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Questões resolvidas

Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)?
a) \(\frac{\pi^2}{6}\)
b) \(\frac{\pi^2}{4}\)
c) \(\frac{\pi^2}{3}\)
d) \(\frac{\pi}{6}\)

Determine os autovalores da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).
a) \(2, 4\)
b) \(1, 5\)
c) \(2, 6\)
d) \(4, 2\)

Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?
a) \(\sqrt{\pi}\)
b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
c) \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)
d) \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)

Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y = 0\)?
a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\)
b) \(C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)\)
c) \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\)
d) \(C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\)

Qual é a forma geral da solução da equação diferencial \(x^2 y'' + 2xy' + (x^2 - 1)y = 0\)?
a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\)
b) \(C_1 I_0(x) + C_2 K_0(x)\)
c) \(C_1 J_1(x) + C_2 Y_1(x)\)
d) \(C_1 I_1(x) + C_2 K_1(x)\)

Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)?
a) \(0\)
b) \(1\)
c) \(-1\)
d) \(3\)

Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)?
a) \(x = 1, -1, 2\)
b) \(x = -1, 1, -2\)
c) \(x = 1, 2, -1\)
d) \(x = -1, 1, 2\)

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Questões resolvidas

Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)?
a) \(\frac{\pi^2}{6}\)
b) \(\frac{\pi^2}{4}\)
c) \(\frac{\pi^2}{3}\)
d) \(\frac{\pi}{6}\)

Determine os autovalores da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).
a) \(2, 4\)
b) \(1, 5\)
c) \(2, 6\)
d) \(4, 2\)

Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?
a) \(\sqrt{\pi}\)
b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
c) \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\)
d) \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)

Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y = 0\)?
a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\)
b) \(C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)\)
c) \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\)
d) \(C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\)

Qual é a forma geral da solução da equação diferencial \(x^2 y'' + 2xy' + (x^2 - 1)y = 0\)?
a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\)
b) \(C_1 I_0(x) + C_2 K_0(x)\)
c) \(C_1 J_1(x) + C_2 Y_1(x)\)
d) \(C_1 I_1(x) + C_2 K_1(x)\)

Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)?
a) \(0\)
b) \(1\)
c) \(-1\)
d) \(3\)

Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)?
a) \(x = 1, -1, 2\)
b) \(x = -1, 1, -2\)
c) \(x = 1, 2, -1\)
d) \(x = -1, 1, 2\)

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### Questão 4 
**Qual é o valor da série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)?** 
 
a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
b) \(\frac{\pi^2}{4}\) 
c) \(\frac{\pi^2}{3}\) 
d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 
**Resposta:** a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
**Explicação:** Esta é a série de Basel, cuja soma foi provada por Euler. 
 
--- 
 
### Questão 5 
**Determine os autovalores da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).** 
 
a) \(2, 4\) 
b) \(1, 5\) 
c) \(2, 6\) 
d) \(4, 2\) 
 
**Resposta:** a) \(2, 4\) 
**Explicação:** Resolva o polinômio característico \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\) para 
encontrar os autovalores. 
 
--- 
 
### Questão 6 
**Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)?** 
 
a) \(\sqrt{\pi}\) 
b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
c) \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\) 
d) \(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\) 
 
**Resposta:** a) \(\sqrt{\pi}\) 
**Explicação:** Esta integral é conhecida como integral gaussiana. O valor é \(\sqrt{\pi}\). 
 
--- 
 
### Questão 7 
**Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y = 0\)?** 
 
a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
b) \(C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)\) 
c) \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) 
d) \(C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) 
 
**Resposta:** a) \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
**Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. A solução é 
obtida resolvendo o polinômio característico. 
 
--- 
 
### Questão 8 
**Qual é a forma geral da solução da equação diferencial \(x^2 y'' + 2xy' + (x^2 - 1)y = 0\)?** 
 
a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\) 
b) \(C_1 I_0(x) + C_2 K_0(x)\) 
c) \(C_1 J_1(x) + C_2 Y_1(x)\) 
d) \(C_1 I_1(x) + C_2 K_1(x)\) 
 
**Resposta:** a) \(C_1 J_0(x) + C_2 Y_0(x)\) 
**Explicação:** Esta é a equação de Bessel com índices específicos. 
 
--- 
 
### Questão 9 
**Qual é o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 
\end{pmatrix}\)?** 
 
a) \(0\) 
b) \(1\) 
c) \(-1\) 
d) \(3\) 
 
**Resposta:** a) \(0\) 
**Explicação:** Calcule o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores. 
A matriz tem linhas linearmente dependentes. 
 
--- 
 
### Questão 10 
**Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x + 2 = 0\)?** 
 
a) \(x = 1, -1, 2\) 
b) \(x = -1, 1, -2\) 
c) \(x = 1, 2, -1\) 
d) \(x = -1, 1, 2\) 
 
**Resposta:** d) \(x = -1, 1, 2\) 
**Explicação:** Resolva a equação por fatoração ou usando o método de tentativa e erro para 
encontrar as raízes.

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