LISTA 1 MAT - RESOLUÇÃO - GRUPO TELEGRAM

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1. Seja 𝑓: 	𝐼𝑅	 → 	𝐼𝑅	uma função tal que 𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑓(𝑥) − 1 e 𝑓(−1) = 3. O valor 
de 𝑓(2)	é 
a) 3 
b) 5 
c) 9 
d) 16 
e) 17 
 
RESOLUÇÃO 
Sendo 𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑓(𝑥) − 1 e 𝑓(−1) = 3 poderemos encontrar o valor da função 
para os termos consecutivos a partir do −1. 
𝑓(−1 + 1) = 2𝑓(−1) − 1 ⟹ 𝑓(0) = 2.3 − 1 = 5 ⟹ 𝑓(0) = 5 
𝑓(0 + 1) = 2𝑓(0) − 1 ⟹ 𝑓(1) = 2.5 − 1 = 9 ⟹ 𝑓(1) = 9 
⟹ 𝑓(1 + 1) = 2𝑓(1) − 1 ⟹ 𝑓(2) = 2.9 − 1 = 17 ⟹ 𝑓(2) = 17 
OPÇÃO E 
 
2. No esquema anterior, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. 
Então a função 𝑔(𝑔(𝑥)) é definida por 
 
a) 2𝑥 + 1 
b) 3𝑥 + 2 
c) 9𝑥 + 2 
d) 3𝑥 + 6 
e) 9𝑥 + 8 
 
RESOLUÇÃO 
Da figura temos que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e que ao entrar 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1) na função 𝑔 o 
resultado é 6𝑥 + 5. Sendo assim 𝑔(𝑓(𝑥)) = 6𝑥 + 5 
𝑔9𝑓(𝑥): = 6𝑥 + 5 ⟹ 𝑔;2𝑥 + 1<=>
!
)? = 6𝑥 + 5 
𝑡 = 2𝑥 + 1 ⟹ 2𝑥 = 𝑡 − 1 ⟹ 𝑥 =
𝑡 − 1
2
 
𝑔(𝑡) = 6. A
𝑡 − 1
2
B + 5 =
6𝑡 − 6
2
+ 5 = 3𝑡 − 3 + 5 = 3𝑡 + 2 
𝑔(𝑡) = 3𝑡 + 2 ⟹ 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 
Assim teremos 𝑔9𝑔(𝑥): = 3𝑔(𝑥) + 2 = 3(3𝑥 + 2) + 2 = 9𝑥 + 6 + 2 = 9𝑥 + 8 
OPÇÃO E 
 
 
3. Com base no gráfico da função 𝑦	 = 	𝑓(𝑥), o valor de 𝑓(𝑓(𝑓(𝜋 − 1))) é 
 
a) − "
#
 
b) − $
#
 
c) "
#
 
d) $
#
 
e) 5	
 
RESOLUÇÃO 
Temos que 2 < 𝜋 − 1 < 3 e que que para qualquer valor de 𝑥 ∈ [0, 3[ a função 
resulta em 𝑓(𝑥) = 3 e assim temos que	𝑓(𝜋 − 1) = 3	e 𝑓 J𝑓9𝑓(𝜋 − 1):K =
𝑓9𝑓(3):. 
 
 
 
Agora, do gráfico, vemos que 𝑓(3) = 5 e assim 𝑓 J𝑓9𝑓(𝜋 − 1):K = 𝑓9𝑓(3): =
𝑓(5). 
Por fim devemos encontrar 𝑓(5) onde podemos encontrar a regra da função afim que 
passa pelos pontos (3, 5) e (6, 0). Também podemos usar semelhança de triângulos. 
 
