Los Elementos de Euclides

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E U C L I D E SE U C L I D E S
P R E M B UP R E M B U LL OO
MM UUYY escasasescasas sonson laslas nono tt iiciascias queque ssee tt ieie nneenn dede lala vividd aa dede EEuclideuclidess .. l'l' roro--
clo diceclo dice queque floreciófloreció bajobajo PtolPtoloomm eoeo 11   y,y, ppoor r tta11toa11to ee    elel periodoperiodo
306-285306-285 queque fuefue elel dede lala gobernagobernacc ió11ió11 deldel ff   dadaddoorr dede lla dinaa dinastst ííaa dede lolo ss
ldgidas,ldgidas, el cualel cual lolo ii1vitó aii1vitó a profesarprofesar ee elel MM uusseeoo dede AlAl ee jandríajandría ;; yy ccuuééntnt asasee
que al preguntarleque al preguntarle enen cciiertaerta ocasió11 si pocasió11 si paraara apaprrenderender CeCe oo111etría111etría nono hhabrlaabrla
unun ca1nca1n i110i110 másmás cortocorto qquuee el deel de loslos ElEleemmentos,entos, EuEu clcl idesides le respole respondndiió:ó: •• EriEri
GeometGeometríríaa nono liayliay i i gg úú    ccamino espamino especial paecial para ra lloo s s rreyeyeess..••
Ta111bTa111biih1 se dih1 se diccee ququ ee ereraa mmoodestodesto yy amablamablee coco nn ttodoodo elel mumu nndo,do, eessppee
cialmcialmeente connte con quie11es dquie11es d eemostrahmostrahaa   aafficic iónión ppoor r llooss est11diosest11dios mama ttee    ddttícosícos ..
A A eses ttas as ppoobresbres i11dicai11dicacicio11eso11es dede orige11orige11 grigriegegoo llww yy queque agreagregar lasgar las dede
f11e11tesf11e11tes drabesdrabes queque aseguranaseguran que Euclque Eucliiddees era lzijs era lzijoo dede NeucrateNeucratess yy nnieie ttoo
dede ZeZennaarrcco,o, /1eleno/1eleno nacidnacidoo enen TiroTiro yy ddo111iclo111iclliadliado o eenn DDamamaasscoco ; ; 11ww titicciiasas
queque rreeccoogege el Libroel Libro de losde los J11dicesJ11dices KitaKita b-alb-al --ffii hrst),hrst), ddondeonde sese lleeee   ademademddss  
que laque la madremadre deldel geómetra segeómetra se llamaballamaba BBerereenniiccee ..
Modernamente,Modernamente, lala revistarevista BibliotheBibliotheccaa MaMa tthematihematiccaa,, dede EstocoEstocolmlm oo    haha
publicadopublicado trestres estudios:estudios: unouno dede HH .. SSuu teterr:: EinigEinigccs s aausus NassiNassi rr eded -- DinDin
Euklidausgabe;Euklidausgabe; 111111 1892,1892, enen dondedonde tambiéntambién dd iceice queque EuEu clideclides era ns era naaturaltural
de Tirode Tiro ;; otrootro dede GG.. /1inge:/1inge: DieDie LebenszcitLebenszcit Euklids,Euklids, xx ,, 191191 00    qq uien,uien, apo-apo-
ydndoseydndose enen razonesrazones filoJógicasfiloJógicas sostienesostiene queque el el ggeeómóm eett rraa nacinació ó ppoorr loslos
añosaños dede 375375 antesantes dede // .. C.C. compusocompuso loslos ElElementoementoss eentnt rree 333300 320320
finalme11tefinalme11te enen unun tercertercer trabajo,trabajo, XIIIXIII    1818 1122 concon elel mimissmmoo tt iittuloulo queque ll
anterior T.anterior T. VogtVogt limitalimita lala vidavida dede EuclEucliidesdes alal períodoperíodo 336655-32-325 5 yy sitúasitúa lala
redacció11redacció11 dede lala obraobra enen loslos últimosúltimos añañooss dede susu vidavida ..
HoyHoy pareceparece poderse afirmarpoderse afirmar queque EuEu clcl iidesdes eses ttudud iióó enen AAtt ee asas   dodo nnddee
conocióconoció los últimos resplandores delos últimos resplandores de susu foco cfoco ciieentífintíficoco    paspasananddoo llueueggo o aa
AlejaAlejandríndría bajoa bajo lala proteprotecccciióónn dede loslos l ~ i dl ~ i d LLaa ffeclraeclra 111ds111ds probablprobablee ddee
sr.sr. mumu ererte este es lala dede 275275 aann testes dede ll CC ..
