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RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
1 Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
2 Princípios de contagem e probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
3 Arranjos e permutações.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
4 Combinações.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
5 Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais) e operações com conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Razões e proporções (grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais, porcentagem, regras de três simples 
e compostas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Equações e inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Sistemas de medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9 Volumes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10 Compreensão de estruturas lógicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11 Lógica de argumentação (analogias, inferências, deduções e conclusões). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12 Diagramas lógicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
1
1 OPERAÇÕES, PROPRIEDADES E APLICAÇÕES (SOMA, 
SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIA-
ÇÃO E RADICIAÇÃO). 
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático necessário 
para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos o conjunto infinito dos números naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor 
a) O sucessor de 0 é 1.
b) O sucessor de 1000 é 1001.
c) O sucessor de 19 é 20.
Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um anteces-
sor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, mul-
tiplicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em 
uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utili-
zamos alguns procedimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, 
devemos resolver a multiplicação ou a divisão primeiramente, na 
ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a sub-
tração, também na ordem em que aparecerem e os parênteses são 
resolvidos primeiro.
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
Números Inteiros
 Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números 
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. 
Este conjunto pode ser representado por:
Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2,...}
Subconjuntos do conjunto :
1)Conjunto dos números inteiros excluindo o zero
Z*={...-2, -1, 1, 2, ...}
2) Conjuntos dos números inteiros não negativos
Z+={0, 1, 2, ...}
3) Conjunto dos números inteiros não positivos
Z-={...-3, -2, -1}
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que pode ser ex-
presso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0
São exemplos de números racionais:
-12/51
-3
-(-3)
-2,333...
As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, 
portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número de-
cimal terá um número finito de algarismos após a vírgula.
2º) Terá um número infinito de algarismos após a vírgula, mas 
lembrando que a dízima deve ser periódica para ser número racio-
nal
OBS: período da dízima são os números que se repetem, se não 
repetir não é dízima periódica e assim números irracionais, que tra-
taremos mais a frente.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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Representação Fracionária dos Números Decimais
1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o 
denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, 
um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim por diante.
2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, então como 
podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízima dada 
de x, ou seja
X=0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplicamos por 
10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período.
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Números Irracionais
Identificação de números irracionais
- Todas as dízimas periódicas são números racionais.
- Todos os números inteiros são racionais.
- Todas as frações ordinárias são números racionais.
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
- Todas as raízes inexatas são números irracionais.
- A soma de um número racional com um número irracional é 
sempre um número irracional.
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
-Os números irracionais não podem ser expressos na forma , 
com a e b inteiros e b≠0.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um núme-
ro racional.
Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional.
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número 
racional.
Exemplo: . = = 7 é um número racional.
Exemplo:radicais( a raiz quadrada de um número natu-
ral, se não inteira, é irracional.
Números Reais
Fonte: www.estudokids.com.br
Representação na reta
INTERVALOS LIMITADOS
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais a 
e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x ∈R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e menores que 
b.
Intervalo:]a,b[
Conjunto:{x ∈R|a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores que a ou 
iguais a a e menores do que b.
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Intervalo:{a,b[
Conjunto {x ∈R|a≤x<b}
Intervalo fechado à direita – números reais maiores que a e 
menores ou iguais a b.
Intervalo:]a,b]
Conjunto:{x ∈R|a<x≤b}
INTERVALOS ILIMITADOS
Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais me-
nores ou iguais a b.
Intervalo:]-∞,b]
Conjunto:{x ∈R|x≤b}
Semirreta esquerda, aberta de origem b – números reais me-
nores que b.
Intervalo:]-∞,b[
Conjunto:{x ∈R|x<b}
Semirreta direita, fechada de origem a– números reais maiores 
ou iguais a a.
Intervalo:[a,+ ∞[
Conjunto:{x ∈R|x≥a}
Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maiores 
que a.
Intervalo:]a,+ ∞[
Conjunto:{x ∈R|x>a}
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em 
um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta 
em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal 
para positivo e inverter o número que está na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do 
expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma 
base, repete-se a base e soma os expoentes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. 
Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se 
os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um 
expoente, podemos elevar cada um a esse mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos 
elevar separados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais fá-
cil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. Veja: 
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um 
e multiplica.
Observe: 
( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se
,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++
então:
 
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é 
igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radi-
cando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, 
se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++
então:
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado 
é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do 
radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
5
 
Caso tenha:
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com 
radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos 
radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso:Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de 
quadrados no denominador:
QUESTÕES
01. (Prefeitura de Salvador /BA - Técnico de Nível Superior II 
- Direito – FGV/2017) Em um concurso, há 150 candidatos em ape-
nas duas categorias: nível superior e nível médio.
Sabe-se que:
• dentre os candidatos, 82 são homens;
• o número de candidatos homens de nível superior é igual ao 
de mulheres de nível médio;
• dentre os candidatos de nível superior, 31 são mulheres.
O número de candidatos homens de nível médio é 
(A) 42. 
(B) 45. 
(C) 48. 
(D) 50.
(E) 52.
02. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) Raoni, Ingrid, Maria Eduarda, Isabella e José foram 
a uma prova de hipismo, na qual ganharia o competidor que obti-
vesse o menor tempo final. A cada 1 falta seriam incrementados 6 
segundos em seu tempo final. Ingrid fez 1’10” com 1 falta, Maria 
Eduarda fez 1’12” sem faltas, Isabella fez 1’07” com 2 faltas, Raoni 
fez 1’10” sem faltas e José fez 1’05” com 1 falta. Verificando a colo-
cação, é correto afirmar que o vencedor foi: 
(A) José 
(B) Isabella 
(C) Maria Eduarda 
(D) Raoni 
03. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) O valor de √0,444... é: 
(A) 0,2222... 
(B) 0,6666... 
(C) 0,1616... 
(D) 0,8888... 
04. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário - VUNESP/2017) Se, 
numa divisão, o divisor e o quociente são iguais, e o resto é 10, sen-
do esse resto o maior possível, então o dividendo é
(A) 131.
(B) 121.
(C) 120.
(D) 110.
(E) 101.
05. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) As expressões nu-
méricas abaixo apresentam resultados que seguem um padrão es-
pecífico: 
1ª expressão: 1 x 9 + 2
2ª expressão: 12 x 9 + 3
3ª expressão: 123 x 9 + 4
...
7ª expressão: █ x 9 + ▲
Seguindo esse padrão e colocando os números adequados no 
lugar dos símbolos █ e ▲, o resultado da 7ª expressão será 
(A) 1 111 111. 
(B) 11 111. 
(C) 1 111. 
(D) 111 111. 
(E) 11 111 111.
06. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) Durante um trei-
namento, o chefe da brigada de incêndio de um prédio comercial 
informou que, nos cinquenta anos de existência do prédio, nunca 
houve um incêndio, mas existiram muitas situações de risco, feliz-
mente controladas a tempo. Segundo ele, 1/13 dessas situações 
deveu-se a ações criminosas, enquanto as demais situações haviam 
sido geradas por diferentes tipos de displicência. Dentre as situa-
ções de risco geradas por displicência,
− 1/5 deveu-se a pontas de cigarro descartadas inadequada-
mente;
− 1/4 deveu-se a instalações elétricas inadequadas;
− 1/3 deveu-se a vazamentos de gás e
− as demais foram geradas por descuidos ao cozinhar.
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De acordo com esses dados, ao longo da existência desse pré-
dio comercial, a fração do total de situações de risco de incêndio 
geradas por descuidos ao cozinhar corresponde à 
(A) 3/20. 
(B) 1/4. 
(C) 13/60. 
(D) 1/5. 
(E) 1/60.
07. (ITAIPU BINACIONAL - Profissional Nível Técnico I - Técnico 
em Eletrônica – NCUFPR/2017) Assinale a alternativa que apresen-
ta o valor da expressão 
(A) 1.
(B) 2. 
(C) 4.
(D) 8. 
(E) 16.
08. (UNIRV/GO – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017)
Qual o resultado de ?
(A) 3 
(B) 3/2
(C) 5
(D) 5/2
09. (IBGE – Agente Censitário Municipal e Supervisor – 
FGV/2017) Suponha que a # b signifique a - 2b .
Se 2#(1#N)=12 , então N é igual a: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
(D) 4; 
(E) 6.
10. (IBGE – Agente Censitário Municipal e Supervisor – 
FGV/2017) Uma equipe de trabalhadores de determinada empresa 
tem o mesmo número de mulheres e de homens. Certa manhã, 3/4 
das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram para um aten-
dimento externo.
Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mu-
lheres é
(A) 3/4;
(B) 8/9;
(C) 5/7;
(D) 8/13;
(E) 9/17.
RESPOSTAS
01.Resposta: B.
150-82=68 mulheres
Como 31 mulheres são candidatas de nível superior, 37 são de 
nível médio.
Portanto, há 37 homens de nível superior.
82-37=45 homens de nível médio.
02. Resposta: D.
Como o tempo de Raoni foi 1´10” sem faltas, ele foi o vencedor.
03. Resposta: B.
Primeiramente, vamos transformar a dízima em fração
X=0,4444....
10x=4,444...
9x=4
04. Resposta: A.
Como o maior resto possível é 10, o divisor é o número 11 que 
é igual o quociente.
11x11=121+10=131
05. Resposta: E.
A 7ª expressão será: 1234567x9+8=11111111
06. Resposta: D.
Gerado por descuidos ao cozinhar:
Mas, que foram gerados por displicência é 12/13(1-1/13)
07.Resposta: C.
08. Resposta: D.
09. Resposta: C.
2-2(1-2N)=12
2-2+4N=12
4N=12
N=3
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10. Resposta: E.
Como tem o mesmo número de homens e mulheres:
Dos homens que saíram:
Saíram no total
2 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE. 3 AR-
RANJOS E PERMUTAÇÕES. 4 COMBINAÇÕES. 
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos 
problemas de contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrência de 
um evento composto de duas ou mais etapas.
Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 
pode ser tomada de n2 modos,então o número de maneiras de se 
tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2.
Exemplo
O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(calças). 
3(blusas)=6 maneiras
Fatorial
É comum nos problemas de contagem, calcularmos o produto 
de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecu-
tivos. Para facilitar adotamos o fatorial.
Arranjo Simples
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda 
sequência de p elementos distintos de E.
Exemplo
Usando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números de 2 
algarismos distintos podemos formar?
Observe que os números obtidos diferem entre si:
Pela ordem dos elementos: 56 e 65
Pelos elementos componentes: 56 e 67
Cada número assim obtido é denominado arranjo simples dos 
3 elementos tomados 2 a 2.
Indica-se 
Permutação Simples
Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer 
agrupamento(sequência) de n elementos distintos de E.
O número de permutações simples de n elementos é indicado 
por Pn.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra CHUVEIRO?
Solução
A palavra tem 8 letras, portanto:
Permutação com elementos repetidos
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos 
quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C etc.
Exemplo
Quantos anagramas tem a palavra PARALELEPÍPEDO?
Solução
Se todos as letras fossem distintas, teríamos 14! Permutações. 
Como temos uma letra repetida, esse número será menor.
Temos 3P, 2A, 2L e 3 E
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Combinação Simples
Dado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distintos, pode-
mos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com 
i elementos é chamado combinação simples.
Exemplo
Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos que po-
demos formar a partir de um grupo de 5 alunos.
Solução
Números Binomiais
O número de combinações de n elementos, tomados p a p, 
também é representado pelo número binomial .
Binomiais Complementares
Dois binomiais de mesmo numerador em que a soma dos de-
nominadores é igual ao numerador são iguais:
Relação de Stifel
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
Denomina-se binômio de Newton todo binômio da forma 
, com n∈N. Vamos desenvolver alguns binômios:
Observe que os coeficientes dos termos formam o triângulo de 
Pascal.
QUESTÕES
01. (UFES - Assistente em Administração – UFES/2017) Uma 
determinada família é composta por pai, por mãe e por seis filhos. 
Eles possuem um automóvel de oito lugares, sendo que dois lugares 
estão em dois bancos dianteiros, um do motorista e o outro do ca-
rona, e os demais lugares em dois bancos traseiros. Eles viajarão no 
automóvel, e o pai e a mãe necessariamente ocuparão um dos dois 
bancos dianteiros. O número de maneiras de dispor os membros da 
família nos lugares do automóvel é igual a:
(A) 1440
(B) 1480
(C) 1520
(D) 1560
(E) 1600
02. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Tomando os al-
garismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números pares de 4 algarismos 
distintos podem ser formados? 
(A) 120. 
(B) 210. 
(C) 360. 
(D) 630. 
