Princípios do limite e continuidade

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28/05/2023 10:39 Princípios do limite e continuidade
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Princípios do limite e continuidade
Prof.ª Ana Lúcia de Sousa
Descrição
Introdução ao estudo de limite e continuidade de funções de uma variável, cálculo de limites de funções que apresentam
indeterminações, cálculo de limites laterais e análise da continuidade de funções.
Propósito
Compreender o conceito de limite, já que grande parte do desenvolvimento teórico do cálculo é feita utilizando essa noção.
Objetivos
Módulo 1
Limite de funções
Identificar intuitivamente o conceito de limite de funções.
Módulo 2
Limites de funções algébricas com indeterminações
Calcular limites de funções algébricas com indeterminações.
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Módulo 3
Limites laterais
Calcular limites laterais.
Módulo 4
Continuidade das funções
Reconhecer a continuidade de funções.
Introdução
Você já se perguntou por que é importante estudar os princípios de limite e continuidade?
Neste vídeo, vamos entender a importância de conhecer os princípios de limite e continuidade para os estudos de métodos
quantitativos. Confira!

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1 - Limite de funções
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car intuitivamente o conceito de limite de funções.
Conceito de limite de funções
Agora que já conhecemos a importância dos princípios de limite e continuidade, vamos analisar, a partir do gráfico de uma função
polinomial do primeiro grau, o comportamento da função em determinado ponto do domínio a fim de compreender o conceito de
limite de funções.
O que é limite de funções?
Veja a seguir o conceito de limite.
Vamos relembrar?
Se se aproxima de um número real à medida que se aproxima de um número real de ambos os lados, então é o limite de 
 quando se aproxima de . Esse comportamento é representado por:

f(x) L x a L
f(x) x a
lim
x→a
f(x) = L
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Rotacione a tela. 
Observe que o limite de uma função polinomial pode ser determinado por meio da substituição direta.
Agora, vamos conhecer alguns exemplos.
Exemplo 1
Determine 
Como devemos proceder? Tente resolver o problema e veja a solução a seguir.
Dica: Basta substituir na função.
Solução:
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Determine o limite 
Que tal praticar mais uma vez? Tente resolver o problema e veja a solução a seguir.
Dica: A substituição ocorre no numerador e no denominador da função.
Solução:
Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Solução:
x→a
limx→2 (2x2 + 3x − 1)
x = 2
limx→2 (2x2 + 3x − 1) = 2(2)2 + 3(2) − 1 = 2.4 + 6 − 1 = 8 + 6 − 1 = 13
limx→−1
3x2+2x−3
2x−1
lim
x→−1
3x2 + 2x − 3
2x − 1
=
3(−1)2 + 2(−1) − 3
2(−1) − 1
=
3.1 − 2.1 − 3
−2 − 1
=
3 − 2 − 3
−2 − 1
=
−2
−3
=
2
3
 Determine o limite  limx→−1( x2+x−3
2x−1 )
2
(
2
)
2
(
2
)
2
( )
2
( )
2
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Rotacione a tela. 
Exemplo 4
Solução:
Rotacione a tela. 
Depois de conhecer os limites de funções, e ver alguns exemplos, chegou a hora de resolver algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Se é uma função real de variável real, definida por
O limx→ -3 será:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
No cálculo do limite, interessa analisar o comportamento da função quando se aproxima de e não o que ocorre com a
função quando -3. Assim temos:
Rotacione a tela. 
lim
x→1
(
x2 + x − 3
2x − 1
)
2
= (
−12 + 1 − 3
2. −1 − 1
)
2
= (
1 + 1 − 3
2 − 1
)
2
= (
−1
−1
)
2
= (−1)2 = 1
 Determine o limite  limx→−2√
x3+3x2−3x+3
x3+4x+2
lim
x→−2
√ x3 + 3x2 − 3x + 3
x3 + 4x + 2
=√
(−2)3 + 3(−2)2 − 3(−2) + 6
(−2)3 + 4(−2) + 2
= √ −8 + 3 ⋅ 4 + 6 + 6
4 − 8 + 2
= √ −8 + 12 + 6 + 6
4 − 8 + 2
= √16
y = f(x)
f(x) = {−x2 + 3x + 9  se x ≠ −3
5  se x = −3
f(x)
x −3
x =
lim
x→−3
f(x)
lim
x→−3
−x2 + 3x + 9 = −(−3)2 + 3(−3) + 9 = −9 − 9 + 9 = −9
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Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
O limite da função dada será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo o pelo valor para o qual ele está se
aproximando, nesse caso .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se
aproximando; nesse caso, 2.
