Conjuntos e Pertinência

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CONJUNTOS 
1. CONJUNTO, ELEMENTO E RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROPOSIÇÃO OU SENTENÇA: Oração declarativa que pode ser classificada em 
V ou F, mas não ambos 
 CONJUNTOS: Coleção de objetos um agrupamento ou coleção de objetos 
(conceito primitivo ou noção primitiva). Poderíamos usar os termos “classe” ou 
“coleção” como sinônimos para a noção de conjuntos. 
 ELEMENTO: Cada objeto que faz parte da formação do conjunto 
o Não há restrições na escolha dos elementos (o elemento de um conjunto 
pode ser qualquer coisa) 
o Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto 
 LETRAS MAIÚSCULAS: indica conjuntos e 
 LETRAS MINÚSCULAS: indica elementos 
 PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Para todo 𝒙, não existe uma outra opção 
além de 𝒙 ∈ 𝑨 ou 𝒙 ∉ 𝑨 
 PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO: 𝒙 ∈ 𝑨 e 𝒙 ∉ 𝑨 não podem ser 
simultaneamente verdadeiras 
 
2. IGUALDADE DE CONJUNTOS (AXIOMA DA EXTENSÃO) 
 A mais básica propriedade da pertinência é a sua relação com a igualdade, que 
pode ser assim descrita: 
o AXIOMA DA EXTENSÃO: Dois conjuntos são iguais se e somente se eles 
possuem os mesmos elementos. 
 
 
o Na definição de igualdade entre conjuntos não é relevante a noção de 
ordem entre os elementos 
o É possível repetir elemento em um mesmo conjunto, mas não se deve. A 
repetição de elementos não significa que foram introduzidos novos 
elementos 
 Se A não é igual a B, escrevemos 𝐴 ≠ 𝐵 
o Para que os conjuntos A e B não sejam iguais, basta que exista algum 
elemento de A que não pertença a B ou que exista algum elemento de B 
que não pertença a A. 
 
 
 
 
 
3. FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS 
I. EXTENSÃO: Enumera-se os elementos do conjunto 
II. COMPREENSÃO: Descreve-se os elementos do conjunto através de uma 
propriedade específica 
III. DIAGRAMA DE VENN: Representa-se os elementos do conjunto em um 
diagrama, chamado diagrama de Euler-Venn 
 
4. CARDINAL DE UM CONJUNTO 
 CARDINAL DE UM CONJUNTO: Quantidade de elementos deste conjunto 
 CLASSIFICAÇÃO QUANTO A CARDINALIDADE 
o Conjunto Vazio: Não possui elementos { } ou Ø (redução ao absurdo); 
o Conjunto Unitário: Possui apenas um elemento 
o Conjunto Binário: Possui apenas dois elementos 
 
 
 
5. CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO SOLUÇÃO 
 CONJUNTO UNIVERSO (U): Conjunto no qual pertencem todos os possíveis 
elementos de uma teoria ou situação problema 
o Quase sempre a resposta para algumas questões depende do conjunto 
universo que é considerado. 
 CONJUNTO SOLUÇÃO (S): Subconjunto restrito e determinado do conjunto 
universo 
 A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ (∀x) (x ∈ A ↔ x ∈ B)
A ≠ B = { ∃x| x ∈ A e x ∉ B ou x ∉ A e x ∈ B}
n(A) = #A = 3
∈: Pertence ∉ : Não pertence
 ∃: Existe ∄: Não existe
= Igual ≠ Não é igual 
6. SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 SUBCONJUNTO: Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo 
elemento que pertencer a A também pertencer a B 
 
 
 NOTAÇÃO MATEMÁTICA: 𝑨 ⊂ 𝑩. O símbolo ⊂ e denominado sinal de inclusão 
 
 
 
 
 
Com a notação 𝑨 ⊄ 𝑩 indicamos que A não é subconjunto de B. Obviamente, A não 
é subconjunto de B somente se existe pelo menos um elemento de A que não 
pertence a B. 
 
 
 
 SUBCONJUNTO PRÓPRIO: Se A e B são conjuntos tais que 𝑨 ⊂ 𝑩 e, além disso, 
𝑨 ≠ 𝑩, dizemos que A é um subconjunto próprio de B ou que A está contido 
propriamente em B. 
 