SuSu oobra másbra más notablenotable    aa lala c11a/c11a/ ddrberbe lala ii oorrtalidadtalidad    eses llaa titi tuladatulada
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834834 CIENTIFICOSCIENTIFICOS GRIEGOS.-TOMOGRIEGOS.-TOMO 11
BTBT BTBT
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flfl GG .. 17'.17'. F10.F10. llOllO..
5.5. SiSi un númeroun número
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parl•parl• d•d• otro tercerootro tercero lolo mismo parlemismo parle d1d1 ' ' ''
cuarcuarto, to, primera primera t1rc1ra t1rc1ra juntojuntos s s1rdn s1rdn lo lo mismo mismo porteporte deldel segundosegundo
cuarto juntoscuarto juntos n.n.
SeaSea AA un número parte deun número parte de BGBG yy DD otrootro número lanúmero la mismamisma parteparte dede
otrootro EZEZ queque AA dede BG.BG. SiSi sese dividedivide BGBG enen númerosnúmeros BHBH yy HHGG igualesiguales aa
AA yy EZEZ enen númerosnúmeros ETET yy TZTZ iguales aiguales a DD el totalel total dede loslos númerosnúmeros dede
BGBG ser;l Igual alser;l Igual al dede loslos dede EZEZ yy porpor serser BHBH igual aigual a AA yy EETT igualigual aa DD
ser;lser;l BHBH yy EETT juntosjuntos iguales aiguales a AA yy DD juntos,juntos, yy porpor lala mismamisma razónrazón HGHG
yy TZTZ juntosjuntos i ualesi uales tambiintambiin aa AA yy DD juntos,juntos, yy como hay elcomo hay el mismomismo Dd·Dd·
meromero dede partespartes AA enen JGJG queque dede partespartes DD eaea EZ.EZ. ns1lllans1llla q.eq.e laslas putput
dede BGBG yy EZEZ junto•junto• sonson comocomo AA yy DD juntos;juntos; luego elluego el mdltiplomdltiplo BGBG dede AA
eses el mismoel mismo queque BGBG yy EZEZ juntosjuntos dede AA yy DD juntos, l.q.q.d.juntos, l.q.q.d. 1111••
Sobre esta cuestldn fundamental del lib.Sobre esta cuestldn fundamental del lib. vnvn hayhay un trabafoun trabafo dede Zl unmNZl unmN
enen elel Jol tlnJol tln dede lala Academia de ClenclaaAcademia de Clenclaa dede Dinamarca:Dinamarca: •Sur•Sur lala constltutlonconstltutlon
des Jlyrea arlthmitlqueades Jlyrea arlthmitlquea d'Euclldu.d'Euclldu. Copenha1ue,Copenha1ue, 1910.1910. ''
nn En len1uaje moderno:En len1uaje moderno: SISI • divide• divide aa bb yy eaea ee un equldlvlaor deun equldlvlaor de 4,4, lala
sumasuma •+e•+e ea elea el 1nl111101nl11110 equldiYl1or deequldiYl1or de b +d.b +d.
••Toda esta••Toda esta palabrería-ypalabrería-y hemos suprimido las repetlclones--se puede 1lntehemos suprimido las repetlclones--se puede 1lnte
tl1ar aar:tl1ar aar: D1dos loa cu1tro ndmerosD1dos loa cu1tro ndmeros o,o, b,b, ee yy dd tales quetales que seasea
y,y, por tanto,por tanto,
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o - - b .o - - b .
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""b-o+o+a+b-o+o+a+ .. .... +a;+a;
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EUCLIDES.-ELEMENTOSEUCLIDES.-ELEMENTOS DEDE GEOMETRIAGEOMETRIA 83S83S
6.6. Si unSi un númeronúmero •s•s una fracción d1 otrouna fracción d1 otro unun l•rcerol•rcero lala misma frac-misma frac-
dóndón d1d1 unun cuarto,cuarto, •I•I primera t1rc1roprimera t1rc1ro juntosjuntos serdnserdn lolo misma frac-misma frac-
ddnddn deldel segundo segundo del del cuartocuarto juntosjuntos ··
7.7. SiSi Ln númeroLn número •s•s parteparte dede otro unotro un    tercero latercero la mismamisma parte departe de unun
·· cuarto,cuarto, lolo r1man1nr1man1nt1 t1 del del primero primero tercero tercero es es lala mismamisma parteparte dede lo rema-lo rema-
n1nt1n1nt1 deldel segundosegundo yy cuartocuarto ».».
