Prática 01 - Relatório-exemplo (1)

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<p>Encontrando o valor de Pi</p><p>Moisés de Paula Ferreira, Alexandre Rodrigues Miranda, Carlos Machado de Oliveira</p><p>Curso de Engenharia de Produção, Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Governador</p><p>Valadares, Avenida Minas Gerais, 5189 – Bairro Ouro Verde, Governador Valadares, Minas Gerais,</p><p>35057-760, Brasil</p><p>e-mail: moises.ferreira@gmail.com</p><p>Código da Disciplina: GVBENGP.122</p><p>Resumo. O experimento teve como objetivo encontrar o valor de Pi (π) através da medição da</p><p>circunferência e diâmetro de objetos em escala decimetrada e milimetrada. Empregando o método</p><p>gráfico da melhor reta visual e do MMQ com a regressão linear, foram calculados coeficientes</p><p>lineares, angulares e suas incertezas. Os resultados mostraram a escala decimetrada com valores</p><p>mais próximos do esperado, de 3,125 e 3,105 (média), apesar da milimetrada, com valores de</p><p>3,235 e 3,225 (média), ter sido mais precisa na maioria dos parâmetros.</p><p>Palavras chave: Pi, regressão linear, coeficiente</p><p>Introdução</p><p>Esta prática realizada em laboratório teve como</p><p>objetivo observar de maneira experimental as</p><p>relações entre as grandezas de diâmetro e</p><p>circunferência e como sua medição em objetos</p><p>circulares resultam em cálculos que se aproximam</p><p>da constante Pi, um número matemático</p><p>representado pela letra grega π. Para compreender o</p><p>experimento, é preciso estar a par de alguns</p><p>conceitos matemáticos e estatísticos que estarão</p><p>presentes no relatório, explicados a seguir.</p><p>O Pi é uma conhecida constante matemática,</p><p>obtida através da razão entre o comprimento da</p><p>circunferência e o diâmetro de um mesmo corpo</p><p>circular. Esse número é uma dízima de infinitos</p><p>algarismos e não possui um período, não sendo</p><p>possível definir um valor específico.</p><p>Convencionalmente, usa-se a aproximação em que</p><p>π = 3,14. Em calculadoras científicas, o valor é</p><p>aproximado para 3,141592654.</p><p>O cálculo do Pi se originou do desejo de</p><p>solucionar a quadratura do círculo, ou seja,</p><p>construir um quadrado de área igual à de um</p><p>círculo, no oriente médio. Em cerca de 1800 a.C.,</p><p>os egípcios definiram esta solução tomando o lado</p><p>do quadrado como 8/9 do diâmetro de um círculo.</p><p>A primeira tentativa do cálculo de Pi foi com</p><p>Arquimedes em 240 a.C., que, através de</p><p>sucessivos cálculos de perímetros de polígonos de</p><p>múltiplos lados, encontrando valores em que a até a</p><p>segunda casa decimal π = 3,14. Em 1797, Johann</p><p>Heinrich Lambert provou que Pi é irracional. Desde</p><p>então, há inúmeros estudos que buscam calcular</p><p>mais casas decimais de Pi e definir uma</p><p>normalidade na constante. Isso é muito valioso para</p><p>a ciência da computação porque idear programas</p><p>para cálculos tão extensos leva a uma habilidade</p><p>maior em programação. E também porque, tão logo</p><p>se tenha usado com êxito um programa num</p><p>computador, pode-se empregá-lo para testar se um</p><p>novo computador está operando adequadamente</p><p>[1].