p><p>bN a b a b</p><p>a</p><p>r</p><p>P a b a br sen</p><p>N r r</p><p>P a b a br sen</p><p>N r r</p><p>r</p><p>P a b a br</p><p>N r r</p><p>Bu D s D r A r sen Ksen L Hr</p><p>E r</p><p>Bv D sen D r A r D K Lsen Hr</p><p>E r</p><p>K L H</p><p>r a b</p><p>v a b</p><p>u a b</p><p>a b</p><p>dv</p><p>dr</p><p>177</p><p>H L D E</p><p>K</p><p>BK D a b A a b</p><p>a b</p><p>10.4.12 - Anel ou tubo sob cisalhamento puro</p><p>tM</p><p>tM b b a a</p><p>r</p><p>t</p><p>r</p><p>M</p><p>r</p><p>b</p><p>a</p><p>r</p><p>a</p><p>b</p><p>178</p><p>ij i j j i k k ijG u u u</p><p>ij i ji i</p><p>ji i i ji j ii k ki ij i ji j ii k kj i ji j ii i ijG u u u G u u u G u u u</p><p>i ij j ii i ij j jG u u u b u i jj j ji i iGu G u b u</p><p>j ju Div u</p><p>G u G Grad Div u b u G u G u b u</p><p>u Div Grad u</p><p>11.1 - Vetor de Galerkin:</p><p>179</p><p>i jj j ji i i</p><p>G Gu u b u</p><p>G G G G</p><p>i jj j ji i iu u b u</p><p>G G</p><p>u b uu</p><p>G G</p><p>G</p><p>j j mm m jmu G G u G G</p><p>i i mm m imu G G</p><p>j j j mmj m jmju G G</p><p>j ji j mmji m jmjiu G G</p><p>j ji j mmji</p><p>m jmji</p><p>u G</p><p>G</p><p>i j i mmj m imju G G</p><p>i jj i mmjj m imjju G G</p><p>j mmji</p><p>i jj j ji m jmji i mmjj m imjj</p><p>G</p><p>u u G G G</p><p>180</p><p>j mmji m jjmi m jmji m imjjG G G G</p><p>i jj j ji i mmjju u G uu G</p><p>i i</p><p>i mmjj</p><p>b uG</p><p>G G</p><p>b uG</p><p>G G</p><p>G G</p><p>G u</p><p>11.2 - Solução fundamental de Kelvin:</p><p>F G</p><p>i i mmF G</p><p>i</p><p>i jj i</p><p>bF</p><p>G</p><p>s f</p><p>f s f s f s</p><p>181</p><p>s f d</p><p>s i i i ir x r r r r r</p><p>jj</p><p>jj</p><p>s fF</p><p>G</p><p>F</p><p>F r</p><p>G</p><p>F</p><p>mm</p><p>mm</p><p>G r</p><p>G</p><p>G</p><p>G r r</p><p>G</p><p>G</p><p>s</p><p>f</p><p>r</p><p>r x</p><p>r x</p><p>x</p><p>x</p><p>f s</p><p>x</p><p>x</p><p>r</p><p>r x</p><p>r x</p><p>f s</p><p>f</p><p>s</p><p>182</p><p>j ju r r r</p><p>G</p><p>j ju r r r</p><p>G</p><p>ij j iu r r r</p><p>G</p><p>ij j iu r r r</p><p>G</p><p>11.3 - Disco giratório:</p><p>r r b u</p><p>r r r</p><p>r rr</p><p>r rb u</p><p>r r r</p><p>r</p><p>r r</p><p>d r u</p><p>dr</p><p>183</p><p>ru r w w</p><p>r</p><p>d r r w</p><p>dr</p><p>r r</p><p>E</p><p>r</p><p>E</p><p>r</p><p>r</p><p>du</p><p>dr</p><p>ru</p><p>r</p><p>r r</p><p>r</p><p>du uE</p><p>dr r</p><p>r ru duE</p><p>r dr</p><p>r</p><p>r r</p><p>duEr r u</p><p>dr</p><p>r r r</p><p>r</p><p>du d u dud Er r</p><p>dr dr dr dr</p><p>r r rdu d u uE r r w</p><p>dr dr r</p><p>r r</p><p>r</p><p>d u dur r u r w</p><p>dr dr E</p><p>ru C r C w r</p><p>E r</p><p>r C C w r</p><p>r</p><p>184</p><p>C C w r</p><p>r</p><p>Disco maciço:</p><p>ru</p><p>r C r b</p><p>b C w b</p><p>r w b r</p><p>w b r w</p><p>ru b r w r</p><p>E</p><p>Disco com orifício circular:</p><p>r a r b</p><p>C w a b C w a b</p><p>r</p><p>a ba b r w</p><p>r</p><p>a ba b r w</p><p>r</p><p>r</p><p>r r ab b a w</p><p>185</p><p>r a b a w</p>