Rotacione a tela. 
 O limite  limx→2√ 2x2+3x+2
6−2x  é igual a: 
x
2
lim
x→2
√2x2 + 3x + 2
6 − 2x
=√
2(2)2 + 3(2) + 2
6 − 2(2)
=
√2.4 + 3(2) + 2
6 − 2(2)
= √ 8 + 6 + 2
6 − 4
= √ 16
2
=
4
2
= 2
O limite  limx→2(
3x2−2x−2
−x2+2x+4 )
3
 é igual a: 
lim
x→2
(
3x2 − 2x − 2
−x2 + 2x + 4
)
3
= (
3(2)2 − 2(2) − 2
−(2)2 + 2(2) + 4
)
3
= (
3.42 − 4 − 2
−4 + 4 + 4
)
3
= (
12 − 4 − 2
−4 + 4 + 4
)
3
= (
6
4
)
3
= (
3
2
)
3
=
27
8
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Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se
aproximando; nesse caso, 1/2.
Rotacione a tela. 
 O limite  limx→ 1
2
2x2+5x+3
x2−5x+1  é igual a: 
lim
x→ 1
2
2x2 + 5x + 3
x2 − 5x + 1
=
2( 1
2 )
2
+ 5 ( 1
2 ) + 3
( 1
2 )
2
− 5 ( 1
2 ) + 1
=
2 ⋅ 1
4 + 5 ( 1
2 ) + 3
( 1
2 ) − 5 ( 1
2 ) + 1
=
1
2 + 5
2 + 3
1
4 − 5
2 + 1
=
12
2
− 5
4
=
6
− 5
4
= −6.
4
5
= −
24
5
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Parabéns! A alternativa D está correta.
 (UFU) Sabendo-se que  lim
x→2
x + 3m
x − m
=
4
3
, x ≠ m,  então podemos afirmar que: 
A m é maior do que 4.
B m é menor do que -4.
C m ∈ [1; 4]
D m ∈ [−4; 1]
E m ∈ [−1, 4]
limx→2
2 + 3m
2 − m
=
4
3
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Vamos calcular primeiro o limite da função quando $x$ se aproxima de $2 .$
Questão 2
Parabéns! A alternativa C está correta.
O limite da função será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se
aproximando; nesse caso, 
lim
x→2
x + 3m
x − m
=
2 + 3m
2 − m
2 + 3m
2 − m
=
4
3
3 ⋅ (2 + 3m) = 4 ⋅ (2 − m)
6 + 9m = 8 − 4m
9m + 4m = 8 − 6
9m + 4m = 8 − 6 ⇒ 13m = 2 ⇒ m = 2/13 ∈ [−4; 1]
 (UEL) O valor do limite  lim
x→2
x − 3
x + 1
2
 é: 
A -5/2
B -3/2
C -2/5
D -1
E -2
2.
lim
x→2
x − 3
x + 1
2
=
2 − 3
2 + 1
2
=
−1
4+1
2
=
−1
5
2
= −1 ⋅
2
5
=
−2
5
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2 - Limites de funções algébricas com indeterminações
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular limites de funções algébricas com indeterminações.
Limites de funções algébricas com indeterminações
Sabemos que o limite de funções pode ser calculado por meio da substituição direta. Entretanto, há funções cujo limite nem sempre
pode ser encontrado dessa forma. Vamos conhecer um pouco mais sobre funções algébricas com indeterminações.
Funções algébricas com indeterminações
Veja um exemplo dessas funções.
Vamos relembrar?
No cálculo de limites de funçôes com indeterminação do tipo , podemos recorrer aos casos de fatoraçãode expressões algébricas
com a finalidade de cancelar a indeterminação. Uma vez que ela é cancelada, podemos determinar o limite da função por meio da
substituição direta.