 
Montando uma razão de semelhança entre os dois triângulos retângulos destacados 
teremos 
ℎ
5
=
1
6 − 3
⟹ 3ℎ = 5 ⟹ ℎ =
5
3
 
Assim 𝑓 J𝑓9𝑓(𝜋 − 1):K = 𝑓9𝑓(3): = 𝑓(5) = $
#
 
OPÇÃO D 
 
4. Duas funções, 𝑓 e 𝑔, são tais que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1	e 𝑓[𝑔(𝑥)] = 2 − 6𝑥. Nessas 
condições, o valor de 𝑔%&(−1),	sendo 𝑔%&(𝑥)		a inversa da função 𝑔(𝑥), é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓[𝑔(𝑥)] = 2 − 6𝑥 
Temos que a composta 𝑓[𝑔(𝑥)] é encontrada da seguinte forma 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 ⟹ 𝑓9𝑔(𝑥): = 3𝑔(𝑥) − 1	 
 
 
E essa composição resultou em 𝑓[𝑔(𝑥)] = 2 − 6𝑥. 
𝑓9𝑔(𝑥): = 3𝑔(𝑥) − 1 = 2 − 6𝑥 ⟹ 3𝑔(𝑥) − 1 = 2 − 6𝑥 ⟹ 
3𝑥 = 3 − 6𝑥 ⟹ 𝑥 =
3 − 6𝑥
3
= 1 − 2𝑥 
Sendo 𝑔%&(𝑥)	a inversa de 𝑔(𝑥) temos que 𝑔%&(−1) pode ser encontrado fazendo 
𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 ⟹ −1 = 1 − 2𝑥 ⟹ −2𝑥 = −2 ⟹ 𝑥 = 1 
OPÇÃO B 
 
5. Se 𝑓(𝑥)	 = 	𝑚𝑥	 + 	𝑛	e 𝑓9𝑓(𝑥):	 = 	9𝑥	 − 5, a soma dos possíveis valores de 𝑛 é 
a) $
'
 
b) − $
'
 
c) $
(
 
d) − $
(
 
e) 5 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓9𝑓(𝑥): = 𝑚. 𝑓(𝑥) + 𝑛 = 𝑚(𝑚𝑥 + 𝑛) + 𝑛 = 𝑚(𝑥 + 𝑚𝑛 + 𝑛 = 𝑚(𝑥 + 𝑛(𝑚 + 1) 
𝑓9𝑓(𝑥):	 = 	9𝑥	 − 5 ⟹ 𝑚(𝑥 + 𝑛(𝑚 + 1) = 9𝑥 − 5 ⟹ P 𝑚( = 9
𝑛(𝑚 + 1) = −5 
𝑚( = 9 ⟹ 𝑚 = ±3 
𝑛(𝑚 + 1) = −5 ⟹ 𝑚 = 3 ⟹ 𝑛(3 + 1) = −5 ⟹ 𝑛 = −
5
4
 
𝑛(𝑚 + 1) = −5 ⟹ 𝑚 = −3 ⟹ 𝑛(−3 + 1) = −5 ⟹ −2𝑛 = −5 ⟹ 𝑛 =
5
2
 
5
2
−
5
4
=
5
4
 
OPÇÃO A 
 
6. Se 𝑓 e 𝑔 são funções reais tais que 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3	e 𝑓9𝑔(𝑥): = ()%&
#
, para todo 𝑥 ∈
𝐼𝑅, o valor de 𝑎, tal que 𝑔9𝑓(𝑎): = − (
#
, 	é igual a 
a) $
'
 
b) − $
'
 
c) $
(
 
d) − $
(
 
e) 5 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓9𝑔(𝑥): = ()%&
#
 e 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 ⟹ 𝑓9𝑔(𝑥): = 4. 𝑔(𝑥) − 3 
𝑓9𝑔(𝑥): =
2𝑥 − 1
3
⟹ 9𝑔(𝑥): = 4. 𝑔(𝑥) − 3 =
2𝑥 − 1
3
⟹ 
4. 𝑔(𝑥) =
2𝑥 − 1
3
+ 3 =
2𝑥 − 1 + 9
3
=
2𝑥 + 8
3
 
