Cálculo Diferencial e Integral

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III
2o Estágio
Nome: Matŕıcula:
Q1. Sejam w = xy + yz + xz, x = u + v, y = u− v e z = uv.
(a) Usando a Regra da Cadeia, expresse
∂w
∂u
e
∂w
∂v
como funções de u e v.
(b) Calcule
∂w
∂u
no ponto (u, v) = (1/2, 1)
Q2. Determine o valor de zx no ponto (1, 1, 1) sabendo que a equação z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0 define z
como uma função de duas variáveis independentes x e y e que a derivada parcial existe.
Q3. (a) Encontre
∂2f
∂x∂y
da função
f(x, y, z) = x2y + y cosx + xex+y+1 +
√
x2 + y3 + z2.
(b) Encontre a derivada da função h(x, y, z) = cosxy + eyz + lnxz em P0 = (1, 0, 1/2) na direção do
vetor u = i + 2j + 2k.
Q4. Determine todos os máximos locais, mı́nimos locais e pontos de sela da função
f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x− 3y + 4.
Q5. O operador de Laplace ∆, em R2, é definido por ∆ = ∂xx + ∂yy. Mostre que a função
u(x, y) = arctg
(y
x
)
satisfaz a equação de Laplace ∆u = 0.
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