</p><p>Já a regressão linear é um estudo estatístico cuja</p><p>análise tem como objetivo: explorar a relação entre</p><p>duas (ou mais) variáveis, de modo que possamos</p><p>obter informações sobre uma delas, por meio dos</p><p>valores conhecidos da(s) outra(s) [2]. A partir dele,</p><p>pode-se utilizar o Método dos Mínimos Quadrados</p><p>(MMQ): um meio de minimizar a diferença entre os</p><p>valores reais e os valores estimados através de</p><p>cálculos, considerando os eventuais desvios,</p><p>variâncias e erros apresentados. Considerando a</p><p>relação de linearidade estabelecido através da reta y</p><p>= ax + b, é possível encontrar os coeficientes linear,</p><p>que representa a mudança em y decorrente do</p><p>aumento de 1 unidade em x [2], e angular, que</p><p>representa a coordenada em que a reta intercepta o</p><p>eixo y.</p><p>Também na estatística, é comum o uso de</p><p>medidas como cálculo de incertezas para minimizar</p><p>resultados dispersos, que se conecta à dispersão</p><p>média dos dados. A incerteza se trata da dispersão</p><p>das medidas de uma grandeza sem valor exato</p><p>definido. Quanto maior a incerteza, menor é a</p><p>confiabilidade dos valores obtidos.</p><p>Para aumentar a precisão dos cálculos, a</p><p>regressão linear dispõe dos coeficientes de</p><p>correlação (R) e determinação (R²). O coeficiente</p><p>de correlação se trata de uma medida quantitativa</p><p>sobre até que ponto as duas variáveis estão</p><p>relacionadas [2]. Ele varia de -1 a 1 e a correlação é</p><p>mais intensa se o valor se aproximar mais dos</p><p>extremos. Já o coeficiente de determinação se trata</p><p>da proporção da variação de y observada que pode</p><p>ser calculada no modelo de regressão linear</p><p>simples. Variando de 0 a 1, quanto mais próximo de</p><p>1, mais os dados podem ser descritos por um</p><p>modelo estatístico linear.</p><p>Pelo método gráfico manual, a linha de</p><p>regressão é traçada manualmente, ambicionando</p><p>formar a melhor reta visual entre os pontos</p><p>marcados no gráfico. A partir da linha formada,</p><p>retira-se pontos para calcular os coeficientes</p><p>angular e linear pela inclinação da reta, obtendo os</p><p>valores desejados.</p><p>Procedimento Experimental</p><p>Para a prática, foram utilizados os seguintes</p><p>materiais:</p><p> régua decimetrada;</p><p> régua milimetrada;</p><p> barbante;</p><p> tesoura;</p><p> 2 folhas de papel milimetradas;</p><p> 5 objetos com formatos circulares de</p><p>diferentes dimensões;</p><p>calculadora.</p><p>Fig 1. Alguns dos objetos utilizados na prática.</p><p>Primeiro fizemos a medição dos 5 objetos</p><p>circulares, os envolvendo com barbante e marcando</p><p>sua circunferência, para que pudéssemos colocar as</p><p>cordas sobre a régua e fazer a medição, fazendo o</p><p>mesmo procedimento com a régua decimetrada e</p><p>depois com a milimetrada.</p><p>Para facilitar a identificação posterior,</p><p>nomeamos e numeramos os objetos como: cobre</p><p>(1), vela (2), oco (3), tampa (4) e caneta (5).</p><p>Após a medição organizamos os dados obtidos</p><p>em formato de tabela, colocando as medidas de</p><p>comprimento e raio de cada objeto, com o objetivo</p><p>de montar um gráfico sobre a folha milimetrada,</p><p>considerando as medidas de comprimento como</p><p>pontos do eixo y (ordenada) e o raio como pontos</p><p>do eixo x (abscissa), fazendo o mesmo</p><p>procedimento com os dados decimetrados e</p><p>milimetrados, como visto nas tabelas 1 e 2.