(E) 840.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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03. (IF/ES – Administrador – IFES/2017) Seis livros diferentes 
estão distribuídos em uma estante de vidro, conforme a figura abai-
xo:
 
Considerando-se essa mesma forma de distribuição, de quan-
tas maneiras distintas esses livros podem ser organizados na estan-
te?
(A) 30 maneiras
(B) 60 maneiras
(C) 120 maneiras
(D) 360 maneiras
(E) 720 maneiras
04. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – UT-
FPR/2017) Em um carro que possui 5 assentos, irão viajar 4 passageiros 
e 1 motorista. Assinale a alternativa que indica de quantas maneiras 
distintas os 4 passageiros podem ocupar os assentos do carro.
(A) 13.
(B) 26.
(C) 17.
(D) 20.
(E) 24.
05. (UTFPR - Técnico de Tecnologia da Informação – UT-
FPR/2017) A senha criada para acessar um site da internet é forma-
da por 5 dígitos. Trata-se de uma senha alfanumérica. André tem 
algumas informações sobre os números e letras que a compõem 
conforme a figura.
Sabendo que nesta senha as vogais não se repetem e também 
não se repetem os números ímpares, assinale a alternativa que in-
dica o número máximo de possibilidades que existem para a com-
posição da senha.
(A) 3125.
(B) 1200.
(C) 1600.
(D) 1500.
(E) 625.
06. (CELG/GT/GO – Analista de Gestão – CSUFGO/2017) Uma 
empresa de limpeza conta com dez faxineiras em seu quadro. Para 
atender três eventos em dias diferentes, a empresa deve formar 
três equipes distintas, com seis faxineiras em cada uma delas. De 
quantas maneiras a empresa pode montar essas equipes?
(A) 210 
(B) 630 
(C) 15.120 
(D) 9.129.120
07. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/IAUPE – 2017) 
No carro de João, tem vaga apenas para 3 dos seus 8 colegas. De 
quantas formas diferentes, João pode escolher os colegas aos quais 
dá carona?
(A) 56 
(B) 84 
(C) 126
(D) 210
(E) 120
08. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/IAUPE – 2017) 
Num grupo de 15 homens e 9 mulheres, quantos são os modos di-
ferentes de formar uma comissão composta por 2 homens e 3 mu-
lheres?
(A) 4725
(B) 12600 
(C) 3780
(D) 13600
(E) 8820
09. (SESAU/RO – Enfermeiro – FUNRIO/2017) Um torneio de 
futebol de várzea reunirá 50 equipes e cada equipe jogará apenas 
uma vez com cada uma das outras. Esse torneio terá a seguinte 
quantidade de jogos:
(A) 320.
(B) 460.
(C) 620.
(D) 1.225.
(E) 2.450.
10. (IFAP – Engenheiro de Segurança do Trabalho – FUNIVER-
SA/2016) Considerando-se que uma sala de aula tenha trinta alu-
nos, incluindo Roberto e Tatiana, e que a comissão para organizar 
a festa de formatura deva ser composta por cinco desses alunos, 
incluindo Roberto e Tatiana, a quantidade de maneiras distintas de 
se formar essa comissão será igual a:
(A) 3.272.
(B) 3.274.
(C) 3.276.
(D) 3.278.
(E) 3.280.
Respostas
01. Resposta: A.
P2⋅P6=2!⋅6!=2⋅720=1440
02. Resposta: C.
__ ___ __ __
 6⋅ 5⋅ 4⋅ 3=360
03. Resposta: E.
P6=6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720
04. Resposta: E.
P4=4!= 4⋅3⋅2⋅1=24
05. Resposta: B.
Vogais: a, e, i, o, u
Números ímpares: 1,3,5,7,9
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
10
5⋅5⋅4⋅4⋅3=1200
06. Resposta: D.
Como para os três dias têm que ser diferentes:
__ __ __
210⋅209⋅208=9129120
07. Resposta: A.
08. Resposta: E.
09. Resposta: D.
10. Resposta: D.
Roberto Tatiana __ ___ ___
São 30 alunos, mas vamos tirar Roberto e Tatiana que terão que 
fazer parte da comissão.
30-2=28
Experimento Aleatório
Qualquer experiência ou ensaio cujo resultado é imprevisível, 
por depender exclusivamente do acaso, por exemplo, o lançamento 
de um dado.
Espaço Amostral
Num experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados 
possíveis é chamado espaço amostral, que se indica por E.
No lançamento de um dado, observando a face voltada para 
cima, tem-se:
E={1,2,3,4,5,6}
No lançamento de uma moeda, observando a face voltada para 
cima:
E={Ca,Co}
Evento
É qualquer subconjunto de um espaço amostral.
No lançamento de um dado, vimos que
E={1,2,3,4,5,6} 
Esperando ocorrer o número 5, tem-se o evento {5}: Ocorrer 
um número par, tem-se {2,4,6}.
Exemplo
Considere o seguinte experimento: registrar as faces voltadas 
para cima em três lançamentos de uma moeda.
a) Quantos elementos tem o espaço amostral?
 b) Descreva o espaço amostral.
Solução
a) O espaço amostral tem 8 elementos, pois cada lançamento, 
há duas possibilidades.
2x2x2=8
b) E={(C,C,C), (C,C,R),(C,R,C),(R,C,C),(R,R,C),(R,C,R),(-
C,R,R),(R,R,R)}
Probabilidade
Considere um experimento aleatório de espaço amostral E com 
n(E) amostras equiprováveis. Seja A um evento com n(A) amostras.
Eventos complementares
Seja E um espaço amostral finito e não vazio, e seja A um even-
to de E. Chama-se complementar de A, e indica-se por , o evento 
formado por todos os elementos de E que não pertencem a A.
Note que 
Exemplo
Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. 
Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha 
é Calcular a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não 
seja vermelha.
Solução
são 
complementares.RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
11
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não 
vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter 
um número par ou menor que 5, na face superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o 
evento B, definido por:
E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6
B={2,4,6} n(B)=3
A={2}
Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amos-
tral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada por:
QUESTÕES
01. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Em cada um 
de dois dados cúbicos idênticos, as faces são numeradas de 1 a 6. 
Lançando os dois dados simultaneamente, cuja ocorrência de cada 
face é igualmente provável, a probabilidade de que o produto dos 
números obtidos seja um número ímpar é de:
(A) 1/4.
(B) 1/3.
(C) 1/2.
(D) 2/3.
(E) 3/4.
02. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) A uma excursão, foram 48 pessoas, entre homens 
e mulheres. Numa escolha ao acaso, a probabilidade de se sortear 
um homem é de 5/12 . Quantas mulheres foram à excursão? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 28 
(D) 32 
03. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/2017) Qual a 
probabilidade de, lançados simultaneamente dois dados honestos, 
a soma dos resultados ser igual ou maior que 10?
(A) 1/18
(B) 1/36
(C) 1/6
(D) 1/12
(E) ¼
04. (UPE – Técnico em Administração – UPENET/2017) Uma 
pesquisa feita com 200 frequentadores de um parque, em que 50 
não praticavam corrida nem caminhada, 30 faziam caminhada e 
corrida, e 80 exercitavam corrida, qual a probabilidade de encon-
trar no parque um entrevistado que pratique apenas caminhada?
(A) 7/20
(B) 1/2
(C)1/4
(D) 3/20
(E) 1/5
05. (POLÍCIA CIENTÍFICA/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) A 
probabilidade de se sortear um número múltiplo de 5 de uma urna 
que contém 40 bolas numeradas de 1 a 40, é:
(A) 0,2 
(B) 0,4 
(C) 0,6 
(D) 0,7 
(E) 0,8
06. (PREF. DE PIRAUBA/MG – Assistente Social – MSCONCUR-
SOS/2017) A probabilidade de qualquer uma das 3 crianças de um 
grupo soletrar, individualmente, a palavra PIRAÚBA de forma cor-
reta é 70%. 
Qual a probabilidade das três crianças soletrarem essa palavra 
de maneira errada? 
(A) 2,7% 
(B) 9%
(C) 30% 
(D) 35,7% 
07. (UFTM – Tecnólogo – UFTM/2016) Lançam-se simultanea-
mente dois dados não viciados, a probabilidade de que a soma dos 
resultados obtidos seja nove é:
(A) 1/36 
(B) 2/36 
(C) 3/36 
(D) 4/36
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
12
08. (CASAN – Técnico de Laboratório – INSTITUTO AOCP/2016) 
Um empresário, para evitar ser roubado, escondia seu dinheiro no 
interior de um dos 4 pneus de um carro velho fora de uso, que man-
tinha no fundo de sua casa. Certo dia, o empresário se gabava de 
sua inteligência ao contar o fato para um de seus amigos, enquanto 
um ladrão que passava pelo local ouvia tudo. O ladrão tinha tem-
po suficiente para escolher aleatoriamente apenas um dos pneus, 
retirar do veículo e levar consigo. Qual é a probabilidade de ele ter 
roubado o pneu certo?
 (A) 0,20.
 (B) 0,23.
 (C) 0,25.
 (D) 0,27.
 (E) 0,30.
09. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) Em uma urna 
há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoria-
mente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. 
A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da 
urna seja par é: 
(A) 1/2;
(B) 3/7;
(C) 4/7;
(D) 7/15;
(E) 8/15.
10. (CASAN – Advogado – INSTITUTO AOCP/2016) Lançando 
uma moeda não viciada por três vezes consecutivas e anotando 
seus resultados, a probabilidade de que a face voltada para cima 
tenha apresentado ao menos uma cara e ao menos uma coroa é:
 (A) 0,66.
 (B) 0,75.
 (C) 0,80.
 (D) 0,98.
 (E) 0,50.
RESPOSTAS
01. Resposta: A.
Para o produto ser ímpar, a única possibilidade, é que os dois 
dados tenham ímpar:
02. Resposta: C.
Como para homens é de 5/12, a probabilidade de escolher uma 
mulher é de 7/12
12x=336
X=28
03. Resposta: C.
P=6x6=36
Pra ser maior ou igual a 10:
4+6
5+5
5+6
6+4
6+5
6+6
04. Resposta: A.
Praticam apenas corrida: 80-30=50
Apenas caminhada:x
X+50+30+50=200
70
P=70/200=7/20
05. Resposta: A.
M5={5,10,15,20,25,30,35,40}
P=8/40=1/5=0.2
06. Resposta:A.
A probabilidade de uma soletrar errado: 0,3
__ __ __
0,3⋅0,3⋅0,3=0,027=2,7%
07. Resposta: D.
Para dar 9, temos 4 possibilidades
3+6
6+3
4+5
5+4
P=4/36
08. Resposta: C.
A probabilidade é de 1/4, pois o carro tem 4 pneus e o dinheiro 
está em 1.
1/4=0,25
09. Resposta: D.
Temos duas possibilidades
As bolas serem par/par ou ímpar/par
Ser par/par:
Os números pares são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Ímpar/par:
Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11 ,13, 15
A probabilida de é par/par OU ímpar/par
10. Resposta: B.
São seis possibilidades:
Cara, coroa, cara
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
13
Cara, coroa, coroa
Cara, cara, coroa
Coroa, cara, cara
Coroa, coroa, cara 
Coroa, cara, coroa
5 CONJUNTOS NUMÉRICOS (NÚMEROS NATURAIS, 
INTEIROS, RACIONAIS E REAIS) E OPERAÇÕES COM 
CONJUNTOS. 
Prezado Candidato, o tópico acima supracitado foi abordado 
anteriormente. 
6 RAZÕES E PROPORÇÕES (GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS, GRANDEZAS INVERSAMENTE PRO-
PORCIONAIS, PORCENTAGEM, REGRAS DE TRÊS SIM-
PLES E COMPOSTAS). 
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, 
ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou 
a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. 
Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. 
(lembrando que razão é divisão) 
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
A/B e C/D é a igualdade:
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os nú-
meros B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos, isto é:
 A x D = B x C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja 
em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
.
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois 
primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, 
assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está 
para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
 
 ou 
Ou
 ou 
 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos an-
tecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, as-
sim como cada antecedente está para o seu respectivo consequen-
te. Temos então:
 
 ou 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
14
 
Ou
 
 ou 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente pro-
porcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a 
razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira 
mais informal, se eu pergunto:
Quanto mais.....mais....
Exemplo
Distância percorrida e combustível gasto
Distância(km) Combustível(litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível?
Diretamente proporcionais
Se eu dobro a distância, dobra o combustível
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente pro-
porcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Quanto mais....menos...
Exemplo
velocidadextempo a tabela abaixo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo??
