03_Raizes_wide_folheto

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15/09/2020
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Zeros Reais de Funções
Reais
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Introdução
2. Isolamento das raízes
3. Refinamento
a) Critério de parada
b) Métodos iterativos
c) Comparação entre os métodos
Motivação
◼ Problemas práticos:
1
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Exemplo 1
◼ Você comprou um automóvel por R$ 57.500, sem 
entrada e pagando R$ 19.800 por ano por seis anos.
◼ Qual a taxa de juros que você está pagando?
◼ A fórmula que relaciona o valor atual A, os pagamentos 
anuais P, o número de anos n e a taxa de juros i é: 
Exemplo 2
◼ Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser 
usada para calcular o nível de concentração de oxigênio 
c num rio, em função da distância x, medida a partir do 
local de descarga de poluentes:
◼ Determine para qual distância, a concentração de 
oxigênio seja maior ou igual a 5.
Exemplo 3
◼ Um projeto de um tanque esférico deve ser 
desenvolvido para armazenar água para uma pequena 
cidade. O volume de líquido é determinado pela fórmula:
◼ onde V é o volume em m3, h é altura da água no tanque, 
em m, e R é raio do tanque. Se R = 10 m, qual a altura 
que deve ser preenchida com água de modo que o 
tanque contenha 1.000 m3?
4
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Próximo
◼ Como aplicar um método numérico para obtenção de 
uma raiz;
Raízes
◼ Fundamentos;
◼ Isolamento de raízes.
Zeros de funções reais - Objetivos
◼ Estudar métodos numéricos para a resolução de equações 
não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x), ou 
seja, encontrar o(s) valor(es) de x tal que f(x) = 0)
❑ Fundamentar a necessidade de uso de métodos numéricos para 
a resolução de equações não lineares
❑ Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para 
a resolução de equações não lineares
❑ Apresentar e discutir uma série de métodos destinados à 
resolução de equações não lineares
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Zeros de funções reais - Introdução
◼ Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó 
:
 FH = 0
 FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
Zeros de funções reais - Introdução
◼  é um zero da função f(x) ou raiz da equação 
f(x) = 0 se f() = 0.
◼ Raízes podem ser números reais ou complexos.
◼ Trataremos somente de raízes reais de f(x).
❑ Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
21
f(x)
x
Zeros de funções reais - Introdução
◼ Para uma equação de segundo grau na forma:
◼ Determinação das raízes em função de a, b e c:
◼ Polinômios de grau mais elevado e funções com maior 
grau de complexidade
◼ Impossibilidade de determinação exata dos zeros
◼ Uso de soluções aproximadas
02 =++ cbxax
a
acbbx
2
42 −−=
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Zeros de funções reais - Introdução
◼ Etapas para a determinação de raízes a partir de 
métodos numéricos
◼ FASE 1: Determinação de um intervalo (o menor possível) 
que contenha apenas uma raiz
◼ FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada 
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε
prefixada)
Isolamento de Raízes
Isolamento de raízes
◼ Realiza-se uma análise teórica e gráfica da função f(x).
◼ A precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior.
◼ Teorema 1:
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x =  entre a e b que é 
zero de f(x).
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Isolamento de raízes – Análise Gráfica
1 2
f(x)
x3
a b
 b
f(x)
x
a
a 1
f(x)
x2
b
Isolamento de raízes – Tabelamento
◼ Exemplo: 
f(x) é contínua para
I1 = [-5, -3]
I2 = [0, 1]
I3 = [2, 3]
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um zero de f(x). 
 x
39)( 3 +−= xxxf
Isolamento de raízes – Tabelamento
◼ Exemplo:
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1,2] 
Mas esse zero é único? 
◼ Análise do sinal de f’(x)
f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição, localizado no intervalo [1,2] 
xexxf −−= 5)(
0,05
2
1
)(' += − xe
x
xf x
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Isolamento de raízes
◼ A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal 
em (a,b), então esse intervalo contém um único zero de 
f(x)
Isolamento de raízes
◼ Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no 
intervalo [a, b].
Isolamento de raízes
◼ A análise gráfica é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz.
◼ Suficiente utilizar um dos seguintes passos:
◼ Esboçar o gráfico de f(x).
◼ Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x.
◼ Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0.
◼ Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema cartesiano e localização dos 
pontos x nos quais g(x) e h(x) se interceptam (f() = 0  g() = h()).
◼ Pode-se (deve-se) usar programas para traçar gráficos de funções dentro do 
intervalo de interesse.
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21
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Isolamento de raízes
◼ O esboço do gráfico de uma função requer um estudo 
detalhado de seu comportamento, no qual devem ser 
considerados os itens abaixo:
◼ Domínio da função
◼ Pontos de descontinuidade
◼ Intervalos de crescimento e decrescimento
◼ Pontos de máximo e mínimo
◼ Concavidade
◼ Pontos de inflexão, etc
Isolamento de raízes
◼ Exemplo:
Solução utilizando o método 1:
39)( 3 +−= xxxf
30)('
93)('
39)(
2
3
==
−=
+−=
xxf
xxf
xxxf
)3,4(1 −−
)1,0(2 
)3,2(3 
33
-72
-7,3923 3
-51
30
11-1
13,3923-  3
3-3
-25-4
f(x)x
3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
21
Isolamento de raízes
◼ Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
039)( 3 =+−= xxxf
0393 =+− xx
3)( xxg =
39)( −= xxh
)3,4(1 −−
)1,0(2 
)3,2(3 
3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 42
1
h(x)
y
22
23
24
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Isolamento de raízes
◼ Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
05)( =−= −xexxf
xex −= 5
xxg =)(
xexh −= 5)(
)2,1(