</p><p>Com todos os dados do experimento coletados,</p><p>foi necessário encontrar os valores de Pi por</p><p>diferentes métodos, por meio da representação</p><p>gráfica e também pelo método dos mínimos</p><p>quadrados.</p><p>Resultados e Discussão</p><p>A seguir, dispostos em tabelas, estão as</p><p>medições feitas em laboratório e que serviram</p><p>como base para os cálculos necessários, além de</p><p>terem sido usados para confeccionar manualmente</p><p>os gráficos dispostos no Anexo I e os cálculos no</p><p>Excel, dispostos no Anexo II.</p><p>Tabela 1: medições feitas com a régua decimetrada</p><p>Objetos Comprimento (y) Raio (x)</p><p>1 1,1 0,15</p><p>2 0,7 0,1</p><p>3 1,7 0,25</p><p>4 3,2 0,5</p><p>5 0,4 0,05</p><p>Tabela 2: medições feitas com a régua milimetrada</p><p>Objetos Comprimento (y) Raio (x)</p><p>1 115 17</p><p>2 65 9,5</p><p>3 165 25</p><p>4 330 50</p><p>5 40 5</p><p>Para o método gráfico da melhor reta visual,</p><p>utilizamos a relação em que π = a/2, onde a é o</p><p>coeficiente angular, para determinar o valor de Pi</p><p>encontrado. Para calcular os coeficientes, tomamos</p><p>dois pares ordenados das retas de cada um dos</p><p>gráficos, gerando os resultados da tabela 3.</p><p>Tabela 3: Valores de π obtidos pelo método da</p><p>melhor reta visual.</p><p>Régua Coeficiente a Coeficiente b</p><p>decimetrada 6,25 0,108</p><p>milimetrada 6,47 5,18</p><p>Os valores de Pi, que serão discutidos no final</p><p>desta seção, encontrados foram de 3,125 para a</p><p>régua decimetrada e de 3,235 para a milimetrada.</p><p>Seguindo para o método dos mínimos</p><p>quadrados, foram calculados os valores dos</p><p>coeficientes angular e linear. Quando comparados</p><p>os valores dos coeficientes da melhor reta visual</p><p>aos do MMQ, percebe-se pouca dispersão na</p><p>medida milimétrica, como visto nas figuras 2 e 3,</p><p>dispostas a seguir:</p><p>Fig 2. Gráfico de regressão da régua decimetrada.</p><p>Fig. 3: Gráfico da regressão da régua milimetrada.</p><p>Pode ser observado que a reta de regressão da</p><p>escala milimetrada representa</p><p>uma menor dispersão</p><p>dos dados obtidos, visto que a reta passa mais</p><p>próxima do centro de cada um dos pontos medidos.</p><p>Pela régua decimetrada, não foi apresentada grande</p><p>dispersão, mas teve menor precisão. O mesmo foi</p><p>observado nas retas produzidas manualmente.</p><p>Em seguida, foram calculadas as incertezas dos</p><p>ajustes lineares em cada uma das escalas de</p><p>medições através do cálculo do desvio padrão e as</p><p>incertezas dos coeficientes a e b (tabela 4) de</p><p>ambas. Os valores do desvio padrão do coeficiente</p><p>a calculados foram 0,128 dm (escala decimétrica) e</p><p>0,0613 mm (escala milimétrica). Para o coeficiente</p><p>b, o desvio foi de 0,0338 dm (escala decimétrica) e</p><p>1,63 mm (escala milimétrica). A medição feita com</p><p>a régua milimetrada apresentou maior precisão em</p><p>ambos os coeficientes, com erro padrão menor,</p><p>sugerindo maior confiabilidade nos cálculos</p><p>realizados a partir dela.</p><p>Após calculadas as incertezas dos coeficientes,</p><p>os valores obtidos foram devidamente</p><p>arredondados, assim como os valores dos</p><p>coeficientes em si, resultando nos valores da tabela</p><p>a seguir:</p><p>Tabela 4: Valores dos coeficientes a e b</p><p>considerando as incertezas calculadas.