Inversamente proporcional
Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade.
Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn direta-
mente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema 
com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=Me 
p1+p2+...+pn=P.
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo 
Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos 
entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. Caso ganhem o prêmio 
de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado 
entre os dois foi de dividirem o prêmio de forma diretamente pro-
porcional?
Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00.
Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inver-
samente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número 
M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, 
..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assu-
me que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
15
QUESTÕES
01. (DESENBAHIA – Técnico Escriturário - INSTITUTO 
AOCP/2017) João e Marcos resolveram iniciar uma sociedade para 
fabricação e venda de cachorro quente. João iniciou com um capital 
de R$ 30,00 e Marcos colaborou com R$ 70,00. No primeiro final de 
semana de trabalho, a arrecadação foi de R$ 240,00 bruto e ambos 
reinvestiram R$ 100,00 do bruto na sociedade, restando a eles R$ 
140,00 de lucro. De acordo com o que cada um investiu inicialmen-
te, qual é o valor que João e Marcos devem receber desse lucro, 
respectivamente? 
(A) 30 e 110 reais.
(B) 40 e 100 reais. 
(C) 42 e 98 reais.
(D) 50 e 90 reais.
(E) 70 e 70 reais.
02. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) Em uma empresa, 
trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas ho-
rárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 
24 horas semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 
16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 12 horas sema-
nais. No final do ano, a empresa distribuirá um bônus total de R$ 
74.000,00 entre esses oito funcionários, de forma que a parte de 
cada um seja diretamente proporcional à sua carga horária sema-
nal.
Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o 
maior e o menor bônus individual será, em R$, de 
(A) 10.000,00. 
(B) 8.000,00. 
(C) 20.000,00. 
(D) 12.000,00. 
(E) 6.000,00.
03. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017) Para 
uma pesquisa, foram realizadas entrevistas nos estados da Região 
Sudeste do Brasil. A amostra foi composta da seguinte maneira:
– 2500 entrevistas realizadas no estado de São Paulo;
– 1500 entrevistas realizadas nos outros três estados da Região 
Sudeste.
Desse modo, é correto afirmar que a razão entre o número de 
entrevistas realizadas em São Paulo e o número total de entrevistas 
realizadas nos quatro estados é de
(A) 8 para 5.
(B) 5 para 8.
(C) 5 para 7.
(D) 3 para 5.
(E) 3 para 8.
04. (UNIRV/60 – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017) Em 
relação à prova de matemática de um concurso, Paula acertou 32 
das 48 questões da prova. A razão entre o número de questões que 
ela errou para o total de questões da prova é de 
(A) 2/3
(B) 1/2
(C) 1/3
(D) 3/2
05. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) José, 
pai de Alfredo, Bernardo e Caetano, de 2, 5 e 8 anos, respectiva-
mente, pretende dividir entre os filhos a quantia de R$ 240,00, em 
partes diretamente proporcionais às suas idades. Considerando o 
intento do genitor, é possível afirmar que cada filho vai receber, em 
ordem crescente de idades, os seguintes valores:
(A) R$ 30,00, R$ 60,00 e R$150,00.
(B) R$ 42,00, R$ 58,00 e R$ 140,00.
(C) R$ 27,00, R$ 31,00 e R$ 190,00.
(D) R$ 28,00, R$ 84,00 e R$ 128,00.
(E) R$ 32,00, R$ 80,00 e R$ 128,00.
06. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2017) Sa-
be-se que 16 caixas K, todas iguais, ou 40 caixas Q, todas também 
iguais, preenchem totalmente certo compartimento, inicialmente 
vazio. 
Também é possível preencher totalmente esse mesmo com-
partimento completamente vazio utilizando 4 caixas K mais certa 
quantidade de caixas Q. Nessas condições, é correto afirmar que o 
número de caixas Q utilizadas será igual a
(A) 10.
(B) 28.
(C) 18.
(D) 22.
(E) 30.
07. (IPRESB/SP – Agente Previdenciário – VUNESP/2017) A ta-
bela, onde alguns valores estão substituídos por letras, mostra os 
valores, em milhares de reais, que eram devidos por uma empresa 
a cada um dos três fornecedores relacionados, e os respectivos va-
lores que foram pagos a cada um deles.
Fornecedor A B C
Valor pago 22,5 X 37,5
Valor devido Y 40 z
Sabe-se que os valores pagos foram diretamente proporcionais a 
cada valor devido, na razão de 3 para 4. Nessas condições, é correto 
afirmar que o valor total devido a esses três fornecedores era, antes 
dos pagamentos efetuados, igual a
(A) R$ 90.000,00.
(B) R$ 96.500,00.
(C) R$ 108.000,00.
(D) R$ 112.500,00.
(E) R$ 120.000,00.
08. (DPE/RS - Analista - FCC/2017) A razão entre as alturas de dois 
irmãos era 3/4 e, nessa ocasião, a altura do irmão mais alto era 1,40 
m. Hoje, esse irmão mais alto cresceu 10 cm. Para que a razão entre a 
altura do irmão mais baixo e a altura do mais alto seja hoje, igual a 4/5 
, é necessário que o irmão mais baixo tenha crescido, nesse tempo, o 
equivalente a
(A) 13,5 cm.
(B) 10,0 cm.
(C) 12,5 cm.
(D) 14,8 cm.
(E) 15,0 cm.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
16
09. (CRBIO – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2017) O transpor-
te de 1980 caixas iguais foi totalmente repartido entre dois veículos, A e 
B, na razão direta das suas respectivas capacidades de carga, em tone-
ladas. Sabe-se que A tem capacidade para transportar 2,2 t, enquanto 
B tem capacidade para transportar somente 1,8 t. Nessas condições, é 
correto afirmar que a diferença entre o número de caixas carregadas em 
A e o número de caixas carregadas em B foi igual a
(A) 304.
(B) 286.
(C) 224.
(D) 216.
(E) 198.
10. (EMDEC – Assistente Administrativo – IBFC/2016) Paulo vai 
dividir R$ 4.500,00 em partes diretamente proporcionais às idades de 
seus três filhos com idades de 4, 6 e 8 anos respectivamente. Desse 
modo, o total distribuído aos dois filhos com maior idade é igual a:
(A) R$2.500,00
(B) R$3.500,00
(C) R$ 1.000,00
(D) R$3.200,00
RESPOSTAS
01. Resposta: C.
30k+70k=140
100k=140
K=1,4
30⋅1,4=42
70⋅1,4=98
02. Resposta: A.
Vamos dividir o prêmio pelas horas somadas
32+24+20+3⋅16+2⋅12=148
74000/148=500
O maior prêmio foi para quem fez 32 horas semanais
32⋅500=16000
12⋅500=6000
A diferença é: 16000-6000=10000
03. Resposta:B.
2500+1500=4000 entrevistas
04. Resposta: C.
Se Paula acertou 32, errou 16.
05. Resposta: E.
2k+5k+8k=240
15k=240
K=16
Alfredo: 2⋅16=32
Bernardo: 5⋅16=80
Caetano: 8⋅16=128
06. Resposta: E.
Se, com 16 caixas K, fica cheio e já foram colocadas 4 caixa, 
faltam 12 caixas K, mas queremos colocar as caixas Q, então vamos 
ver o equivalente de 12 caixas K
Q=30 caixas
07. Resposta: E.
Y=90/3=30
X=120/4=30
Z=150/3=50
Portanto o total devido é de: 30+40+50=120000
08. Resposta: E.
X=1,05
Se o irmão mais alto cresceu 10cm, está com 1,50
X=1,20
Ele cresceu: 1,20-1,05=0,15m=15cm
09. Resposta: E.
2,2k+1,8k=1980
4k=1980
K=495
2,2x495=1089
1980-1089=891
1089-891=198
10. Resposta: B.
A+B+C=4500
4p+6p+8p=4500
18p=4500
P=250
B=6p=6x250=1500
C=8p=8x250=2000
1500+2000=3500
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
17
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu sím-
bolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos 
nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de cal-
cular, etc. 
Os acréscimos e os descontos é importante saber porque ajuda 
muito na resolução do exercício.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determina-
do valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse 
valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for 
de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela 
abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
 Fator de Multiplicação = 1 - taxade desconto (na forma 
decimal)
 Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e 
venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro=preço de venda -preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas 
formas:
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula 
com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse total está com gripe. Se x% 
das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível 
para x é igual a 
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se to-
dos os meninos estiverem gripados, assim apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
QUESTÕES
01. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) Um aparelho de televisão que custa R$1600,00 es-
tava sendo vendido, numa liquidação, com um desconto de 40%. 
Marta queria comprar essa televisão, porém não tinha condições de 
pagar à vista, e o vendedor propôs que ela desse um cheque para 
15 dias, pagando 10% de juros sobre o valor da venda na liquidação. 
Ela aceitou e pagou pela televisão o valor de: 
(A) R$1120,00 
(B) R$1056,00 
(C) R$960,00 
(D) R$864,00 
02. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) A equipe de segu-
rança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 
35% das ocorrências de dano ao patrimônio nas cercanias desse 
prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autori-
dades competentes. Após uma reestruturação dos procedimentos 
de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual 
de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cer-
ca de 63%. De acordo com esses dados, com tal reestruturação, a 
equipe de segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano 
ao patrimônio em 
(A) 35%. 
(B) 28%. 
(C) 63%. 
(D) 41%. 
(E) 80%.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
18
03. (TST – Técnico Judiciário – FCC/2017) Três irmãos, André, 
Beatriz e Clarice, receberam de uma tia herança constituída pelas 
seguintes joias: um bracelete de ouro, um colar de pérolas e um 
par de brincos de diamante. A tia especificou em testamento que 
as joias não deveriam ser vendidas antes da partilha e que cada um 
deveria ficar com uma delas, mas não especificou qual deveria ser 
dada a quem. O justo, pensaram os irmãos, seria que cada um re-
cebesse cerca de 33,3% da herança, mas eles achavam que as joias 
tinham valores diferentes entre si e, além disso, tinham diferentes 
opiniões sobre seus valores. Então, decidiram fazer a partilha do 
seguinte modo:
− Inicialmente, sem que os demais vissem, cada um deveria 
escrever em um papel três porcentagens, indicando sua avaliação 
sobre o valor de cada joia com relação ao valor total da herança.
− A seguir, todos deveriam mostrar aos demais suas avaliações.
− Uma partilha seria considerada boa se cada um deles rece-
besse uma joia que avaliou como valendo 33,3% da herança toda 
ou mais.
As avaliações de cada um dos irmãos a respeito das joias foi a 
seguinte: 
Assim, uma partilha boa seria se André, Beatriz e Clarice rece-
bessem, respectivamente, 
(A) o bracelete, os brincos e o colar. 
(B) os brincos, o colar e o bracelete. 
(C) o colar, o bracelete e os brincos. 
(D) o bracelete, o colar e os brincos. 
(E) o colar, os brincos e o bracelete.
04. (UTFPR – Técnico de Tecnologia da Informação – UT-
FPR/2017) Um retângulo de medidas desconhecidas foi alterado. 
Seu comprimento foi reduzido e passou a ser 2/ 3 do comprimento 
original e sua largura foi reduzida e passou a ser 3/ 4 da largura 
original.
Pode-se afirmar que, em relação à área do retângulo original, a 
área do novo retângulo:
(A) foi aumentada em 50%.
(B) foi reduzida em 50%.
(C) aumentou em 25%.
(D) diminuiu 25%.
(E) foi reduzida a 15%.
05. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) Paulo, 
dono de uma livraria, adquiriu em uma editora um lote de apostilas 
para concursos, cujo valor unitário original é de R$ 60,00. Por ter ca-
dastro no referido estabelecimento, ele recebeu 30% de desconto 
na compra. Para revender os materiais, Paulo decidiu acrescentar 
30% sobre o valor que pagou por cada apostila. Nestas condições, 
qual será o lucro obtido por unidade?
(A) R$ 4,20.
(B) R$ 5,46.
(C) R$ 10,70.
(D) R$ 12,60.
(E) R$ 18,00.
06. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) Joana 
foi fazer compras. Encontrou um vestido de R$ 150,00 reais. Des-
cobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de 
muito pensar, Joana pagou à vista o tal vestido. Quanto ela pagou?
(A) R$ 120,00 reais
(B) R$ 112,50 reais
(C) R$ 127,50 reais
(D) R$ 97,50 reais
(E) R$ 90 reais
07. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2017) A 
empresa Alfa Sigma elaborou uma previsão de receitas trimestrais 
para 2018. A receita prevista para o primeiro trimestre é de 180 mi-
lhões de reais, valor que é 10% inferior ao da receita prevista para 
o trimestre seguinte. A receita prevista para o primeiro semestre é 
5% inferior à prevista para o segundo semestre. Nessas condições, 
é correto afirmar que a receita média trimestral prevista para 2018 
é, em milhões de reais, igual a
(A) 200.
