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<p>Máximos e mínimos em contextos de</p><p>função quadrática</p><p>Matemática</p><p>3o bimestre - Aula 04 – Sequência de Atividades 2</p><p>Ensino Médio</p><p>● Funções polinomiais do 2o grau</p><p>(função quadrática): gráfico, raízes,</p><p>pontos de máximo/mínimo,</p><p>crescimento/decrescimento,</p><p>concavidade;</p><p>● Gráficos de funções.</p><p>● Analisar situações envolvendo ideia</p><p>de máximo e mínimo em contexto;</p><p>● Identificar os intervalos de</p><p>crescimento e decrescimento de</p><p>funções polinomiais do 2o grau;</p><p>● Estudar o sinal da função polinomial</p><p>do 2o grau.</p><p>No plano cartesiano ao lado está</p><p>representado o esboço de uma função</p><p>polinomial do segundo grau. Colete os</p><p>dados necessários e escreva a lei de</p><p>formação da função.</p><p>O que sabemos sobre os coeficientes</p><p>a, b e c dessa função?</p><p>Qual é o ponto mais alto nessa curva?</p><p>#retomando</p><p>5 MINUTOS</p><p>CONTINUA</p><p>VIREM E</p><p>CONVERSEM</p><p>Pontos de intersecção com os</p><p>eixos:</p><p>Eixo x: (2,0) e (-8,0)</p><p>Zeros da função: 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒆 𝒙𝟐 = −𝟖</p><p>Eixo y: (0,16)</p><p>Coeficiente c = 16</p><p>Forma fatorada:</p><p>−𝟏 ∙ 𝒙 − 𝟐 ∙ (𝒙 + 𝟖)</p><p>Forma polinomial:</p><p>𝐟 𝐱 = −𝐱𝟐 − 𝟔𝐱 + 𝟏𝟔</p><p>Correção</p><p>Dizemos que o número yM ∈ Im f é o</p><p>valor máximo da função</p><p>y = f x se, e somente se, yM ≥ y para</p><p>qualquer y ∈ Im f .</p><p>O número xM ∈ D f tal que</p><p>yM = f xM é chamado ponto de máximo</p><p>da função.</p><p>Se a < 0, a função polinomial do segundo</p><p>grau, y = ax</p><p>2</p><p>+ bx + c admite valor máximo</p><p>yM= −</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>para xM = −</p><p>b</p><p>2a</p><p>Máximo e mínimo de uma função</p><p>polinomial do segundo grau</p><p>CONTINUA</p><p>CERTO É</p><p>CERTO</p><p>10 MINUTOS</p><p>Dizemos que o número ym ∈ Im f é o</p><p>valor mínimo da função</p><p>y = f x se, e somente se, ym ≤ y para</p><p>qualquer y ∈ Im f .</p><p>O número xm ∈ D f tal que ym = f xm</p><p>é chamado ponto de mínimo da</p><p>função.</p><p>Se a > 0, a função polinomial do</p><p>segundo grau, y = ax</p><p>2</p><p>+ bx + c admite</p><p>valor mínimo</p><p>ym = −</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>para xm = −</p><p>b</p><p>2a</p><p>Máximo e mínimo de uma</p><p>função polinomial do segundo</p><p>grau</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função</p><p>f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar</p><p>que:</p><p>seus valores são negativos para qualquer valor de x.</p><p>seu menor valor ocorre quando x = –1.</p><p>é decrescente para –1 < x < 3.</p><p>tem somente valores positivos para x > 0.</p><p>é crescente para x > 1.</p><p>CONTINUA</p><p>5 MINUTOS</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Correção</p><p>Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função</p><p>f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:</p><p>seus valores são negativos</p><p>para qualquer valor de x.</p><p>seu menor valor ocorre</p><p>quando x = –1.</p><p>é decrescente para –1 < x < 3.</p><p>tem somente valores positivos</p><p>para x > 0.</p><p>é crescente para x > 1.</p><p>O vértice está em (1, – 4)</p><p>Logo, a função f(x) é:</p><p>• Crescente para x > 1</p><p>• Decrescente para x < 1</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça (x)</p><p>que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000.</p><p>A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é:</p><p>10.</p><p>80.</p><p>40.</p><p>30.</p><p>20.</p><p>CONTINUA</p><p>5 MINUTOS</p><p>FAÇA AGORA</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Correção – Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo</p><p>tipo de peça que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000.