0
0
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Antes de desenvolvermos a parte algébrica (ou usar os casos de fatoração), devemos verificar se o cálculo do limite gera uma
indeterminação do tipo . Agora, vamos conhecer alguns exemplos.
Exemplo 1
Solução:
Rotacione a tela. 
Dica: Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = 1.
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Solução:
Rotacione a tela. 
Continuando a solução:
0
0
 Determine o limite da função  lim
x→1
3x − 3
x2 − 1
. 
lim
x→1
3x − 3
x2 − 1
=
3(1) − 3
(1)2 − 1
=
3 − 3
1 − 1
=
0
0
 Agora basta calcular o limite  lim
x→1
3
x + 1
. 
lim
x→1
3
x + 1
=
3
(1 + 1)
=
3
2
 Determine o limite da função  lim
x→4
x2 − 16
x2 − 4x
lim
x→4
x2 − 16
x2 − 4x
=
(4)2 − 16
(4)2 − 4(4)
=
16 − 16
16 − 16
=
0
0
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Legenda
Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Solução:
Rotacione a tela. 
Fatoração da expressão
 Agora basta calcular o limite  lim
x→4
(x + 4)
x
. 
lim
x→4
(x + 4)
x
=
4 + 4
4
=
8
4
= 2
 Determine o limite da função  lim
x→1
x3 − 1
x − 1
. 
lim
x→1
x3 − 1
x − 1
=
(1)3 − 1
(1) − 1
=
1 − 1
1 − 1
=
0
0
x3 − 1
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)
x3 − 13 = (x − 1) (x2 + x.1 + 12) = (x − 1) (x2 + x + 1)
 Agora basta calcular o limite  lim
x→1
(x2 + x + 1)
lim
x→1
(x2 + x + 1) = (1)2 + 1 + 1 = 3
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Rotacione a tela. 
Exemplo 4
Solução:
Rotacione a tela. 
Observação:
Fatoração do trinômio: , com .
, em que e são as raízes reais da equação 
Fatoração da expressão 
Fazendo , temos uma equação do grau com raízes e 
Rotacione a tela. 
Depois de conhecer os limites de funções algébricas com indeterminações, e ver alguns exemplos, chegou a hora de resolver algumas
questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Se é uma função real de variável real definida por , entåo podemos afirmar que é
 Determine o limite da função  lim
x→−5
x2 + 3x − 10
x + 5
. 
lim
x→−5
x2 + 3x − 10
x + 5
=
(−5)2 + 3(−5) − 10
−5 + 5
=
0
0
ax2 + bx + c a ≠ 0
ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2) x1 x2 ax2 + bx + c = 0
x2 + 3x − 10.
x2 + 3x − 10 = 0 2∘ x1 = 2 x2 = −5
x2 + 3x − 10 = (x − 2)(x − (−5)) = (x − 2)(x + 5)
 Agora basta calcular o limite  lim
x→−5
(x − 2)
lim
x→−5
(x − 2) = −5 − 2 = −7
f(x) f(x) = {
x2−3x+2
x−1  se x ≠ 1
3  se x = 1
limx→1 f(x)
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igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
No cálculo do limite de , interessa analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando :
Rotacione a tela. 
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para .
Fatoração da expressão
.
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
{
f(x)
x
x = 1
lim
x→1
x2 − 3x + 2
x − 1
=
0
0
x = 1
x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) limx→1
x2−3x+2
x−1 = (x−1)(x−2)
x−1 = x − 2 = 1 − 2 = −1
 O limite  lim
x→ 3
2
4x2 − 9
2x − 3
 é igual a: 
lim
x→ 3
2
4x2 − 9
2x − 3
=
0
0
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Rotacione a tela. 
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Rotacione a tela. 
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Digite sua resposta aqui
2
x = 3/2
lim
x→ 3
2
4x2 − 9
2x − 3
=
(2x − 3)(2x + 3)
2x − 3
= 2x + 3 = 2(
3
2
)+ 3 = 3 + 3 = 6
 O limite  lim
x→a
x4 − a4
x − a
 é igual a: 
lim
x→a
x4 − a4
x − a
=
0
0
x = a
lim
x→a
x4 − a4
x − a
=
(x2 − a2) (x2 + a2)
x − a
=
(x − a)(x + a) (x2 + a2)
x − a
= (a + a) (a2 + a2) = 2a.2a2 = 4a3
 O limite  lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
 é igual a: 
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g p q
Exibir solução
Rotacione a tela. 