(B) 203.
(C) 195.
(D) 190.
(E) 198.
08. (CRM/MG – Técnico em Informática- FUNDEP/2017) Veja, 
a seguir, a oferta da loja Magazine Bom Preço:
 Aproveite a Promoção!
 Forno Micro-ondas
 De R$ 720,00
 Por apenas R$ 504,00
Nessa oferta, o desconto é de:
(A) 70%.
(B) 50%.
(C) 30%.
(D) 10%.
 09 (CODAR – Recepcionista – EXATUS/2016) Considere que 
uma caixa de bombom custava, em novembro, R$ 8,60 e passou a 
custar, em dezembro, R$ 10,75. O aumento no preço dessa caixa de 
bombom foi de: 
(A) 30%. 
(B) 25%. 
(C) 20%. 
(D) 15%
10. (ANP – Técnico em Regulação de Petróleo e Derivados – 
CESGRANRIO/2016) Um grande tanque estava vazio e foi cheio de 
óleo após receber todo o conteúdo de 12 tanques menores, idên-
ticos e cheios.
Se a capacidade de cada tanque menor fosse 50% maior do que 
a sua capacidade original, o grande tanque seria cheio, sem excessos, 
após receber todo o conteúdo de
(A) 4 tanques menores
(B) 6 tanques menores
(C) 7 tanques menores
(D) 8 tanques menores
(E) 10 tanques menores
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
19
RESPOSTAS
01. Resposta:B.
Como teve um desconto de 40%, pagou 60% do produto.
1600⋅0,6=960
Como vai pagar 10% a mais:
960⋅1,1=1056
02. Resposta: E.
63/35=1,80
Portanto teve um aumento de 80%.
03. Resposta: D.
Clarice obviamente recebeu o brinco.
Beatriz recebeu o colar porque foi o único que ficou acima de 
30% e André recebeu o bracelete. 
04. Resposta: B.
A=b⋅h
Portanto foi reduzida em 50%
05. Resposta: D.
Como ele obteve um desconto de 30%, pagou 70% do valor:
60⋅0,7=42
Ele revendeu por:
42⋅1,3=54,60
Teve um lucro de: 54,60-42=12,60
06. Resposta: D.
Como teve um desconto de 35%. Pagou 65%do vestido
150⋅0,65=97,50
07. Resposta: C.
Como a previsão para o primeiro trimestre é de 180 milhões e é 
10% inferior, no segundo trimestre temos uma previsão de 
180-----90%
x---------100
x=200
200+180=380 milhões para o primeiro semestre
380----95
x----100
x=400 milhões
Somando os dois semestres: 380+400=780 milhões
780/4trimestres=195 milhões
08. Resposta: C.
Ou seja, ele pagou 70% do produto, o desconto foi de 30%.
OBS: muito cuidado nesse tipo de questão, para não errar con-
forme a pergunta feita.
09. Resposta: B.
8,6(1+x)=10,75
8,6+8,6x=10,75
8,6x=10,75-8,6
8,6x=2,15
X=0,25=25%
10. Resposta: D.
50% maior quer dizer que ficou 1,5
Quantidade de tanque: x
A quantidade que aumentaria deve ficar igual a 12 tanques
1,5x=12
X=8
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver pro-
blemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três 
deles. Devemos, portanto, determinar um valora partir dos três já 
conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de 
espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamen-
te proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, 
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria 
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x
2) Identificação do tipo de relação:
Velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os nú-
meros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna 
ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na 
segunda coluna vai para cima
Velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓
480x=1200
X=25
Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 
5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 
125m³?
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
20
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de es-
pécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde 
está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos dimi-
nuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente 
proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número 
de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta 
para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido 
das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
Horas --------caminhões-----------volume
5----------------20----------------------160
8------------------x----------------------125
Logo, serão necessários 25 caminhões
QUESTÕES
01. (IPRESB/SP - Analista de Processos Previdenciários- VU-
NESP/2017) Para imprimir 300 apostilas destinadas a um curso, 
uma máquina de fotocópias precisa trabalhar 5 horas por dia du-
rante 4 dias. Por motivos administrativos, será necessário imprimir 
360 apostilas em apenas 3 dias. O número de horas diárias que essa 
máquina terá que trabalhar para realizar a tarefa é
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.
02. (SEPOG – Analista em Tecnologia da Informação e Comu-
nicação – FGV/2017) Uma máquina copiadora A faz 20% mais có-
pias do que uma outra máquina B, no mesmo tempo.
A máquina B faz 100 cópias em uma hora.
A máquina A faz 100 cópias em 
(A) 44 minutos. 
(B) 46 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 50 minutos. 
(E) 52 minutos.
03. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) Para a construção de uma rodovia, 12 operários tra-
balham 8 horas por dia durante 14 dias e completam exatamente 
a metade da obra. Porém, a rodovia precisa ser terminada daqui a 
exatamente 8 dias, e então a empresa contrata mais 6 operários 
de mesma capacidade dos primeiros. Juntos, eles deverão trabalhar 
quantas horas por dia para terminar o trabalho no tempo correto? 
(A) 6h 8 min 
(B) 6h 50min 
(C) 9h 20 min 
(D) 9h 33min
04. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017 ) Um 
restaurante “por quilo” apresenta seus preços de acordo com a ta-
bela:
Rodolfo almoçou nesse restaurante na última sexta-feira. Se 
a quantidade de alimentos que consumiu nesse almoço custou R$ 
21,00, então está correto afirmar que essa quantidade é, em gra-
mas, igual a
(A) 375.
(B) 380.
(C) 420.
(D) 425.
(E) 450.
05. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017 ) Um 
carregamento de areia foi totalmente embalado em 240 sacos, com 
40 kg em cada saco. Se fossem colocados apenas 30 kg em cada 
saco, o número de sacos necessários para embalar todo o carrega-
mento seria igual a
(A) 420.
(B) 375.
(C) 370.
(D) 345.
(E) 320.
06. (UNIRV/GO – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017) 
Quarenta e oito funcionários de uma certa empresa, trabalhando 
12 horas por dia, produzem 480 bolsas por semana. Quantos fun-
cionários a mais, trabalhando 15 horas por dia, podem assegurar 
uma produção de 1200 bolsas por semana? 
(A) 48 
(B) 96 
(C) 102 
(D) 144
07. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) Durante 
90 dias, 12 operários constroem uma loja. Qual o número mínimo 
de operários necessários para fazer outra loja igual em 60 dias?
(A) 8 operários.
(B) 18 operários.
(C) 14 operários.
(D) 22 operários.
(E) 25 operários
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
21
08. (FCEP – Técnico Artístico – AMAUC/2017) A vazão de uma 
torneira é de 50 litros a cada 3 minutos. O tempo necessário para 
essa torneira encher completamente um reservatório retangular, 
cujas medidas internas são 1,5 metros de comprimento, 1,2 metros 
de largura e 70 centímetros de profundidade é de:
(A) 1h 16min 00s
(B) 1h 15min 36s
(C) 1h 45min 16s
(D) 1h 50min 05s
(E) 1h55min 42s
09. (CRMV/SC – Assistente Administrativo – IESES/2017) Tra-
balhando durante 6 dias, 5 operários produzem 600 peças. Deter-
mine quantas peças serão produzidas por sete operários trabalhan-
do por 8 dias: 
(A) 1120 peças 
(B) 952 peças
(C) 875 peças 
(D) 1250 peças
10. (MPE/SP – Oficial de Promotoria I – VUNESP/2016) Para 
organizar as cadeiras em um auditório, 6 funcionários, todos com 
a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3 horas. Para 
fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo ren-
dimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em 
minutos, igual a
(A) 48.
(B) 50.
(C) 46.
(D) 54.
(E) 52.
RESPOSTAS
01. Resposta: C.
↑Apostilas ↑ horas dias↓
 300------------------5--------------4
 360-----------------x----------------3
↑Apostilas ↑ horas dias↑
 300------------------5--------------3
 360-----------------x----------------4
900x=7200
X=8
02. Resposta: D.
Como a máquina A faz 20% a mais:
Em 1 hora a máquina A faz 120 cópias.
120------60 minutos
10-------x
X=50 minutos
03. Resposta: C.
↑Operário ↓horas dias↑
 12--------------8------------14
 18----------------x------------8
Quanto mais horas, menos operários
Quanto mais horas, menos dias 
8⋅18x=14⋅12⋅8
X=9,33h
9 horas e 1/3 da hora
1/3 de hora é equivalente a 20 minutos
9horas e 20 minutos
04. Resposta:C.
12,50------250
21----------x
X=5250/12,5=420 gramas
05. Resposta: E.
Sacos kg
 240----40
 x----30
Quanto mais sacos, menos areia foi colocada(inversamente)
30x=9600
X=320
06. Resposta: A.
↓Funcionários ↑ horas bolsas↓
 48------------------------12-----------480
x-----------------------------15----------1200
Quanto mais funcionários, menos horas precisam
Quanto mais funcionários, mais bolsas feitas
X=96 funcionários
Precisam de mais 48 funcionários
07. Resposta: B.
Operários dias
 12-----------90
 x--------------60
Quanto mais operários, menos dias (inversamente proporcional)
60x=1080
X=18
08. Resposta: B.
V=1,5⋅1,2⋅0,7=1,26m³=1260litros
50litros-----3 min
1260--------x
X=3780/50=75,6min
0,6min=36s
75min=60+15=1h15min
09. Resposta: A.
↑Dias ↑ operários peças↑
 6-------------5---------------600
8--------------7---------------x
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
22
30x=33600
X=1120
10. Resposta: D.
Como o exercício pede em minutos,vamos transformar 3 horas 
em minutos
3x60=180 minutos
↑Funcionários minutos↓
 6------------180
 20-------------x
As Grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto 
mais funcionários, menos tempo será gasto.
Vamos inverter os minutos
↑Funcionários minutos↑
 6------------x
 20-------------180
20x=6.180
20x=1040
X=54 minutos
7 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. 
Equação 1º grau
Equação é toda sentença matemática aberta representada por 
uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam 
números desconhecidos.
Equação do 1º grau, na incógnita x, é toda equação redutível 
à forma ax+b=0, em que a e b são números reais, chamados coefi-
cientes, com a≠0.
Uma raiz da equação ax+b =0(a≠0) é um valor numérico de x 
que, substituindo no 1º membro da equação, torna-se igual ao 2º 
membro.
Nada mais é que pensarmos em uma balança.
A balança deixa os dois lados iguais para equilibrar, a equação 
também.
No exemplo temos: 
3x+300 
Outro lado: x+1000+500
E o equilíbrio?
3x+300=x+1500
Quando passamos de um lado para o outro invertemos o sinal
3x-x=1500-300
2x=1200
X=600
Exemplo
(PREF. DE NITERÓI/RJ – Fiscal de Posturas – FGV/2015) A idade 
de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de 
seus dois filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que 
Paulo. Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade 
que Pedro tem hoje.
A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:
(A) 72;
(B) 69;
(C) 66;
(D) 63;
(E) 60.
Resolução
A ideia de resolver as equações é literalmente colocar na lin-
guagem matemática o que está no texto.
“Pierre é três anos mais velho do que Paulo”
Pi=Pa+3
“Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade 
que Pedro tem hoje.”
A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das 
idades de seus dois filhos,
Pe=2(Pi+Pa)
Pe=2Pi+2Pa
Lembrando que:
Pi=Pa+3
Substituindo em Pe
Pe=2(Pa+3)+2Pa
Pe=2Pa+6+2Pa
Pe=4Pa+6
Pa+3+10=2Pa+3
Pa=10
Pi=Pa+3
Pi=10+3=13
Pe=40+6=46
Soma das idades: 10+13+46=69
Resposta: B.
Equação 2º grau
A equação do segundo grau é representada pela fórmula geral:
Onde a, b e c são números reais, 
Discussão das Raízes
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
23
Se for negativo, não há solução no conjunto dos números 
reais.
Se for positivo, a equação tem duas soluções:
Exemplo
 , portanto não há solução real.
Se não há solução, pois não existe raiz quadrada real de 
um número negativo.
Se , há duas soluções iguais:
Se , há soluções reais diferentes:
Relações entre Coeficientes e Raízes
Dada as duas raízes:
Soma das Raízes
Produto das Raízes
Composição de uma equação do 2ºgrau, conhecidas as raízes
Podemos escrever a equação da seguinte maneira:
x²-Sx+P=0
Exemplo
Dada as raízes -2 e 7. Componha a equação do 2º grau.