𝑔(𝑥) =
2𝑥 + 8
3.4
=
𝑥 + 4
3.2
=
𝑥 + 4
6
 
𝑔9𝑓(𝑎): = 𝑔(4𝑎 − 3) =
4𝑎 − 3 + 4
6
=
4𝑎 + 1
6
 
𝑔9𝑓(𝑎): = −
2
3
⟹
4𝑎 + 1
6
= −
2
3
⟹ 4𝑎 + 1 = −4 ⟹ 
4𝑎 = −5 ⟹ 𝑎 = −
5
4
 
OPÇÃO B 
 
7. Seja 𝑓: 	𝐼𝑅	 → 	𝐼𝑅 uma função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Se 𝑓 passa pelos pontos 
𝐴(−1, 2) e 𝐵(3, −1), então 𝑓%& passa pelo ponto 
a) J1, &
(
K 
b) J−1, &
(
K 
c) J1, &
#
K 
d) J&
#
, 1K 
e) (0, 1) 
 
RESOLUÇÃO 
Sabendo que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 podemos encontrar o valor de 𝑎	fazendo 𝑎 = ∆+
∆)
. 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
−1 − 2
3 − (−1)
=
−3
3 + 1
= −
3
4
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑓(𝑥) = −
3
4
𝑥 + 𝑏 
Usando o ponto 𝐴(−1, 2) teremos 
2 = −
3
4
(−1) + 𝑏 ⟹ 𝑏 +
3
4
= 2 ⟹ 𝑏 = 2 −
3
4
⟹ 𝑏 =
5
4
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑓(𝑥) = −
3𝑥
4
+
5
4
 
Não precisamos encontrar a regra da função 𝑓%&(𝑥). Se um ponto (𝑚, 𝑛) pertence a 
função 𝑓%&(𝑥) então o ponto (𝑛,𝑚) pertence a função 𝑓(𝑥). 
Sendo assim vamos testar os pontos das opções testando 𝑥	no lugar de 𝑦 e vice-versa. 
a) 𝑓 J&
(
K = − #
'
J&
(
K + $
'
= − #
"
+ $
'
= ,
"
 
 
 
b) 𝑓 J&
(
K = ,
"
 
c) 𝑓 J&
#
K = − #
'
J&
#
K + $
'
= − #
&(
+ $
'
= &(
&(
= 1 (verdadeira) 
d) 𝑓(1) = − #
'
(1) + $
'
= − #
'
+ $
'
= (
'
= &
(
 
e) 𝑓(1) = &
(
 
OPÇÃO C 
 
8. Seja f a função real tal que 𝑓 J()%&
-
K 	 = 	𝑥	para todo 𝑥 real. A igualdade 𝑓(𝑐)	 =
𝑓%&(𝑐)	se verifica para c igual a 
a) 7 
b) −7 
c) − &
,
 
d) &
,
 
e) &
(
 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓 Y
2𝑥 − 1
9<=>
!
Z 	 = 	𝑥 ⟹ 𝑡 =
2𝑥 − 1
9
⟹ 9𝑡 = 2𝑥 − 1 ⟹ 2𝑥 = 9𝑡 + 1 ⟹ 
𝑥 =
9𝑡 + 1
2
 
𝑓(𝑡) =
9𝑡 + 1
2
⟹ 𝑓(𝑥) =
9𝑥 + 1
2
 
Se lembrarmos que 𝑓(𝑓%&(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓%&(𝑓(𝑥)) = 𝑥 veremos que a função inversa de 
𝑓(𝑥) é a função 𝑓%&(𝑥) = ()%&
-
 pois 𝑓 J()%&
-
K 	 = 	𝑥. 
O encontro da função 𝑓(𝑥) com a função 𝑓%&(𝑥) se dá sempre sobre a reta 𝑦 = 𝑥 e 
assim para encontrarmos esta interseção basta fazermos 𝑦 = 𝑥. 
𝑓(𝑥) = -).&
(
⟹ 𝑦 = -).&
(
⟹ fazendo 𝑦 = 𝑥 ⟹ 
𝑥 =
9𝑥 + 1
2
⟹ 2𝑥 = 9𝑥 + 1 ⟹ −7𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = −
1
7
 