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para .
Observação:
Rotacione a tela. 
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
=
0
0
h = 0
(3 + h)2 = (3)2 + 2.3. h + (h)2 = 9 + 6h + h2
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
=
9 + 6h + h2 − 9
h
=
6h + h2
h
= 6 + h = 6 + 0 = 6
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Parabéns! A alternativa C está correta.
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para
.
Fatoração da expressão
 (PUC-SP) O limite  lim
x→2
x2 − 4x + 4
x − 2
A não existe.
B não é nenhum número real.
C vale 0.
D vale 1.
E vale 2.
lim
x→2
x2 − 4x + 4
x − 2
=
0
0
x = 2
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Fatoração da expressão
.
Questão 2
Parabéns! A alternativa D está correta.
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para .
Fatoração da expressão .
x2 − 4x + 4 = (x − 2)(x − 2)
lim
x→2
x2 − 4x + 4
x − 2
=
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)
= x − 2 = 2 − 2 = 0
 O limite  lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
 é igual a: 
A 0
B 1
C 2
D 3
E -1
lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
=
0
0
x = −2
8 + x3
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)
8 + x3 = 23 + x3 = (2 + x) (22 − 2x + x2) = (2 + x) (4 − 2x + x2)
lim
x→−2
8 + x3
4 − x2
=
(2 + x) (4 − 2x + x2)
(2 − x)(2 + x)
=
(4 − 2x + x2)
(2 − x)
=
4 − 2(−2) + (−2)2
2 − (−2)
=
4 + 4 + 4
2 + 2
=
12
4
= 3
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3 - Limites laterais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular limites laterais.
Limites laterais
Vamos identificar agora o conceito de limites laterais e como calculá-los em uma função. Além disso, vamos analisar a existência do
limite a partir dos resultados dos limites laterais.
Agora observe que:
 Considere a função f(x) = x + 2. 
Verificamos o limite dessa função quando ( se aproxima de 3).x → 3 x
Verificamos o limite dessa função quando ( se aproxima de 3).x → 3 x
Nas duas situações, vimos que os valores de se aproximam de 5.f(x)
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Então, temos a seguinte função:
Rotacione a tela. 
A partir desse comportamento, definimos limites laterais:
Limite lateral à esquerda
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, é L.
Usamos para indicar que os valores de são menores que .
Limite lateral à direita
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), quando x se aproxima de a pela direita, é L.
Usamos para indicar que os valores de são maiores que .
O limite da quando tende a 3 pela direita é igual a 5 e indicamos por:
O limite da quando tende a 3 pela esquerda é igual a 5 e indicamos por:
Observe que:
Concluímos que o limite da função existe, pois os valores encontrados à direita e à esquerda de 3 são iguais a 5.
lim
x→3
(x + 2) = 3 + 2 = 5
x → a− x a
x → a+
x a.
 Por exemplo, com relação ao limite  lim
x→3
(x + 2) = 5, temos: 
f(x) x
lim
x→3n
+(x + 2) = 3 + 2 = 5
f(x) x
lim
x→3n
−(x + 2) = 3 + 2 = 5
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(i) Sendo , o limite de uma função existe quando os limites laterais são iguais.
(ii) Sendo , o limite da função não existe quando os limites laterais são diferentes.
Exemplos
Agora, vamos conhecer alguns exemplos de limites laterais.
Problema com limites laterais - exemplo 1
Veja a solução de um problema com limites laterais.
Exemplo 2
Rotacione a tela. 
Solução:
Vamos verificar o valor da próximo de 2, e não em 
Para , temos:
Rotacione a tela. 
x → a
x → a

 Determine, caso exista, o limite  lim
x→2
f(x)
f(x) = {
3x + 1 se x > 2
−2x + 4 se x ≤ 2
f(x) x = 2.
x < 2, f(x) = −2x + 4
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(−2x + 4) = −2(2) + 4 = 0
 Para x > 2, f(x) = 3x + 1,  temos: 
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(3x + 1) = 3(2) + 1 = 7
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Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Rotacione a tela. 