1111 SiSi unun númeronúmero ISIS una fracción d1 otrouna fracción d1 otro yy unun tercerotercero lala misma frac-misma frac-
ddnddn d1d1 unun cuarto,cuarto, lolo r1manent1 del primeror1manent1 del primero yy tercerotercero ISIS lala misma fracmisma frac --
ddn d•ddn d• lo rfmanente dello rfmanente del segundo cuartosegundo cuarto 1111 ••
sumandosumando
""
de dondede donde
b d•b d• (o+c)(o+c)++ (o+c)(o+c) ++ a+c)a+c) ++ :-::-: ++ (o+c),(o+c),
11
a+c-a+c- --   b+d),  b+d),
1t1t Traduciendo los 5egmentos euclídeos a nTraduciendo los 5egmentos euclídeos a núúmeros, la demostración de escemeros, la demostración de esce
teorema se reduce a lo siguienteteorema se reduce a lo siguiente :: SISI eses
eaea
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a - - b ;a - - b ;
nn
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c - - d ,c - - d ,
nn
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a c - -a c - - (b+d).(b+d).
nn
»Ea»Ea el teorema an'1010 alel teorema an'1010 al SS relativo arelativo a lluu diferencias, de modo quediferencias, de modo que 1111 uu
aeae tJenetJene
ll
· - - b ,· - - b ,
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c - - d ,c - - d ,
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a-e--a-e--  b-d), b-d),
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.U.U Teorema an'1010 alTeorema an'1010 al 66 relativo a las diferencias. De larelativo a las diferencias. De la hipdtul1hipdtul1
aeae deduce inmediatamente:deduce inmediatamente:
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980980 CIENTIFICOSCIENTIFICOS GRIF GOSGRIF GOS   TOMOTOMO 11
siblesible formar un ánguloformar un ángulo sólido con cuatro cuadrados porquesólido con cuatro cuadrados porque llenanllenan elel planq.planq.
Con tres pentágonosCon tres pentágonos equiláterosequiláteros yy equiángulos se formaequiángulos se forma elel lingulolingulo sósó
lido dellido del dodecágono,dodecágono, peropero es imposiblees imposible formarlo conformarlo con cuatrocuatro porqueporque siensien
dodo elel ¡fogulo¡fogulo deldel pentágono equiláteropentágono equilátero igualigual aa unun rectorecto yy unun quintoquinto dede
EE
recto,recto, loslos cuatrocuatro valen másvalen más de cuatrode cuatro recrec
tos,tos, lolo cualcual eses imposible.imposible.
YY porpor lala misma razónmisma razón dede absurdidadabsurdidad
nono sese puedepuede construirconstruir ningúnningún c.troc.tro o ~ u l oo ~ u l o
sólidosólido con polígonoscon polígonos equiláterosequiláteros yy equilinequilin
gulos.gulos.
QueQue elel ánguloángulo del pentligonodel pentligono
equiláteroequilátero yy equi<lnguloequi<lngulo valevale unun rectorecto yy unun
quintoquinto de recto,de recto, sese puedepuede demostrardemostrar as :as :
SeaSea ABGDEABGDE unun pent<lgonopent<lgono equiláteroequilátero yy
equiánguloequiángulo inscrito eninscrito en elel círculo de centrocírculo de centro
yy trácense lastrácense las rectasrectas ZA,ZA, ZBZB ZG,ZG, ZDZD yy
F1GF1G   JO>JO> ZEZE queque bisecan los ángulosbisecan los ángulos deldel pentá-pentá-
gono. Puestogono. Puesto queque los ánguloslos ángulos alrededoralrededor dede
ZZ sonson igualesiguales yy valen,valen, juntos,juntos, cuatrocuatro rectos,rectos, uno deuno de ellos,ellos, comocomo elel AZBAZB
vale unvale un rectorecto menos unmenos un quintoquinto dede recto;recto; luego losluego los otrosotros dosdos ángulos,ángulos,
ZABZAB yy AIJZAIJZ del triángulodel triángulo ABZABZ valdrán,valdrán, juntos,juntos, un rectoun recto yy unun quintoquinto dede
recto,recto, yy comocomo elel ánguloángulo ZABZAB eses igualigual alal ZBGZBG elel totaltotal ABGABG queque eses
elel ángulo del pentágono,ángulo del pentágono, valevale un rectoun recto yy unun quintoquinto de recto,de recto, l.q.q.d.l.q.q.d.