OPÇÃO C 
 
9. A função inversa da função bijetora 𝑓: 	𝐼𝑅 − [− &
'
\ → 	𝐼𝑅 − {𝑏} definida por 𝑓(𝑥) =
()%#
').&
. O valor de 𝑏 é 
a) − &
'
 
b) &
'
 
 
 
c) − &
(
 
d) &
(
 
e) 1 
 
RESOLUÇÃO 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 3
4𝑥 + 1
⟹ 𝑦 =
2𝑥 − 3
4𝑥 + 1
⟹ 𝑥 =
2𝑦 − 3
4𝑦 + 1
⟹ 
4𝑦𝑥 + 𝑥 = 2𝑦 − 3 ⟹ 4𝑦𝑥 − 2𝑦 = −𝑥 − 3 ⟹ 2𝑦 − 4𝑦𝑥 = 𝑥 + 3 ⟹ 
𝑦(2 − 4𝑥) = 𝑥 + 3 ⟹ 𝑦 =
𝑥 + 3
2 − 4𝑥
⟹ 𝑓%&(𝑥) =
𝑥 + 3
2 − 4𝑥
 
Temos que 𝐷𝑜𝑚/!" = 𝐼𝑚/ e assim 
𝐷𝑜𝑚/!":	2 − 4𝑥 ≠ 0 ⟹ −4𝑥 ≠ −2 ⟹ 𝑥 ≠
2
4
⟹ 𝑥 ≠
1
2
 
Assim 𝑓: 	𝐼𝑅— &
'
→ 	𝐼𝑅 − [&
(
\ ⟹ 𝑏 = &
(
 
OPÇÃO D 
 
10. Sejam as funções abaixo definidas de ℝ → ℝ. 
I. 𝑦 = sen	𝑥 
II. 𝑦 = |𝑥| − 3 
III. 𝑦 = cos 𝑥 
IV. 𝑦 = 𝑥( + 2 
V. 𝑦 = 2𝑥# − 𝑥 
 
Pode-se afirmar que 
a) As funções I, IV e V são funções ímpares. 
b) As funções II, III e IV são funções pares. 
c) As funções I, III e V são injetoras. 
d) As funções II e IV são sobrejetoras. 
e) As funções I, III e V são funções ímpares. 
 
RESOLUÇÃO 
I. 𝑦 = sen	𝑥 
A função 𝑦 = sen	𝑥 é uma função ímpar, podemos verificar pelo seu gráfico 
 
 
 
 
II. 𝑦 = |𝑥| − 3 
A função 𝑦 = |𝑥| − 3 é par. Se fizermos −𝑥 teremos a mesma função 
𝑦 = |−𝑥| − 3 = |𝑥| − 3 
 
III. 𝑦 = cos 𝑥 
A função 𝑦 = cos	𝑥 é uma função par, podemos verificar pelo seu gráfico 
 
 
IV. 𝑦 = 𝑥( + 2 
A função 𝑦 = 𝑥( + 2 é par. Se fizermos −𝑥 teremos a mesma função 
𝑦 = (−𝑥)( + 2 = 𝑥( + 2 
 
V. 𝑦 = 2𝑥# − 𝑥 
A função 𝑦 = 2𝑥# − 𝑥 é ímpar. Se fizermos −𝑥 teremos todos os termos simétricos da 
função original 
𝑦 = 2(−𝑥)# − (−𝑥) = 2. (−𝑥#) + 𝑥 = −2𝑥# + 𝑥 = −(2𝑥# − 𝑥) 
Sendo assim as funções II, III e IV são pares 
OPÇÃO B 
 
 
 
 GABARITO 
1 E 6 B 
2 E 7 C 
3 D 8 C 
4 B 9 D 
5 A 10 B 
 
 
	36718c82b40c215b7f0e2a463b9e6b95f0dce3f88e9823d9f545c74fb6bbc976.pdf
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