Solução:
Vamos verificar o valor da próximo de 
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Note que os limites laterais são diferentes. O limite da função não existe no ponto 2.
Depois de conhecer os limites laterais, e ver alguns exemplos, chegou a hora de resolver algumas questões sobre o assunto.
Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
O limite limx→ -2 é igual a:
Digite sua resposta aqui
 Veja que os limites laterais existem, mas são diferentes. Logo, o limite  lim
x→2
f(x) não existe. 
 Determine, caso exista, o limite de f(x) quando x tende para 2.
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ x − 2 se x < 0
x2 + 1 se 0 ≤ x ≤ 2
x + 4 se x > 2
f(x) 2.
x > 2, f(x) = x + 4
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(x + 4) = 2 + 4 = 6
 Para x < 2, f(x) = x2 + 1, temos: 
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x2 + 1) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(x)
f(x) = {5x − 3  se x ≤ −2
4x + k  se x > −2
f(x)
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g p q
Exibir solução
Verificando os limites laterais:
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Para , temos:
Rotacione a tela. 
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais, então basta igualar os resultados para encontrar o valor de .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
O limite é igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Verificando o limite lateral à esquerda.
x > −2, f(x) = 4x + k
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
(4x + k) = 4(−2) + k = −8 + k
x < −2, f(x) = 5x − 3
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2
(5x − 3) = 5(−2) − 3 = −10 − 3 = −13
k
−8 + k = −13 ⇒ k = −13 + 8 ⇒ k = −5
f(x)
f(x) = {
1 − cos x  se x ≤ 0
x2 + 4  se x > 0
limx→0− f(x)
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q
Para , consideramos a função .
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, 0 .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Seja uma função definida por
O limite é igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Verificando o limite lateral à esquerda.
Para , consideramos a função . Temos:
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, .
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, .
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
x < 0 f(x) = 1 − cos x
x
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(1 − cos x) = 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0
f(x)
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ 3√1 + x  se x < −1
2√1 − x2  se  − 1 ≤ x ≤ 1
3√x − 1  se x > −1
limx→−1− f(x)
x < −1 f(x) = 3√(1 + x)
−1
−1
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
3√1 + x = 3√1 + (−1) = 3√1 − 1 = 0
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Seja uma função definida por
O valor da constante a para que exista é:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Calculando os limites laterais:
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Para temos:
Rotacione a tela. 
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais. Vamos igualar os resultados para encontrarmos o valor de .
Rotacione a tela. 
f(x)
f(x) = {
2 + ax − x2  se x ≥ 2
x2−4
x−2  se x < 2
limx→2 f(x)
x > 2, f(x) = 2 + ax − x2
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(2 + ax − x2) = 2 + a(2) − (2)2 = 2 + 2a − 4 = 2a − 2
x < 2, f(x) = x2−4
x−2
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 − 4
x − 2
=
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= x + 2 = 2 + 2 = 4
k
2a − 2 = 4 ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dada a
marque a alternativa que indica o limite
f(x) = {x2 − 3x + 2  se x ≤ 3
8 − 2x  se x > 3
lim
x→3
f(x).
A 0
B 1
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para , temos:
Para , temos:
Como os limites laterais são iguais, o limite da funçăo existe.
Questão 2
Seja
marque a alternativa que indica o limite
C 2
D 3
E 4
x > 3, f(x) = 8 − 2x
lim
x→3
f(x) = lim
x→3
(8 − 2x) = 8 − 2(3) = 2
x < 3, f(x) = x2 − 3x + 2
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
(x2 − 3x + 2) = (3)2 − 3(3) + 2 = 2
lim
x→3−
f(x) = 2
f(x) = {
x − 1  se x ≤ 2
3x − 7  se x > 2
lim
x→2+
f(x)
A 0
B 1
C 2
D -1
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Verificando o limite lateral à direta:
Para , consideramos a funçåo .
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o pelo valor para o qual ele está se aproximando;
nesse caso, 
4 - Continuidade das funções
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a continuidade de funções.
