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### Questão 4 **Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)?** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) b) \(\frac{\pi^2}{4}\) c) \(\frac{\pi^2}{3}\) d) \(\frac{\pi}{6}\) **Resposta:** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) **Explicação:** Esta é a série de Basel, cuja soma foi provada por Euler. --- ### Questão 5 **Determine os autovalores da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).** a) \(2, 4\) b) \(1, 5\) c) \(2, 6\) d) \(4, 2\) **Resposta:** a) \(2, 4\) **Explicação:** Resolva o polinômio característico \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\) para encontrar os autovalores. --- ### Questão 6 **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?** a) \(\sqrt{\pi}\) b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) c) \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\) d) \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\) **Resposta:** a) \(\sqrt{\pi}\) **Explicação:** Esta integral é conhecida como integral gaussiana. O valor é \(\sqrt{\pi}\). --- ### Questão 7 **Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y = 0\)?** a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) b) \(C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)\) c) \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) d) \(C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) **Resposta:** a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A solução é obtida resolvendo o polinômio característico. --- ### Questão 8 **Qual é a forma geral da solução da equação diferencial \(x^2 y'' + 2xy' + (x^2 - 1)y = 0\)?** a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\) b) \(C_1 I_0(x) + C_2 K_0(x)\) c) \(C_1 J_1(x) + C_2 Y_1(x)\) d) \(C_1 I_1(x) + C_2 K_1(x)\) **Resposta:** a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\) **Explicação:** Esta é a equação de Bessel com índices específicos. --- ### Questão 9 **Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)?** a) \(0\) b) \(1\) c) \(-1\) d) \(3\) **Resposta:** a) \(0\) **Explicação:** Calcule o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores. A matriz tem linhas linearmente dependentes. --- ### Questão 10 **Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)?** a) \(x = 1, -1, 2\) b) \(x = -1, 1, -2\) c) \(x = 1, 2, -1\) d) \(x = -1, 1, 2\) **Resposta:** d) \(x = -1, 1, 2\) **Explicação:** Resolva a equação por fatoração ou usando o método de tentativa e erro para encontrar as raízes.