g(x)
x1 2 3 4
h(x) y
5 6
Isolamento de raízes
◼ Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
01)log()( =−= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(

g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
Próximo
◼ Refinamento das raízes;
◼ Métodos de obtenção das raízes.
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Refinamento de Raízes
Refinamento de raízes
◼ Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes:
I. Método da Bisseção
II. Método da Posição Falsa
III. Método do Ponto Fixo
IV. Método de Newton-Raphson
V. Método da Secante
◼ Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento.
◼ Método Iterativo  Caracterizado por uma série de instruções 
executáveis seqüencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos 
(iterações).
Refinamento de raízes
Sequência de passos:
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29
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Critérios de Parada
◼ Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?
◼ Como verificar tal questionamento?
◼ Interpretações para raiz aproximada
◼ x é raiz aproximada com precisão  se:
ou
◼ Como proceder se não se conhece  ?
 −x )(xf
Critérios de Parada
◼ Reduz-se o intervalo que contém a raiz a cada iteração.
◼ Obtém um intervalo [a,b] tal que:
◼ . então 
◼ Logo pode ser tomado como 
 





−



ab
e
ba,
   − xbax ,,
 bax , x
Critérios de Parada
◼ Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
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33
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Critérios de Parada
◼ Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos 
critérios
◼ Quando da utilização de programas computacionais, 
devemos utilizar:
◼ Teste de Parada
◼ Estipular o número máximo de iterações
◼ Prevenção de loops por:
◼ Erro no programa
◼ Escolha de método inadequado
Próximo
◼ Método da Bisseção.
Método da Bisseção
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Método da Bisseção
◼ Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] ondeexiste uma raiz única, é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a 
contém pelo ponto médio de a e b.
◼ Em outras palavras, o objetivo deste método é reduzir 
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir 
precisão requerida, ou , usando 
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
− kk ab )(xf
Método da Bisseção
◼ Definição do intervalo inicial
❑ Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
◼ a0 = a
◼ b0 = b
❑ Condições de Aplicação
◼ f(a) x f(b) < 0
◼ Sinal da derivada constante
Método da Bisseção
◼ Definição de novos intervalos
❑ Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0
❑ Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – contém 
a raiz
❑ Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
❑ Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
◼ Se verdadeiro
❑ Logo a = a e b = x0
◼ Caso contrario
❑ Logo a = x0 e b = b
◼ Repete-se o processo até que o valor de x atenda às 
condições de parada.
),( 0xa
),( 0 bx
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Método da Bisseção - Resumo













+
=
0)(
0)(
0)(
2
0
0
0
00
0
xf
bf
af
ba
x





=
=


01
01
00 ),(
xb
aa
xa













+
=
0)(
0)(
0)(
2
1
1
1
11
1
xf
bf
af
ba
x





=
=


12
12
11 ),(
bb
xa
bx













+
=
0)(
0)(
0)(
2
2
2
2
22
2
xf
bf
af
ba
x





=
=


23
23
22 ),(
bb
xa
bx
 
Método da Bisseção - Graficamente
ba x0||
a1
x1 
||
a3
a2
||
b1
||
x2 ||
b3
x
y
b2=
Método da Bisseção
◼ Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes:
Equação Equivalente:
01)log()( =−= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(
h(x)y

g(x)
x1 2 3 4 5 6
40
41
42
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Método da Bisseção
◼ Exemplo: 01)log()( =−= xxxf
x0 =
2 +3
2
= 2.5
f (2) = -0.3979 < 0
f (3) = 0.4314 > 0
f (2.5) = -5.15´10-3 < 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 3)
a1 = x0 = 2.5
b1 = b0 = 3
ì
í
ï
î
ï
x1 =
2.5+3
2
= 2.75
f (2.5) < 0
f (3) > 0
f (2.75) = 0.2082 > 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 2.75)
a2 = a1 = 2.5
b2 = x1 = 2.75
ì
í
ï
î
ï
 
Método da Bisseção - Algoritmo
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
xk = (ak + bk)/2;
while and
if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak; 
bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk; 
bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2;
k = k +1; 
end while
bk - ak >=e f (xk ) >=e
Método da Bisseção - Algoritmo
◼ Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo 
[ak, bk] que contém a raiz e uma aproximação para a 
raiz exata (tal que ou ) 
◼ A convergência do método é intuitiva
− kk ab
x
)(xf
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Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
◼ Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
◼ Deve-se obter o valor de k, tal que , ou seja: 
2
11 −− −
=− kk
kk
ab
ab
− kk ab