</p><p>Régua Coeficiente a Coeficiente b</p><p>decimetrada 6,21 +/- 0,13 0,12 +/- 0,03</p><p>milimetrada 6,48 +/- 0,06 5,01 +/- 1,63</p><p>Considerando a relação em que π = a/2, usada</p><p>anteriormente, podemos obter os valores de Pi. Para</p><p>a medição decimetrada, π varia de 3,17 a 3,04</p><p>(média = 3,105). Para a medição milimetrada, o</p><p>valor varia de 3,24 a 3,21 (média = 3,225).</p><p>Considerando o valor convencional em que π ≈</p><p>3,14, o resultado obtido pela régua decimetrada tem</p><p>maior exatidão, se aproximando mais do que era</p><p>esperado. Porém, o resultado da régua milimétrica é</p><p>mais preciso e com menor dispersão.</p><p>A mesma conclusão é obtida ao analisar os</p><p>valores obtidos pela melhor reta visual em que o</p><p>resultado proveniente da régua decimetrada – de</p><p>3,125 – condiz mais com o esperado, sendo mais</p><p>exato.</p><p>Por fim, a partir de cálculos, obteve-se os</p><p>coeficientes de correlação R (0,9994 para</p><p>decimetrada e 0,9999 para milimetrada) e de</p><p>determinação R² (0,9987 para decimetrada e 0,9997</p><p>para milimetrada) apresentados abaixo. Analisando</p><p>o coeficiente R, o modelo está com correlação forte</p><p>em ambas escalas de medições, na medida em que</p><p>os valores se aproximam mais de um dos extremos</p><p>(-1 e 1) do que do centro (0). Os coeficientes de</p><p>determinação R² também indicam um bom ajuste</p><p>do modelo estatístico linear, com ambos resultados</p><p>muito próximos de 1, sem diferenças relevantes.</p><p>Conclusão</p><p>Os resultados mostram que, nesse experimento,</p><p>as medições feitas nas réguas decimétrica e</p><p>milimétrica apresentaram maior confiabilidade em</p><p>diferentes parâmetros.</p><p>A respeito das retas, tanto a confeccionada</p><p>manualmente quanto a gerada pelos cálculos da</p><p>regressão linear, ambas mostraram maior precisão</p><p>na régua milimetrada.</p><p>Acerca das incertezas e desvio padrão dos</p><p>coeficientes a e b, ambos também obtiveram maior</p><p>precisão na escala milimetrada, com menor</p><p>dispersão.</p><p>Os valores de Pi encontrados em ambos os</p><p>métodos se aproximaram mais da literatura pela</p><p>medição da régua decimetrada, sendo mais exatos.</p><p>No entanto, os valores pela régua milimetrada se</p><p>mostraram mais precisos, com menor dispersão ao</p><p>considerar as incertezas do cálculo.</p><p>A respeito dos coeficientes de correlação e</p><p>determinação, ambos indicaram um bom ajuste</p><p>linear, sem dispersões relevantes.</p><p>Portanto, observando o objetivo final da prática,</p><p>pode-se dizer que a escala decimétrica serviu</p><p>melhor ao propósito deste experimento em que se</p><p>buscava obter um valor aproximado da constante</p><p>matemática Pi (π). Apesar de ambos os métodos</p><p>terem sido relevantes para relacionar as</p><p>divergências através dos conceitos de precisão e</p><p>exatidão.</p><p>Referências</p><p>[1] EVES, Howard. Introdução à história da</p><p>matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 5</p><p>ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp. 2011. 848</p><p>p.</p><p>[2] DEVORE, Jay L. Probabilidade e</p><p>estatística para engenharia e ciências. São Paulo:</p><p>Cengage Learning, 2015. xiii, 633, A60 p.</p><p>[3] CHEIN, Flávia. Introdução aos modelos de</p><p>regressão linear: um passo inicial para</p><p>compreensão da econometria como uma</p><p>ferramenta de avaliação de políticas públicas.</p><p>Brasília: Enap, 2019. 73 p.</p>