EQUAÇÃO DO 2 GRAU

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EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
TEORIA 
 
São equações da forma ax² + bx + c = 0, 
com 𝑎 ≠ 0 
 
Para resolver devemos usar a fórmula: 
 
 ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
 
 𝒙 = 
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
 
Exemplo: Resolva a equação x² - 7x + 10 
= 0 
a = 1, b = - 7 e c = 10 
∆ = (−𝟕)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟎 
∆ = 9 
 
𝑥 = 
+7 ± √9
2
 
x = 5 ou x = 2 
 
DISCRIMINANTE ( DELTA ) 
 
Existem 3 possibilidades para o ∆ 
1) Se ∆> 𝟎 
A equação terá duas raízes reais e 
distintas. 
 
2) Se ∆= 𝟎 
A equação terá duas raízes reais e iguais. 
 
3) Se ∆< 𝟎 
A equação não terá raiz real. 
 
Obs.: Quando o ∆< 0 , a equação tem duas 
raízes imaginárias ( não são raízes reais ). 
 
Exemplo: Quantas raízes reais tem a 
equação : x² -4x + 9 = 0 
 
Calculando o delta, 
∆ = (−4)2 − 4.1.9 = −20 
Como o delta é menor que zero, chegamos 
a conclusão que não existem raízes reais. 
 
 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU INCOMPLETA 
 
Dada a equação do 2° grau da forma ax² + 
bx + c = 0 . 
 
Chamamos de equação incompleta 
quando ou b ou c são iguais a zero. 
 
Exemplos: 
2x² - 6 = 0 
 
x² - 6x = 0 
 
1°CASO) 
 
Equação da forma 
ax² + bx = 0 
 
Para resolver esse tipo de equação, 
devemos colocar o x em evidência. 
 
 
Exemplo: x² - 6x = 0 
 
 
 
x . x – 6x = 0 
x . ( x – 6 ) = 0 
 
Para o produto de dois termos ser 0, ou o 
primeiro termo é zero, ou o segundo 
termo é zero. 
 
x = 0 ou x – 6 = 0 
Portanto, as raízes são 0 ou 6. 
2° CASO) 
Equação da forma 
ax² + c = 0 
 
Para resolver esse tipo de equação, basta 
isolar o termo independente. 
 
 
Exemplo: 4x² - 36 = 0 
 
4x² = 36 
x² = 36/4 
x² = 9 
x = ±3 
 
SOMA E PRODUTO 
 
Considerando a equação do 2° grau ax² + 
bx + c = 0. 
 
A soma das raízes é dada por 
 
𝑺 = −
𝒃
𝒂
 
 
O produto das raízes é dado por 
 𝑷 = 
𝒄
𝒂
 
 
Exemplo: Resolver a equação por soma e 
produto 
x² -5x + 6 = 0 
 
Podemos observar que a = 1, b = -5 e c = 6 
𝑆 = −
−5
1
= 5 
𝑃 = 
6
1
= 6 
Feito isso, precisamos pensar em dois 
números cuja soma é 5 e o produto é 6. 
Os dois números com essa propriedade 
são o 2 e o 3. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva as equações utilizando a 
fórmula de Bhaskara: 
a) x² - 8x + 15 = 0 
b) x² - 12x + 32 = 0 
c) x² - 11x + 24 = 0 
 
2) Resolva as equações utilizando a 
fórmula de Bhaskara: 
a) 2x² - 5x + 3 = 0 
b) 3x² + 4x – 7 =0 
c) - x² + 6x – 8 = 0 
 
3) Resolva as equações incompletas 
a) x² - 6x = 0 
b) 3x² + 8x = 0 
 
4) Resolva as equações incompletas 
a) x² - 36 = 0 
 
 
b) 5x² - 25 =0 
 
5)Quantas raízes tem a equação 
x² - 7x + 19 = 0 
a)0 
b)1 
c)2 
d)3 
 
6) Quantas raízes reais tem a equação 
x² + 4x + 12 = 0 
a)0 
b)1 
c)2 
d)3 
 
7) Resolva as equações utilizando soma 
e produto 
a) x² - 9x + 18 = 0 
b) x² -4x + 3 = 0 
c) x² -14x + 40 = 0 
 
8) Resolva por soma e produto 
a) x² + 6x – 16 = 0 
b) x² - 12x + 36 = 0 
c) x² +7x + 10 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
Resposta da questão 1: 
a) x² - 8x + 15 = 0 
 𝑥 = 
+8 ± √4
2
 
Portanto, x = 5 ou x = 3 
 
b) x² - 12x + 32 = 0 
𝑥 = 
+12 ± √16
2
 
Portanto, x = 8 ou x = 4 
 
c) x² - 11x + 24 = 0 
𝑥 = 
+11 ± √25
2
 
Portanto, x = 8 ou x = 3 
 
Resposta da questão 2: 
a) 2x² - 5x + 3 = 0 
𝑥 = 
+5 ± √1
4
 
Portanto, x = 1 ou x = 3/2 
 
b) 3x² + 4x – 7 =0 
𝑥 = 
−4 ± √100
6
 
Portanto, x = 1 ou x = -7/2 
 
c) - x² + 6x – 8 = 0 
𝑥 = 
−6 ± √4
−2
 
Portanto, x = 4 ou x = 2 
 
Resposta da questão 3: 
a) x² - 6x = 0 
x . ( x – 6) = 0 
Portanto, x = 0 ou x = 6 
 
b) 3x² + 8x = 0 
x . ( 3x + 8 ) = 0 
Portanto, x = 0 ou x = -8/3 
 
Resposta da questão 4: 
a) x² - 36 = 0 
x² = 36 
x = ±6 
 
b) 5x² - 25 =0 
5x² = 25 
x² = 5 
x = ±√5 
 
Resposta da questão 5: 
Pessoal, toda equação do 2° grau tem duas 
raízes, portanto, resposta letra C. 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
Para calcular a quantidade de raízes reais, 
precisamos calcular o Delta. 
∆ = 42 − 4 . 1 . 12 = −32 
Como o delta é menor que zero, chegamos 
a conclusão que não há raízes reais. 
Ou seja, temos 0 soluções. 
 
Resposta da questão 7: 
a) x² - 9x + 18 = 0 
A soma das raízes é 9 e o produto 18, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o 6 e o 3. 
Raízes: 6 e 3 
 
b) x² -4x + 3 = 0 
A soma das raízes é 4 e o produto 3, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o 1 e o 3. 
Raízes: 1 e 3 
 
c) x² -14x + 40 = 0 
A soma das raízes é 14 e o produto 40, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o 4 e o 10. 
Raízes: 4 e 10 
 
 
Resposta da questão 8: 
a) x² + 6x – 16 = 0 
A soma das raízes é -6 e o produto -16, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o 2 e o -8. 
Raízes: 2 e -8 
 
b) x² - 12x + 36 = 0 
A soma das raízes é 12 e o produto 36, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o 6 e o 6. 
Raízes: 6 e 6 
 
c) x² +7x + 10 = 0 
A soma das raízes é -7 e o produto 10, os 
números que satisfazem essa propriedade 
são o número -5 e o -2. 
Raízes: -2 e -5