</p><p>A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é:</p><p>10</p><p>80</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>𝒙𝑽 =</p><p>−𝒃</p><p>𝟐𝒂</p><p>=</p><p>− −𝟒𝟎</p><p>𝟐 𝟐</p><p>=</p><p>𝟒𝟎</p><p>𝟒</p><p>= 𝟏𝟎</p><p>Nessa função C(x), a = 2, b = –40 e c =</p><p>2.000</p><p>O custo mínimo corresponde ao x do</p><p>vértice é dado por:</p><p>Uma empresa oferece o fretamento de um ônibus de 48 lugares na seguinte condição: cada</p><p>passageiro vai pagar R$ 42,00 fixos mais R$ 3,00 por lugar vago no ônibus. Por exemplo, se</p><p>sobrarem seis lugares vagos, cada passageiro vai pagar R$ 60,00 42 + 6 ∙ 3 = 60 .</p><p>Para que a empresa consiga arrecadar a maior quantia possível, quantos lugares devem ser</p><p>ocupados? Nesse caso, qual é a quantia arrecadada pela empresa?</p><p>Otimizando resultados</p><p>TODO MUNDO</p><p>ESCREVE 20 MINUTOS</p><p>Pelo enunciado temos:</p><p>𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐮𝐠𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐠𝐨𝐬 𝐧𝐨 ô𝐧𝐢𝐛𝐮𝐬.</p><p>𝐟 𝐱 : 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐚 𝐞𝐦 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐞𝐛𝐢𝐝𝐚 𝐩𝐞𝐥𝐨 𝐟𝐫𝐞𝐭𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨.</p><p>𝟒𝟖 − 𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐮𝐠𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐜𝐮𝐩𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐧𝐨 ô𝐧𝐢𝐛𝐮𝐬.</p><p>𝟒𝟐 + 𝟑𝐱: 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐭𝐢𝐚 𝐞𝐦 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 𝐩𝐚𝐠𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐫 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐚𝐠𝐞𝐢𝐫𝐨.</p><p>𝐟 𝐱 = (𝟒𝟖 − 𝐱) ∙ (𝟒𝟐 + 𝟑𝐱)</p><p>Correção</p><p>CONTINUA</p><p>Correção</p><p>𝒇 𝒙 = 𝟒𝟖 − 𝒙 ∙ 𝟒𝟐 + 𝟑𝒙</p><p>𝒇 𝒙 = 𝟐. 𝟎𝟏𝟔 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟐𝒙 − 𝟑𝒙𝟐</p><p>𝒇 𝒙 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝒙 + 𝟐. 𝟎𝟏𝟔</p><p>𝒂 = −𝟑, 𝒃 = 𝟏𝟎𝟐, 𝒄 = 𝟐𝟎𝟏𝟔</p><p>𝒂 < 𝟎, concavidade voltada para baixo,</p><p>logo a função admite valor máximo.</p><p>Para determinar a quantia máxima que a</p><p>empresa pode arrecadar com o</p><p>fretamento do ônibus, calculamos o valor</p><p>máximo da função.</p><p>∆= 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄</p><p>∆= 𝟏𝟎𝟐𝟐 − 𝟒 ∙ −𝟑 ∙ 𝟐. 𝟎𝟏𝟔</p><p>∆= 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟒 + 𝟐𝟒. 𝟏𝟗𝟐</p><p>∆= 𝟑𝟒. 𝟓𝟗𝟔</p><p>CONTINUA</p><p>Correção</p><p>𝒚𝒎 = −</p><p>∆</p><p>𝟒𝒂</p><p>⟹ 𝒚𝒎 = −</p><p>𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔</p><p>𝟒 ∙ −𝟑</p><p>⟹</p><p>𝒚𝒎 =</p><p>𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔</p><p>(−𝟏𝟐)</p><p>⟹ 𝒚𝒎 =</p><p>𝟑𝟒 𝟓𝟗𝟔</p><p>𝟏𝟐</p><p>= 𝟐. 𝟖𝟖𝟑</p><p>Portanto, a quantia máxima que a</p><p>empresa pode receber pelo fretamento do</p><p>ônibus é de R$ 2.883,00.</p><p>Quantidade de lugares vagos, referentes à</p><p>arrecadação máxima:</p><p>𝒙𝑴 = −</p><p>𝒃</p><p>𝟐𝒂</p><p>⟹ 𝒙𝑴 = −</p><p>𝟏𝟎𝟐</p><p>𝟐 ∙ −𝟑</p><p>⟹</p><p>⟹ 𝒙𝑴 = −</p><p>𝟏𝟎𝟐</p><p>−𝟔</p><p>⟹ 𝒙𝑴 =</p><p>𝟏𝟎𝟐</p><p>𝟔</p><p>⟹ 𝒙𝒎 = 𝟏𝟕</p><p>CONTINUA</p><p>Correção</p><p>Desse modo, podemos concluir que a</p><p>empresa vai arrecadar a quantia máxima</p><p>se 17 lugares ficarem vagos no ônibus, ou</p><p>seja, se 31 lugares forem ocupados.</p><p>Portanto, para que a empresa consiga</p><p>arrecadar a quantia máxima de R$</p><p>2.883,00 é necessário que 31 lugares</p><p>estejam ocupados.</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que,</p><p>com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$</p><p>10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A</p><p>expressão que relaciona o faturamento (F) com a quantidade de pessoas (P) é:</p><p>𝐹 = −</p><p>P²</p><p>20</p><p>+ 60P</p><p>𝐹 = −𝑃² + 1.200P</p><p>𝐹 = −</p><p>P²</p><p>20</p><p>+ 60</p><p>𝐹 = 𝑃2 – 1.200P</p><p>𝐹 =</p><p>P²</p><p>20</p><p>– 60P</p><p>5 MINUTOS</p><p>Dica: considere V como o valor de cada ingresso e n como a</p><p>quantidade de aumentos de R$ 