−
k
ab
2
00
)2log(
)log()log( 00 −−

ab
k
k
ab
2
00 −=

002
abk −
⎯→⎯ )log()log()2log( 00 −−⎯→⎯ abk
◼ Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, 
calcular o numero mínimo de iterações para que 
tenhamos (Critério de Parada).− kk ab
)2log(
)log()log( 00 −−

ab
k
)2log(
)10log()23log( 2−−−
k
64,6
3010,0
2
)2log(
)10log(2)1log(
=
+
k
7=k
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
Método da Bisseção
◼ Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes
Equação Equivalente
039)( 3 =+−= xxxf
0393 =−= xx
3)( xxg =
39)( −= xxh
)3,4(1 −−
)1,0(2 
)3,2(3 
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47
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Método da Bisseção
◼ Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
◼ x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0,5
◼ f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375
Teste de Parada
◼ |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10-3 
Escolha do Novo Intervalo
◼ f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
◼ f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
◼ f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0
◼ logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
039)( 3 =+−= xxxf  1,0=I
3103 −=
Método da Bisseção
◼ Exemplo:
◼ Então em 9 iterações
◼ foi atendida, enquanto , não foi− kk ab)(xf
039)( 3 =+−= xxxf  1,0=I
3103 −=
337890625.0=x
Método da Bisseção
◼ Vantagens:
◼ Facilidade de implementação;
◼ Estabilidade e convergência para a solução procurada;
◼ Desempenho regular e previsível.
◼ Desvantagens
◼ Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um 
elevado número de iterações);
◼ Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de 
interesse (nem sempre é possível);
◼ Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis.
258.24
10
3
7
00
=



=
=−
−
kk
ab

49
50
51
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Método da Bisseção – Exercício (em
sala/resolvido)
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde existe raiz 
real. Explique porque essa raiz é única. Execute as primeiras 7 
iterações do Método da Bisseção para a função , 
tal que 
b) Caso a condição de 
erro não tenha sido 
satisfeita, calcule quantas 
iterações ainda seriam 
necessárias.
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Método da Bisseção – Exercício
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da Bisseção para a 
função , tal que
Para a iteração 5 temos: 
e
1)( 3 −−= xxxf 3102 −
Iter. a b f(a) f(b) x f(x )
1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000
2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875
3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609
4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514
5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611
31020,06253125,1375,1 −=−=− ab
31020,082611)( −=xf
Método da Bisseção – Exercício
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, 
calcule quantas iterações ainda seriam necessárias.
)2log(
)log()log( 00 −−

ab
k
)2log(
)102log()12log( 3−−−
k
)2log(
)10log32(log)1log( −−
k
9658,8
30103,0
2,69897
30103,0
)330103,0(0
)2log(
)10log32(log)1log(
==
−−
=
−−
k
9=k
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53
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Próximo
◼ Método da Posição Falsa.
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Posição Falsa
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método da Posição Falsa
◼ Método da Bisseção
❑ Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
◼ Método da Posição Falsa
❑ Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
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Método da Posição Falsa
◼ Dada a função e, sendo o intervalo inicial 
, temos que 
◼ está mais próximo de zero que 
◼ Logo é provável que a raiz esteja mais próxima de x = 0 que de 
x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear em )
◼ Assim, ao invés de tomar a média aritmética, o método da 
posição falsa toma a média ponderada, com pesos de e 
039)( 3 =+−= xxxf
   1,0, =ba )0(305)1( ff =−=
)0(f )1(f
 ba,
)(af
)(bf
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x
−
−
=
+
+
=
Método da Posição Falsa - Graficamente
◼ Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta 
que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)): 
Método da Posição Falsa - Graficamente
x
a = a0

f(x)
b = b0x0
x0 = a0f(b0) - b0f(a0)
f(b0) - f(a0) 
x
a = a1

f(x)
b1 = x1
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(b1) - f(a1) 
x1
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Método da Posição Falsa
◼ Definição do intervalo inicial
❑ Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
◼ a0 = a
◼ b0 = b
❑ Condições de Aplicação
◼ f(a) x f(b) < 0
◼ Sinal da derivada constante
Método da Posição Falsa
◼ Definição dos Subintervalos❑ Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta 
que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
❑Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma 
aproximação da raiz da equação ()  pelo tamanho do 
intervalo [a, b] ou o valor f(x0)
◼ Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada
◼ Caso contrário  define-se um novo intervalo
Método da Posição Falsa
◼ Definição do novo intervalo
❑ Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – contém 
a raiz
❑ Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
❑ Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
◼ Se verdadeiro
❑ Logo a = a e b = x0
◼ Caso contrario
❑ Logo a = x0 e b = b
◼ Repete-se o processo até que o valor de x atenda às 
condições de parada.
),( 0xa
),( 0 bx
61
62
63
15/09/2020
22
Método da Posição Falsa
◼ Exemplo:
logo, existe ao menos 1 raiz no 
intervalo dado
. Como têm o mesmo sinal,
]3,2[,1)log()( =−= Ixxxf



=
−=
04314,0)(
03979,0)(
0
0
bf
af
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
−
−
=
)3979,0(4314,0
)3979,0(34314,02
−−
−−
=
8293,0
0565,2
= 4798,2=
00219,0)( 0 −=xf )()( 00 xfeaf






==
==
0)(3
0)(4798,2
101
101
bfbb
afxa
◼ Exemplo:
Como , temos:
Método da Posição Falsa
]3,2[,1)log()( =−= Ixxxf






=
==
0)(3
0)(4798,2
11
101
bfb
afxa
)0219,0(4314,0
)0219,0(34314,04798,2
−−
−−
=
0,4533
1354,1
=
5049,21 =x
00011,0)( 1 −=xf