Solução
S=x1+x2=-2+7=5
P=x1.x2=-2.7=-14
Então a equação é: x²-5x-14=0
Exemplo
(IMA – Analista Administrativo Jr – SHDIAS/2015) A soma das 
idades de Ana e Júlia é igual a 44 anos, e, quando somamos os qua-
drados dessas idades, obtemos 1000. A mais velha das duas tem:
(A) 24 anos
(B) 26 anos
(C) 31 anos
(D) 33 anos
Resolução
A+J=44
A²+J²=1000
A=44-J
(44-J)²+J²=1000
1936-88J+J²+J²=1000
2J²-88J+936=0 
Dividindo por2:
J²-44J+468=0
∆=(-44)²-4.1.468
∆=1936-1872=64
Substituindo em A
A=44-26=18
Ou A=44-18=26
Resposta: B.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
24
Inequação
Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma 
ou mais incógnitas, que ao contrário da equação que utiliza um sinal 
de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de 
desigualdade:
>: maior
<: menor
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
O princípio resolutivo de uma inequação é o mesmo da equa-
ção, onde temos que organizar os termos semelhantes em cada 
membro, realizando as operações indicadas. No caso das inequa-
ções, ao realizarmos uma multiplicação de seus elementos por
–1com o intuito de deixar a parte da incógnita positiva, invertemos 
o sinal representativo da desigualdade.
Exemplo 1
4x + 12 > 2x – 2
4x – 2x > – 2 – 12
2x > – 14
x > –14/2
x > – 7
Inequação-Produto
Quando se trata de inequações-produto, teremos uma desi-
gualdade que envolve o produto de duas ou mais funções. Portan-
to, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em 
cada função e obter a resposta final realizando a intersecção do 
conjunto resposta das funções.
Exemplo
a)(-x+2)(2x-3)<0
Inequação -Quociente
Na inequação- quociente, tem-se uma desigualdade de funções 
fracionárias, ou ainda, de duas funções na qual uma está dividindo 
a outra. Diante disso, deveremos nos atentar ao domínio da função 
que se encontra no denominador, pois não existe divisão por zero. 
Com isso, a função que estiver no denominador da inequação deve-
rá ser diferente de zero.
O método de resolução se assemelha muito à resolução de 
uma inequação-produto, de modo que devemos analisar o sinal das 
funções e realizar a intersecção do sinal dessas funções.
Exemplo
Resolva a inequação a seguir:
x-2≠0
x≠2
Sistema de Inequação do 1º Grau
Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou 
mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo 
que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envol-
vidas.
Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:
Vamos achar a solução de cada inequação.
4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1
S1 = {x R | x ≤ - 1}
Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.
S2 = { x R | x ≤ - 1}
Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação
 temos:
S = S1 ∩ S2
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
25
Portanto:
S = { x R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]
Inequação 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau, toda inequação que pode ser 
escrita numa das seguintes formas:
ax²+bx+c>0
ax²+bx+c≥0
ax²+bx+c<0
ax²+bx+c<0
ax²+bx+c≤0
ax²+bx+c≠0
Exemplo 
Vamos resolver a inequação3x² + 10x + 7 < 0.
Resolvendo Inequações
Resolver uma inequação significa determinar os valores reais 
de x que satisfazem a inequação dada.
Assim, no exemplo, devemos obter os valores reais de x que 
tornem a expressão 3x² + 10x +7negativa.
S = {x ∈ R / –7/3 < x < –1}
QUESTÕES
01. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) O dobro do quadrado de um número natural au-
mentado de 3 unidades é igual a sete vezes esse número. Qual é 
esse número?
(A) 2
(B) 3
(C) 4 
(D) 5
02. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário -VUNESP/2017) Um 
carro parte da cidade A em direção à cidade B pela rodovia que liga 
as duas cidades, percorre 1/3 do percurso total e para no ponto P. 
Outro carro parte da cidade B em direção à cidade A pela mesma 
rodovia, percorre 1/4 do percurso total e para no ponto Q. Se a 
soma das distâncias percorridas por ambos os carros até os pontos 
em que pararam é igual a 28 km, então a distância entre os pontos 
P e Q, por essa rodovia, é, em quilômetros, igual a
(A) 26.
(B) 24.
(C) 20.
(D) 18.
(E) 16.
03. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário -VUNESP/2017) Nel-
son e Oto foram juntos a uma loja de materiais para construção. 
Nelson comprou somente 10 unidades iguais do produto P, todas 
de mesmo preço. Já Oto comprou 7 unidades iguais do mesmo pro-
duto P, e gastou mais R$ 600,00 na compra de outros materiais. Se 
os valores totais das compras de ambos foram exatamente iguais, 
então o preço unitário do produto P foi igual a
(A) R$ 225,00.
(B) R$ 200,00.
(C) R$ 175,00.
(D) R$ 150,00.
(E) R$ 125,00.
04. (ITAIPU BINACIONAL -Profissional Nível Técnico I - Técnico 
em Eletrônica – NCUFPR/2017) Considere a equação dada por 2x² 
+ 12x + 3 = -7. Assinale a alternativa que apresenta a soma das duas 
soluções dessa equação. 
(A) 0. 
(B) 1.
(C) -1.
(D) 6.
(E) -6.
05. (UNIRV/GO – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017) 
Num estacionamento encontram-se 18 motos, 15 triciclos e alguns 
carros. Se Pedrinho contou um total de 269 rodas, quantos carros 
tem no estacionamento? 
(A) 45 
(B) 47
(C)50 
(D) 52
06. (UNIRV/GO– Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017) 
O valor de m para que a equação (2m -1) x² - 6x + 3 = 0 tenha duas 
raízes reais iguais é 
(A) 3
(B) 2 
(C) −1
(D) −6
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
26
07. (IPRESB - Agente Previdenciário – VUNESP/2017) Em se-
tembro, o salário líquido de Juliano correspondeu a 4/5 do seu salá-
rio bruto. Sabe-se que ele destinou 2/5 do salário líquido recebido 
nesse mês para pagamento do aluguel, e que poupou 2/5 do que 
restou. Se Juliano ficou, ainda, com R$ 1.620,00 para outros gastos, 
então o seu salário bruto do mês de setembro foi igual a
(A) R$ 6.330,00.
(B) R$ 5.625,00.
(C) R$ 5.550,00.
(D) R$ 5.125,00.
(E) R$ 4.500,00.
8. (SESAU/RO – Técnico em Informática – FUNRIO/2017) Da-
qui a 24 anos, Jovelino terá o triplo de sua idade atual. Daqui a cinco 
anos, Jovelino terá a seguinte idade:
(A) 12.
(B) 14.
(C) 16.
(D) 17.
(E) 18.
09. (PREF. DE FAZENDA RIO GRANDE/PR – Professor – 
PUC/2017) A equação 8x² – 28x + 12 = 0 possui raízes iguais a x1 e 
x2. Qual o valor do produto x1 . x2? 
(A) 1/2 .
(B) 3.
(C) 3/2 .
(D) 12. 
(E) 28.
10 (PREF.DO RIO DE JANEIRO – Agente de Administração – 
PREF. DO RIO DE JANEIRO/2016) Ao perguntar para João qual era a 
sua idade atual, recebi a seguinte resposta: 
- O quíntuplo da minha idade daqui a oito anos, diminuída do 
quíntuplo da minha idade há três anos atrás representa a minha 
idade atual.A soma dos algarismos do número que representa, em 
anos, a idade atual de João, corresponde a: 
(A) 6
(B) 7
(C) 10
(D) 14
RESPOSTAS
01. Resposta: B.
2x²+3=7x
2x²-7x+3=0
∆=49-24=25
Como tem que ser natural, apenas o número 3 convém.
02. Resposta: C.
Mmc(3,4)=12
4x+3x=336
7x=336
X=48
A distância entre A e B é 48km
Como já percorreu 28km
48-28=20 km entre P e Q.
03. Resposta:B.
Sendo x o valor do material P
10x=7x+600
3x=600
X=200
04. Resposta: E.
2x²+12x+10=0
∆=12²-4⋅2⋅10
∆=144-80=64
A soma das duas é -1-5=-6
05. Resposta:B.
Vamos fazer a conta de rodas:
Motos tem 2 rodas, triciclos 3 e carros 4
18⋅2+15⋅3+x⋅4=269
4x=269-36-45
4x=188
X=47
06. Resposta: B
∆=-(-6)²-4⋅(2m-1) ⋅3=0
36-24m+12=0
-24m=-48
M=2
07. Resposta: B.
Salário liquido: x
10x+6x+40500=25x
9x=40500
X=4500
Salariofração
 y---------------1
 4500---------4/5
08. Resposta: D.
Idade atual: x
X+24=3x
2x=24
X=12
Ele tem agora 12 anos, daqui a 5 anos: 17.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
27
09. Resposta: C.
∆=(-28)²-4.8.12
∆=784-384
∆=400
10. Resposta: C.
Atual:x
5(x+8)-5(x-3)=x
5x+40-5x+15=x
X=55
Soma: 5+5=10
8 SISTEMAS DE MEDIDAS. 
Unidades de Comprimento
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medi-
das milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
 Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para trasnformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda divide por 10.
Superfície
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes maior que a unidade imedia-
tamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade até a desejada. 
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
28
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para trasnformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda divide por 100.
Volume
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encontrar 
sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
Unidades de Volume
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
Capacidade
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúltiplos, 
unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
Unidades de Capacidade
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Massa
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Tempo
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
29
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao 15h 35minutos. Lá, bateu seu recor-
de de nado livre e fez 1 minuto e 25 segundos. Demorou 30 minutos 
para chegar em casa. Que horas ela chegou?
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para 
as horas, sempre que passamos de um para o outro tem que ser na 
mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h 6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h 6 mi-
nutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 minutos. Quanto tempo 
ficou fora?
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma for-
ma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demo-
rou o dobro disso. Quanto tempo durou o estudo?
Divisão
5h 20 minutos :2
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minu-
tos
QUESTÕES
01. (IPRESB/SP - Analista de Processos Previdenciários- VU-
NESP/2017) Uma gráfica precisa imprimir um lote de 100000 folhe-
tos e, para isso, utiliza a máquina A, que imprime 5000 folhetos em 
40 minutos. Após 3 horas e 20 minutos de funcionamento, a máqui-
na A quebra e o serviço restante passa a ser feito pela máquina B, 
que imprime 4500 folhetos em 48 minutos. O tempo que a máquina 
B levará para imprimir o restante do lote de folhetos é
(A) 14 horas e 10 minutos.
(B) 14 horas e 05 minutos.
(C) 13 horas e 45 minutos.
(D) 13 horas e 30 minutos.
(E) 13 horas e 20 minutos.
02. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017) Rena-
ta foi realizar exames médicos em uma clínica. Ela saiu de sua casa às 
14h 45 min e voltou às 17h 15 min. Se ela ficou durante uma hora e 
meia na clínica, então o tempo gasto no trânsito, no trajeto de ida e 
volta, foi igual a
(A) 1/2h.
(B) 3/4h.
(C) 1h.
(D) 1h 15min.
(E) 1 1/2h.
03. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017) Uma 
indústria produz regularmente 4500 litros de suco por dia. Sabe-se 
que a terça parte da produção diária é distribuída em caixinhas P, 
que recebem 300 mililitros de suco cada uma. Nessas condições, é 
correto afirmar que a cada cinco dias a indústria utiliza uma quanti-
dade de caixinhas P igual a
(A) 25000.
(B) 24500.
(C) 23000.
(D) 22000.
(E) 20500.
04. (UNIRV/GO – Auxiliar de Laboratório – UNIRVGO/2017) 
Uma empresa farmacêutica distribuiu 14400 litros de uma substân-
cia líquida em recipientes de 72 cm3 cada um. Sabe-se que cada 
recipiente, depois de cheio, tem 80 gramas. A quantidade de to-
neladas que representa todos os recipientescheios com essa subs-
tância é de 
(A) 16
(B) 160 
(C) 1600
(D) 16000
05. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) João 
estuda à noite e sua aula começa às 18h40min. Cada aula tem du-
ração de 45 minutos, e o intervalo dura 15 minutos. Sabendo-se 
que nessa escola há 5 aulas e 1 intervalo diariamente, pode-se 
afirmar que o término das aulas de João se dá às:
(A) 22h30min
(B) 22h40min
(C) 22h50min
(D) 23h
(E) Nenhuma das anteriores
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
30
06. (IBGE – Agente Censitário Administrativo- FGV/2017) 
Quando era jovem, Arquimedes corria 15km em 1h45min. Agora 
que é idoso, ele caminha 8km em 1h20min.