Conceito de continuidade de funções
Quando falamos que uma função é contínua em determinado ponto do domínio, por exemplo , queremos dizer que o
gráfico dessa função não apresenta quebras, ou buracos. Ou seja, não ocorre nenhuma interrupção no gráfico da função no
ponto .
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, , do domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
E -2
x > 2 f(x) = 3x − 7
x
2.
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(3x − 7) = 3(2) − 7 = −1
f(x) x = a
f(x)
a
x = a
A função é definida no ponto ou seja existe;a f(a)
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Uma função não é contínua (ou descontínua) no ponto quando não existe , se não existe , ou se 
Atenção!
As funções elementares são funções contínuas.
Exemplos
Agora, vamos conhecer alguns exemplos de continuidade de funções.
Continuidade de funções - exemplo 1
Veja a solução de um problema com continuidade de funções.
Exemplo 2
A função é definida no ponto ou seja, existe;a f(a)
 limite  lim
x→a
f(x) existe; 
lim
x→a
f(x) = f(a)
x = a f(a) limx→a f(x)
limx→a f(x) ≠ f(a)

 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 2. 
{
3 + 1 2
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Rotacione a tela. 
Solução:
Rotacione a tela. 
Cálculo dos limites laterais.
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Rotacione a tela. 
Solução:
Verificar se a função f é definida no ponto .
Cálculo dos limites lateraís
f(x) = {
3x + 1 se x > 2
−2x + 4 se x ≤ 2
 Verificar se a função f é definida no ponto x = 2. 
f(x) = −2x + 4
f(2) = −2(2) + 4
f(2) = 0
 Verificar se o limite  lim
x→2
f(x) existe. 
x < 2, f(x) = −2x + 4
f(x) = −2x + 4
f(2) = −2(2) + 4
f(2) = 0
 Para x > 2, f(x) = 3x + 1,  temos:lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
f(3x + 1) = 3(2) + 1 = 7
 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1. 
f(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩2x2 − 3x + 2  se x < 1
2  se x = 1
2 − x2  se x > 1
x = 1
f(1) = 2
 Verificar se o limite  limx→1 f(x) existe. 
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Cálculo dos limites lateraís.
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Como os limites laterais existem e são iguais a 1, concluímos que o limite da função existe.
Rotacione a tela. 
Exemplo 4
Rotacione a tela. 
Solução:
Verificar se a função f é definida no ponto .
Rotacione a tela. 
x < 1, f(x) = 2x2 − 3x + 2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
= (2x2 − 3x + 2) = 2(1)2 − 3(1) + 2 = 1
 Para x > 1, f(x) = 2 − x2,  temos: 
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
= (2 − x2) = 2 − (1)2 = 1
lim
x→1
f(x) = 1
 Veja que  lim
x→1
f(x) ≠ f(1). Logo, a função não é contínua em x = 1.
 Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1. 
f(x) = {
x2−1
x−1  se x ≠ 1
1  se x = 1
x = 1
f(1) = 1
 Verificar se o limite  lim
x→1
f(x) existe. 
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2 − 1
x − 1
=
(x − 1)(x + 1)
x − 1
= x + 1 = 1 + 1 = 2
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Rotacione a tela. 
Depois de conhecer as continuidades de funções e ver alguns exemplos, chegou a hora de resolver algumas questões sobre o
assunto.
Atividade discursiva
Seja uma função definida por
O valor da constante k para que a funçåo seja contínua em é igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Para ser contínua em , temos que fazer
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
Seja uma funçåo definida por
lim
x→1
f(x) = 2
 Veja que  lim
x→1
f(x) ≠ f(1). Logo, a função não é contínua em x = 1. 
f(x)
f(x) = {
x2−5x+6
x−2  se x ≠ 2
k  se x = 2
x = 2
f(x) x = 2
lim
x→2
f(x) = f(2)
f(x) =
x2 − 5x + 6
x − 2
=
(x − 2)(x − 3)
x − 2
= x − 3
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x − 3 = 2 − 3 = −1
f(2) = a
lim
x→2
f(x) = f(2) ⇒ a = −1
f(x)
f(x) = {xex2
 se x ≥ 1
kx2  se x < 1
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O valor da constante para que a funçåo seja contínua em é igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Para ser contínua em , temos que fazer
Rotacione a tela. 