==
==
0)(3
0)(5049,2
112
112
bfbb
afxa

Método da Posição Falsa - Algoritmo
k = 0; 
ak = a; bk = b; 
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
while and
if f(ak)f(xk) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk] */
bk = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak = xk;
end if
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
k = k +1;
end while
=− kk ab =)( kxf
64
65
66
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23
Método da Posição Falsa
◼ Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
Teste de Parada
◼ |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10-3
Escolha do Novo Intervalo
◼ f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
◼ f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
◼ f(x0) = 0,3753 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0
◼ logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
039)( 3 =+−= xxxf  1,0=I
3102 −=
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
−
−
=
)3(5
)3(1)5(0
−−
−−
=
8
3
−
−
=
Método da Posição Falsa
◼ Exemplo:
Então em 3 iterações
. foi atendida, enquanto , não foi
No método da Bisseção, o valor foi 
encontrado depois de 9 iterações
− kk ab)(xf
039)( 3 =+−= xxxf  1,0=I
3103 −=
337890625.0=x
337635046.0=x
Método da Posição Falsa
◼ Vantagens:
◼ Estabilidade e convergência para a solução procurada;
◼ Desempenho regular e previsível;
◼ Cálculos mais simples que o método de Newton.
◼ Desvantagens:
◼ Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x)
em um elevado número de iterações);
◼ Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível).
67
68
69
15/09/2020
24
Método da Posição Falsa– Exercício (parar)
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Execute as iterações do Método da 
Posição Falsa para a função , tal que 1)( 3 −−= xxxf
3102 −
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Próximo
◼ Método do ponto fixo.
Recordando...
◼ O que é o Cálculo Numérico?
❑ O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou 
métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de 
forma aproximada, mas com um grau crescente de exatidão
◼ Qual o papel (ou função) do Cálculo Numérico na Engenharia?
❑ Solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, usando um 
modelo matemático
70
71
72
15/09/2020
25
Recordando...
◼ Em que consiste obter a raiz de uma função?
◼ Quais foram os métodos estudados até o momento para obtenção de raiz?
◼ Os métodos são capazes de obter todas as raízes da função em estudo?
◼ Existe alguma condição para a aplicação dos métodos estudados até o 
momento?
Zeros Reais de Funções
Reais – Método do Ponto Fixo
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método do Ponto Fixo
◼ Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0, é 
possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a partir de uma 
aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xk} de aproximações para  pela relação xk+1
= φ(xk), uma vez que φ(x) é tal que f() = 0 se e somente se φ() = .
◼ Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no problema de encontrar um ponto 
fixo de φ(x)
◼ A função φ(x) é chamada de função de iteração 
73
74
75
15/09/2020
26
Método do Ponto Fixo
◼ Exemplo: Dada a função
São funções de iteração possíveis:
◼ A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por
com a condição de que A()  0 em , ponto fixo 
de φ(x)
06)( 2 =−+= xxxf
1
6
)(
1
6
)(
6)(
6)(
4
3
2
2
1
+
=
−=
−=
−=
x
x
x
x
xx
xx




)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo
◼ A partir da definição da forma de φ(x), , 
podemos então mostrar que
◼ Existem infinitas equações de iteração φ(x) para a equação f(x) = 0
 == )(0)(f
( ) 0)( =  fquetalseja
)()()(  fA+= )0)(()( ==  fporque
( )  = )(se
 =+ )()( fA 0)()( =  fA
)0)((0)( =  Aporquef
)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo - Graficamente
◼ Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de 
interseção da reta y=x com a curva y=φ(x)
76
77
78
15/09/2020
27
Método do Ponto Fixo - Graficamente
◼ Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do 
Ponto Fixo pode divergir do valor  procurado
Método do Ponto Fixo - Exemplos
◼ Exemplo: Dada a equação 
❑ As raízes são 1 = -3 e 2 = 2 (Não há necessidade de uso de 
métodos numéricos para o calculo)
◼ Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo iterativo
❑ Caso 1: Seja a raiz 2 = 2 e φ1 (x) = 6 - x2, Tomando x0= 1,5.
❑ Caso 2: Seja a raiz 2 = 2 e ,Tomando x0= 1,5.
06)( 2 =−+= xxxf
xx −= 6)(2
Método do Ponto Fixo – Exemplos – Caso 1
◼ Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x2 e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) = 6 – 1,52 = 3,75
x2 = φ(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625
x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906
x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)2 = -3475,4609
Conclui-se que {xk} não convergirá para 2 = 2
06)( 2 =−+= xxxf
79
80
81
15/09/2020
28
◼ Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x2 e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
Método do Ponto Fixo - Exemplos – Caso 1
06)( 2 =−+= xxxf
y
x
2
x1
φ(x)
x0
y = x
x2

1
{xk}  
Método do Ponto Fixo - Exemplos – Caso 2
◼ Exemplo: Dada a equação , com raiz 2 = 2 
, e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) =
x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) =
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
Conclui-se que {xk} tende a convergir para 2 = 2
06)( 2 =−+= xxxf
xx −= 6)(2
121320343,25,16 =−
969436380,1121320343,26 =−
007626364,2969436380,16 =−
998092499,1007626364,26 =−
000476818,2998092499,16 =−
Método do Ponto Fixo - Exemplos – Caso 2
◼ Exemplo: Dada a equação , com raiz 
2 = 2 , e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
06)( 2 =−+= xxxf
xx −= 6)(2
{xk} → 2 quando k → inf
φ(x)
x
y
y = x