Para percorrer 1km agora que é idoso, comparado com a época 
em que era jovem, Arquimedes precisa de mais: 
(A) 10 minutos; 
(B) 7 minutos;
(C) 5 minutos;
(D) 3 minutos;
(E) 2 minutos.
07. (IBGE – Agente Censitário Administrativo- FGV/2017) Lu-
cas foi de carro para o trabalho em um horário de trânsito intenso e 
gastou 1h20min. Em um dia sem trânsito intenso, Lucas foi de carro 
para o trabalho a uma velocidade média 20km/h maior do que no 
dia de trânsito intenso e gastou 48min.
A distância, em km, da casa de Lucas até o trabalho é: 
(A) 36; 
(B) 40; 
(C) 48; 
(D) 50; 
(E) 60.
08. (EMDEC - Assistente Administrativo Jr – IBFC/2016) Carlos 
almoçou em certo dia no horário das 12:45 às 13:12. O total de 
segundos que representa o tempo que Carlos almoçou nesse dia é:
(A) 1840
(B) 1620
(C) 1780
(D) 2120
09. (ANP – Técnico Administrativo – CESGRANRIO/2016) Um 
caminhão-tanque chega a um posto de abastecimento com 36.000 
litros de gasolina em seu reservatório. Parte dessa gasolina é trans-
ferida para dois tanques de armazenamento, enchendo-os comple-
tamente. Um desses tanques tem 12,5 m3, e o outro, 15,3 m3, e 
estavam, inicialmente, vazios.
Após a transferência, quantos litros de gasolina restaram no 
caminhão-tanque?
(A) 35.722,00
(B) 8.200,00
(C) 3.577,20
(D) 357,72
(E) 332,20
10. (DPE/RR – Auxiliar Administrativo – FCC/2015) Raimundo 
tinha duas cordas, uma de 1,7 m e outra de 1,45 m. Ele precisava 
de pedaços, dessas cordas, que medissem 40 cm de comprimento 
cada um. Ele cortou as duas cordas em pedaços de 40 cm de com-
primento e assim conseguiu obter 
(A) 6 pedaços. 
(B) 8 pedaços. 
(C) 9 pedaços. 
(D) 5 pedaços. 
(E) 7 pedaços.
RESPOSTAS
01. Resposta: E.
3h 20 minutos-200 minutos
5000-----40
x----------200
x=1000000/40=25000
Já foram impressos 25000, portanto faltam ainda 75000
4500-------48
75000------x
X=3600000/4500=800 minutos
800/60=13,33h
13 horas e 1/3 hora
13h e 20 minutos
02. Resposta: C.
Como ela ficou 1hora e meia na clínica o trajeto de ida e volta 
demorou 1 hora.
03. Resposta:A.
4500/3=1500 litros para as caixinhas
1500litros=1500000ml
1500000/300=5000 caixinhas por dia
5000.5=25000 caixinhas em 5 dias
04. Resposta:A.
14400litros=14400000 ml
200000⋅80=16000000 gramas=16 toneladas
05. Resposta: B.
5⋅45=225 minutos de aula
225/60=3 horas 45 minutos nas aulas mais 15 minutos de in-
tervalo=4horas
18:40+4h=22h:40
06. Resposta: D.
1h45min=60+45=105 minutos
15km-------105
1--------------x
X=7 minutos
1h20min=60+20=80min
8km----80
1-------x
X=10minutos
A diferença é de 3 minutos
07. Resposta: B.
V------80min
V+20----48
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
31
Quanto maior a velocidade, menor o tempo(inversamente)
80v=48V+960
32V=960
V=30km/h
30km----60 min
x-----------80
60x=2400
X=40km
08 Resposta: B.
12:45 até 13:12 são 27 minutos
27x60=1620 segundos
09. Resposta: B.
1m³=1000litros
36000/1000=36 m³
36-12,5-15,3=8,2 m³x1000=8200 litros
10.Resposta: E.
1,7m=170cm
1,45m=145 cm
170/40=4 resta 10
145/40=3 resta 25
4+3=7
9 VOLUMES. 
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas se-
mirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de la-
dos do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
Ângulo Raso:
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
Triângulo
Elementos
Mediana
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um 
vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, é uma mediana do ABC.
Um triângulo tem três medianas.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
32
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo intercepta o 
lado oposto
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de 
um ângulo do triângulo que liga um vértice a um ponto do lado 
oposto.
Na figura, é uma bissetriz interna do .
Um triângulo tem três bissetrizes internas.
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um 
ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura, é uma altura do .
Um triângulo tem três alturas.
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a 
esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de .
Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo 
que é mediatriz de um dos lados desse triângulo.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do .
Um triângulo tem três mediatrizes.
 Classificação
Quanto aos lados
Triângulo escaleno:três lados desiguais.
Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
Triângulo equilátero: três lados iguais.
Quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo:tem os três ângulos agudos
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
33
Triângulo retângulo:tem um ângulo reto
Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que 
a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, ao maior ângulo 
opõe-se o maior lado, e vice-versa.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
- Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes 
(iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares 
entre si (formam ângulo de 90°) e são bissetrizes dos ângulos inter-
nos (dividem os ângulos ao meio).
Áreas
1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b 
é a medida da base menor e h é medida da altura.
2- Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é 
a medida da altura.
3- Retângulo: A = b.h
4- Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e 
d é a medida da diagonal menor.
5- Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado.
Polígono
Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados 
lados do polígono, enquanto os pontos são chamados vértices do 
polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades 
são vértices não-consecutivos desse polígono.
Número de Diagonais
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
34
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono con-
vexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, convenientemente es-
colhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das medidas dos ângu-
los internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos 
internos dos n-2 triângulos.
Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a ra-
zão de dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão 
dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são váli-
das as seguintes proporções:
 Exemplo
2
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ân-
gulos internos tiverem, respectivamente, as mesmas medidas, e os 
lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
1º Caso:AA(ângulo-ângulo)
Se dois triângulos têm doisângulos congruentes de vértices corres-
pondentes, então esses triângulos são congruentes.
2º Caso: LAL(lado-ângulo-lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcio-
nais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então es-
ses dois triângulos são semelhantes.
3º Caso: LLL(lado-lado-lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcio-
nais, então esses dois triângulos são semelhantes.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
35
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Considerando o triângulo retângulo ABC.
Temos:
Fórmulas Trigonométricas
Relação Fundamental
Existe uma outra importante relação entre seno e cosseno de 
um ângulo. Considere o triângulo retângulo ABC.
Neste triângulo, temos que: c²=a²+b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado trian-
gulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h:altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chamamos relações métricas as relações existentes entre os 
diversos segmentos desse triângulo. Assim:
1. O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenu-
sa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
2. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa 
pela altura relativa à hipotenusa.
3. O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa.
4. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos (Teorema de Pitágoras).
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
36
Posições Relativas de Duas Retas
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. 
Nesse caso são chamadas retas coplanares. Podem também não 
estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas rever-
sas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
b) 
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas:r e s não são perpendiculares.
3. 
4. 
c) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coinci-
dentes.
QUESTÕES
01. (IPRESB/SP - Analista de Processos Previdenciários- VU-
NESP/2017) Um terreno retangular ABCD, com 40 m de largura por 
60 m de comprimento, foi dividido em três lotes, conforme mostra 
a figura.
Sabendo-se que EF = 36 m e que a área do lote 1 é 864 m², o 
perímetro do lote 2 é
(A) 100 m.
(B) 108 m.
(C) 112 m.
(D) 116 m.
(E) 120 m.
02. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Considere um 
triângulo retângulo de catetos medindo 3m e 5m. Um segundo 
triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro 
da área do primeiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2 . 
(C) 3√2 e 10√2 . 
(D) 5 e 6. 
(E) 6 e 10.
03. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Na figura abai-
xo, encontra-se representada uma cinta esticada passando em tor-
no de três discos de mesmo diâmetro e tangentes entre si.
 
Considerando que o diâmetro de cada disco é 8, o comprimen-
to da cinta acima representada é 
(A) 8/3 π + 8 . 
(B) 8/3 π + 24.
(C) 8π + 8 . 
(D) 8π + 24.
(E) 16π + 24.
04. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Na figura abai-
xo, ABCD é um quadrado de lado 10; E, F, G e H são pontos médios 
dos lados do quadrado ABCD e são os centros de quatro círculos 
tangentes entre si.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
37
A área da região sombreada, da figura acima apresentada, é 
(A) 100 - 5π . 
(B) 100 - 10π . 
(C) 100 - 15π . 
(D) 100 - 20π . 
(E) 100 - 25π .
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) No cubo de 
aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um plano 
passando pelos vértices B e C e pelos pontos P e Q, pontos médios, 
respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCQP. 
A área do quadrilátero BCQP, da figura acima, é 
(A) 25√5.
(B) 50√2.
(C) 50√5. 
(D) 100√2 .
(E) 100√5.
06. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária - MSCON-
CURSOS/2017) O triângulo retângulo em B, a seguir, de vértices A, 
B e C, representa uma praça de uma cidade. Qual é a área dessa 
praça? 
(A) 120 m² 
(B) 90 m² 
(C) 60 m² 
(D) 30 m²
07. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017) A 
figura, com dimensões indicadas em centímetros, mostra um painel 
informativo ABCD, de formato retangular, no qual se destaca a re-
gião retangular R, onde x > y.
Sabendo-se que a razão entre as medidas dos lados correspon-
dentes do retângulo ABCD e da região R é igual a 5/2 , é correto 
afirmar que as medidas, em centímetros, dos lados da região R, in-
dicadas por x e y na figura, são, respectivamente,
(A) 80 e 64.
(B) 80 e 62.
(C) 62 e 80.
(D) 60 e 80.
(E) 60 e 78.
08. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário – VUNESP/2017) O 
piso de um salão retangular, de 6 m de comprimento, foi totalmente 
coberto por 108 placas quadradas de porcelanato, todas inteiras. 
Sabe-se que quatro placas desse porcelanato cobrem exatamente 
1 m2 de piso. Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro 
desse piso é, em metros, igual a
(A) 20.
(B) 21.
(C) 24.
(D) 27.
(E) 30.
09. (IBGE – Agente Censitário Municipal e Supervisor – 
FGV/2017) O proprietário de um terreno retangular resolveu cer-
cá-lo e, para isso, comprou 26 estacas de madeira. Colocou uma 
estaca em cada um dos quatro cantos do terreno e as demais igual-
mente espaçadas, de 3 em 3 metros, ao longo dos quatro lados do 
terreno.
O número de estacas em cada um dos lados maiores do terre-
no, incluindo os dois dos cantos, é o dobro do número de estacas 
em cada um dos lados menores, também incluindo os dois dos can-
tos.
A área do terreno em metros quadrados é: 
(A) 240; 
(B) 256;
(C) 324;
(D) 330; 
(E) 372.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
38
10. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário- VUNESP/2017) A fi-
gura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em metros, mostra 
as regiões R1 e R2 , ambas com formato de triângulos retângulos, 
situadas em uma praça e destinadas a atividades de recreação in-
fantil para faixas etárias distintas.
Se a área de R1 é 54 m², então o perímetro de R2 é, em metros, 
igual a
(A) 54.
(B) 48.
(C) 36.
(D) 40.
(E) 42.
11. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária – MSCON-
CURSOS/2017) 
Seja a expressão definida em 0< x < 
π/2 . Ao simplificá-la, obteremos:
(A) 1 
(B) sen²x 
(C) cos²x
(D) 0 
12. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária – MSCON-
CURSOS/2017) Fábio precisa comprar arame para cercar um ter-
reno no formato a seguir, retângulo em B e C. Considerando que 
ele dará duas voltas com o arame no terreno e que não terá per-
das, quantos metros ele irá gastar? (considere √3 =1,7; sen30º=0,5; 
cos30º=0,85; tg30º=0,57). 
(A) 64,2 m 
(B) 46,2 m 
(C) 92,4 m 
(D) 128,4 m 
RESPOSTAS
01. Resposta: D.
96h=1728
H=18
Como I é um triângulo:
60-36=24
X²=24²+18²
X²=576+324
X²=900
X=30
Como h=18 e AD é 40, EG=22
Perímetro lote 2: 40+22+24+30=116
02. Resposta: B.
Lado=3√2
Outro lado =5√2
03. Resposta: D.
Observe o triângulo do meio, cada lado é exatamente a mesma 
medida da parte reta da cinta.