 
 PROPRIEDADES DA INCLUSÃO 
a. PROPRIEDADE REFLEXIVA DA INCLUSÃO: Todo conjunto é subconjunto de si 
próprio 𝑨 ⊂ 𝑨 
b. PROPRIEDADE TRANSITIVA DA INCLUSÃO: Se A, B e C são conjuntos tais que 
𝑨 ⊂ 𝑩 e 𝑩 ⊂ 𝑪, então 𝑨 ⊂ 𝑪. A propriedade transitiva da inclusão é a base 
do raciocínio dedutivo, sob a forma que classicamente se chama de 
silogismo. Exemplo: Todo homem é animal. Todo animal é mortal. 
Portanto, todo homem é mortal. 
 
 
c. PROPRIEDADE ANTISSIMÉTRICA DA INCLUSÃO: Se A e B são conjuntos tais que 
𝑨 ⊂ 𝑩 e 𝑩 ⊂ 𝑨, então A e B têm os mesmos elementos e, portanto, pelo 
axioma da extensão, A = B. 
Neste sentido, a inclusão comporta-se diferentemente da igualdade. A igualdade é 
uma relação simétrica, ou seja, se A = B, então B = A. 
o AXIOMA DA EXTENSÃO: pode ser reformulado assim se A e B são conjuntos, 
então ocorrer 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐴 é condição necessária e suficiente para que se tenha 
A = B. 
 CONJUNTO VAZIO: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou 
seja, ∅ ⊂ 𝑨 para todo conjunto A. 
 
 
7. CONJUNTO DAS PARTES 
 Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, denotado por P (A), é o 
conjunto de todos os subconjuntos de A. 
 
 
 CARDINAL DO CONJUNTO DAS PARTES: um conjunto que tem n elementos 
possui 2n elementos 
o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: Para formar um subconjunto, 
devemos decidir, para cada elemento do conjunto, se ele pertencerá ou não ao 
subconjunto (deve-se escolher SIM ou NÃO para cada elemento do conjunto). O 
mesmo ocorre para descobrir a quantidade de linhas de uma tabela-verdade na 
lógica proposicional. 
REFLEXIVA 𝑨 ⊂ 𝑨 Todo conjunto é subconjunto de si próprio
ANTISSIMÉTRICA 𝑨 ⊂ 𝑩 e 𝑩 ⊂ 𝑨
Se A e B são conjuntos tais que A está 
contido em B e B está contido em A, então 
A e B têm os mesmos elementos e, 
portanto, pelo axioma da extensão, A = B.
TRANSITIVA 𝑨 ⊂ 𝑩 e 𝑩 ⊂ 𝑪, então 𝑨 ⊂ 𝑪
Se A, B e C são conjuntos tais que A está 
contido em B e B está contido em C, então 
A está contido em C. A propriedade 
transitiva da inclusão é a base do raciocínio 
dedutivo, sob a forma que classicamente se 
chama de silogismo.A propriedade 
transitiva da inclusão é a base do raciocínio 
dedutivo, sob a forma que classicamente se 
chama de silogismo.
PROPRIEDADES DA INCLUSÃO
𝐻 ⊂ 𝐴
𝐴 ⊂ 𝑀
∴ 𝐻 ⊂ 𝑀.
A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
P(A) = {x| x é um subconjunto de A}
A ⊆ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B
8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1. INTERSEÇÃO 
o Conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e B, isto é, pelos 
elementos que pertencem a A e também pertencem a B. 
 
 
 
 
o Se A é subconjunto de B, a interseção entre A e B será o próprio conjunto A. 
 
 
 