2
x1
x0
x2
82
83
84
15/09/2020
29
Método do Ponto Fixo - Convergência
Teorema 2:
Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em 
e φ(x) uma função de iteração para f(x) = 0. Se
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I
2. |φ’(x)| < 1,  x  I e
3. x0  I
então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1 = φ(xk) 
convergirá para  .Além disso quanto menor for o valor de |φ’(x)|, 
mais rápido o Método do Ponto Fixo convergirá.
Método do Ponto Fixo - Convergência
◼ Resgatando os exemplos anteriores, para a função 
temos que:
❑ φ1(x) ( )  geração de uma sequencia 
divergente de 2 = 2
❑ φ2(x) ( )  geração de uma sequencia 
convergente para 2 = 2
06)( 2 =−+= xxxf
2
1 6)( xx −=
xx −= 6)(2
Método do Ponto Fixo - Convergência
◼ Avaliando a divergência de φ1(x)
❑ φ1(x) = 6 - x2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I
❑ |φ’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½
❑ Não existe um intervalo I centrado em 2=2, tal que
|φ’(x)| < 1,  x  I  φ1 (x) não satisfaz a 
condição 2 do Teorema 2 com relação a 2=2.
85
86
87
15/09/2020
30
Método do Ponto Fixo - Convergência
◼ Avaliando a convergência de φ2(x)
❑ e
◼ φ2 (x) é contínua em S = {x  R | x  6}
◼ φ’2 (x) é contínua em S’ = {x  R | x < 6}
❑
❑ É possível obter um intervalo I centrado em 2=2, tal que todas 
as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
xx −= 6)(2 )62/1()('2 xx −−=
75,5162/11)('2 − xxx
Método do Ponto Fixo - Algoritmo
◼ Critérios de Parada
❑ |f(xk)|  
❑ |xk – xk-1|  
k = 0; 
Xk+1 = φ(xk);
while and
k = k +1;
xk = xk+1;
xk+1 = φ(xk);
end while
=−+ kk xx 1
=+ )( 1kxf
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
◼ Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 1 = -3 e x0= -2,5
06)( 2 =−+= xxxf
1
6
)(3 −=
x
x
0,,0
6
)('
2

−
= xx
x
x
0,,
66
)('
22
=
−
= xx
xx
x
6661
6
1)(' 2
2
− xouxx
x
x
0,,1
6
)( −= xx
x
x
88
89
90
15/09/2020
31
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
◼ Exemplo: Dada a função , cujas raízes são 2 e 
-3, vamos avaliar a convergência da função equivalente 
. , dados 1 = -3 e x0= -2,5
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos:
Podemos então definir o intervalo que o processo 
convergirá visto que o intervalo está centrado na raiz  = -3
)6;(:,,1)(' 111 −−= IseráIxxquetalI 
)4497897,26( −=−
)5.2,5.3( −−=I
1II 
06)( 2 =−+= xxxf
1
6
)(3 −=
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
◼ Exemplo: Dada a função , cujas raízes são 2 e -3, 
vamos avaliar a convergência da função equivalente , 
dados 1 = -3 e x0= -2,5
Tomando x0= -2,5, temos: 
◼ Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I 
aproximadamente centrado em 
❑ Quanto mais preciso isolamento de , maior exatidão na escolha de I
892617,2
170213,3
764706,2
5,2
4
3
2
1
−=
−=
−=
−=
x
x
x
x
06)( 2 =−+= xxxf
1
6
)(3 −=
x
x
Método do Ponto Fixo
◼ Exemplo: Dados:
, calcule a raiz de f(x) utilizando o MPF:
Assim, e
Importante lembrar: Iteramos de modo que , todavia avaliamos, a 
cada iteração se 
Desafio: Provar que satisfaz a condição 2 do Teorema 2 no intervalo (0, 1)
;
3
1
9
)(;039)(
3
3 +==+−=
x
xxxxf 
)1,0(;105;5,0 2
0 == − x
3376233,0=x
31012,0)( −−=xf
)(1 kk xx =+
)( kxf
)(x
91
92
93
15/09/2020
32
Método do Ponto Fixo
◼ Vantagens
❑ Rapidez processo de convergência;
❑ Desempenho regular e previsível.
◼ Desvantagens
❑ Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma 
função de iteração φ(x);
❑ Difícil sua implementação.
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
. Analise sua resposta. 
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
2
11
)(
xx
x += 10 =x
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x1 = φ(x0) = x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) = 
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
2
11
)(
xx
x += 10 =x
2
1
1
1
1
2
=+
75,0
2
1
2
1
2
=+
...1111,3
75,0
1
75,0
1
2
=+
...4247,0
1111,3
1
1111,3
1
2
=+
...8973,7
4247,0
1
4247,0
1
2
=+
94
95
96
15/09/2020
33
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x6 = φ(x5) =
x7 = φ(x6) = 
Conclui-se que {xk} tende a divergir da raiz da equação f(x).
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
2
11
)(
xx
x += 10 =x
...1427,0
8973,7
1
8973,7
1
2
=+
...1461,56
1427,0
1
1427,0
1
2
=+
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
Justificando a resposta: 
Como a condição deve ser satisfeita, onde I é o intervalo 
centrado em  , é fácil perceber que isso não acontece, uma vez que 
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
2
11
)(
xx
x += 10 =x
0,
11
)(
2
+= xx
xx
x 0,
21
)('
32
−
−
= xx
xx
x
1
2
1
2
1
21
1)('
33332