Cálculo dos limites laterais:
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Atividade discursiva
As abscissas dos pontos de descontinuidade da funçăo formam o conjunto:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
{
k x = 1
f(x) x = 1
lim
x→1
f(x) = f(1)
x > 1, f(x) = xex2
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
xex2
= 1. e12
= e
x < 1, f(x) = kx2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
kx2 = k(1)2 = k
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) ⇒ k = e
y = x−3
x2−4x+3
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Fatorando a função, temos:
Rotacione a tela. 
Logo, as abscissas dos pontos de descontinuidade formam o conjunto .
Atividade discursiva
Seja uma funçâo definida por
O valor da constante para que a funçåo seja contínua em é igual a:
Digite sua resposta aqui
Exibir solução
Para ser contínua em , o limite .
Calculando os limites laterais:
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Para , temos:
Rotacione a tela. 
Fazendo , temos:
f(x) =
x − 3
x2 − 4x + 3
=
x − 3
(x − 1)(x − 3)
[1, 3]
f(x)
f(x) = {x2 − k2  se x < 4
kx + 20  se x ≥ 4
k x = 4
f(x) x = 4 limx→4 f(x) = f(4)
x > 4, f(x) = kx + 20
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4+
(kx + 2) = kx + 20 = 4k + 20
x < 4, f(x) = x2 − k2
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(4)2 − k2 = 16 − k2
limx→4+ f(x) = limx→4− f(x)
4k + 20 = 16 − k2
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Rotacione a tela. 
Resolvendo a equação do grau encontramos .
+
k2 + 4k + 20 − 16 = 0
k2 + 4k + 4 = 0
2∘ k = −2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(PUC-SP) Sobre a função
podemos afirmar que
Parabéns! A alternativa C está correta.
A função é definida em , pois .
Verificando os limites laterais da função dada:
Para , temos:
Para , temos:
Como os limites laterais são diferentes, o limite da função não existe.
A função é descontínua em .
f(x) = {
1  se x ≤ 3
√x − 3  se x > 3
A é definida e contínua para todo x real.
B é definida e contínua somente para x > 3.
C é definida para todo x real e descontínua somente para x = 3.
D é definida e contínua somente para x ≤ 3.
E é definida para todo x real e descontínua somente para x = 0.
x = 3 f(3) = 1
x > 3, f(x) = √x − 3
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
√x − 3 = √3 − 3 = 0
x < 3, f(x) = 1
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
1 = 1
x = 3
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Questão 2
(UF - Uberlândia-MG) A função não está definida para . Para que a função seja contínua no ponto 
, devemos completá-la com f(I) igual a:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para ser contínua em temos que fazer
Considerações �nais
Apresentamos o conceito intuitivo de limite, por meio da análise do comportamento de uma função, e o cálculo de limites de funções
algébricas, utilizando a substituição direta. Em seguida, verificamos como calcular limites de funções envolvendo indeterminações.
Por fim, abordamos os limites laterais e analisamos a continuidade de algumas funções.
f(x) = x2−1
x3−1 x = 1 f(x)
x = 1
A 0
B 1/3
C -2
D 2/3
E -2/3
f(x) x = 1
lim
x→1
f(x) = f(1)
f(x) =
x2 − 1
x3 − 1
=
(x − 1)(x + 1)
(x − 1) (x2 + x + 1)
=
x + 1
x2 + x + 1
lim
x→1
=
x + 1
x2 + x + 1
=
1 + 1
12 + 1 + 1
=
2
3
f(1) =
2
3

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Podcast

Referências
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FLEMMING, D. M. Cálculo A: Funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
HOFFMANN, L. D. Cálculo - um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 11. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio
de Janeiro: LTC, 2015.
LARSON, R. Cálculo aplicado: curso rápido. Tradução: Noveritis do Brasil. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo: volume I. Tradução: Helena Maria Ávila de Castro. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
WAITS, B. K.; FOLEY, Q. D.; DEMANA, F. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
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