Que é igual a 2 raios, ou um diâmetro, portanto o lado esticado 
tem 8x3=24 m
A parte do círculo é igual a 120°, pois é 1/3 do círculo, como são 
três partes, é a mesma medida de um círculo.
O comprimento do círculo é dado por: 2πr=8π
Portanto, a cinta tem 8π+24
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
39
04. Resposta: E.
Como o quadrado tem lado 10,a área é 100.
O ladao AF e AE medem 5, cada um, pois F e E é o ponto Médio
X²=5²+5²
X²=25+25
X²=50
X=5√2
X é o diâmetro do círculo, como temos 4 semi círculos, temos 
2 círculos inteiros.
A área de um círculo é 
A sombreada=100-25π
05. Resposta: C.
CQ é hipotenusa do triângulo GQC.
01. CQ²=10²+5² 
CQ²=100+25
CQ²=125
CQ=5√5
A área do quadrilátero seria CQ⋅BC
A=5√5⋅10=50√5
06. Resposta: C
Para saber a área, primeiro precisamos descobrir o x.
17²=x²+8²
289=x²+64
X²=225
X=15
07. Resposta: A.
5y=320
Y=64
5x=400
X=80
08. Resposta: B.
108/4=27m²
6x=27
X=27/6
O perímetro seria
09. Resposta: C.
Númerode estacas: x
X+x+2x+2x-4=26 obs: -4 é porque estamos contando duas 
vezes o canto
6x=30
X=5
Temos 5 estacas no lado menor, como são espaçadas a cada 
3m
4 espaços de 3m=12m
Lado maior 10 estacas
9 espaços de 3 metros=27m
A=12⋅27=324 m²
10. Resposta: B.
9x=108
X=12
Para encontrar o perímetro do triângulo R2:
Y²=16²+12²
Y²=256+144=400
Y=20
Perímetro: 16+12+20=48
11. Resposta: C.
1-cos²x=sen²x
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
40
12. Resposta: D.
X=6
Y=10,2
2 voltas=2(12+18+10,2+6+18)=128,4m
Cilindros
Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de centro O 
contido num deles, e uma reta s concorrente com os dois.
Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de to-
dos os segmentos paralelos a s, com extremidades no círculo e no 
outro plano.
Classificação
Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando as geratri-
zes são perpendiculares às bases. 
Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é equilá-
tero.
Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.
Área
Área da base: Sb=πr²
Volume
Cones
Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, um pon-
to V que não pertence ao plano.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmen-
tos de reta que tem uma extremidade no ponto V e a outra num 
ponto do círculo denomina-se cone circular.
Classificação
-Reto:eixo VO perpendicular à base;
Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em tor-
no de um de seus catetos. Por isso o cone reto é também chamado 
de cone de revolução.
Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é denomi-
nado cone equilátero.
-Oblíquo: eixo não é perpendicular
Área
Área lateral:
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
41
Área da base:
Área total:
Volume
Pirâmides
As pirâmides são também classificadas quanto ao número de 
lados da base. 
Área e Volume 
Área lateral: 
Onde n= quantidade de lados
Prismas
Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R contido 
em α e uma reta r concorrente aos dois.
Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião de todos 
os segmentos paralelos a r, com extremidades no polígono R e no 
plano β.
Assim, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e 
paralelas cujas outras faces são paralelogramos obtidos ligando-se 
os vértices correspondentes das duas faces paralelas.
Classificação
Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases
Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.
Classificação pelo polígono da base
-Triangular
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
42
-Quadrangular
E assim por diante...
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se pa-
ralelepípedos.
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces quadra-
das.
Prisma Regular
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o 
prisma é dito regular.
As faces laterais são retângulos congruentes e as bases são con-
gruentes (triângulo equilátero, hexágono regular,...)
Área
Área cubo: 
Área paralelepípedo:
A área de um prisma:
Onde: St=área total
Sb=área da base
Sl=área lateral, soma-se todas as áreas das faces laterais.
Volume
Paralelepípedo:V=a.b.c
Cubo:V=a³
Demais:
QUESTÕES
01. (TJ/RS - Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Um cilindro 
reto de altura h tem volume V. Para que um cone reto com base 
igual a desse cilindro tenha volume V, sua altura deve ser igual a 
(A) 1/3h.
(B) 1/2h.
(C) 2/3h.
(D) 2h.
(E) 3h.
02. (SAP/SP - Agente de Segurança Penitenciária – MSCON-
CURSOS/2017) Qual é o volume de uma lata de óleo perfeitamente 
cilíndrica, cujo diâmetro é 8 cm e a altura é 20 cm? (use π=3) 
(A) 3,84 l
(B) 96 ml 
(C) 384 ml 
(D) 960 ml 
03. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário - VUNESP/2017) Ini-
cialmente, um reservatório com formato de paralelepípedo reto re-
tângulo deveria ter as medidas indicadas na figura.
Em uma revisão do projeto, foi necessário aumentar em 1 m a 
medida da largura, indicada por x na figura, mantendo-se inaltera-
das as demais medidas. Desse modo, o volume inicialmente previs-
to para esse reservatório foi aumentado em
(A) 1 m³ .
(B) 3 m³ .
(C) 4 m³ .
(D) 5 m³ .
(E) 6 m³ .
04. (CÂMARA DE SUMARÉ – Escriturário - VUNESP/2017) A figu-
ra mostra cubinhos de madeira, todos de mesmo volume, posiciona-
dos em uma caixa com a forma de paralelepípedo reto retângulo.
Se cada cubinho tem aresta igual a 5 cm, então o volume inter-
no dessa caixa é, em cm³ , igual a
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
43
(A) 3000.
(B) 4500.
(C) 6000.
(D) 7500.
(E) 9000.
05. (MPE/GO – Oficial de Promotoria – MPEGO/2017) Frede-
rico comprou um aquário em formato de paralelepípedo, contendo 
as seguintes dimensões:
Estando o referido aquário completamente cheio, a sua capa-
cidade em litros é de:
(A) 0,06 litros.
(B) 0,6 litros.
(C) 6 litros.
(D) 0,08 litros.
(E) 0,8 litros.
06. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2017) As 
figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo 
A e B de formato cúbico e C com formato de paralelepípedo reto 
retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados 
por VA, VB e VC.
Se VA + VB = 1/2 VC , então a medida da altura do bloco C, indi-
cada por h na figura, é, em centímetros, igual a
(A) 15,5.
(B) 11.
(C) 12,5.
(D) 14.
(E) 16
07. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPEGO/2017) Um reci-
piente na forma de um prisma reto de base quadrada, com dimen-
sões internas de 10 cm de aresta da base e 25 cm de altura, está 
com 20% de seu volume total preenchido com água, conforme mos-
tra a figura. (Figura fora de escala) 
Para completar o volume total desse recipiente, serão despe-
jados dentro dele vários copos de água, com 200 mL cada um. O 
número de copos totalmente cheios necessários para completar o 
volume total do prisma será: 
(A) 8 copos 
(B) 9 copos 
(C) 10 copos 
(D) 12 copos
(E) 15 copos
08. (CELG/GT/GO – Analista de Gestão – CSUFG/2017) figura a 
seguir representa um cubo de aresta a. 
Considerando a pirâmide de base triangular cujos vértices são 
os pontos B, C, D e G do cubo, o seu volume é dado por
(A) a³/6
(B) a³/3
(C) a³/3√3
(D) a³/6√6
09. (CRBIO – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2017) De um 
reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, total-
mente cheio, foram retirados 3 m³ de água. Após a retirada, o nível 
da água restante no reservatório ficou com altura igual a 1 m, con-
forme mostra a figura.
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do 
reservatório, indicada por h na figura, é, em metros, igual a
(A) 1,8.
(B) 1,75.
(C) 1,7.
(D) 1,65.
(E) 1,6.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
44
10. (PREF. DE ITAPEMA/SC – Técnico Contábil – MSCONCUR-
SOS/2016) O volume de um cone circular reto, cuja altura é 39 cm, 
é 30% maior do que o volume de um cilindro circular reto. Sabendo 
que o raio da base do cone é o triplo do raio da base do cilindro, a 
altura do cilindro é:
(A) 9 cm 
(B) 30 cm 
(C) 60 cm 
(D) 90 cm
RESPOSTAS
01. Resposta:
Volume cilindro=πr²h
Para que seja igual a V, a altura tem que ser igual a 3h
02. Resposta: D
V= πr²h
V=3⋅4²⋅20=960 cm³=960 ml
03. Resposta:E.
V=2⋅3⋅x=6x
Aumentando 1 na largura
V=2⋅3⋅(x+1)=6x+6
Portanto, o volume aumentou em 6.
04. Resposta:E.
São 6 cubos no comprimento: 6⋅5=30
São 4 cubos na largura: 4⋅5=20
3 cubos na altura: 3⋅5=15
V=30⋅20⋅15=9000
05. Resposta: C.
V=20⋅15⋅20=6000cm³=6000ml==6 litros
06. Resposta:C.
VA=125cm³
VB=1000cm³
180h=2250
H=12,5
07. Resposta: C.
V=10⋅10⋅25=2500 cm³
2500⋅0,2=500cm³ preenchidos.
Para terminar de completar o volume:
2500-500=2000 cm³
2000/200=10 copos
08. Resposta: A.
A base é um triângulo de base a e altura a
09. Resposta: E.
V=2,5⋅2⋅1=5m³
Como foi retirado 3m³
5+3=2,5⋅2⋅h
8=5h
H=1,6m
10. Resposta: D.
Cone
Cilindro
V=Ab⋅h
V=πr²h
Como o volume do cone é 30% maior:
117πr²=1,3 πr²h
H=117/1,3=90
10 COMPREENSÃO DE ESTRUTURAS LÓGICAS. 
CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Proposição
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensa-
mento ou uma ideia de sentido completo. Elas transmitem pensa-
mentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízosque formamos a 
respeito de determinados conceitos ou entes.
Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma 
verdade, se a proposição é verdadeira (V), e uma falsidade, se a 
proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos 
os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns aximos da lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não 
pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é 
verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA 
existindo um terceiro caso.
Fique Atento!!
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que 
são: V ou F.”
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
45
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não 
é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro do 
meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada 
uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As 
proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições sim-
ples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplo:
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Exemplo:(Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
• “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
• A expressão x + y é positiva.
• O valor de √4 + 3 = 7.
• Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
• O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos considerando a quantidade 
certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa.
01. Resposta: B.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
46
Conectivos (concectores lógicos) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. São eles:
Operação Conectivo Estrutura Lógica Tabela verdade
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Exemplo: (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP). Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou sím-
bolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale a alternativa 
que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
47
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o 
conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧. A negação é repre-
sentada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposi-
ção simples (por exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma 
proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representa-
da pelo símbolo (→).
Resposta: B.
Tabela Verdade 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determi-
namos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a 
compõe. O valor lógico de qualquer proposição composta depen-
de UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples com-
ponentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do núme-
ro de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguin-
te teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* pro-
posições simpleste componentes contém 2n linhas.”
Exemplo: (Cespe/UnB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposi-
ções simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verda-
de da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, 
então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência 
- Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade 
(última coluna), V (verdades). 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma tautologia, 
então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma tautologia, quaisquer que 
sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
- Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela ver-
dade (última coluna), F (falsidades). A contradição é a negação da 
Tautologia e vice versa. 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma contradição, 
então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma contradição, quaisquer que 
sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
- Contigência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade 
(última coluna). Em outros termos a contingência é uma proposição 
composta que não é tautologia e nem contradição.
Exemplos: 
01. (PECFAZ/ESAF) Conforme a teoria da lógica proposicional, 
a proposição ~P ∧ P é:
(A) uma tautologia.
(B) equivalente à proposição ~p ∨ p.
(C) uma contradição.
(D) uma contingência.
(E) uma disjunção. 
Resolução:
Resposta: C.
02. (DPU – Analista – CESPE) Um estudante de direito, com o 
objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na 
qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto 
à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposi-
ções). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no 
regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar 
qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item 
que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, in-
dependentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou 
falsas.
( ) Certo ( ) Errado
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Equivalência
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quan-
do mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes, apresentam a 
mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLO-
GIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO48
Exemplo: (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para tal, trocamos o conectivo 
por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
- Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo menos uma é falsa
- Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalando a afirmar que ambas são falsas.
Atenção!!!
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÂO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO e DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
Exemplo: (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau”
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
49
Resolução:
Resposta: A
ESTRUTURAS LÓGICAS
Precisamos antes de tudo compreender o que são proposições. Chama-se proposição toda sentença declarativa à qual podemos atri-
buir um dos valores lógicos: verdadeiro ou falso, nunca ambos. Trata-se, portanto, de uma sentença fechada.