−−
−
−
−
−

x
x
xx
x
xx
x
Ixx 1)('
03)1(')(' 00 ==  xeIx
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , 
sendo . 
1)( 3 −−= xxxf
3102 −
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
13
1
)(
2
3
−
−−
−=
x
xx
xx 10 =x
97
98
99
15/09/2020
34
Próximo
◼ Método de Newton.
Zeros Reais de Funções
Reais – Método de Newton Raphson
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método de Newton-Raphson
◼ Método do Ponto Fixo (MPF)
❑ Uma das condições de convergência é que |φ’(x)|  M < 1,  x 
 I , onde I é um intervalo centrado na raiz 
❑ A convergência será tanto mais rápida quanto menor for 
|φ’(x)| 
◼ O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF
❑ Escolha de φ(x), tal que φ’() = 0, como função de iteração
100
101
102
15/09/2020
35
Método de Newton-Raphson
◼ Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para φ(x)
φ(x) = x + A(x)f(x)
◼ Busca-se obter a função A(x) tal que φ’() = 0
φ(x) = x + A(x)f(x) 
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) 
φ’() = 1 + A’()f() + A()f’() 
φ’() = 1 + A()f’() 
Método de Newton-Raphson
◼ Assim
❑ donde se toma
◼ Como φ(x) = x + A(x)f(x)
◼ Logo:
)(
)('
1
)( xf
xf
xx 




 −
+=






−=
)('
)(
)(
xf
xf
xx
0)(' = 0)(')(1 =+  fA
)('
1
)(


f
A
−
=
)('
1
)(
xf
xA
−
=
Método de Newton-Raphson
◼ Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - f(x)/f’(x) 
será tal que φ’() = 0, posto que 
e, como f() = 0, φ’() = 0 ( desde que f’()  0 ) 





 −
−=
2
2
)]('[
)('')()]('[
1)('
xf
xfxfxf
x
2
2
2
2
)]('[
)('')()]('[
)]('[
)]('[
)('
xf
xfxfxf
xf
xf
x
−
−=
2)]('[
)('')(
)('
xf
xfxf
x =
103
104
105
15/09/2020
36
Método de Newton-Raphson
◼ Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será 
determinada por 
onde k = 0, 1, 2, ... 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx −=+
Método de Newton-Raphson - Convergência
◼ Teorema 3:
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que contém
uma raiz x =  de f(x) = 0 e supondo f’()  0, existirá um
intervalo Ī  I contendo a raiz , tal que se x0  Ī, a seqüência
{xk} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx −=+
Método de Newton-Raphson – Graficamente
◼ Dado o ponto ( xk , f(xk) )
❑ Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto:
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)
◼ Determinamos o zero deLk(x), que é um modelo linear que 
aproxima f(x) em uma vizinhança xk
◼ Faz-se xk +1 = x
0)( =xLk )('
)(
k
k
k
xf
xf
xx −=
106
107
108
15/09/2020
37
Método de Newton-Raphson – Graficamente
◼ Análise Gráfica
Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.
x

f(x)
x1x0
x2
x3
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
◼ Teste de parada:
❑ |f(xk)|  ε
❑ |xk – xk-1|  ε
◼ Algoritmo:
x0 := x;
k := 0;
while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε and k < limite_de_iteracoes
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
k := k +1;
end while
Método de Newton-Raphson
◼ Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5
Fórmula recursiva:
12
6
)('
)(
)(
2
+
−+
−=−=
x
xx
x
xf
xf
xx
( )
( )
0625,2
15,12
65,15,1
5,1)(
2
01 =
+
−+
−== xx 
( )
( )
000762195,2
10625,22
60625,20625,2
0625,2)(
2
12 =
+
−+
−== xx 
000000116,2)( 23 == xx 
109
110
111
15/09/2020
38
Método de Newton-Raphson
◼ Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5
◼ Comentários:
❑ A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116), caso a precisão 
do cálculo com 6 casas decimais seja satisfatória para o contexto do trabalho
❑ Observe que, no Método do Ponto Fixo, com
o valor x = 2,000476818 foi encontrado somente na 5a iteração
xx −= 6)(
Método de Newton-Raphson
◼ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)
Seja: 
x0 = 1
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx −=+
13
1
)(
2
3
−
−−
−=
x
xx
xx
Método de Newton-Raphson
◼ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)
◼ Cálculo da 1ª aproximação
φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1
[ 3x(1)² – 1 ]
❑ Teste de Parada
|f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 > 
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 > 
112
113
114
15/09/2020
39
◼ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)
◼ Cálculo da 2ª aproximação
φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2
[ 3x(1,5)² – 1 ]
❑ Teste de Parada
|f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 > 
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 > 
Método de Newton-Raphson
◼ Cálculo da 3ª aproximação
φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3x(1,3478261)² - 1 ]
φ(x2) = 1,3252004 = x3
❑ Teste de Parada
|f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 > 
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 > 
◼ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)
Método de Newton-Raphson
◼ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e ε = 0,002 
cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
1  I1 = (-1, 0), 2  I2 = (1, 2)
A sequência {xk} gerada pelo método de Newton será:
Método de Newton-Raphson
Iteração x |xk-xk-1| F(x)
1 1,5 0,5 0,875
2 1,3478261 0,1521739 0,1006822
3 1,3252004 0,0226257 0,0020584
4 1,3247182 0,0004822 1,0352x10-6
 = 0,002
115
116
117
15/09/2020
40
◼ Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
❑ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 
3  I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
Método de Newton-Raphson
◼ Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
❑ Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que possui três 
zeros: 1  I1 = (-4, -3), 2  I2 = (0, 1) e 3  I3 = (2, 3). Seja x0 = 
1,5:
◼ No início há um divergência da região onde estão as raízes, mas 
depois de x7 os valores se aproximam cada vez mais de 3
◼ Causa:
❑ x0 (1,5) é próximo de , que é raiz de f´(x)
❑ Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo de , outra raiz 
de f’(x)
Método de Newton-Raphson
3
3−
◼ Vantagens:
❑ Rapidez processo de convergência
❑ Desempenho elevado
◼ Desvantagens:
❑ Necessidade da obtenção de f’(x) , o que pode ser 
impossível em determinados casos
❑ O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração
Método de Newton-Raphson
118
119
120
15/09/2020
41
Exercício
◼ Encontre uma raiz da função f(x) = x3-2x utilizando o 
método Newton-Raphson, com ε < 10-3.
◼ Considere o gráfico a seguir:
Próximo
◼ Método da Secante.
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Secante
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
121
122
123
15/09/2020
42
Método da Secante
◼ Método de Newton-Raphson
❑ Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de 
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
◼ Forma de desvio do inconveniente
❑ Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das 
diferenças
1
1)()(
)('
−
−
−
−