o CONJUNTOS DISJUNTOS: Quando 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, ou seja, quando os conjuntos A e 
B não possuem elementos comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. REUNIÃO 
o Dados os conjuntos A e B, a reunião 𝑨 ∪ 𝑩 é o conjunto dos elementos que 
pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IDEMPOTENTE 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨
A interseção de um conjunto com si mesmo é o 
próprio conjunto
COMUTATIVA 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨
elementos comuns entre A e B são os mesmos 
elementos comuns entre B e A
Se A é subconjunto de B, ou seja, todo elemento de 
A é também elemento de B. Portanto, A ∩ B = A, ou 
seja, os elementos comuns entre A e B são todos os 
elementos de A
Não há elementos comuns entre o conjunto vazio e 
um conjunto A qualquer, já que o conjunto vazio não 
possui elementos. Portanto, a interseção entre o 
conjunto vazio e um conjunto A qualquer é o próprio 
conjunto vazio
Todo elemento da interseção entre A e B também é 
elemento de A.
Todo elemento da interseção entre A e B também é 
elemento de B.
Se 𝑨 ⊂ 𝑩 , então 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨
𝑨 ∩ ∅ = ∅
(𝑨 ∩ 𝑩) ⊂ 𝑨 e (𝑨 ∩ 𝑩) ⊂ 𝑩
ASSOCIATIVA 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪
PROPRIEDADES DA INTERSEÇÃO
A ⊂ B ⇔ A ∧ B = A
IDEMPOTENTE 𝑨 U 𝑨 = 𝑨
COMUTATIVA 𝑨 U 𝑩 = 𝑩 U 𝑨
 Se 𝑨 ⊂ 𝑩, então 𝑨 U 𝑩 = 𝑩
 𝑨 U ∅ = 𝑨
PROPRIEDADES DA REUNIÃO
ASSOCIATIVA 𝑨 U (𝑩 U 𝑪) = (𝑨 U 𝑩) U 𝑪
 
 
 
 
 
3. DIFERENÇA 
o A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem 
a A e não pertencem a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. COMPLEMENTAÇÃO 
o Consideremosdois conjuntos A e B, tais que 𝑨 ⊂ 𝑩. Chama-se 
complementar de A em relação a B o conjunto B – A, ou seja, o conjunto 
formado pelos elementos de B que não pertencem ao conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DA REUNIÃO E INTERSEÇÃO
𝑨 ∪ (𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑨
𝑨 ∩ (𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑨
𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)
𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪)
PROPRIEDADES DA DIFERENÇA
Se 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, então 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 e 𝑩 − 𝑨 = 𝑩
𝑨 − 𝑨 = ∅
𝑨 − ∅ = 𝑨
Se 𝑨 ⊂ 𝑩, então 𝑨 − 𝑩 = ∅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA SIMÉTRICA 
o Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto 
𝑨Δ𝑩 tal que 𝑨Δ𝑩 = (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑩 − 𝑨). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO 
o O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma fórmula para calcular o número 
de elementos que pertencem à união de vários conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Ou seja, para calcular os elementos que fazem parte da união de diversos 
conjuntos, basta que somem os elementos pertencentes a cada conjunto 
descontando a interseção de um com o outro e a interseção entre todos eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO (ou) = Conjunção das negações.
ii) NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO (e) = Disjunção das negações.
o  Negação de “A ou B” = “Não A e não B” 
o  Negação de “A e B” é “Não A ou não B”
COMPARAÇÃO COM OS CONECTIVOS LÓGICOS
 Leis de DeMorgan
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS CONJUNÇÃO X DISJUNÇÃO INCLUSIVA
A∩B ⇔ A∪B Leis de DeMorgan ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P V ¬Q 
A∪B ⇔ A∩B Leis de DeMorgan ¬(P V Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Propriedade distribuitiva p ∧ (q V r ) ⟺ (p ∧ q) V (p ∧ r)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Propriedade distribuitiva p V (q ∧ r ) ⟺ (p V q) ∧ (p V r)
P ∪ (P ∩ Q) = P Propriedade de Absorção p ∨ (p ∧ q )⟺ p
P ∩ (P ∪ Q) = P Propriedade de Absorção p ∧ (p ∨ q) ⟺ p
CONJUNTOS DISJUNÇÃO INCLUSIVA
P ∪ P = P Propriedade Idempotente p V p ⟺ p
P ∪ Q = Q ∪ P Propriedade Comutativa p V q ⟺ q V p
(P ∪ Q) ∪ R = P ∩ (Q ∪ R) Propriedade Associativa (p V q ) V r ⟺ p V (q V r)
P ∪ Ø = Ø Propriedade Identidade p V c ⟺ p
P ∪ U = U p V t ⟺ t
CONJUNTOS CONJUNÇÃO
P ∩ P = P Propriedade Idempotente p ∧ p ⟺ p
P ∩ Q = Q ∩ P Propriedade Comutativa p ∧ q ⟺ q ∧ p
(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) Propriedade Associativa (p ∧ q ) ∧ r ⟺ p ∧ (q ∧ r)
P ∩ U = P Propriedade Identidade p ∧ t ⟺ p
P ∩ Ø = Ø p ∧ c ⟺ c