Elas podem ser:
Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não 
é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal) – O cachorro do 
meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada 
uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As pro-
posições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.
Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições sim-
ples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
Proposições Compostas – Conectivos
As proposições compostas são formadas por proposições simples ligadas por conectivos, aos quais formam um valor lógico, que po-
demos vê na tabela a seguir:
Operação Conectivo Estrutura Lógica Tabela verdade
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
50
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
Exemplo: (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F corres-
pondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição horizontal é igual a
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
51
( ) Certo ( ) Errado
Resolução:
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos:
R Q P [ P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
Resposta: Certo.
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. Repre-
sentamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
FIQUE ATENTO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a condicional, que é um conectivo. 
O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições. Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
52
Propriedades 
Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Em outras 
palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já existentes.
Regras de Inferência obtidas d a implicação lógica
- Silogismo Disjuntivo
- Modus Ponens
- Modus Tollens
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
53
Tautologias e Implicação Lógica
Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das 
proposições p e q, dá-se a nova proposição p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → 
Q é tautológica.
Inferências
Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica 
p ^ ~p ⇒q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer propo-
sição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a 
condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Exemplo: (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) 
Renato falou a verdade quando disse:
• Corro ou faço ginástica.
• Acordo cedo ou não corro.
• Como pouco ou não faço ginástica.
Certo dia, Renato comeu muito.
É correto concluir que, nesse dia, Renato:
(A) correu e fez ginástica;
(B) não fez ginástica e não correu;
(C) correu e não acordou cedo;
(D) acordou cedo e correu;
(E) não fez ginástica e não acordou cedo.
Resolução:
Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por 
uma das proposições simples como verdadeira, logo:
“Renato comeu muito”
Como pouco ou não faço ginástica
 F V
Corro ou faço ginástica
 V F
Acordo cedo ou não corro
 V F
Portanto ele:
Comeu muito
Não fez ginástica
Corrreu, e;
Acordou cedo
Resposta: D.11 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO (ANALOGIAS, INFE-
RÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES). 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de propo-
sições iniciais redunda em outra proposição final, que será conse-
quência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa 
um conjunto de proposições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do 
argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do argu-
mento.
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo dado pode ser chamdo de Silogismo (argumento 
formado por duas premissas e a conclusão).
A respeito dos argumentos lógicos, estamos interessados em 
verificar se eles são válidos ou inválidos! Então, passemos a enten-
der o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem 
construído), quando a sua conclusãoé uma consequência obrigató-
ria do seu conjunto de premissas.
Exemplo: O silogismo...
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
Q: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um 
argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da 
conclusão sejam totalmente questionáveis.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
54
Fique Atento!!!
O que vale é a CONSTRUÇÃO, E NÃO O SEU CONTEÚDO!
Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, in-
dependentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!
Como saber se um determinado argumento é mesmo válido? 
Para se comprovar a validade de um argumento é utilizando 
diagramas de conjuntos (diagramas de Venn). Trata-se de um mé-
todo muito útil e que será usado com frequência em questões que 
pedem a verificação da validade de um argumento. Vejamos como 
funciona, usando o exemplo acima. Quando se afirma, na premissa 
P1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar 
essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (ho-
mens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos 
pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase 
“Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo 
menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO. 
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a pa-
lavra-chave desta sentença é NENHUM. E a idéia que ela exprime é 
de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença 
“Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em 
comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas 
vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:
Comparando a conclusão do nosso argumento, temos:
 – NENHUM homem é animal – com o desenho das premissas 
será que podemos dizer que esta conclusão é uma consequência 
necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o con-
junto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do 
conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido!
Argumentos Inválidos
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado 
ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade 
das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclu-
são. 
Exemplo:
P1: Todas as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança.
Q: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois 
as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. 
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois 
a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam 
de chocolate.
Utilizando os diagramas de conjuntos para provar a validade 
do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo arti-
fício, que o argumento em análise é inválido. Comecemos pela pri-
meira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. 
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é 
criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da 
primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Pa-
trícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos 
facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo das 
crianças. É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, 
concluímos que Patrícia poderá estar em dois lugares distintos do 
diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
2º) Dentro do conjunto maior. Vejamos:
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
55
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para sabermos se este argumen-
to é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro!
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! Pode 
ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o 
argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras TODO, AL-
GUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada quando não for possível resolver pelo primeiro método, o que ocorre quan-
do nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , “e”, “→” e “↔”. Baseia-se na construção 
da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Este método tem a desvantagem de ser mais 
trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na impossibilidade 
do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o 
valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.
4º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método não possibilitará a descoberta do valor lógico da con-
clusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas.
Em síntese:
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
56
Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum 
ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos 
à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposi-
ções simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 
2º método. 
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposi-
ção simples ou uma conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar 
então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos 
seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
- 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição 
simples ou de uma disjunção ou de uma condicional? A resposta 
também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso 
queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 
3º e pelo 4º métodos.
Resolução pelo 3º Método
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão 
verdadeira. Teremos:
- 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
- 1ª Premissa) (p ∧ q)→r é verdade. Sabendo que r é falsa, 
concluímos que (p ∧ q) tem que ser também falsa. 
E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando uma das premis-
sas for falsa ou ambas forem falsas. Logo, não é possível determina-
mos os valores lógicos de p e q. Apesar de inicialmente o 3º método 
se mostrar adequado, por meio do mesmo, não poderemos deter-
minar se o argumento é ou NÃO VÁLIDO.
Resolução pelo 4º Método
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Tere-
mos:
- Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verda-
deiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas 
verdadeiras! Teremos:
- 1ª Premissa) (p∧q)→r é verdade. Sabendo que p e q são ver-
dadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é 
verdadeira. Daí resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: 
r é verdadeiro.
- 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é 
falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi!
Neste caso, precisaríamos nos lembrarde que o teste, aqui no 
4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência si-
multânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que 
o argumento é válido! Conclusão: o argumento é válido!
Exemplos: 01. (DPU – Agente Administrativo – CESPE) Consi-
dere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o 
item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
( ) Certo ( ) Errado
Resolução:
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as pre-
missas chegamos a uma conclusão. Enumerando as premissas: 
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudio fica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional:
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, 
utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernan-
do estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B 
= V – para que o argumento seja válido temos que Quando chove 
tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). 
// C → B = V - para que o argumento seja válido temos que Maria 
vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D 
= V - para que o argumento seja válido temos que Quando Cláudio 
sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). 
// E → ~A = V. – neste caso Quando Fernando está estudando pode 
ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao 
cinema (V), então Fernando estava estudando (V ou F); pois temos 
dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
Resposta: Errado.
02. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior 
– Informática – CESGRANRIO) Se Esmeralda é uma fada, então Bon-
grado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um cen-
tauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
57
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
Resolução:
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é 
bruxa, considerando ela como (V), precisamos ter como conclusão 
o valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) 
→ V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro 
(F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) 
→ V
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verda-
deiro quando todas as afirmativas forem verdadeiras, logo, a única 
que contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
Resposta: B.
12 DIAGRAMAS LÓGICOS.
DIAGRAMAS LÓGICOS E LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposi-
ções com quantificadores. Numa proposição categórica, é impor-
tante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coeren-
te e que a proposição faça sentido, não importando se é verdadeira 
ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas 
proposições categóricas.
Classificação de uma proposição categórica de acordo com o 
tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fun-
damentais: qualidade e extensão ou quantidade.
Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição 
categórica em afirmativa ou negativa.
Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma 
proposição categórica em universal ou particular. A classificação de-
penderá do quantificador que é utilizado na proposição.
Entre elas existem tipos e relações de acordo com a qualidade 
e a extensão, classificam-se em quatro tipos, representados pelas 
letras A, E, I e O.
Universal afirmativa (Tipo A) – “TODO A é B”.
Teremos duas possibilidades.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no con-
junto “B”, ou seja, que todo e qualquer elemento de “A” é também ele-
mento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo B é A”.
Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”.
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum 
entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “nenhum A é B” é o mes-
mo que dizer “nenhum B é A”.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte dia-
grama (A ∩ B = ø):
Particular afirmativa (Tipo I) - “ALGUM A é B”
Podemos ter 4 diferentes situações para representar esta pro-
posição:
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Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” 
tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto “B”. Con-
tudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo 
A é B. Observe “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três 
representações possíveis:
Proposições nessa forma: Algum A não é B estabelecem que o 
conjunto “A” tem pelo menos um elemento que não pertence ao 
conjunto “B”. Observe que: Algum A não é B não significa o mesmo 
que Algum B não é A.
Negação das Proposições Categóricas
Ao negarmos uma proposição categórica, devemos observar as 
seguintes convenções de equivalência:
- Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos 
uma proposição categórica particular.
- Pela recíproca de uma negação, ao negarmos uma proposição 
categórica particular geramos uma proposição categórica universal.
- Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos, 
sempre, uma proposição de natureza negativa; e, pela recíproca, 
negando uma proposição de natureza negativa geramos, sempre, 
uma proposição de natureza afirmativa.
Em síntese:
Exemplos: 
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV) João olhou as dez 
bolas que havia em um saco e afirmou: 
“Todas as bolas desse saco são pretas”. 
Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
Resolução:
Resposta: D.
02. (DESENVOLVE/SP - Contador - VUNESP) Alguns gatos não 
são pardos, e aqueles que não são pardos miam alto. 
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afir-
mação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são par-
dos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos 
não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é 
pardo.
Resolução:
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição 
do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a sua negação. 
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo 
o esquema, pelos quantificadores universais (todos ou nenhum). 
Logo, podemos descartar as alternativas A e E.
A negação de uma conjunção se faz através de uma disjunção, 
em que trocaremos o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Descarta-
mos a alternativa B.
Vamos, então, fazer a negação da frase, não esquecendo de 
que a relação que existeé: Algum A é B, deve ser trocado por: Todo 
A é não B.
Todos os gatos que são pardos ou os gatos (aqueles) que não 
são pardos NÃO miam alto.
Resposta: C.
03. (CBM/RJ - Cabo Técnico em Enfermagem - ND) Dizer que a 
afirmação “todos os professores é psicólogos” e falsa, do ponto de 
vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira
(A) Todos os não psicólogos são professores.
(B) Nenhum professor é psicólogo.
(C) Nenhum psicólogo é professor.
(D) Pelo menos um psicólogo não é professor.
(E) Pelo menos um professor não é psicólogo.
Resolução:
Se a afirmação é falsa a negação será verdadeira. Logo, a nega-
ção de um quantificador universal categórico afirmativo se faz atra-
vés de um quantificador existencial negativo. Logo teremos: Pelo 
menos um professor não é psicólogo.
Resposta: E.
Equivalência entre as proposições
Basta usar o triângulo a seguir e economizar um bom tempo na 
resolução de questões.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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Exemplo: (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) Qual a negação lógica da sentença “Todo número natural é maior do que ou igual 
a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-se a sua negação. 
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o esquema abaixo, pelo quantificador algum, pelo menos um, existe ao 
menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com Todos e Nenhum, que também são universais.
Portanto, já podemos descartar as alternativas que trazem quantificadores universais (todo e nenhum). Descartamos as alternativas 
A, B e C. 
Seguindo, devemos negar o termo: “maior do que ou igual a cinco”. Negaremos usando o termo “MENOR do que cinco”.
Obs: maior ou igual a cinco (compreende o 5, 6, 7...) ao ser negado passa a ser menor do que cinco (4, 3, 2,...).
Resposta: D.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. È uma ferramenta para resolvermos problemas que envolvam 
argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas por proposições categóricas. 
Fica a dica!!!
É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que envolvam os diagramas lógicos.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
Tipo Preposição Diagramas
A TODO A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B.
E NENHUM A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa.
I ALGUM A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemento (s) de A que não são B (enquanto 
que, no “Algum A é B”, a atenção estava sobre os que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que forma o conjunto A - B
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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Exemplo: (GDF–Analista de Atividades Culturais Administra-
ção – IADES) Considere as proposições: “todo cinema é uma casa 
de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro 
é casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último 
diagrama vimos que não é uma verdade, pois temos que existe pelo 
menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mes-
mo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, 
a primeira proposição já nos afirma o contrário. O diagrama nos 
afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justifi-
cativa é observada no diagrama da alternativa anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Cor-
reta, que podemos observar no diagrama abaixo, uma vez que todo 
cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também 
não é cinema.
Resposta: E.
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