kk
kk
k
xx
xfxf
xf
Método da Secante
◼ A função de iteração será:
1
1)()(
)(
)(
−
−
−
−
−=
kk
kk
k
k
xx
xfxf
xf
xx
( )1
1)()(
)(
)( −
−
−
−
−= kk
kk
k
k xx
xfxf
xf
xx
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
kk
kkkk
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
xfxf
xfxxfx
x
)()(
)()(
)(
1
11
−
−−
−
−
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante - Geometricamente
◼ A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o ponto xk+1 como 
sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo x e da reta que 
passa pelos pontos ( xk-1 , f(xk-1) ) e ( xk , f(xk) ) (secante à curva da 
função) 
x
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração

f(x)
x1x0 x2
x3 x4
x5
Repete-se o processo até que o
valor de x atenda às condições
de parada.
124
125
126
15/09/2020
43
Método da Secante - Convergência
◼ Como o Método da Secante é uma aproximação do 
método de Newton, as condições de convergência são 
praticamente as mesmas, ou seja basta que o 
Teorema 3 seja satisfeito
❑ Todavia, o Método da Secante pode divergir para o 
seguinte caso )()( 1− kk xfxf
)()(
)()(
)(
1
11
−
−−
−
−
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante - Algoritmo
◼ Testes de Parada
❑ |f(xk)|  ε
❑ |xk – xk-1|  ε
◼ Algoritmo
x0 := x;
x1 := x1;
k := 1;
x2 := (x0*f(x1) – x1*f(x0)) / (f(x1) - f(x0));
while |f(xk+1)| > ε and |xk+1 – xk| > ε and k < limite_de_iteracoes
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1));
k := k +1;
end while
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
)()(
)()(
)(
1
11
−
−−
−
−
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
127
128
129
15/09/2020
44
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 
e x1 = 1,7:
◼ Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7
f(x0) = 0,875 > 0
f(x1) = 2,213 > 0
x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921
[2,213 – (0,875)]
◼ Teste de Parada
|f(x2)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 > 
|x2 - x1| =|1,36921 – 1,7| = 0,33079 > 
◼ Novo Intervalo: x1 = 1,7 e x2 = 1,36921 
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x – 1,  = 0,003, x0 = 1,5 
e x1 = 1,7:
◼ Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
f(x1) = 2,213 > 0
f(x2) = 0,19769 > 0
x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676
[0,19769 - 2,213]
◼ Teste de Parada
|f(x3)| = |0,05193| = 0,05193 > 
|x3 - x2| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 > 
◼ Novo Intervalo: x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676 
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, x0 = 1,5 
e x1 = 1,7:
◼ Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
f(x2) = 0,19769 > 0 
f(x3) = 0,05193 > 0
x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] = 
[(0,05193) - 0,19769]
x4 = 1,3252
◼ Teste de Parada
|f(x4)| = |0,00206| = 0,00206 <  → cond. atendida
|x4 – x3| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 > 
130
131
132
15/09/2020
45
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, x0 = 
1,5 e x1 = 1,7:
Solução:)()(
)()(
01
0110
2
xfxf
xfxxfx
x
−
−
=
25,241,1
25,27,1)41,1(5,1
+−
−−
=
2,035712 =x
)()(
)()(
12
1221
3
xfxf
xfxxfx
x
−
−
= 1,99774=
)()(
)()(
23
2332
4
xfxf
xfxxfx
x
−
−
= 1,99999=
Método da Secante
◼ Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, x0 = 
1,5 e x1 = 1,7:
◼ Comentários:
❑ A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999), caso 
a precisão do cálculo com 5 casas decimais seja satisfatória 
para o contexto do trabalho
❑ No método de Newton-Raphson o valor x = 2,000000116, 
foi encontrado também na 3a iteração
Método da Secante
◼ Vantagens
❑ Rapidez processo de convergência
❑ Cálculos mais convenientes que do método de Newton
❑ Desempenho elevado
◼ Desvantagens
❑ Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será 
substituído pelo de Newton-Raphson
❑ Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou 
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não 
se deve usar o Método da Secante
133
134
135
15/09/2020
46
Próximo
◼ Comparação entre os métodos.
Zeros Reais de Funções
Reais – Comparação entre os 
métodos
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Comparação entre os métodos
◼ Critérios de Comparação
❑ Garantias de Convergência
❑ Rapidez de Convergência
❑ Esforço Computacional
136
137
138
15/09/2020
47
Comparação entre os métodos
◼ Garantias de Convergência
❑ Bissecção e Posição Falsa
◼ Convergência garantida, desde que a função seja contínua 