2,00</p><p>CONTINUA</p><p>MOSTRE-ME</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou</p><p>que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1 000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a</p><p>cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expressão que</p><p>relaciona o faturamento (F) com a quantidade de pessoas (P) é:</p><p>𝐹 = −</p><p>P²</p><p>20</p><p>+ 60P</p><p>𝐹 = −𝑃² + 1.200P</p><p>𝐹 = −</p><p>P²</p><p>20</p><p>+ 60</p><p>𝐹 = 𝑃2 – 1.200P</p><p>𝐹 =</p><p>P²</p><p>20</p><p>– 60P</p><p>CONTINUA</p><p>Aprofundando</p><p>O valor do ingresso em função</p><p>dos aumentos de R$ 2,00 é dado</p><p>por:</p><p>V = 10 + 2n</p><p>Isolando n, tem-se: n = 0,5V – 5</p><p>A cada aumento de R$ 2,00 são 40</p><p>pessoas a menos:</p><p>P = 1 000 – 40n</p><p>P = 1 000 – 40 (0,5V – 5)</p><p>P = 1 000 – 20V + 200</p><p>P = 1 200 – 20V</p><p>Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com</p><p>o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de</p><p>aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expressão que relaciona o faturamento (F)</p><p>com a quantidade de pessoas (P) é</p><p>Isolando V, tem-se:</p><p>𝑽 =</p><p>𝟏𝟐𝟎𝟎−𝐏</p><p>𝟐𝟎</p><p>= 𝟔𝟎 −</p><p>𝐏</p><p>𝟐𝟎</p><p>O faturamento (F) é dado pelo produto entre a</p><p>quantidade de pessoas (P) e o valor do ingresso (V):</p><p>F = P · V = 𝟔𝟎𝐏 −</p><p>𝐏²</p><p>𝟐𝟎</p><p>Reorganizando, tem-se:</p><p>𝑭 = −</p><p>𝐏²</p><p>𝟐𝟎</p><p>+ 𝟔𝟎𝐏</p><p>● Analisamos situações envolvendo ideia de máximo e</p><p>mínimo em contexto;</p><p>● Identificamos os intervalos de crescimento e</p><p>decrescimento de funções polinomiais do 2o grau;</p><p>● Estudamos o sinal da função polinomial do 2o grau.</p><p>LEMOV, D. Aula Nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto</p><p>Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Caderno do</p><p>Aluno, 2o ano do Ensino Médio, Ensino Médio, v.2.</p><p>.</p><p>Lista de imagens</p><p>Slides</p><p>3, 4, 5, 6 e 13 – Elaborado pelo autor.</p><p>Slide 19 – Freepik. Disponível em: https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-</p><p>medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-</p><p>branco-na-escola_27999142.htm</p><p>https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm</p><p>https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm</p><p>https://br.freepik.com/fotos-gratis/estudante-do-ensino-medio-hispanico-masculino-resolvendo-alguns-problemas-de-matematica-em-um-quadro-branco-na-escola_27999142.htm</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: #retomando</p><p>Slide 4: Correção</p><p>Slide 5: Máximo e mínimo de uma função polinomial do segundo grau</p><p>Slide 6: Máximo e mínimo de uma função polinomial do segundo grau</p><p>Slide 7: Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:</p><p>Slide 8: Correção Atividade 6 (p. 142, 2024) – Adaptada Sobre a função f(x) = x² – 2x – 3, representada na figura, é correto afirmar que:</p><p>Slide 9: Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça (x) que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é:</p><p>Slide 10: Correção – Atividade 3 (p. 140, 2024) – AAP 2018 – Uma empresa produz certo tipo de peça que tem seu custo definido pela função C(x) = 2x² – 40x + 2000. A quantidade de peças que deve produzir para que o custo seja mínimo é:</p><p>Slide 11: Otimizando resultados</p><p>Slide 12: Correção</p><p>Slide 13: Correção</p><p>Slide 14: Correção</p><p>Slide 15: Correção</p><p>Slide 16: ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a menos. A expres</p><p>Slide 17: Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1 000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a meno</p><p>Slide 18: Correção – ENEM 2013 (PPL) – Adaptada – O proprietário de uma casa de shows observou que, com o ingresso a R$ 10,00, havia 1.000 pessoas por show. Porém, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 de aumento no valor do ingresso eram 40 pessoas a men</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p>