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**Explicação:** Usando integração por partes repetidamente, obtemos a expressão final. 
 
20. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln \left(e^{4x} + 1\right) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = e^{2x}\), a integral se transforma em \(\int 
\frac{1}{u^2 + 1} \, du\), resultando em \(\frac{1}{2} \ln (e^{4x} + 1) + C\). 
 
21. **Problema:** Calcule a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\), a integral se 
transforma em \(\frac{1}{2} \int e^u \, du\), resultando em \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). 
 
22. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x} \, dx\), a 
integral se transforma em \(-\frac{u}{x} - \frac{1}{x} + C\). 
 
23. **Problema:** Encontre \(\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{4} - \frac{\sin(2x)}{8} + C\). 
 **Explicação:** Usando identidades trigonométricas e substituições, a integral se resolve 
em termos de \(x\) e \(\sin(2x)\). 
 
24. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(x = \sec(\theta)\), a integral se transforma em \(\int 
\frac{1}{\sec(\theta)} \, d\theta\), resultando em \(\sec^{-1}(x) + C\). 
 
25. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x^3}{(x^2 + 1)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{4} \ln(x^2 + 1) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2 + 1\), obtemos \(\int \frac{1}{2u} \, du + 
\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \, du\). 
 
26. **Problema:** Encontre \(\int x \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \(\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} 
+ C\). 
 
27. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** Não há uma forma fechada para esta integral. 
 **Explicação:** Esta integral não possui uma antiderivada expressa em termos de funções 
elementares. 
 
28. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\tan^{-1}(\sin(x)) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \cos(x)\), a integral se simplifica para \(\int 
\frac{1}{1 + u^2} \, du\), resultando em \(\tan^{-1}(\sin(x)) + C\). 
 
29. **Problema:** Encontre \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{4} \ln \left(e^{4x} + 1\right) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = e^{2x}\), a integral se transforma em \(\int 
\frac{1}{4u^2 + 1} \, du\), resultando em \(\frac{1}{4} \ln \left(e^{4x} + 1\right) + C\). 
 
30. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{e^{2x} + 2e^x + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln \left(e^x + 1\right) + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = e^x + 1\), a integral se simplifica para \(\int 
\frac{1}{u} \, du\), resultando em \(\ln(u) + C\). 
 
31. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^3 \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{2x^2 \ln(x)} + \frac{1}{2x^2 (\ln(x))^2} + C\). 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x} \, dx\), a 
integral se transforma e simplifica. 
 
32. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x^2 + 1}{x^3} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{x} + \ln(x) + C\). 
 **Explicação:** Dividindo e simplificando a integral, obtemos \(-\frac{1}{x} + \ln(x) + C\).