num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0 
❑ Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante
◼ Condições mais restritivas de convergência
◼ Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois 
últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados
Comparação entre os métodos
◼ Rapidez de Convergência
❑ Número de Iterações Medida usualmente adotada para a 
determinação da rapidez de convergência de um método
❑ Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de 
execução do programa
❑ Tempo gasto na execução de uma iteração  Variável de 
método para método
Comparação entre os métodos
◼ Esforço Computacional
❑ Indicadores
◼ Número de operações efetuadas a cada iteração
◼ Complexidade das operações
◼ Número de decisões lógicas
◼ Número de avaliações de função a cada iteração
◼ Número total de iterações
139
140
141
15/09/2020
48
Comparação entre os métodos
◼ Esforço Computacional
❑ Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de 
um método.
◼ Bissecção  Cálculos mais simples por iteração
◼ Newton  Cálculos mais elaborados
◼ Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria 
das vezes, muito maior do que o número de iterações 
efetuadas por Newton
Comparação entre os métodos
◼ Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
❑ Convergência assegurada
❑ Ordem de convergência alta
❑ Cálculos por iteração simples
◼ Escolha do melhor método:
❑ Newton-Raphson Caso seja fácil a verificação das 
condições de convergência e o cálculo de f’(x) 
❑ Secante  Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x) , uma 
vez que não é necessária a obtenção de f’(x)
Comparação entre os métodos
◼ Critério de Parada  Detalhe importante na escolha do 
método:
❑ Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a 
raiz  Bissecção (não usar o Método da Posição Falsa)
❑ Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz 
Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com 
aproximações xk para a raiz exata)
142
143
144
15/09/2020
49
Comparação entre os métodos
◼ Observações importantes:
❑ Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de 
Newton-Raphson e da Secante:
◼ Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos 
eixos
◼ Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas 
em um ou mais pontos.
Comparação entre os métodos
◼ Conclusão:
❑ Escolha do método  Diretamente relacionada com a 
equação cuja solução é desejada
◼ Comportamento da função na região da raiz exata
◼ Dificuldades com o cálculo de f´(x)
◼ Critério de parada, etc.
Comparação entre os métodos
◼ Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
  [1, 2 ],  = 10 -6
145
146
147
15/09/2020
50
Comparação entre os métodos
◼ Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
Observações:
❑ Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo
❑ Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois houve 
divergência no inicio da execução (denominador → 0) 
Comparação entre os métodos
◼ Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2
Observações:
❑ Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa 
escolha de x0
  [0, 1 ],  = 10 -5
Exercício
◼ Um projeto de um tanque esférico deve ser 
desenvolvido para armazenar água para uma pequena 
cidade. O volume de líquido é determinado pela fórmula:
◼ onde V é o volume em m3, h é altura da água no tanque, 
em m, e R é raio do tanque. Se R = 10 m, qual a altura 
que deve ser preenchida com água de modo que o 
tanque contenha 1.000 m3? Use ε = 10-2.
148
149
150
15/09/2020
51
Exercício - Resposta
◼ Bisseção: com intervalo [6, 7]
Iteracao | x | f(x) | |b-a| | a | b
1 | 6.25000 | -28.47883 | 0.50000 | 6.00000 | 6.50000
2 | 6.37500 | 5.45078 | 0.25000 | 6.25000 | 6.50000
3 | 6.31250 | -11.55928 | 0.12500 | 6.25000 | 6.37500
4 | 6.34375 | -3.06547 | 0.06250 | 6.31250 | 6.37500
5 | 6.35938 | 1.18986 | 0.03125 | 6.34375 | 6.37500
6 | 6.35156 | -0.93850 | 0.01562 | 6.34375 | 6.35938
7 | 6.35547 | 0.12550 | 0.00781 | 6.35156 | 6.35938
8 | 6.35352 | -0.40654 | 0.00391 | 6.35156 | 6.35547
9 | 6.35449 | -0.14053 | 0.00195 | 6.35352 | 6.35547
10 | 6.35498 | -0.00752 | 0.00098 | 6.35449 | 6.35547
resposta x = 6.354980, pois f(6.354980) = -0.007517
◼ Newton: com x0 = 7
Iteracao | x | f(x)
0 | 6.36971 | 4.00641
1 | 6.35502 | 0.00246
2 | 6.35501 | 0.00000
resposta x = 6.355008, pois f(6.355008) = 0.000000
Próximo
◼ Módulo 03 - Sistemas de Equações Lineares.
151
152